Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes

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Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
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Chapitre no 5
Leçon : Mécanique 2 (PCSI)
Chap. préc. :Loi du moment cinétique : Moments de force
Chap. suiv. :Loi du moment cinétique : Application à un solide en rotation autour d'un axe fixe
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Théorèmes des moments cinétiques relativement à un point ou un axe fixes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     La notion de moment cinétique n'étant au programme de physique de P.C.S.I. que dans son aspect newtonien, nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un point fixe modifier

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Partant de la r.f.d.n[1]. appliquée au point matériel de masse dans le référentiel d'étude galiléen, «»[2] dans laquelle est la quantité de mouvement du point matériel à l'instant dans le référentiel et l'ensemble des forces appliquées au point , on multiplie vectoriellement à gauche chaque membre de l'équation par dans lequel est, pour l'instant, un point quelconque[3] de «» qui se réécrit, compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle[4] « » ;

     dans la mesure où est choisi fixe dans , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «», est aussi la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de par rapport à à l'instant dans , soit «» avec en effet :

          dans la mesure où O est choisi fixe dans R, dans laquelle, étant un point fixe dans , est le vecteur position de à l'instant dans et par suite «» le vecteur vitesse «» de à l'instant dans , égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «»[5] « »[6] soit « »[2] ;

     on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à par rapport à soit « »[2] ;

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n[1]. appliquée à un point matériel relativement à un point fixe dans galiléen sous la forme

«[2] si est un point fixe de galiléen ».

Causes de modification du vecteur moment cinétique du point matériel M par rapport à un point origine O fixe dans le référentiel d’étude modifier

     D'après l'expression de la r.f.d.n[1]. appliquée à un point matériel relativement à un point fixe dans un référentiel galiléen

«»[2]

     et d’après l'expression symbolique de tout théorème de la dynamique d'un point matériel dans un référentiel galiléen

[2],

     on en déduit que

les moments vectoriels des forces appliquées au point matériel calculés par rapport au point origine fixe dans «»
sont les causes de modification
du moment cinétique vectoriel du point par rapport à ce même point origine fixe dans «»[2].

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     La relation du paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre étant établie pour quelconque[3] est donc valable sous cette forme en remplaçant par mobile dans le référentiel galiléen soit

«»[2] ;

     toutefois, avec mobile dans le référentiel , «» est a priori « de » en effet :

          toutefois, avec A mobile dans le référentiel R, avec dans laquelle , point fixe de , sert d'origine aux vecteurs position par utilisation de la relation de Chasles[7] [2] encore égal, dans le cadre de la cinétique newtonienne, à «»[5] «»[8] soit «»[2] ;

     comme «» est encore égal à la somme des vecteurs moments des forces appliquées à par rapport à mobile dans soit «»[2],

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n[1]. appliquée à un point matériel relativement à un point mobile dans galiléen sous la forme

«[2] [2]
     si est un point mobile de galiléen »                              si est un point mobile de galiléen ».

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel modifier

Énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Voir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point fixe O dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de centre « C », de rayon R et de vecteur rotation instantanée donné modifier

     Ayant établi au paragraphe « réécriture du vecteur moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport au centre C du cercle en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » l'expression du vecteur moment cinétique d'un point matériel en mouvement circulaire d'axe , de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée , moment par rapport au centre de la trajectoire, selon

[9] avec
le moment d'inertie de de masse relativement à l'axe de rotation ,

     on en déduit , le moment d'inertie de relativement à étant une constante, puis
     on en déduit dans la mesure où le centre du cercle est nécessairement fixe[10] et
     on en déduit dans la mesure où le référentiel d'étude est galiléen,
     on en déduit l'applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel au point matériel en mouvement circulaire d'axe , de centre , de rayon et de vecteur rotation instantanée dans le référentiel d'étude en prenant comme point origine des moments le centre du cercle, soit

Début d’un théorème
Fin du théorème

Complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Considérant le point , origine des moments, mobile dans le référentiel d'étude galiléen, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point mobile dans , le vecteur moment résultant par rapport à des forces appliquées à un point matériel à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point au même instant «» et du produit vectoriel « dans lequel est le vecteur quantité de mouvement du point dans le référentiel à l'instant » soit
«»[2].

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière modifier

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Considérant le système discret fermé de points matériels « avec » étudié dans le référentiel galiléen et un point fixe dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point fixe dans , s'écrivant « »,

     on fait la somme de ces relations «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point à l'instant «»[13] et
  • « le 2ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[14], à «» c'est-à-dire la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point au même instant .
Début d’un théorème
Fin du théorème

Généralisation à un système continu fermé de matière modifier

     Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique[15], surfacique[16] ou curviligne[17], le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où le point origine d'évaluation des moments est fixe se généralise aisément :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle « de masse volumique », les vecteurs

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [15] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [18] du système ou la somme des densités volumiques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion volumique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon [15] avec la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [15] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique », les vecteurs

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [16] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [19] du système ou la somme des densités surfaciques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion surfacique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon [16] avec la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [16],[20] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique », les vecteurs

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [17] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [21] du système ou la somme des densités linéiques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion linéique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon [17] avec la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [17] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Justification exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle :
     Justification on applique le théorème du moment cinétique vectoriel à chaque pseudo point [18], les vecteurs moments ayant pour point origine fixe dans galiléen « »[15],

     Justification on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique , «[15] »[15],[22],

     Justification le 1er terme du 1er membre définissant le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué au système de matière à l'instant «»,

     Justification le 2ème terme du 1er membre définissant le vecteur moment résultant des forces intérieures par rapport à appliqué au système de matière à l'instant «»[23],

     Justification le 2ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique et de la dérivation temporelle »[24], en «»[15],[25], l'intégrale volumique définissant alors le vecteur moment cinétique du système de matière par rapport au point origine à l'instant soit  : C.Q.F.J[26]..

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel relativement à un point mobile dans le référentiel d'étude galiléen vue, plus haut dans le chapitre, au paragraphe « complément, expression du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen » à un système discret fermé de points matériels.

Adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un point mobile A quelconque dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Considérant le système discret fermé de points matériels « avec » étudié dans le référentiel galiléen et un point mobile dans par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement au point mobile dans , s'écrivant « »,

     on les ajoute «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système discret fermé de points matériels évalué au point origine à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels évalué au même point à l'instant «»[13],
  • « le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[14], à «» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système discret fermé de points matériels par rapport au même point au même instant et enfin
  • « le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par [27] «» reconnaissant dans le 2ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système de points matériels «» d'où la réécriture de ce terme selon «» ;

     finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un point mobile dans , prend la forme «» d'où l'énoncé qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point mobile dans , le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué à un système discret fermé de points matériels à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point au même instant «» et du produit vectoriel « dans lequel est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel à l'instant » soit
«»[2],[28].

     Remarque : Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique[15], surfacique[16] ou curviligne[17], l'adaptation du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où le point origine d'évaluation des moments y est mobile se généralise sans modification à l'exception des définitions du vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué au système continu fermé de matière «», du vecteur moment cinétique par rapport à du système étudié «» et du vecteur résultante cinétique du système considéré «», lesquelles résultent du remplacement de la somme discrète des grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique[15], surfacique[16] ou curviligne[17] des grandeurs associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle[18], surfacique[19] ou linéique[21].

Applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     D'après le paragraphe précédent, le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels sous la forme «» est donc, a priori, inapplicable si le point origine du calcul des vecteurs moments est mobile dans le référentiel galiléen car le théorème adapté à utiliser est «» non à retenir mais à retrouver si besoin est

     toutefois sachant qu'en cinétique newtonienne «» dans laquelle « est le C.D.I[29]. du système discret fermé de points matériels », on en déduit que si le point origine se déplace parallèlement au C.D.I[29]. du système c'est-à-dire si est colinéaire à , le théorème du moment cinétique vectoriel est encore applicable à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec A mobile sous la forme «», le cas particulier le plus fréquent étant celui où le point origine est le C.D.I[29]. du système étudié d'où l'énoncé du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude galiléen avec, pour point origine de calcul des moments, le C.D.I[29]. du système complément à savoir justifier si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I[29]. du système discret fermé de points matériels étudié, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à appliqué à ce système à l'instant «» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au C.D.I[29]. du système au même instant «» soit
«»[30],[31]

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel relativement à un axe fixe modifier

     Nous cherchons à trouver l'expression de la r.f.d.n[1]. ou du théorème du moment cinétique vectoriel qui en est une conséquence appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe fixe.

Expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Choisissant un point origine fixe sur l'axe fixe du référentiel galiléen, on peut appliquer au point matériel de masse le théorème du moment cinétique vectoriel qui n'est, rappelons-le, que l'expression de la r.f.d.n[1]. appliquée à un point matériel relativement à un point origine fixe du référentiel galiléen soit «»[2] dans laquelle est le moment cinétique vectoriel du point matériel à l'instant dans le référentiel et l'ensemble des forces appliquées au point , on multiplie scalairement chaque membre de l'équation par le vecteur unitaire orientant l'axe «» qui se réécrit, compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle[32] utilisée dans le membre de gauche et du caractère constant de utilisée dans le membre de droite «» ;

     dans la mesure où est choisi sur , on vérifie que le 2nd membre de la relation , «», est aussi la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de par rapport à à l'instant dans , soit «»[2] avec [2] ;

     on vérifie que le 1er membre de la relation , «» est égal à la somme des moments scalaires des forces appliquées à par rapport à soit « »[2] ;

     on en déduit l'expression de la r.f.d.n[1]. ou du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe fixe dans galiléen sous la forme

«[2] si est un axe fixe de galiléen ».

Causes de modification du moment cinétique scalaire du point matériel M par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d’étude modifier

     D'après l'expression de la r.f.d.n[1]. ou du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe fixe dans un référentiel galiléen

«[2]

     et d’après l'expression symbolique de tout théorème de la dynamique d'un point matériel dans un référentiel galiléen

[2],

     on en déduit que

les moments scalaires des forces appliquées au point matériel calculés par rapport à l'axe fixe dans «»
sont les causes de modification
du moment cinétique scalaire du point par rapport à ce même axe fixe dans «»[2].

Complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Soit un axe , mobile dans le référentiel d'étude galiléen, et un point quelconque sur , choisi comme origine des moments vectoriels, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.) appliquée à un point matériel M relativement à un point mobile A dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au point matériel «[2] avec mobile dans galiléen »[33] ;

     orientant l'axe , de mouvement quelconque dans galiléen, par le vecteur unitaire , nous multiplions scalairement par la relation membre à membre « » et on reconnaît dans

  • « le 1er membre », après avoir utilisé la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle[32], la somme des moments scalaires des forces appliquées au point matériel relativement à l'axe à l'instant « »[2],
  • « le 1er terme du 2ème membre » égal, dans la mesure où Δ garde une direction constante c'est-à-dire où le mouvement de dans est une translation «», à « »[2] c'est-à-dire à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du point matériel par rapport au même axe en translation dans au même instant et enfin
  • « le 2ème terme du 2ème membre » encore égal, par invariance du produit mixte par permutation circulaire[34], à «» ou, en notant la vitesse de translation de perpendiculairement à sa direction par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle[4] d'une part et par nullité du produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires[35] d'autre part, « ce 2ème terme du 2ème membre » s'écrit encore «»[2], terme nul si le mouvement de à l'instant se fait dans le plan [36] et non nul si le mouvement de à l'instant a une composante au plan [36],

     d'où la forme de la r.f.d.n[1]. ou du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué(e) à un point matériel relativement à un axe mobile de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, prenant pour origine des moments scalaires un axe orienté par le vecteur unitaire en translation dans , le moment scalaire des forces appliquées à un point matériel relativement à à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe au même instant «» et de la grandeur vectorielle définie par le produit mixte «» dans lequel est le vecteur vitesse de translation de l'axe dans le référentiel à l'instant en absence de glissement parallèlement à lui-même et le vecteur quantité de mouvement du point dans à l'instant soit
«»[2].

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel modifier

Énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M dans le référentiel d'étude galiléen modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : Voir le paragraphe « expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe fixe Δ dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans le chapitre.

Cas où M décrit, dans le référentiel d'étude galiléen, un mouvement circulaire d’axe « Δ », de rayon R et de vitesse angulaire instantanée donnée modifier

     Ayant établi au paragraphe « évaluation du moment cinétique de M en mouvement circulaire dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ du cercle » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » l'expression du moment cinétique scalaire d'un point matériel en mouvement circulaire d'axe , de rayon et de vitesse angulaire instantanée , moment par rapport à l'axe de la trajectoire circulaire, selon

[9] avec
le moment d'inertie de de masse relativement à l'axe de rotation ,

     on en déduit , le moment d'inertie de relativement à étant une constante, puis
     on en déduit dans la mesure où l'axe du cercle est nécessairement fixe[10] et
     on en déduit dans la mesure où le référentiel d'étude est galiléen,
     on en déduit l'applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel en mouvement circulaire d'axe , de rayon et de vitesse angulaire instantanée dans le référentiel d'étude en prenant comme axe origine des moments l'axe du cercle, soit

Début d’un théorème
Fin du théorème

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Considérant l'axe , origine des moments, en translation dans le référentiel d'étude galiléen, nous avons établi dans le paragraphe « complément, expression de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne (ou du théorème du moment cinétique vectoriel) appliqué(e) à un point matériel M relativement à un axe mobile Δ de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen », plus haut dans ce chapitre, la forme que prend le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au point matériel forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe orienté par le vecteur unitaire en translation dans , le moment résultant scalaire par rapport à des forces appliquées à un point matériel à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe au même instant «» et du produit mixte «» dans lequel est le vecteur vitesse de translation de l'axe dans le référentiel à l'instant en absence de glissement parallèlement à lui-même et le vecteur quantité de mouvement du point dans au même instant soit
«»[2].

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels, généralisation à un système continu de matière modifier

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Considérant le système discret fermé de points matériels « avec » étudié dans le référentiel galiléen et un axe fixe dans par rapport auquel on détermine les moments scalaires ;

     le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à chaque point matériel dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à l'axe fixe dans , s'écrivant « »,

     on fait la somme de ces relations «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système discret fermé de points matériels par rapport à l'axe à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le moment résultant scalaire des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels relativement au même axe à l'instant « »[40] et
  • « le 2ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[14], à «» c'est-à-dire la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels par rapport au même axe au même instant .
Début d’un théorème
Fin du théorème

Généralisation à un système continu fermé de matière modifier

     Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique[15], surfacique[16] ou curviligne[17], le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où l'axe origine d'évaluation des moments est fixe se généralise aisément :

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle « de masse volumique », les grandeurs scalaires avec le vecteur unitaire orientant l'axe

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [15] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [18] du système ou la somme des densités volumiques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion volumique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon l'intégrale [15] avec la densité volumique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [15] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique « de masse surfacique », les grandeurs scalaires avec le vecteur unitaire orientant l'axe

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [16] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [19] du système ou la somme des densités surfaciques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion surfacique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon l'intégrale [16] avec la densité surfacique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [16],[41] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Rappels : Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique « de masse linéique », les grandeurs scalaires avec le vecteur unitaire orientant l'axe

  • moment résultant dynamique appliqué au système se calcule par rapport à selon [17] avec la somme des forces que chaque système extérieur exerce sur chaque pseudo point [21] du système ou la somme des densités linéiques de forces que chaque système extérieur exerce en chaque point de l'expansion linéique du système et
  • moment cinétique du système se calcule par rapport à selon l'intégrale [17] avec la densité linéique de vecteur quantité de mouvement en à l'instant dans , soit, en cinétique newtonienne, [17] avec « le vecteur vitesse de dans au même instant ».

     Justification exposée dans le cas d'une expansion tridimensionnelle :
     Justification on applique le théorème du moment cinétique scalaire à chaque pseudo point [18], les moments scalaires ayant pour axe origine axe fixe dans galiléen « »[15],

     Justification on intègre la relation précédente sur l'expansion tridimensionnelle du système continu de matière, l'intégration volumique se faisant sur le point générique , «[15] »[15],[22],

     Justification le 1er terme du 1er membre définissant le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au système de matière à l'instant «»,

     Justification le 2ème terme du 1er membre définissant le moment résultant scalaire des forces intérieures par rapport à appliqué au système de matière à l'instant «»[40],

     Justification le 2ème membre se transformant, après « permutation de l'intégration volumique sur le point générique et de la dérivation temporelle »[24], en «»[15],[25], l'intégrale volumique définissant alors le moment cinétique scalaire du système de matière par rapport à l'axe origine à l'instant soit  : C.Q.F.J[26]..

Complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Il s'agit d'adapter la forme du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel relativement à un axe mobile en translation dans le référentiel d'étude galiléen vue, plus haut dans le chapitre, au paragraphe « complément, adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un point matériel M relativement à un axe Δ en translation dans le référentiel d'étude galiléen » à un système discret fermé de points matériels.

Adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe Δ quelconque en translation dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Considérant le système discret fermé de points matériels « avec » étudié dans le référentiel galiléen et un axe en translation dans par rapport auquel on détermine les moments scalaires étant orienté par le vecteur unitaire  ;

     la forme du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à chaque point matériel dans galiléen, moments évalués relativement à l'axe en translation dans , s'écrivant « », étant le vecteur vitesse de translation de dans à l'instant en absence de glissement le long de et le vecteur quantité de mouvement de dans au même instant  ;

     on les ajoute «» et on reconnaît dans

  • « le 1er terme du 1er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système discret fermé de points matériels par rapport à l'axe à l'instant «»,
  • « le 2ème terme du 1er membre » le moment résultant scalaires des forces intérieures appliquées au système discret fermé de points matériels par rapport au même axe à l'instant « »[40],
  • « le 1er terme du 2ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle »[14], à «» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système discret fermé de points matériels par rapport au même axe au même instant et enfin
  • « le 2ème terme du 2ème membre » dans lequel on effectue une factorisation scalaire à gauche par le vecteur commun à tous les termes à savoir [42] «» reconnaissant dans le 2ème facteur du produit scalaire le vecteur résultante cinétique du système de points matériels «» d'où la réécriture de ce terme selon «» ;

     finalement le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans le référentiel galiléen, moments évalués relativement à un axe en translation dans , prend la forme «» d'où l'énoncé qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe en translation dans , l'axe étant orienté par le vecteur unitaire , le moment résultant dynamique scalaire par rapport à l'axe appliqué à un système discret fermé de points matériels à l'instant «» est égal à la somme de la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport au même axe au même instant «» et du produit mixte « dans lequel est le vecteur vitesse de translation de dans à l'instant en absence de glissement le long de et le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel au même instant » soit
«»[2],[28].

     Remarque : Compte-tenu du fait qu'on passe d'un système discret fermé de points matériels à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique en remplaçant les sommes discrètes de l'un par des sommes continues de l'autre c'est-à-dire mettant en œuvre dans ce dernier une intégrale volumique[15], surfacique[16] ou curviligne[17], l'adaptation du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système continu de matière dans un référentiel galiléen où l'axe d'évaluation des moments y est en translation se généralise sans modification à l'exception des définitions du moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au système continu fermé de matière «», du moment cinétique scalaire par rapport à du système étudié «» et du vecteur résultante cinétique du système considéré «», lesquelles résultent du remplacement de la somme discrète des grandeurs associées aux divers points matériels par l'intégrale volumique[15], surfacique[16] ou curviligne[17] des grandeurs associées aux divers pseudo points de l'expansion tridimensionnelle[18], surfacique[19] ou linéique[21].

Applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe ΔG passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système, axe en translation dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     D'après le paragraphe précédent, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels sous la forme «» est donc, a priori, inapplicable si l'axe origine orienté par le vecteur unitaire du calcul des moments scalaires est en translation de vecteur vitesse en absence de glissement le long de dans le référentiel galiléen car le théorème adapté à utiliser est «» non à retenir mais à retrouver si besoin est

     toutefois sachant qu'en cinétique newtonienne «» dans laquelle « est le C.D.I[29]. du système discret fermé de points matériels », on en déduit que si l'axe se translate parallèlement au plan [43] c'est-à-dire si est coplanaire à , le théorème du moment cinétique scalaire est encore applicable à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel galiléen avec Δ en translation sous la forme «», le cas particulier le plus fréquent étant celui où l'axe en translation passe par le C.D.I[29]. du système étudié en lui restant solidaire[44] d'où noté par la suite ce qui implique [44] d'où l'énoncé du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret fermé de points matériels dans un référentiel d'étude galiléen avec, pour axe en translation origine de calcul des moments, l'axe solidaire du C.D.I[29]. du système complément à savoir justifier si besoin est :

     Dans un référentiel galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires l'axe , de direction fixée, passant par le C.D.I[29]. du système discret fermé de points matériels étudié, l'axe restant solidaire de [44], le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué à ce système à l'instant «» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire de ce dernier par rapport à au même instant «» soit
«»[30],[31]

Différents cas de conservation du moment cinétique vectoriel ou scalaire d'un système discret fermé de points matériels modifier

Conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point O fixe dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à un point fixe dans le référentiel d'étude galiléen à savoir «» si le vecteur moment résultant dynamique en appliqué au système est nul à tout instant c'est-à-dire si «», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système fermé de matière en un point fixe dans un référentiel galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à d'où, après intégration par rapport au temps,  ;

     le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport au point fixe dans galiléen peut être nul par :

  • absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé,
  • des forces extérieures toutes « centrales par rapport au point fixe »[45] ou
  • des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe se compensent[46].

Conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Il y a conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe fixe dans le référentiel d'étude galiléen à savoir «» si le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au système est nul à tout instant c'est-à-dire si «», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique scalaire au système fermé de matière par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen soit «» dans lequel la nullité du 1er membre conduit à d'où, après intégration par rapport au temps,  ;

     le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière par rapport à l'axe fixe dans galiléen peut être nul par :

  • absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé,
  • des forces extérieures « parallèles à ou de support coupant l'axe »[47] ou enfin
  • des forces extérieures dont les moments scalaires par rapport à l'axe fixe se compensent[48].

Complément, conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son centre d'inertie (C.D.I.) G dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système fermé de matière par rapport à son C.D.I.[29] quel que soit le mouvement de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen à savoir « » si le vecteur moment résultant dynamique en appliqué au système est nul à tout instant c'est-à-dire si «», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système fermé de matière par rapport au C.D.I[29]. de ce dernier dans un référentiel galiléen un complément[49] soit « » dans lequel la nullité du 1er membre conduit à d'où, après intégration par rapport au temps,  ;

     le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système fermé de matière par rapport au C.D.I[29]. de ce dernier quel que soit le mouvement de dans galiléen peut être nul par :

  • absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé dans le cadre de la dynamique newtonienne a alors un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I[29].,[50],
  • des forces extérieures toutes « centrales par rapport au C.D.I.[29] »[51] ou
  • des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au C.D.I.[29] se compensent.

Complément, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe ΔG passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système en translation dans le référentiel d'étude galiléen modifier

     Il y a, dans le référentiel d'étude galiléen, conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe de direction fixée, passant par le C.D.I[29]. du système, l'axe restant solidaire du C.D.I[29]. [44], à savoir «» si le moment résultant dynamique scalaire par rapport à appliqué au système est nul à tout instant « », cette propriété résultant de l'application, dans un référentiel galiléen, du théorème du moment cinétique scalaire au système fermé de matière par rapport à un axe , de direction fixe, solidaire du C.D.I[29]. du système[44] par lequel il passe exposé en complément et à savoir justifier[52] soit « » dans lequel la nullité du 1er membre conduit à d'où, après intégration par rapport au temps,  ;

     le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système fermé de matière par rapport à l'axe dans galiléen peut être nul par :

  • absence de forces extérieures c'est-à-dire si le système fermé de matière est isolé, dans le cadre de la dynamique newtonienne a alors un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel galiléen par application du théorème du mouvement du C.D.I[29].,[50],
  • des forces extérieures « parallèles à ou de support coupant l'axe »[47] ou enfin
  • des forces extérieures dont les moments scalaires par rapport à l'axe se compensent.

Notes et références modifier

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 et 1,8 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  2. 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 2,32 2,33 2,34 et 2,35 Restant applicable sous cette forme en dynamique ou cinétique relativiste.
  3. 3,0 et 3,1 Fixe ou mobile.
  4. 4,0 et 4,1 Voir le paragraphe « propriétés de la multiplication vectorielle » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  5. 5,0 et 5,1 Dans le cadre de la cinétique relativiste on a également à selon avec la masse apparente de à l'instant dans laquelle est le facteur de Lorentz du point à l'instant dans le référentiel  ;
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  6. Ou, en relativiste, «».
  7. Michel Chasles (1793 - 1880) mathématicien français à qui on doit d'importants travaux en géométrie projective ainsi qu'en analyse harmonique ; la relation dite de Chasles, connue depuis très longtemps, porte son nom pour lui rendre hommage.
  8. Ou, en relativiste, «».
  9. 9,0 et 9,1 Non applicable en cinétique relativiste car a été obtenu à partir de applicable en cinétique newtonienne ou relativiste dans laquelle on a utilisé uniquement valable en cinétique newtonienne ;
       en cinétique relativiste on aurait avec le facteur de Lorentz du point en mouvement circulaire autour de de vecteur vitesse à l'instant «» d'où après un développement semblable à celui effectué en cinétique newtonienne avec le moment d'inertie de relativement à de même on définit le moment cinétique scalaire relativiste du point en mouvement circulaire autour de l'axe orienté par le vecteur unitaire selon «» avec la vitesse angulaire de rotation de autour de  ;
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  10. 10,0 et 10,1 Sinon la trajectoire de dans le référentiel ne serait pas circulaire
  11. On retrouve la forme symbolique vue dans le paragraphe « commentaires sur la r.f.d.n. » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
       dans laquelle la grandeur cinématique vectorielle est « le vecteur rotation instantanée autour de l'axe de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation » et la cause de variation du vecteur rotation instantanée « le moment résultant vectoriel des forces appliquées par rapport au centre du mouvement circulaire ».
  12. Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « 9 » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de en cinétique relativiste », la relation applicable étant «» avec le facteur de Lorentz du point en mouvement circulaire autour de et
       Non applicable en dynamique relativiste car, d'autre part avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, d'où non transformable selon ni selon sauf mouvement uniforme en dynamique relativiste ;
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  13. 13,0 et 13,1 Voir le paragraphe « vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un point origine A quelconque » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » pour l'établissement de la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures.
  14. 14,0 14,1 14,2 et 14,3 Car la somme des dérivées temporelles de grandeurs différentes est la dérivée temporelle de la somme de ces grandeurs.
  15. 15,00 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07 15,08 15,09 15,10 15,11 15,12 15,13 15,14 15,15 15,16 15,17 15,18 et 15,19 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. 16,00 16,01 16,02 16,03 16,04 16,05 16,06 16,07 16,08 16,09 16,10 et 16,11 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. 17,00 17,01 17,02 17,03 17,04 17,05 17,06 17,07 17,08 17,09 17,10 et 17,11 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. 18,0 18,1 18,2 18,3 18,4 et 18,5 Un pseudo point d'une expansion tridimensionnelle est un élément de matière, centré en , de volume , de masse dans lequel est la masse volumique du système continu en , pseudo oint en translation dans le référentiel à la vitesse à l'instant «» dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide ».
  19. 19,0 19,1 19,2 et 19,3 Un pseudo point d'une expansion surfacique est un élément de matière, centré en , d'aire , de masse dans lequel est la masse surfacique du système continu en , pseudo point en translation dans le référentiel à la vitesse à l'instant «» dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide ».
  20. Bien que le moment cinétique vectoriel et la masse surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car l'une des grandeurs est vectorielle et l'autre scalaire, de plus la grandeur vectorielle a toujours pour indice un point alors que la grandeur scalaire n'a, a priori, pas d'indice
  21. 21,0 21,1 21,2 et 21,3 Un pseudo point d'une expansion linéique est un élément de matière, centré en , de longueur , de masse dans lequel est la masse linéique du système continu en , pseudo point en translation dans le référentiel à la vitesse à l'instant «» dans le cas où le système continu de matière est un fluide, le pseudo point est appelé « particule de fluide ».
  22. 22,0 et 22,1 Le volume «» de l'expansion spatiale dépendant a priori du temps sauf si le système continu de matière est indéformable et la dérivée temporelle, associée à un point fixé en effet elle résulte de l'application du théorème du moment cinétique au pseudo point centré en , devant se faire en figeant le point , on a remplacé la dérivée droite utilisée dans le théorème du moment cinétique vectoriel ou scalaire appliqué au pseudo point car ce dernier n’avait pas de raison d’être changé par une dérivée partielle à figé.
  23. Voir le paragraphe « vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur un système continu fermé de matière par rapport à un point origine A quelconque » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » pour l'établissement de la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures.
  24. 24,0 et 24,1 Propriété admise analogue de la propriété « toute somme discrète de dérivées temporelles de grandeurs est la dérivée temporelle de la somme discrète des grandeurs » en remplaçant somme discrète par somme continue
  25. 25,0 et 25,1 Après permutation de l'intégration volumique sur le point générique et de la dérivation temporelle et une fois l’intégration volumique réalisée, le point générique n’apparaît plus, il n'y a donc plus qu'une seule dépendance « le temps » et la dérivée partielle devient droite.
  26. 26,0 et 26,1 Ce Qu'il Fallait Justifier.
  27. Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. 28,0 et 28,1 En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système discret fermé de points matériels est lié à la vitesse du C.D.I. du système et à la masse de ce dernier par voir le paragraphe « lien entre la résultante cinétique et le vecteur vitesse du centre d'inertie d'un système de points matériels fermé » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ;
       par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique d'un système discret fermé de points matériels et le mouvement du C.D.I. du système voir la note « 32 » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » où on rappelle l'expression avec le facteur de Lorentz du point , alors que l'expression de la vitesse du C.D.I. du système s'exprime, comme en cinématique newtonienne, selon d'où aucun lien dans le cas général sauf dans le cas où le système de points matériels est en translation car tous les points matériels ont la même vitesse donc le même facteur de Lorentz d'où, après factorisation par ce dernier ainsi que par la vitesse commune .
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  29. 29,00 29,01 29,02 29,03 29,04 29,05 29,06 29,07 29,08 29,09 29,10 29,11 29,12 29,13 29,14 29,15 29,16 29,17 29,18 et 29,19 Centre D'Inertie.
  30. 30,0 et 30,1 Non applicable en dynamique relativiste car en cinétique relativiste est à revoir la note « 28 » plus haut dans le chapitre, le seul cas où est à étant celui d'un système discret de points matériels en translation, à l'exception de ce cas est toujours à .
  31. 31,0 et 31,1 Encore applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique
  32. 32,0 et 32,1 Voir le paragraphe « autres propriétés de la multiplication scalaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. Forme qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est
  34. Voir le paragraphe « définition du produit mixte de trois vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace (remarque) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  35. Voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  36. 36,0 et 36,1 Plan de dépendant de dans lequel l'axe se translate à l'instant .
  37. Du lien entre vitesse et abscisse angulaires instantanées , on tire que la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée définissant l'accélération angulaire instantanée s'écrit encore .
  38. On retrouve la forme symbolique admise dans le paragraphe « préliminaire, forme symbolique de tout théorème de la dynamique du point matériel » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
       dans laquelle la grandeur cinématique scalaire est « la vitesse angulaire instantanée autour de l'axe de rotation », la grandeur d'inertie associée « le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation » et la cause de variation de la vitesse angulaire instantanée « le moment résultant scalaire des forces appliquées par rapport à l'axe du mouvement circulaire ».
  39. Non applicable en dynamique relativiste car, d'une part, nous avons établi dans la note « 9 » plus haut dans ce chapitre la « non applicabilité de en cinétique relativiste », la relation applicable étant «» avec le facteur de Lorentz du point en mouvement circulaire autour de et
       Non applicable en dynamique relativiste car, d'autre part avec, sauf cas particulier de mouvement uniforme, d'où non transformable selon ni selon sauf mouvement uniforme en dynamique relativiste ;
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz » en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès pour ce dernier, transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en  ;
       Hendrik Lorentz partagea, en , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en  ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique.
  40. 40,0 40,1 et 40,2 Voir le paragraphe « moment résultant scalaire des forces intérieures s'exerçant sur un système discret fermé de points matériels par rapport à un axe Δ quelconque » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » pour l'établissement de la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures.
  41. Bien que le moment cinétique scalaire et la densité surfacique soient représentés par la même lettre, il n'y a pas d'ambiguïté car la 1re a toujours pour indice un axe alors que la 2nde n'a, a priori, pas d'indice
  42. Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  43. En effet le produit mixte de trois vecteurs est nul si ces vecteurs sont coplanaires voir le paragraphe « définition intrinsèque du produit mixte de trois vecteurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  44. 44,0 44,1 44,2 44,3 et 44,4 ne glisse pas sur .
  45. C'est-à-dire de direction passant par le même point fixe .
  46. On pourrait qualifier le système fermé de matière de « pseudo-isolé en rotation autour d'un point » dans la mesure où la compensation des moments vectoriels des forces extérieures entraîne la même propriété cinétique que leur absence, toutefois cette appellation n'est pas utilisée
  47. 47,0 et 47,1 Les moments scalaires individuels des forces extérieures étant alors tous nuls.
  48. On pourrait qualifier le système fermé de matière de « pseudo-isolé en rotation autour d'un axe » dans la mesure où la compensation des moments scalaires des forces extérieures entraîne la même propriété cinétique que leur absence, toutefois cette appellation n'est pas utilisée
  49. Voir le paragraphe « applicabilité du théorème du moment cinétique vectoriel à un système discret fermé de points matériels relativement au centre d'inertie (C.D.I.) G de ce dernier dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre.
  50. 50,0 et 50,1 Voir le paragraphe « énoncé du théorème du mouvement du C.D.I. (dynamique newtonienne) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » conséquence de l'utilisation du théorème de la résultante cinétique énoncé dans le même chapitre avec application de la relation valable en cinétique newtonienne  ;
       on rappelle que le théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de matière est a priori inapplicable en dynamique relativiste voir le paragraphe exposé « en complément, inapplicabilité du théorème du mouvement du centre d'inertie à un système fermé de points matériels dans le cadre de la dynamique relativiste » du même chap. de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) » car si le théorème de la résultante cinétique énoncé dans le même chapitre reste applicable en dynamique relativiste il n'y a plus, a priori, de relation entre et
  51. C'est-à-dire de direction passant par le centre d'inertie .
  52. Voir le paragraphe « applicabilité du théorème du moment cinétique scalaire à un système discret fermé de points matériels relativement à un axe ΔG passant par le centre d'inertie (C.D.I.) G du système en translation dans le référentiel d'étude galiléen » plus haut dans ce chapitre.