Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 2 (PCSI) : Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.
Rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquencesmodifier
Le champ de force newtonien[1] «» dans lequel est la coordonnée radiale du repérage sphérique de pôle le centre de force du point matériel [2] et le vecteur unitaire radial de la base sphérique de pôle le centre de force liée à [2] avec étant conservatif et « dérivant » du champ d’énergie potentielle newtonien[3] « avec choix de sa référence[4] à l'infini », on peut écrire « la conservation de l’énergie mécanique du point matériel uniquement soumis à ce champ de force newtonien »[5] étant l'énergie mécanique initiale
«» dans laquelle est le vecteur vitesse de à l'instant dans le référentiel d'étude.
En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel uniquement soumis à un champ de force newtonien[1] »[6] à savoir «» dans laquelle « est la constante des aires »[7]la « loi des aires » n'étant rien d'autre que la projection de la « conservation du moment cinétique vectoriel du point[8] divisé par sa masse » sur exprimée en polaire[9] soit «» et l'abscisse angulaire du point dans son repérage polaire[9] de pôle le centre de force du plan du mouvement de [10], En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » la constante des aires dépendant des C.I[11]. pouvant être évaluée, après avoir choisi comme « axe polaire le support de dirigé de vers » avec « et », selon «», En tenant compte de l'« applicabilité de la loi des aires au mouvement du point matériel M ( m ) uniquement soumis à un champ de force newtonien » on peut :
utiliser les 1ères variables de Binet[12] « et » définissant respectivement la 1re et 2ème variables de Binet[12]la définition de la 2ème variable de Binet[12] nécessitant introduites au paragraphe « définition des variables de Binet » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » ainsi que la formule de Binet[12] relative au carré de la vitesse[13], ce qui permet de réécrire la conservation de l'énergie mécanique selon «» ou
utiliser la notion d’énergie potentielle effective[14] «» la réécriture de la conservation de l’énergie mécanique selon «» ou encore selon «»[15].
Expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif, application au champ de gravitation solaire ou terrestremodifier
Rappel de l’expression de la vitesse linéaire d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoiremodifier
La « vitesse linéaire »[16] d'un point matériel en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1]le mouvement circulaire du point étant de centre le centre de force[17] a une expression établie au paragraphe « application au cas d'une force newtonienne attractive » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », expression dépendant du rayon du cercle donc de valeur constante égale à «»[18] ;
dans le cas d'un champ de force gravitationnel la constante « est égale à » dans laquelle « est la constante de gravitation universelle, étant la masse de la source de centre » et
dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «» dans laquelle « avec la permittivité diélectrique du vide[19], est la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre et la charge de étant de signe contraire à ».
Expression de l’énergie cinétique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoiremodifier
dans le cas d'un champ de force gravitationnel «» dans laquelle « est la constante de gravitation universelle, étant la masse de la source de centre » d'où «» et
dans le cas d’un champ de force coulombien attractif «» dans laquelle « avec la permittivité diélectrique du vide[19], étant la charge de l’objet à symétrie sphérique de charge de centre et la charge de étant de signe contraire à » d'où «».
Rappel de l’expression de l’énergie potentielle newtonienne d’un point matériel et expression de l’énergie mécanique d’un point matériel en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif en fonction du rayon de la trajectoiremodifier
l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1] selon «» soit finalement «»[15].
Remarques : On constate que «» c'est-à-dire l'énergie mécanique de en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1] est liée aux énergies cinétique «»[20] et potentielle «» du point selon
«» et «».
Remarques : La propriété de l'énergie mécanique d'un point matérieldans un champ de force newtonien attractif « avec »[1] à savoir «»[21] est caractéristique de la nature circulaire du mouvement de dans ce champ de force newtonien attractif caractérisation admise[22].
En complément, cas d’un champ de force coulombien attractifmodifier
Non explicité dans le programme de physique de P.C.S.I[23]. mais néanmoins traité car il ne présente aucune difficulté apparente.
Exemple : Atome d'hydrogène dans son état fondamental traité dans le cadre de la mécanique classique en considérant que l'électron gravite autour du noyau d'hydrogène en décrivant une trajectoire circulaire de rayon égal au rayon de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental à savoir «»[26] ; Exemple : l'énergie mécanique de l'état fondamental de l'électron en mouvement circulaire dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène ou encore l'énergie mécanique de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental s'écrit «» avec la charge élémentaire le noyau d'hydrogène et l'électron étant respectivement de charge et , la référence de l'énergie potentielle[4] de l'électron dans le champ de force coulombien attractif créé par le noyau d'hydrogène étant à l'infini, soit «» ou encore, en utilisant une unité d'énergie adaptée à la physique atomique à savoir l'« électronvolt de symbole », «»[27] soit «» correspondant effectivement à l’énergie de l’atome d’hydrogène dans son état fondamental[28].
Cas d’un champ de force newtonien gravitationnelmodifier
Exemples :Dans le champ de force gravitationnel solaire, «» où «» est la masse du Soleil (☉) de centre , nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel en mouvement circulaire de rayon «» dans le champ de force gravitationnel solaire «»[15], l’énergie potentielle étant «» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon «»[20].
Exemples :Dans le champ de force gravitationnel terrestre, «» où «» est la masse de la Terre (♁) de centre , nous en déduisons l’expression de l’énergie mécanique du point matériel en mouvement circulaire de rayon «» dans le champ de force gravitationnel terrestre «»[15], l’énergie potentielle étant «» et l’énergie cinétique pour un mouvement circulaire de rayon «»[20].
En complément, détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif ou répulsif en fonction de l’excentricitémodifier
Méthode adoptée : utiliser l’expression de l’énergie mécanique du point M dans un champ de force newtonien en variables de Binet simultanément à l’équation polaire de la trajectoire de M en fonction du paramètre « p » et de l’excentricité « e » de cette dernièremodifier
On rappelle la nature plane ou rectiligne du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien[1] «» dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans avec , On rappelle que l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien[1] «» s’écrit, en variables de Binet[12] dans le cas où la constante des aires du mouvement est , selon l'expression fournie au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser les deux 1ères variables de Binet) » plus haut dans ce chapitre «» étant l'abscisse angulaire de dans et On rappelle que l’équation polaire de la conique décrite par le point matériel dans un champ de force newtonien[1] «» est[32] :
dans le cas d’un champ de force newtonien attractif c'est-à-dire si « est » «» avec le paramètre de la conique, l'excentricité de cette dernière et l'angle que fait l'axe focal[33] avec l'axe polaire ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I[11]. «» et «» ou
dans le cas d’un champ de force newtonien répulsif c'est-à-dire si « est » «» avec le paramètre de la conique, l'excentricité de cette dernière et l'angle que fait l'axe focal[33] avec l'axe polaire ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I[11]. «» et «».
Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le pointmodifier
Reportant les expressions des 1re et 2ème variables de Binet[12] en fonction de l'abscisse angulaire du point dans le champ de force newtonien attractif « avec »[1]dans lequel sont les coordonnées polaires du repérage de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans c'est-à-dire « et »[34] dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien[1] en variables de Binet[12] »[35] «»[36] on obtient :
«»[36] dans laquelle on utilise «» ce qui permet de mettre «» en facteur dans l'ensemble des termes soit «»[36] ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades «»[36] et en faisant les simplifications évidentes,
Remarques : L’énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien attractif étant conservée doit impérativement être « indépendante de », si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ;
Remarques : « étant » «», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «»[36].
Détermination de l’énergie mécanique d’un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction de l’excentricité de la conique décrite par le pointmodifier
Reportant les expressions des 1re et 2ème variables de Binet[12] en fonction de l'abscisse angulaire du point dans le champ de force newtonien répulsif « avec »[1]dans lequel sont les coordonnées polaires du repérage de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans c'est-à-dire « et »[37] dans l'expression de l'« énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien[1] en variables de Binet[12] »[35] «»[36] on obtient :
«»[36] dans laquelle on utilise «» ce qui permet de mettre «» en facteur dans l'ensemble des termes soit «»[36] ou, en développant la somme élevée au carré dans le facteur entre accolades «»[36] et en faisant les simplifications évidentes,
Remarques : L’énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien répulsif étant conservée doit impérativement être « indépendante de », si nous ne trouvions pas ce résultat nous pourrions affirmer la présence d’une erreur ;
Remarques : « étant » «», nous pouvons réécrire l'énergie mécanique selon «»[36], c'est-à-dire la même expression que dans le cas d'un champ newtonien attractif.
En complément, vérification de la nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien répulsif compte-tenu du signe de l’énergie mécaniquemodifier
Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne répulsive (k > 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la trajectoire du point matériel dans un champ de force newtonien répulsif « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans est une branche d’hyperbole dont le centre de force est un des foyers, le foyer non contourné par la branche en question, nous devons donc vérifier, dans ce cas, que l’excentricité de la conique est effectivement à quelles que soient les C.I[11]. ;
Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : or l’énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien[1] s'écrivant selon «»[38] étant, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif correspondant à , la somme de deux termes «» vérifie «» et par suite,
Vérification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien répulsif : de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique que le point décrit[39] «»[36] laquelle est nécessairement «», nous en déduisons et, comme , par définition, est , «» C.Q.F.D[40]. d'où
la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif[1] est une branche d'hyperbole dont le centre de force est le foyer non contourné par la branche en question.
En complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l’énergie mécaniquemodifier
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : Nous avons établi au paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne attractive (k < 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la trajectoire du point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans est une conique ou branche de conique en ce qui concerne l’hyperbole dont le centre de force est le ou l'un des foyer(s) le foyer en ce qui concerne la parabole, l'un des foyers en ce qui concerne l'ellipse et l'hyperbole, celui intervenant dans ce dernier cas étant le foyer contourné par la branche d'hyperbole en question, Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : la nature de la conique dépendant du positionnement de l'excentricité «» de cette dernière relativement à «» : une ellipse si est à , une parabole si est à et une branche d'hyperbole si est à , la valeur de dépendant des C.I[11]. ;
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : or l’énergie mécanique du point dans un champ de force newtonien[1] s'écrivant selon «»[38] étant, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif correspondant à , la somme d'un 1er terme «» et d'un 2nd «» correspond à «» suivant la comparaison des valeurs absolues des deux termes et par suite,
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : de l'expression de son énergie mécanique en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point[41] «»[36] dans laquelle le 1er facteur étant «», nous en déduisons que
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : comme l'énergie mécanique de dans un champ de force newtonien est conservée,
«» est du signe de l'énergie mécanique initiale «»[38] de ce dernier, soit :
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : si « est », est à et comme , par définition, est , nous en déduisons «» c'est-à-dire que « la conique décrite par dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale négative est une ellipse »[42],
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : si « est à », est à et comme , par définition, est , nous en déduisons «» c'est-à-dire que « la conique décrite par dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale nulle est une parabole »[42],
Identification de la nature de la conique décrite par un point dans un champ de force newtonien attractif : si « est », est à et comme , par définition, est , nous en déduisons «» c'est-à-dire que « la branche de conique décrite par dans un champ de force newtonien attractif avec une énergie mécanique initiale positive est une branche d'hyperbole, celle contournant le centre de force »[42].
Remarques : Les conditions sur l'énergie mécanique initiale du point matériel dans un champ de force newtonien attractif[1] pour déterminer la nature de la conique suivie par peuvent se réécrire en conditions sur la norme du vecteur vitesse initiale de en fonction de la coordonnée radiale initiale de ce dernier selon : Remarques : pour «», la trajectoire est une ellipse dont est un des foyers, Remarques : pour «», la trajectoire est une parabole dont est le foyer et Remarques : pour «», la trajectoire est une branche d'hyperbole dont est l'un des deux foyers, celui contourné par la branche en question.
Remarques : «» est la vitesse minimale de lancement que doit avoir le point matériel en sa position de lancement distante de du centre de force pour que le point puisse s'arracher à l'attraction de centre car seules une parabole et une branche d'hyperbole ont une distance maximale d'éloignement infinie.
Expression de l’énergie mécanique d'un point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoiremodifier
La seule exigence du programme de physique de P.C.S.I. est de généraliser l'expression de l'« énergie mécanique d'un point en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction du rayon du cercle décrit par »[43] «»[15] au cas d’un mouvement elliptique de demi-grand axe sans exiger une démonstration, mais
Établissement de l’énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi grand axe de sa trajectoiremodifier
L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point [41] étant «» et
le demi-grand axe «» d'une ellipse étant lié au paramètre «» et à l'excentricité «» de cette dernière[44] selon «»,
on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe «» selon
«» à retenir.
Généralisation au cas d’un mouvement elliptique de l’expression de l’énergie mécanique d’un point M en mouvement circulaire dans un champ de force newtonien attractifmodifier
en admettant son applicabilité à l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans pour passer d'un mouvement circulaire de rayon à un mouvement elliptique de demi-grand axe d'où
de l'expression d'énergie mécanique de en mouvement circulaire de rayon dans un champ de force newtonien attractif[1] «»[15] on déduit
celle d'énergie mécanique de en mouvement elliptique de demi-grand axe dans un champ de force newtonien attractif[1] «» à retenir.
En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperboliquemodifier
La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel à mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif[1] en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique laquelle est à retenir en étant de signe opposé .
L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point [41] étant «» et
le demi axe focal «» d'une hyperbole étant lié au paramètre «» et à l'excentricité «» de cette dernière[46] selon «»,
on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel en mouvement hyperbolique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal «» selon
«» à retrouver si besoin est.
En complément, expression de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif en fonction du demi axe focal de la trajectoire hyperboliquemodifier
La détermination de l’expression de l’énergie mécanique d’un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif[1] en fonction du demi axe focal de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point n'est pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., elle constitue donc un complément et doit donc être retrouvée si besoin est toutefois son expression est assez facile à retenir car elle a la même valeur absolue que celle obtenue pour un mouvement elliptique à retenir dans un champ de force newtonien attractif pour la même valeur absolue de constante en étant de signe opposé .
L'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans en fonction de l'excentricité de la conique décrite par le point [39] étant «» et
le demi axe focal «» d'une hyperbole étant lié au paramètre «» et à l'excentricité «» de cette dernière[46] selon «»,
on en déduit aisément l'expression de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif[1] en fonction du demi axe focal «» de la branche d'hyperbole nécessairement suivie par le point selon
«» à retrouver si besoin est.
En complément, diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, états lié ou de diffusionmodifier
Le traitement du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif[1] par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit donc être envisagé comme un complément de cours mais
toutes les notions introduites étant, par ailleurs, au programme, ce traitement peut être considéré comme un bon exercice sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique à savoir refaire.
Rappel de l’expression de l’énergie potentielle effective d’un point dans un champ de force newtonien attractifmodifier
Ayant rappelé l'expression de l'énergie potentielle effective d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans dans le paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre[14] «» avec la constante des aires[7] du mouvement du point et
sachant que le paramètre de la conique décrite par le point s'exprime, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif , selon «»[47] «»,
l'expression de l'énergie potentielle effective de dans un champ de force newtonien attractif se réécrit, en fonction du paramètre de la conique suivie par , selon «» ou, en mettant «» on rappelle que est en facteur
«» à retrouver si besoin est.
Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractifmodifier
L'intégrale 1re énergétique d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans évoquée au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre, «»[15], se réécrit, dans le cas d'un champ de force newtonien attractif , selon
«»[15] dans laquelle «» est l'énergie potentielle effective de et «» est son énergie mécanique initiale dans le champ de force newtonien attractif .
Tracé du diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractifmodifier
Tracés superposés des diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif (k < 0), états lié et de diffusion
Diagramme d'énergie potentielle effectivevoir ci-contre en noir : tracé de la courbe d’énergie potentielle effective c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie potentielle effective en fonction du paramètre de position , d'équation «» quand , , quand , , s'annule pour ; Diagramme d'énergie potentielle effective son tracé nécessite le calcul de «», la recherche de son ou ses zéro(s) il n'y en a qu'un seul ainsi que son signe suivant les intervalles de variation du paramètre de position « sur , est » le 1er facteur étant et le 2nd alors que « sur , est » le 1er et le 2nd facteurs étant tous deux d'où « sur » puis « sur » ; Diagramme d'énergie potentielle effective la courbe que nous appellerons par la suite avec pour point générique admet une asymptote à l'axe des énergies «», coupe l'axe du paramètre de position en «», admet un minimum pour «» «» et une autre asymptote à l'axe du paramètre de position «».
Diagramme d'énergie mécaniquevoir ci-dessus en bleu, vert ou rouge : tracé de la courbe d’énergie mécanique c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie mécanique en fonction du paramètre de position ; Diagramme d'énergie mécanique il s'agit, dans chacun des trois cas considérés, d'une droite à l'axe du paramètre de position, compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien[1]dans la suite nous appellerons chacune de ces trois courbes et le point générique de la courbe considérée.
Discussion suivant la valeur d’énergie mécanique initiale du pointmodifier
Préliminaire : La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique ayant été exposée en détail dans l'un des paragraphes suivants du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » :
Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes adaptées au diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1]dans lequel définissant le paramètre de position de est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans :
Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes après avoir tracé les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique possibles de [48], Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes on recherche les éventuels « murs d'énergie potentielle effective » correspondant aux « valeurs du paramètre de position » pour lesquelles «»[15] c'est-à-dire «»[49] et Préliminaire : Ci-dessous les grandes lignes on en déduit les « zones interdites » correspondant aux « domaines de paramètre de position répondant à » c'est-à-dire les zones qui nécessiteraient «» dans ces zones la courbe d'énergie mécanique se trouve strictement au-dessous de la courbe d'énergie potentielle effective , correspondant à [50]
Discussion : Sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique du point dans le champ de force newtonien attractif[48], on observe que l'énergie mécanique initiale de «» avec vecteur vitesse initiale de et , étant la position initiale de est nécessairement supérieure à un minimum égal à « dans lequel avec » étant l'angle orienté entre et dans le plan du mouvement de .
Discussion : Si «» courbe d'énergie mécanique en rouge[48], le point matériel est dans un état lié à mouvement elliptiqueon peut affirmer que la trajectoire est une ellipse dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont est le un des foyer(s)[32] car on observe la présence de deux murs d’énergie potentielle effective, Discussion : celui de gauche définissant la distance minimale d’approche «» et Discussion : celui de droite définissant la distance maximale d’éloignement «», Discussion : celui de gauche correspondant tous deux à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «» ; Discussion : les distances minimale d'approche «» et maximale d'éloignement «» peuvent être déterminées algébriquement comme solutions de l'équation «» c'est-à-dire l'équation du 2ème degré de suivante «» de discriminant «» le 2ème facteur étant car d'où Discussion : l'existence de deux racines réelles distinctes toutes deux , le « produit des racines étant » et la « somme » ; Discussion : on en déduit «» ou, avec ,
Discussion : remarques : ayant établi auparavant que la trajectoire de dans ces C.I[11]. de lancement est une ellipse dont est un des foyers, d'équation polaire «» dans laquelle sont les coordonnées polaires du repérage de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement, le paramètre de l'ellipse, l'excentricité de cette dernière et l'angle que fait l'axe focal[33] avec l'axe polaire ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I[11].[32] nous en déduisons Discussion : remarques : «» d'où «» ou, après simplification évidente, «» ainsi que Discussion : remarques : «» d'où «» ou, après simplification évidente, la même expression de l'excentricité «» et Discussion : remarques : le demi-grand axe de l'ellipse grâce à «» «» ou, avec , «» en accord avec l'« établissement de l'énergie mécanique du point en mouvement elliptique dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi-grand axe de sa trajectoire » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «».
Discussion : Si «» courbe d'énergie mécanique en vert[48], le point matériel est dans un état de diffusion critique[52] car on observe la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective dont l'abscisse définit la distance minimale d'approche «» ; Discussion : ayant établi auparavant que la trajectoire de dans ces C.I[11]. de lancement est une parabole de foyer , d'équation polaire «» dans laquelle sont les coordonnées polaires du repérage de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement, le paramètre de la parabole et l'angle que fait l'axe focal[33] avec l'axe polaire cette dernière constante restant à déterminer par C.I[11].[32] nous vérifions que le sommet de la parabole décrite par a pour coordonnée radiale «» en accord avec la distance minimale d'approche «» précédemment trouvée par diagramme énergétique.
Discussion : Si «» courbe d'énergie mécanique en bleu[48], le point matériel est dans un état de diffusion à mouvement hyperboliqueon peut affirmer que la trajectoire est une branche d'hyperbole dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont est le un des foyer(s)[32] car on observe Discussion : d'une part la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective d'abscisse définissant la distance minimale d'approche «» laquelle correspond à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «» et Discussion : d'autre part l'existence d'une « vitesse radiale résiduelle à l'infini telle que »[53] ; Discussion : la distance minimale d'approche «» peut être déterminée algébriquement comme solution positive de l'équation «» c'est-à-dire l'équation du 2ème degré de suivante «» de discriminant «» le 2ème facteur étant car et d'où Discussion : l'existence de deux racines réelles distinctes dont une seule est , le « produit des racines étant » ; Discussion : on en déduit «»[54] ou, avec , «»[55] ; Discussion : remarques : ayant établi auparavant que la trajectoire de dans ces C.I[11]. de lancement est une branche d'hyperbole dont est un des foyers, celui contourné par la branche, d'équation polaire «» dans laquelle sont les coordonnées polaires du repérage de pôle le centre de force du point matériel [9] du plan contenant son mouvement, le paramètre de l'hyperbole, l'excentricité de cette dernière et l'angle que fait l'axe focal[33] avec l'axe polaire ces deux dernières constantes restant à déterminer par C.I[11].[32] nous en déduisons Discussion : remarques : «» d'où l'expression de l'excentricité de l'hyperbole «» ou, après simplification évidente, «» et Discussion : remarques : le demi axe focal de l'hyperbole grâce à «»[46] ou, en utilisant , «» ou, avec , «» en accord avec le « complément, expression de l'énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif en fonction du demi axe focal dans un mouvement hyperbolique » plus haut dans ce chapitre, à savoir, «».
En complément, diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsif, état de diffusionmodifier
Le traitement du mouvement d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif[1] par diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique n'étant pas explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. doit donc être envisagé comme un complément de cours mais
toutes les notions introduites étant, par ailleurs, au programme, ce traitement peut être considéré comme un bon exercice sur les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique à savoir refaire.
Rappel de l’expression de l’énergie potentielle effective d’un point dans un champ de force newtonien répulsifmodifier
Ayant rappelé l'expression de l'énergie potentielle effective d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans dans le paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre[14] «» avec la constante des aires[7] du mouvement du point et
sachant que le paramètre de la conique décrite par le point s'exprime, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif , selon «»[56] «»,
l'expression de l'énergie potentielle effective de dans un champ de force newtonien répulsif k > 0\big)\;</math> se réécrit, en fonction du paramètre de la conique suivie par , selon «» ou, en mettant «» en facteur
«» à retrouver si besoin est.
Réécriture de la conservation de l’énergie mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsifmodifier
L'intégrale 1re énergétique d'un point matériel dans un champ de force newtonien quelconque « avec »[1]dans lequel est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans évoquée au paragraphe « rappel : conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien, conséquences (utiliser la notion d'énergie potentielle effective) » plus haut dans ce chapitre, «»[15], se réécrit, dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif , selon
«»[15] dans laquelle «» est l'énergie potentielle effective de et «» est son énergie mécanique initiale dans le champ de force newtonien répulsif .
Tracé du diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien répulsifmodifier
Tracé du diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif (k > 0), état de diffusion
Diagramme d'énergie potentielle effectivevoir ci-contre en noir : tracé de la courbe d’énergie potentielle effective c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie potentielle effective en fonction du paramètre de position , d'équation «» quand , , quand , , ne s'annule jamais ; Diagramme d'énergie potentielle effective son tracé nécessite le calcul de «», la recherche de son ou ses zéro(s) il n'y en a aucun ainsi que son signe suivant les intervalles de variation du paramètre de position « sur , est » d'où « sur » ; Diagramme d'énergie potentielle effective la courbe que nous appellerons par la suite avec pour point générique admet une asymptote à l'axe des énergies «» et une autre asymptote à l'axe du paramètre de position «» en restant au-dessus de cette dernière.
Diagramme d'énergie mécaniquevoir ci-contre en rouge : tracé de la courbe d’énergie mécanique c'est-à-dire la courbe de variation de l'énergie mécanique en fonction du paramètre de position ; Diagramme d'énergie mécanique il s'agit d'une droite à l'axe du paramètre de position, compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique du point matériel dans un champ de force newtonien[1]dans la suite nous appellerons cette courbe et le point générique de cette dernière.
Préliminaire : La méthode d'étude du mouvement d'un point à un paramètre de position par diagramme d’énergies potentielle et mécanique ayant été exposée en détail dans l'un des paragraphes du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » rappelés plus haut dans ce chapitre au paragraphe « diagramme d’énergies potentielle effective et mécanique d'un point dans un champ de force newtonien attractif, états lié ou de diffusion, discussion suivant la valeur d'énergie mécanique initiale du point (préliminaire) », nous précisons ci-dessous Préliminaire : les grandes lignes adaptées au diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif « avec »[1]dans lequel définissant le paramètre de position de est la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point matériel [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans :
Préliminaire : les grandes lignes après avoir tracé les diagrammes d'énergies potentielle effective et mécanique possibles de [57], Préliminaire : les grandes lignes on recherche les éventuels « murs d'énergie potentielle effective » correspondant aux « valeurs du paramètre de position » telles que «»[15]c'est-à-dire «»[49] et Préliminaire : les grandes lignes on en déduit les « zones interdites » correspondant aux « domaines de paramètre de position répondant à » c'est-à-dire les zones qui nécessiteraient «» dans ces zones la courbe d'énergie mécanique se trouve strictement au-dessous de la courbe d'énergie potentielle effective , correspondant à [50]
Commentaire du diagramme : L'énergie mécanique initiale du point dans le champ de force newtonien répulsif «» avec vecteur vitesse initiale de et , étant la position initiale de étant la somme de deux termes « est nécessairement » ce qu'on vérifie effectivement sur le diagramme d'énergies potentielle effective et mécanique du point dans le champ de force newtonien répulsif[57] ;
Commentaire du diagramme : sur ce diagramme on constate que le point matériel est dans un état de diffusion à mouvement hyperboliqueon peut affirmer que la trajectoire est une branche d'hyperbole dans la mesure où il a été démontré auparavant que c'est une conique dont est le un des foyer(s)[32] car on observe Commentaire du diagramme : d'une part la présence d'un seul mur d'énergie potentielle effective d'abscisse définissant la distance minimale d'approche «» laquelle correspond à une fraction radiale d'énergie cinétique nulle c'est-à-dire une vitesse radiale «» et Commentaire du diagramme : d'autre part l'existence d'une « vitesse radiale résiduelle à l'infini telle que »[53] ; Commentaire du diagramme : la distance minimale d'approche «» peut être déterminée algébriquement comme solution positive de l'équation «» c'est-à-dire l'équation du 2ème degré de suivante «» de discriminant «» le 2ème facteur étant car et d'où l'existence de deux racines réelles distinctes dont une seule est , le « produit des racines étant » ; Commentaire du diagramme : on en déduit «» ou, en introduisant l'« énergie potentielle effective pour la valeur de paramètre de position particulière égale à » , «» soit
En exercice, détermination de la loi horaire donnant l’abscisse angulaire « θ » d'un point M lors de la diffusion critique de ce dernier dans un champ de force newtonien attractifmodifier
La détermination de la loi horaire donnant l’abscisse angulaire «» d'un point matériel lors de la diffusion critique de ce dernier dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1] en fonction du temps étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans est un exercice très classique à savoir traité, la diffusion critique[52] correspondant à une trajectoire parabolique de dans le plan de son mouvement, d'équation polaire «» dans laquelle est le paramètre de la parabole et l'angle que fait l'axe focal[33] avec l'axe polaire cette dernière constante restant à déterminer par C.I[11].[32] ;
on exprime « la vitesse angulaire de » en fonction de «, la distance le séparant du foyer » par utilisation de la loi des aires «» soit «» et,
en utilisant l’équation polaire de la trajectoire de rappelée ci-dessus «», on en déduit « la vitesse angulaire de » en fonction de « l'abscisse angulaire du point » soit «» ou encore, en passant en angle moitié, «»[58] c'est-à-dire une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en dont la méthode d'intégration consiste à séparer les variables[59] ;
on intègre donc «» en séparant les variables selon «» et, on intègre donc en remarquant que «», on peut réécrire l’équation à intégrer selon
«» ou «» soit,
en intégrant entre « et » dans le membre de gauche et entre « et » dans celui de droite, «» ou
«»
définissant la loi horaire de l'abscisse angulaire du point en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif sous la forme «»[60].
Remarque : On peut transformer le facteur «» homogène à un temps du 2ème membre de la « loi horaire de l'abscisse angulaire du point en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif écrite sous la forme » en utilisant la coordonnée polaire du sommet et la vitesse instantanée algébrisée correspondante «»[61] déterminée par «» d'où « et » ce qui permet de réécrire la « loi horaire de l'abscisse angulaire du point en mouvement parabolique dans un champ de force newtonien attractif » selon
«».
En exercice, étude de la diffusion d’un point M lancé de l’infini dans un champ de force newtonien attractif, exemple de diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planètemodifier
Il s'agit ici de présenter l'étude de la diffusion non critique[53] d’un point matériel quand ce dernier est lancé de l'infini avec un vecteur vitesse initiale non nul C.I[11]. particulières mais les plus usuelles lors d'une diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien attractif « dans lequel est »[1] étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans ;
cette étude n'étant pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme « diffusion non critique d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif quelconque » même si son cas particulier « diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planète » doit être considéré comme une information indispensable à connaître pour comprendre comment les humains peuvent explorer le Système solaire à moindre coût est très classique, elle est donc traitée en exercice à savoir refaire.
Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel dans un champ de force newtonien[1] de centre et le choix du repère cartésien dans le plan du mouvement de
Le point matériel est lancé dans un champ de force newtonien attractif « dans lequel est »[1], de centre de force , avec
une « distance initiale , entre et le centre attractif , » et
un « vecteur vitesse initiale connu par sa norme ainsi que sa direction repérée par son paramètre d’impact c'est-à-dire la distance orthogonale entre son support et le centre attractif»[62]voir le schéma ci-contre.
Remarque : On vérifie qu'il s'agit d'une diffusion non critique[53] car l'« énergie mécanique initiale est ».
Choix de l'axe polaire : L’axe polaire «» est choisi de même direction et de même sens que «» compte-tenu de la nature de la trajectoire suivie par le point lors de sa diffusion non critique[53] c'est-à-dire une branche hyperbolique dont est un des foyers, celui contourné par la branche[62], « le support deest une des asymptotes de la branche hyperbolique », ceci correspond alors à « pour » ;
Choix de l'axe polaire : conséquence : la base polaire en la position initiale étant «», la « vitesse orthoradiale initiale est » et comme la « coordonnée radiale de est », la détermination de la constante des aires par «» correspond à une forme indéterminée «» il est donc nécessaire de procéder autrement pour l’évaluer.
On rappelle la « définition de la constante des aires »[63] dans laquelle « est le vecteur moment cinétique initial du point matériel par rapport à » et « le vecteur unitaire au plan du mouvement de orientant les angles de ce dernier » «» ou encore
en levant l'indétermination due à selon «»[64] soit, compte-tenu de la nullité du 2ème terme «les deux vecteurs étant colinéaires», «» et
en explicitant les vecteurs du produit vectoriel par leurs composantes cartésiennes «» soit finalement la valeur de la constante des aires dans ces C.I[11]. de lancement :
Détermination des grandeurs caractéristiques de la trajectoiremodifier
On rappelle que la trajectoire d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif « avec »[1], lancé avec des C.I[11]. de diffusion non critique[53], est une branche d'hyperbole dont le centre de force est un des foyers, celui contourné par la branche en question[62] ; ci-dessous on précise quelques grandeurs caractéristiques de cette trajectoire.
Le paramètre de la branche d’hyperbole suivie par lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif étant égal à «» se réécrit, en utilisant l'évaluation de la constante des aires à savoir «», sous la forme
Demi axe non focal de la branche d'hyperbolemodifier
Sachant que le « support du vecteur vitesse initiale en la position initiale située à l'infini du centre de force est une asymptote de la branche d'hyperbole suivie par lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif », « étant un des foyers de l'hyperbole en question »,
Sachant que le demi axe non focal d'une hyperbole est égal à la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes[66] et
Sachant que le « paramètre d'impact de la diffusion non critique[53] de dans un champ de force newtonien[1] attractif » est la « distance orthogonale entre le support de et le centre attractif »,
nous en déduisons la valeur du demi axe non focal de la branche d'hyperbole suivie par lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif,
L'« excentricité d'une hyperbole étant définie par » avec « la distance séparant le centre de l'hyperbole[67]ou point d'intersection des asymptotes à l'un ou l'autre de ses deux foyers »[68] et
la « distance séparant le centre de l'hyperbole[67] à l'un quelconque de ses deux foyers » étant liée aux « demi axes focal et non focal » par «»[69] «» d'où
par définition de l'excentricité d'une hyperbole «» ;
de la détermination du demi axe focal «»[70] et non focal «»[71] on en déduit l'expression cherchée de l'excentricité de la branche d'hyperbole «» soit
«».
Remarques : On peut aussi utiliser le « lien existant entre le paramètre d'une hyperbole, son demi axe focal et son excentricité » à savoir «»[46] l'« excentricité en fonction du paramètre et du demi axe focal » c'est-à-dire «» puis
Remarques : On peut aussi utiliser les évaluations de «»[72] et de «»[70] que l'on injecte dans «», ce qui donne «» soit,
Remarques : après simplification évidente, «» ;
Remarques : on peut utiliser la définition du paramètre d'une hyperbole «»[73] pour en déduire le demi axe non focal en fonction du demi axe focal et du paramètre soit «» puis
Remarques : on peut utiliser la connaissance de «»[72] et de «»[70] pour vérifier l'expression de «» par réinjection dans «» soit,
Remarques : après simplification évidente, «».
Angle d’inclinaison « β » des asymptotes avec l’axe focalmodifier
Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel dans un champ de force newtonien[1] attractif de centre , le choix du repère cartésien et les principales grandeurs caractéristiques de la trajectoire hyperbolique de
De la détermination du demi axe non focal «»[71] et du demi axe focal «»[70] de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif , on peut en déduire l’« angle d’inclinaison non algébrisé des asymptotes sur l’axe focal[33] » dont le positionnement reste à expliciter par «[74] »[73] soit «[74] » et finalement
On constate sur le schéma du paragraphe « angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal » ci-dessus que l'« angle polaire algébrisé de l'axe focal[33] de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif » est égal à l'« angle d’inclinaison non algébrisé de la 1re asymptote le support de sur l’axe focal[33] » soit
Remarque : On peut aussi pour déterminer l'« angle polaire algébrisé de l'axe focal[33] de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif » utiliser les C.I[11]. en variables de Binet[12] à l'aide de l'équation polaire de la trajectoire de «»[47] dont on déduit les deux 1ères variables de Binet[12] « et »[75], les C.I[11]. se réécrivant en variables de Binet[12] et en utilisant l'expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de «»[76] selon en effet car d'où
Remarque : «» « ou » soit finalement «» ainsi que
Remarque : «[77] ou » « ou » soit finalement «» et,
Remarque : en regroupant les deux conséquences des signes de et de , on en déduit «» ce qui permet d'inverser «»[72] ou «» soit finalement
Remarque : on notera toutefois que cette façon de déterminer dans le cas de la diffusion non critique[53] d'un point lancé de l'infini dans un champ de force newtonien[1] attractif est à éviter car elle est nettement plus calculatoire que celle consistant à utiliser les expressions précédemment trouvées des demi axes focal et non focal
La « distance minimale d'approche du point lancé de l'infini sur la branche d'hyperbole suivie par ce point lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif » étant la « coordonnée radiale du sommet de cette branche » se détermine, à l'aide de l'équation polaire de cette dernière «»[47], selon «» puis
l'injection, dans «», des expressions du « paramètre »[72] et de l'« excentricité »[78] de la branche d'hyperbole suivie par le point lors de sa diffusion non critique[53] dans un champ de force newtonien[1] attractif nous conduit à «» soit, en multipliant haut et bas par «»,
Angle de diffusion lors de la diffusion d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien
L'angle de diffusion d'un point matériel lancé de l'infini avec un vecteur vitesse dans un champ de force newtonien[1] est l'angle orienté dont tourne dans le plan de son mouvement lors de sa diffusion hyperbolique complète par le centre de force soit
«» où est le vecteur vitesse de à la sortie de l'« espace champ de force newtonien ».
Remarque : Le support de passant par la position initiale située à l'infini du centre de force définissant la 1re asymptote de la branche hyperbolique suivie par et
Remarque : celui de passant par la position finale également située à l'infini du centre de force , la 2ème asymptote de la branche hyperbolique suivie par ,
Remarque : l'angle de diffusion de lancé de l'infini dans un champ de force newtonien[1] s'écrit encore «».
d'autre part, l'axe focal étant un axe d'antisymétrie de la branche d'hyperbole orientée dans le sens du mouvement de l'« angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal[79] est le même quel que soit l'asymptote c'est-à-dire égal à » d'où «» soit,
Évaluation : après regroupement des deux informations, l'expression de l'angle de diffusion selon «» ou, Évaluation : en reportant l'évaluation de «»[80] selon «[74] » étant , la réécriture de l'angle de diffusion selon
Évaluation : on peut trouver une expression plus compacte de l'angle de diffusion en remarquant que «» «[81] » et par suite, «» peut être mis sous forme d’un «» à partir de «» étant d'où, en inversant, «[74] » étant soit finalement
Exemple de la diffusion d’une sonde solaire par le champ de gravitation d’une planètemodifier
La technique de la diffusion d'une sonde solaire par le champ de gravitation d'une planète du Système solaire consistant à utiliser volontairement l’attraction d’un corps céleste la planète en question pour modifier en direction et en vitesse la trajectoire d’un engin spatial est appelée « assistance gravitationnelle (ou appui gravitationnel) », l’objectif étant d’économiser le carburant qui aurait dû être consommé par le moteur-fusée du véhicule pour obtenir le même résultat ;
toutes les sondes en direction de corps célestes éloignés de la Terre (♁) ont recours à cette méthode.
Exemple « Voyager 2 » : « Voyager 2 » a été lancée en août , elle a fait le tour des planètes géantes en restant dans le plan de l’« écliptique »[82] et a reçu l’appui gravitationnel de « Jupiter (♃) en juillet », de « Saturne (♄) en août », d’« Uranus (♅) en janvier » et de « Neptune (♆) en août »
Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), la sonde est sortie du plan de l’« écliptique »[82] avec un angle de , la plateforme portant une partie des instruments ayant alors été désactivée avec cependant certains instruments restés fonctionnels pour permettre de continuer de recueillir des données sur l’environnement, Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), « Voyager 2 » a ensuite franchi les limites d’influence principale de l’« héliosphère »[83] en « août à [84] du Soleil (☉) » et Exemple « Voyager 2 » : Après le survol de Neptune (♆), « Voyager 2 » a quitté définitivement le Système solaire magnétique limitée par l’« héliopause » en « novembre », en se dirigeant vers les constellations du Sagittaire et du Paon ; Exemple « Voyager 2 » : en « mai » la sonde était approximativement « à [84] du Soleil (☉) » et dans le futur, elle devrait passer à une « distance de années-lumière[85] de l’étoile Ross 248 située dans la constellation d’Andromède » dans approximativement
Exemple « Voyager 2 » : À chaque appui gravitationnel la sonde a vu sa direction changer mais aussi sa vitesse héliocentrique varier :
Schéma expliquant l'accélération d'une sonde solaire dans le référentiel de Copernic[86] par appui gravitationnel sur Jupiter (♃)
Exemple « Voyager 2 » : ci-contre le schéma explicatif de la diffusion de la sonde par Jupiter (♃) la constante intervenant dans l'expression de la force newtonienne attractive que Jupiter (♃) exerce sur la sonde étant égale à «» dans laquelle « est la constante de gravitation universelle, la masse de Jupiter (♃)[87] et la masse de la sonde[88] », le vecteur vitesse de celle-ci dans le référentiel « jovocentrique »[89] restant de même norme avant ou après diffusion mais sa direction changeant en marron sur le schéma et son vecteur vitesse dans le référentiel de Copernic[86]en rouge sur le schéma étant la somme de son vecteur vitesse dans le référentiel « jovocentrique »[89]en marron sur le schéma et du vecteur vitesse de Jupiter (♃) dans le référentiel de Copernic[86]lequel pouvant être estimé inchangé est représenté en bleu sur le schéma la composition vectorielle en rouge sur le schéma engendre une modification en norme ; Exemple « Voyager 2 » : ci-contre cette modification correspond à une augmentation de vitesse de la sonde dans le référentiel de Copernic[86] car la projection du vecteur vitesse héliocentrique de Jupiter en bleu sur le schéma est de sens contraire au vecteur vitesse jovocentrique de la sonde en marron sur le schéma avant diffusion et de même sens après diffusion ; Exemple « Voyager 2 » : il serait possible d'obtenir une diminution de vitesse de la sonde dans le référentiel de Copernic[86] à condition que la projection du vecteur vitesse héliocentrique de Jupiter soit de même sens que le vecteur vitesse jovocentrique de la sonde avant diffusion et de sens contraire après diffusion
Exemple « Voyager 2 » : Historiquement « Voyager 2 » a subi, dans le référentiel de Copernic[86],
Exemple « Voyager 2 » : à l'heure actuelle « Voyager 2 » s’éloigne à une vitesse héliocentrique d’une quinzaine de
En exercice, étude d’une diffusion d’un point M lancé de l’infini dans un champ de force newtonien répulsif, exemple de la diffusion de Rutherfordmodifier
Il s'agit ici de présenter l'étude de la diffusion d’un point matériel quand ce dernier est lancé de l'infini avec un vecteur vitesse initiale non nul C.I[11]. particulières dans un champ de force newtonien répulsif « dans lequel est »[1] étant la coordonnée radiale du repérage polaire de pôle le centre de force du point [9] dans le plan de son mouvement et le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle le centre de force liée à [9] dans ;
cette étude n'étant pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. sous la forme « diffusion d'un point matériel dans un champ de force newtonien répulsif quelconque » bien que son cas particulier « diffusion de Rutherford[90] d'un hélion[91] par le champ électrostatique d’un noyau » soit, quant à lui, précisé dans le programme comme étude documentaire[92] est très classique, elle est donc traitée en exercice à savoir refaire.
Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel dans un champ de force newtonien[1] de centre et le choix du repère cartésien dans le plan du mouvement de
Le point matériel est lancé dans un champ de force newtonien répulsif « dans lequel est »[1], de centre de force , avec
une « distance initiale , entre et le centre répulsif , » et
un « vecteur vitesse initiale connu par sa norme ainsi que sa direction repérée par son paramètre d’impact c'est-à-dire la distance orthogonale entre son support et le centre répulsif»[93]voir le schéma ci-contre.
Remarque : On vérifie que l'« énergie mécanique initiale est ».
Choix de l'axe polaire : L’axe polaire «» est choisi de même direction et de même sens que «» compte-tenu de la nature de la trajectoire suivie par le point lors de sa diffusion c'est-à-dire une branche hyperbolique dont est un des foyers, celui non contourné par la branche[93], « le support deest une des asymptotes de la branche hyperbolique », ceci correspond alors à « pour » ;
Choix de l'axe polaire : conséquence : la base polaire en la position initiale étant «», la « vitesse orthoradiale initiale est » et comme la « coordonnée radiale de est », la détermination de la constante des aires par «» correspond à une forme indéterminée «» il est donc nécessaire de procéder autrement pour l’évaluer.
Identique à celle exposée au paragraphe « évaluation de la constante des aires (dans le cas d'une diffusion non critique d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien attractif) » plus haut dans ce chapitre, on rappelle le résultat
«» à savoir retrouver.
Détermination des grandeurs caractéristiques de la trajectoiremodifier
On rappelle que la trajectoire d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien répulsif « avec »[1] est une branche d'hyperbole dont le centre de force est un des foyers, celui non contourné par la branche en question[93] ; ci-dessous on précise quelques grandeurs caractéristiques de cette trajectoire.
Le paramètre de la branche d’hyperbole suivie par lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif étant égal à «» se réécrit, en utilisant l'évaluation de la constante des aires à savoir «», sous la forme
Demi axe non focal de la branche d'hyperbolemodifier
Sachant que le « support du vecteur vitesse initiale en la position initiale située à l'infini du centre de force est une asymptote de la branche d'hyperbole suivie par lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif », « étant un des foyers de l'hyperbole en question »,
Sachant que le demi axe non focal d'une hyperbole est égal à la distance orthogonale séparant les foyers des asymptotes[66] et
Sachant que le « paramètre d'impact de la diffusion de dans un champ de force newtonien[1] répulsif » est la « distance orthogonale entre le support de et le centre répulsif »,
nous en déduisons la valeur du demi axe non focal de la branche d'hyperbole suivie par lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif,
L'« excentricité d'une hyperbole étant définie par » avec « la distance séparant le centre de l'hyperbole[67]ou point d'intersection des asymptotes à l'un ou l'autre de ses deux foyers »[68] et
la « distance séparant le centre de l'hyperbole[67] à l'un qulconque de ses deux foyers » étant liée aux « demi axes focal et non focal » par «»[69] «» d'où
par définition de l'excentricité d'une hyperbole «» ;
de la détermination du demi axe focal «»[94] et non focal «»[95] on en déduit l'expression cherchée de l'excentricité de la branche d'hyperbole «» soit
«».
Remarques : On peut aussi utiliser le « lien existant entre le paramètre d'une hyperbole, son demi axe focal et son excentricité » à savoir «»[46] l'« excentricité en fonction du paramètre et du demi axe focal » c'est-à-dire «» puis
Remarques : On peut aussi utiliser les évaluations de «»[96] et de «»[94] que l'on injecte dans «», ce qui donne «» soit,
Remarques : après simplification évidente, «» ;
Remarques : on peut utiliser la définition du paramètre d'une hyperbole «»[73] pour en déduire le demi axe non focal en fonction du demi axe focal et du paramètre soit «» puis
Remarques : on peut utiliser la connaissance de «»[96] et de «»[94] pour vérifier l'expression de «» par réinjection dans «» soit,
Remarques : après simplification évidente, «».
Angle d’inclinaison « β » des asymptotes avec l’axe focalmodifier
Schéma précisant les conditions de lancement d'un point matériel dans un champ de force newtonien[1] répulsif de centre , le choix du repère cartésien et les principales grandeurs caractéristiques de la trajectoire hyperbolique de
De la détermination du demi axe non focal «»[95] et du demi axe focal «»[94] de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif , on peut en déduire l’« angle d’inclinaison non algébrisé des asymptotes sur l’axe focal[33] » dont le positionnement reste à expliciter par «[74] »[73] soit «[74] » et finalement
On constate sur le schéma du paragraphe « angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » ci-dessus que l'« angle polaire algébrisé de l'axe focal[33] de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif » est positif et égal au « supplément de l’angle d’inclinaison non algébrisé de la 1re asymptote le support de sur l’axe focal[33] » soit
Remarque : On peut aussi pour déterminer l'« angle polaire algébrisé de l'axe focal[33] de la branche d'hyperbole suivie par le point matériel lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif » utiliser les C.I[11]. en variables de Binet[12] à l'aide de l'équation polaire de la trajectoire de «»[56] dont on déduit les deux 1ères variables de Binet[12] « et »[75], les C.I[11]. se réécrivant en variables de Binet[12] et en utilisant l'expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de «»[76] selon en effet car d'où
Remarque : «» « ou » soit finalement «» ainsi que
Remarque : «[97] ou » « ou » soit finalement «» et,
Remarque : en regroupant les deux conséquences des signes de et de , on en déduit «» ce qui n'autorise pas l'inversion de «»[96] ou «» [74] soit finalement, étant de même tangente mais ,
Remarque : on notera toutefois que cette façon de déterminer dans le cas de la diffusion d'un point lancé de l'infini dans un champ de force newtonien[1] répulsif est à éviter car elle est nettement plus calculatoire que celle consistant à utiliser les expressions précédemment trouvées des demi axes focal et non focal
La « distance minimale d'approche du point lancé de l'infini sur la branche d'hyperbole suivie par ce point lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif » étant la « coordonnée radiale du sommet de cette branche » se détermine, à l'aide de l'équation polaire de cette dernière «»[56], selon «» puis
l'injection, dans «», des expressions du « paramètre »[96] et de l'« excentricité »[98] de la branche d'hyperbole suivie par le point lors de sa diffusion dans un champ de force newtonien[1] répulsif nous conduit à «» soit, en multipliant haut et bas par «»,
La définition de l'angle de diffusion d'un point matériel lancé de l'infini dans un champ de force newtonien ne dépend pas du caractère répulsif ou attractif du champ de force, elle est donc celle donnée au paragraphe « angle de diffusion (lors de la diffusion dans un champ de force newtonien attractif) » plus haut dans ce chapitre soit mathématiquement
«» où est le vecteur vitesse de à la sortie de l'« espace champ de force newtonien », étant le vecteur vitesse de à l'entrée de cet espace.
Remarque : Le support de passant par la position initiale située à l'infini du centre de force définissant la 1re asymptote de la branche hyperbolique suivie par et
Remarque : celui de passant par la position finale également située à l'infini du centre de force , la 2ème asymptote de la branche hyperbolique suivie par ,
Remarque : l'angle de diffusion de lancé de l'infini dans un champ de force newtonien[1] répulsif s'écrit encore «».
Évaluation : Dans le cas d'un champ de force newtonien[1] répulsif on constate, sur le schéma du paragraphe « angle d'inclinaison “ β ” des asymptotes avec l'axe focal (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre,
d'une part, que l'« angle de diffusion est »,
d'autre part, l'axe focal étant un axe d'antisymétrie de la branche d'hyperbole orientée dans le sens du mouvement de l'« angle d'inclinaison des asymptotes sur l'axe focal[79] est le même quel que soit l'asymptote c'est-à-dire égal à » d'où «» soit,
Évaluation : après regroupement des deux informations, l'expression de l'angle de diffusion selon «» ou, Évaluation : en reportant l'évaluation de «»[99] selon «[74] », la réécriture de l'angle de diffusion selon
Évaluation : on peut trouver une expression plus compacte de l'angle de diffusion en remarquant que «» «[100] » et par suite, «» peut être mis sous forme d’un «» à partir de «» d'où, en inversant, «[74] » soit finalement
Évaluation : Remarque : Le lien entre les deux expressions de peut se déduire de la formule «»[74]trop marginale pour être retenue ;
Évaluation : Remarque : en effet, d'une part, les deux expressions, pour , ont le même domaine de valeurs «» compte-tenu de «» et
Évaluation : Remarque : en effet, d'autre part, «» «» s'inversant en «» «» , dans la mesure où «», l'inversion de «» en «» et par suite «» C.Q.F.D[101]..
Exemple de la diffusion de Rutherford d’une particule « α » par un noyau d'« Au »modifier
La diffusion d'un faisceau monocinétique de particules par une feuille d' disposée perpendiculairement au faisceau incident de projectiles a mis en évidence l’existence d’un noyau chargé positivement de « très petite dimension »[102] au centre d’un atome d’ ;
cette expérience connue sous le nom d'« expérience de Rutherford[90] » a été réalisée par « Hans Geiger »[103] et « Ernest Marsden »[104] sous la direction de « Ernest Rutherford »[90] en ; les résultats obtenus à cette époque étaient si étonnants qu’il fallut à E.Rutherford[90] deux années pour en comprendre les conséquences logiques et formuler une théorie satisfaisante publiée en [105].
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion[91] sur un noyau d'or : L'angle de diffusion de la « particule » par le « noyau d’» centré en le centre de force newtonienne[1] répulsive agissant sur la particule en fonction du « paramètre d’impact de la particule projectile relativement à la particule cible noyau d'» est
«[74] »[106] avec «» la norme du vecteur vitesse initiale de la particule , «»[107] étant la masse de cette dernière,
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : notant « l'énergie cinétique de lancement de la particule [108] égale à l'énergie mécanique initiale de la particule projectile », l'angle de diffusion de la « particule » par le « noyau d’» peut être réécrit selon «» soit finalement
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : historiquement l'énergie cinétique du faisceau monocinétique incident de particules était «[109] » , dans l'hypothèse où la particule a une énergie cinétique newtonienne, [110] à , ce qui valide l'hypothèse d'une expression newtonienne de l'énergie cinétique de la particule , nous en déduisons l'expression numérique de l'« angle de diffusion de la particule par le noyau d’ » en fonction du « paramètre d’impact de la particule projectile relativement à la particule cible noyau d'» à partir de l'expression algébrique de cet angle de diffusion «[74] » ou «[27],[74] » soit «[74] » ou encore, en exprimant en fermis[111] «[74] » ou, en exprimant l'angle de diffusion en degrés, «[74] » soit
Tracé de l'angle de diffusion coulombienne de la particule sur un noyau d' en fonction du paramètre d'impact de la 1re sur le 2nd dans l'expérience de Rutherford[90]
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : voir ci-contre le tracé de la courbe de diffusion coulombienne c'est-à-dire de l'angle de diffusion «» de la particule projectile «» sur la particule cible « noyau d'» en fonction du paramètre d’impact «» de la particule projectile sur la particule cible en tenant compte exclusivement de l'interaction coulombienne entre les deux et en se plaçant dans le cadre de la cinétique newtonienne ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : avec une énergie cinétique initiale modérée de la particule on constate un accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion courbe ci-contre et celui effectué avec des résultats expérimentaux non fourni.
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : La distance minimale d'approche d'une particule d'énergie cinétique initiale «» lors de sa diffusion coulombienne sur un noyau d' dépend du paramètre d'impact «» de la particule projectile sur la particule cible selon «»[112] dans laquelle «» avec «, étant la permittivité diélectrique du vide[19], le nombre de charges du noyau d', celui de la particule et la charge élémentaire » ; en remplaçant «» par «» encore égale à la distance minimale d'approche se réécrit «» ou, en simplifiant après report de ,
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : numériquement, avec «[109] », la distance minimale d'approche d'une particule d'énergie cinétique initiale «» lors de sa diffusion coulombienne sur un noyau d' se calcule en fonction du paramètre d'impact «» de la particule projectile sur la particule cible selon «» ou encore, en exprimant et en fermis[111],
Tracé de la distance minimale d'approche coulombienne de la particule sur un noyau d' en fonction du paramètre d'impact de la 1re sur le 2nd dans l'expérience de Rutherford[90]
«» ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : voir ci-contre le tracé de la courbe de la distance minimale d'approche «» de la particule projectile «» sur la particule cible « noyau d'» en fonction du paramètre d’impact «» de la particule projectile sur la particule cible en tenant compte exclusivement de l'interaction coulombienne entre les deux et en se plaçant dans le cadre de la cinétique newtonienne ; sur la courbe ci-contre on peut vérifier graphiquement que la distance minimale d’approche « quand » avec « une limite finie non nulle quand »[113] ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : avec une énergie cinétique initiale modérée de la particule on constate un accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche en fonction du paramètre d’impact courbe ci-contre et celui effectué avec des résultats expérimentaux[114]non fournidans la mesure où il y a accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec les résultats expérimentaux concernant l'angle de diffusion, il y a automatiquement accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche et celui effectué avec les résultats expérimentaux concernant la distance minimale d'approche puisque ceux-ci ont été obtenus à partir de ceux concernant l'angle de diffusion[114],
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : mais dès que l'énergie cinétique initiale de la particule devient « grande », une différence entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche en fonction du paramètre d’impact dans le cadre d'une diffusion exclusivement coulombienne traitée en dynamique newtonienne, courbe semblable à celle affichée ci-dessus à droite et celui effectué avec des résultats expérimentaux[115]non fourni s'observe au voisinage du paramètre d'impact nul[116].
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : Nous n'avons tenu compte que de l’interaction coulombienne entre le noyau d' et la particule car l’interaction nucléaire forte résiduelle[117] qui s'exerce également entre les deux étant à très courte portée n’intervient que lorsque les particules projectile et cible sont au contact, ce qui nécessite que la « distance minimale d’approche [118] soit à et étant respectivement le rayon du noyau d'[119] et celui de la particule [120] soit » ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : l'énergie cinétique initiale maximale d'une particule lors de sa diffusion sur un noyau d' pour que celle-ci reste uniquement coulombienne est « définie par » avec «»[121] dont on déduit «» soit «» correspondant à une valeur d'énergie cinétique de particule très légèrement relativiste[122] ;
Quelques grandeurs caractéristiques de la trajectoire de diffusion d'un hélion sur un noyau d'or : Remarque : en conclusion, « si l'énergie cinétique initiale de la particule lors de sa diffusion sur un noyau d' est », l'interaction entre les particules projectile et cible est purement coulombienne ce qui se manifeste par l'accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec des résultats expérimentaux d'une part et d'autre part par l'accord entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche et celui effectué avec les résultats expérimentaux[115],
Tracé de l'angle de diffusion coulombienne de la particule sur un noyau d' en fonction du paramètre d'impact de la 1re sur le 2nd dans l'expérience de Rutherford[90] et nécessité d'intervention de l'interaction nucléaire forte (résiduelle) aux faibles valeurs de paramètre d'impact pour une énergie cinétique initiale de la particule suffisamment grandeTracé de la distance minimale d'approche coulombienne de la particule sur un noyau d' en fonction du paramètre d'impact de la 1re sur le 2nd dans l'expérience de Rutherford[90] et nécessité d'intervention de l'interaction nucléaire forte (résiduelle) aux faibles valeurs de paramètre d'impact pour une énergie cinétique initiale de la particule suffisamment grande
« si l'énergie cinétique initiale de la particule lors de sa diffusion sur un noyau d' est » par exemple ,
l'interaction entre les particules projectile et cible est purement coulombienne pour un paramètre d'impact avec la valeur du paramètre d'impact pour laquelle la distance minimale d'approche est égale à et étant respectivement le rayon du noyau d'[119] et celui de la particule [120] ce qui se manifeste par l'accord, pour , entre le tracé calculé de la courbe de diffusion[123] et celui effectué avec des résultats expérimentaux d'une part voir courbe ci-contre à droite et d'autre part par l'accord, toujours pour , entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche[124] et celui effectué avec les résultats expérimentaux[115]voir courbe ci-contre à gauche, mais
l'interaction nucléaire forterésiduelle intervenant aussi pour un paramètre d'impact ce qui se manifeste par un désaccord, pour , entre le tracé calculé de la courbe de diffusion calcul utilisant uniquement l'interaction coulombienne[123] et celui effectué avec des résultats expérimentaux faisant intervenir les deux interactions coulombienne et nucléaire forterésiduellevoir courbe ci-dessus à droite ainsi qu'un désaccord potentiel, pour , entre le tracé calculé de la courbe de distance minimale d'approche calcul utilisant uniquement l'interaction coulombienne[124] et le tracé éventuel qui serait effectué avec des résultats expérimentaux dans la mesure où ceux-ci seraient obtenus directement[115]et non obtenus par la méthode décrite en note « 114 » plus haut dans ce chapitrevoir courbe ci-dessus à gauche.
Rappel de la méthode permettant d'accéder à un ordre de grandeur de la dimension du noyau cible dans une expérience de Rutherford[90] :
Utiliser un faisceau monocinétique de particules suffisamment énergétique une énergie cinétique initiale suffit,
relever les valeurs d'angle de diffusion du faisceau sur un noyau d' présélectionné par le détecteur pour différentes valeurs du paramètre d'impact puis tracer la courbe de diffusion expérimentale,
superposer à cette courbe de diffusion expérimentale la courbe de diffusion théorique ne tenant compte que de la diffusion coulombienne et observer que la concordance entre les deux n'est plus réalisée pour des faibles valeurs de paramètre d'impact, plus exactement pour avec évaluation de avec , ,
identifier la valeur du minimum expérimental de la distance minimale d'approche à la valeur de distance minimale d'approche de diffusion coulombienne pour cette valeur de paramètre d'impact correspondant à la limite d'intervention de l'interaction nucléaire forterésiduelle, est de même valeur avec ou sans l'utilisation de cette interaction soit «» avec , , « la valeur de correspondant à celle de » et étant respectivement le rayon du noyau d' et celui de la particule dans la mesure à l'interaction nucléaire forterésiduelle étant à très courte portée, son intervention nécessite le contact entre les particules projectile et cible d'où
↑ 15,0015,0115,0215,0315,0415,0515,0615,0715,0815,0915,1015,1115,1215,1315,14 et 15,15 Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; ainsi représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » et cette fonction est notée , ainsi représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » et cette fonction est notée , or cette dernière « énergie mécanique fonction de la variable » qui est notée comme la 1re « énergie mécanique fonction de la variable » est évidemment distincte de celle-ci abus d'écriture, la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » étant la fonction composée de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » laquelle est « fonction de la variable ».
↑ La « vitesse linéaire » d'un point doit être identifiée ici comme la norme du vecteur vitesse de ce point soit «».
↑ La trajectoire d'un point matériel soumis uniquement à une force newtonienne attractive étant une conique de foyer voir le paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne attractive (k < 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » c'est-à-dire, avec des conditions initiales permettant une trajectoire bornée, une ellipse dont le centre de force est l'un des foyers et, sous conditions initiales plus particulières où l'excentricité de l'ellipse est nulle, un cercle de centre les deux foyers d'une ellipse d'excentricité nulle étant confondus avec son centre de symétrie ; Aussi le mouvement circulaire d'un point matériel uniquement soumis à une force newtonienne attractive étant nécessairement de centre le centre de force il est inutile de le préciser
↑ 19,019,119,219,3 et 19,4 La permittivité diélectrique du videplus généralement d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du vide ou celle du milieu isolant à l'action d'un champ électrique plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.
↑ 20,020,120,220,3 et 20,4 Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; ainsi représente l'image de la fonction « énergie cinétique fonction de la variable » et cette fonction est notée , ainsi représente l'image de la fonction « énergie cinétique fonction de la variable » et cette fonction est notée , or cette dernière « énergie cinétique fonction de la variable » qui est notée comme la 1re « énergie cinétique fonction de la variable » est évidemment distincte de celle-ci abus d'écriture, la fonction « énergie cinétique fonction de la variable » étant la fonction composée de la fonction « énergie cinétique fonction de la variable » laquelle est « fonction de la variable ».
↑ Compte-tenu de la définition de l'énergie mécanique «» on déduit du lien entre énergies mécanique et potentielle dans un champ de force newtonien attractif «» celui entre énergies mécanique et cinétique «» soit «».
↑ Pour établir la caractérisation il faudrait démontrer la réciproque à savoir « si les énergie mécanique et potentielle d'un point matériel dans un champ de force newtonien attractif avec sont liées par alors le point matériel décrit un mouvement circulaire de centre le centre de force» pour le démontrer il faut d'abord établir, à partir de , que la trajectoire de est elliptique voir le paragraphe « en complément, nature de la conique décrite par le point dans un champ de force newtonien attractif suivant le signe de l'énergie mécanique » plus bas dans ce chapitre puis, à partir de et de la constance de , que la coordonnée radiale du point est constant c'est-à-dire que le mouvement de est effectivement circulaire.
↑ Toutefois ce cas pourrait être posé en exercice c'est donc la raison pour laquelle il est présenté comme complément de cours.
↑ L'angström de symbole «» est une unité de longueur adaptée à la physique atomique, sa valeur est «» ; Anders Jonas Ångström (1814 - 1874) est un astronome et physicien suédois du XIXème siècle, c'est l'un des fondateurs de la spectroscopie.
↑ 27,027,1 et 27,2 On rappelle qu'en notant le nombre mesurant la charge élémentaire donc sans unité «» ou «» «», on passe donc d’une mesure en à la mesure correspondante en en divisant la 1re par «» c'est-à-dire en remplaçant «» par «».
↑ On peut être surpris de cette excellente correspondance car de nos jours on sait que le traitement de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la mécanique classique n'est plus recevable, l'électron dans un atome ne pouvant pas être considéré comme une particule mais comme une onde de matière voir le paragraphe « l'onde de matière de de Broglie » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » Louis Victor de Broglie (1892 - 1987)se prononce « Brogle » est un mathématicien et physicien français, essentiellement connu pour sa proposition de nature ondulatoire des électrons, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en ; l'ensemble des positions possibles de l'électron pondérées par la densité volumique de probabilité de présence de ce dernier voir le paragraphe « densité volumique de probabilité de présence d'une particule massique ou non massique » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » définissant le nuage électronique de l'atome d'hydrogène, le seul traitement recevable de nos jours doit être fait dans le cadre de la mécanique ondulatoire
↑ Nous traitons le cas général d'une source dont la répartition de masse est à symétrie sphérique mais en fait seuls les exemples de gravitations solaire et terrestre sont explicites dans le programme de physique de P.C.S.I..
↑ 31,031,1 et 31,2 Cette discussion sera revue au chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme attendue du programme de physique de P.C.S.I..
↑ 36,0036,0136,0236,0336,0436,0536,0636,0736,0836,0936,1036,1136,1236,13 et 36,14 Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; ainsi représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » et cette fonction est notée , ainsi représente l'image de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » et cette fonction est notée , or cette dernière « énergie mécanique fonction de la variable » qui est notée comme la 1re « énergie mécanique fonction de la variable » est évidemment distincte de celle-ci abus d'écriture, la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » étant la fonction composée de la fonction « énergie mécanique fonction de la variable » laquelle est « fonction de la variable ».
↑Johannes Kepler (1571 - 1630) est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernichypothèse que son professeur de mathématiques Michæl Mæstlin lui enseigna ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants à l’Université de Tübingen alors que l’enseignement officiel que M. Mæstlin donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de Ptolémée affirmant avec N. Copernic que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ; en , poursuivi pour ses convictions religieuses il était ministre du culte luthérien et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome danoisTycho Brahe, ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais d’après J. Kepler étant incapable de les exploiter correctement T. Brahe ne croyait pas à l’héliocentrisme de Copernic, ni d’ailleurs au géocentrisme de Ptolémée, l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de Ptolémée ; T. Brahe demande alors à J. Kepler de calculer l’orbite précise de Mars, travail que ce dernier commence en et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1ères lois, sa 3ème loi étant découverte près de plus tard. Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire. Michæl Mæstlin (1550 - 1631) astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de Johannes Kepler ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du nombre d'or en . Ptolémée (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168) astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'Almagesteune somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie et un traité de géographie une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain. Tycho Brahe (1546 - 1601) astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la Supernova de 1572 ainsi que la grande comète de 1577 qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques
↑ 49,0 et 49,1 Mathématiquement on adopte des notations différentes pour représenter une fonction d'une variable et son image mais physiquement on confond les deux notations en une seule et cela conduit à un abus d'écriture ; ainsi représente l'image de la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable » et cette fonction est notée , ainsi représente l'image de la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable » et cette fonction est notée , or cette dernière « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable » qui est notée comme la 1re « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable » est évidemment distincte de celle-ci abus d'écriture, la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable » étant la fonction composée de la fonction « fraction radiale d'énergie cinétique fonction de la variable » laquelle est « fonction de la variable ».
↑ 50,0 et 50,1 La signification de étant « est représenté par ou représente» l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique.
↑ Posant «», il faut, pour constater que « est à », vérifier «» ou «» soit, après développement du 1er membre, « ce qui est vrai » d'où «» ; de même il faut, pour constater que « est à », vérifier « ce qui est vrai dans la mesure où le 1er membre est et le 2nd» d'où «».
↑ 52,0 et 52,1 La diffusion est dite « critique » car elle correspond à une vitesse radiale nulle à l'infini et comme la vitesse orthoradiale l’est aussi par loi des aires «» « quand », le vecteur vitesse dans une diffusion « critique » est nul à l'infini.
↑ 53,0053,0153,0253,0353,0453,0553,0653,0753,0853,0953,1053,1153,1253,1353,1453,1553,16 et 53,17 Cette diffusion peut être qualifiée de « non critique » car elle correspond à une vitesse radiale non nulle à l'infini bien que la vitesse orthoradiale y soit nulle par loi des aires «» « quand », le vecteur vitesse dans une diffusion « non critique » est radial et non nul à l'infini dans la mesure où il a été démontré auparavant que la trajectoire de est une branche d'hyperbole, le vecteur vitesse résiduel à l'infini a pour direction l'une des asymptotes de cette hyperbole.
↑ Utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l’addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
après avoir constaté que est colinéaire à , chercher quel est le sens de ce vecteur « est dans le sens de » d'où «»,
déterminer le bras de levier de relativement à l'axe passant par de vecteur directeur c'est-à-dire la distance orthogonale séparant le support de de cet axe soit un bras de levier égal à d'où «» et finalement,
↑ «» étant un angle non algébrisé s'écrivant sous la forme d'un prend des valeurs dans l'intervalle «» d'où l'appartenance de celles de «».
↑ 82,0 et 82,1 Où restent approximativement localisées les planètes du Système solaire.
↑ Zone en forme de bulle allongée dans l’espace engendrée par les vents solairesprojection, par la haute atmosphère du Soleil (☉), de particules atomiques essentiellement protons et électrons.
↑ 84,0 et 84,1 « L'unité astronomique de symbole » est une unité de longueur adaptée aux objets se déplaçant dans le Système solaire représentant la valeur moyenne du rayon orbital de la Terre (♁) autour du Soleil (☉).
↑ Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant une année terrestre «» soit «» ou, en comparant à « l'unité astronomique de symbole , », «».
↑ 86,086,186,286,386,4 et 86,5Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire.
↑ Jupiter (♃) est la planète du Système solaire ayant la plus grande masse même si celle-ci reste relativement très faible «» avec la masse du Soleil (☉) ; comparée à la Terre (♁), Jupiter (♃) est relativement de très grande masse «» avec la masse de la Terre (♁).
↑ Celle-ci valait au lancement avec d'ergols et d'instruments.
↑ 89,0 et 89,1 Référentiel lié au centre de Jupiter (♃) et en translation par rapport au référentiel de Copernic c’est l’analogue du référentiel géocentrique lequel est lié au centre de la Terre (♁) en translation par rapport au référentiel de Copernic.
↑ 90,090,190,290,390,490,590,690,7 et 90,8Ernest Rutherford (1871 - 1937) physicien et chimiste néo-zélando-britannique, considéré comme le père de la physique nucléaire ; il découvrit les rayonnements α et rayonnements βen à l'« Université McGill de Montréal » ainsi que le fait que « la radioactivité s'accompagne d’une désintégration de l'élément chimique », ce qui lui valut le prix Nobel de chimie en ; c'est sous sa direction « Université de Manchester » que fut mise en évidence l'existence du noyau atomique expérience de Rutherford et également lui qui réussit la 1re transmutation artificielle ; puis il devint directeur du laboratoire Cavendish de l’« Université de Cambridge » de à , ayant eu entre autres pour étudiants « James Chadwick (1891 - 1974) physicien britannique ayant découvert le neutron en ce qui lui valut le prix Nobel de physique en », « Niels Henrik David Bohr (1885 - 1962) physicien danois ayant montré, entre autres, l’instabilité du modèle d’atome de Rutherford en , connu pour son apport à l'édification de la mécanique quantique, lauréat du prix Nobel de physique en » et « Julius Robert Oppenheimer (1904 - 1967) physicien américain qui s'est d'abord distingué en physique théoriquepublie des articles importants en mécanique quantique, en physique des particules et en physique nucléaire, également connu pour sa thèse sur la naissance des trous noirs dans l'Univers puis a assuré la responsabilité de directeur scientifique du projet Manhattan à partir de février , ce qui fait qu'il est régulièrement surnommé “ le père de la bombe atomique ” bombe que l'on devrait plutôt qualifier de “ nucléaire ”même s'il déclare que les États-Unis auraient dû transmettre plus d'avertissements au Japon avant de bombarder Hiroshima et Nagasaki il reste partisan de l'usage des bombes “ atomiques ” pour mettre fin à la guerre».
↑ 91,0 et 91,1 C.-à-d. une particule cation ou atome d'Hélium totalement ionisé ou encore noyau d'Hélium.
↑ On rappelle que voir le paragraphe « évaluation de la constante des aires (dans le cas d'un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.
↑ «» étant un angle non algébrisé s'écrivant sous la forme d'un prend des valeurs dans l'intervalle «» «» prend des valeurs dans l'intervalle «» d'où l'appartenance de celles de «».
↑ À l’époque de cette expérience, le résultat obtenu, de façon très approximative, était que « la dimension du noyau représente la fraction de la dimension de l’atome » mais, de nos jours, de façon un peu plus précise, « la dimension du noyau représente la fraction de la dimension de l’atome ».
↑Johannes Wilhelm Geiger (1882 - 1945)plus connu sous le nom de Hans Geiger est un physicien allemand ayant travaillé comme assistant d'Ernest Rutherford de à à l'« Université de Manchester » puis, à partir de , dans le laboratoire d’étude de la radioactivité à l'« Institut national allemand de science et 9technologie de Berlin » qu'il a mis en place ; il reprend à Berlin en ses recherches interrompues par la 1re guerre mondiale, puis quitte Berlin pour Kiel en où il met au point, avec un de ses étudiants de doctorat Walther Müller (1905 - 1979) physicien allemand, le « compteur Geiger » en
↑Ernest Marsden (1889 - 1970) est un physicien néo-zélandais, étudiant d’Ernest Rutherford en à l'« Université de Manchester » où il réalisa avec Hans Geiger l'expérience « de Rutherford » ; en il s'installa à l'« Université Victoria de Wellington en Nouvelle-Zélande » et fonda en le D.S.I.R. Department of Scientific and Industrial Research de Nouvelle-Zélande
↑ Voir le paragraphe « angle de diffusion (dans un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.
↑ L'« unité de masse atomique unifiée » de symbole «» est une unité de mesure standard remplaçant l'« unité de masse atomique » de symbole « uma » représentant « de la masse d'un atome de », unité devenue obsolète, utilisée pour exprimer la masse des atomes et des ions monoatomiques elle peut aussi l'être pour exprimer la masse des molécules et des ions polyatomiques mais les valeurs étant alors plus grandes, le faire est nettement moins intéressant ; «» étant définie comme « de la masse d'un atome de » et cette dernière se calculant à partir de la masse molaire atomique du «» par «» dans laquelle est la constante d'Avogadrodécision de la Conférence Générale des Poids et Mesuresou CGPM valable à partir du d'où ; l'atome de contenant nucléons protons et neutrons, les protons étant de masse voisine de celle des neutrons, nous en déduisons en négligeant le défaut de masse du noyau dans la masse de ce dernier que «» est approximativement la masse d'un nucléon et que la masse d'une particule contenant nucléons est approximativement «». Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémontrégion actuelle de l'Italie à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en et proposée indépendamment par Ampère en , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules » ; André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
↑ 109,0 et 109,1 On rappelle qu'en notant le nombre mesurant la charge élémentaire donc sans unité «» ou encore «» voir la note « 27 » plus haut dans ce chapitre.
↑ On rappelle la masse de la particule , avec voir la note « 107 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 111,0 et 111,1symbole du fentomètre ou du fermi, cette dernière appellation historique étant en hommage à Enrico Fermi unité particulièrement bien adapté à la physique nucléaire. Enrico Fermi (1901 - 1954), physicien italien naturalisé américain, ayant reçu le prix Nobel de physique en pour sa démonstration de l'existence de nouveaux éléments radioactifs produits par bombardements de neutrons, et pour sa découverte des réactions nucléaires créées par les neutrons lents.
↑ Voir le paragraphe « distance minimale d'approche (dans un champ de force newtonien répulsif) » plus haut dans ce chapitre.
↑ La distance minimale d'approche coulombienne «» de la particule projectile «» sur la particule cible « noyau d'» est définie par une forme indéterminée pour le paramètre d'impact ; la levée de l'indétermination nécessite de transformer le dénominateur «» ; pour cela on factorise le dénominateur «» par «» d'où «» dans lequel on fait un « développement limité de à l'ordre un en l'infiniment petit » ce qui donne « à l'ordre un en » voir le paragraphe « développements limités (D.L.) à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » D.L. à l'ordre un de au voisinage de zéro «» avec soit finalement « à l'ordre un en » ; on en déduit « à l'ordre zéro en » d'où «» on constate que le minimum de la distance minimale d'approche coulombienne d'une particule est inversement proportionnel à l'énergie cinétique initiale de la particule projectile ; numériquement, avec , on obtient «» soit finalement «». Ce résultat algébrique «» pouvait s'obtenir plus rapidement sachant,
d'une part, qu'un paramètre d'impact entraîne une trajectoire rectiligne de la particule le long du support de son vecteur vitesse initiale , plus exactement la trajectoire est la demi-droite issue de position initiale de la particule située à l'infini et s'arrêtant à position correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance du centre de force parcourue dans un sens puis dans l'autre avec « une constante des aires » et,
d'autre part, que la position correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance du centre de force se caractérise par un vecteur vitesse nul absence de vitesse orthoradiale en toute position due à et absence de vitesse radiale en la position donc une énergie cinétique nulle l'énergie mécanique en cette position s'écrit «» ou «» car et sa conservation nous conduit à «» d'où le résultat cherché «».
↑ 114,0 et 114,1 S'il n'y a pas d'obstacles insurmontables à l'obtention des résultats expérimentaux concernant l'angle de diffusion en fonction du paramètre d'impact il n'en est pas de même pour celle des résultats expérimentaux concernant la distance minimale d'approche en fonction du paramètre d'impact ; une façon pour contourner la difficulté consiste à exprimer en fonction de et de dans l'hypothèse d'une diffusion exclusivement coulombienne c'est-à-dire utiliser «» «» d'une part et utiliser «» d'autre part, que l'on peut réécrire en fonction de et de selon «» on rappelle que soit encore «» ; en conclusion les résultats expérimentaux de en fonction de peuvent s'obtenir en reportant ceux de en fonction de dans «»
↑ 115,0115,1115,2 et 115,3 Pour tenter de déterminer les résultats expérimentaux concernant en fonction de on utilise la méthode expliquée dans la note « 114 » plus haut dans ce chapitre, mais la formule obtenue dans cette note explicitant en fonction de et de à savoir «» nécessitant que la diffusion soit purement coulombienne ne donne les résultats expérimentaux de en fonction de uniquement si la diffusion est purement coulombienne c'est-à-dire s'il y a accord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec les résultats expérimentaux de l'angle de diffusion ; dans le cas où il y a désaccord entre le tracé calculé de la courbe de diffusion et celui effectué avec les résultats expérimentaux de l'angle de diffusion pour cela signifie que, sur cet intervalle, la diffusion n'est pas purement coulombienne les valeurs expérimentales de pour ne sont plus acceptables pour obtenir les vraies valeurs il faudrait donc essayer de les trouver directement, ce que nous ne tenterons pas mais, si nous pouvions tracer la courbe expérimentale de en fonction de sur et la comparer à celle calculée de en fonction de en diffusion purement coulombienne sur le même intervalle, nous observerions un désaccord l'accord entre les deux courbes n'étant réalisé que pour
↑ En pratique il suffit que l'énergie cinétique initiale de la particule dépasse une trentaine de pour qu'une différence entre les deux courbes commence à être observée et plus le dépassement est marqué, plus la discordance est importante. Remarques : La détermination de la distance minimale d'approche de la particule lors de sa diffusion sur le noyau d' en fonction du paramètre d'impact de la 1re sur le 2nd nécessite un traitement de dynamique newtonienne et elle devient théoriquement fausse pour en dynamique relativiste dans laquelle la loi des aires ne s'applique théoriquement pas Remarques : L'énergie cinétique initiale de la particule restera newtonienne pour soit ou , au-delà la dynamique relativiste devrait être utilisée et la formule précédente donnant en fonction de devient théoriquement fausse mais nous n'aborderons pas le traitement dans le cadre de la dynamique relativiste et admettrons que la formule précédente reste une approche plus ou moins acceptable Remarques : Toutefois, pour , le mouvement de diffusion coulombienne de la particule par le noyau d' étant rectiligne le long du support de son vecteur vitesse initiale plus exactement la trajectoire est la demi-droite issue de position initiale de la particule située à l'infini et s'arrêtant à position correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance du centre de force parcourue dans un sens puis dans l'autre que l'énergie cinétique initiale de la particule soit newtonienne ou relativiste, et
{{{1}}}la conservation de l'énergie mécanique de la particule lors de sa diffusion coulombienne par le noyau d' restant applicable en dynamique relativiste avec une énergie cinétique nulle en la position correspondant à la distance minimale d'approche de la particule située à la distance du centre de force et une énergie potentielle d'interaction électrostatique «», nous en déduisons, dans le cadre de la dynamique relativiste, que «» est égale à «» ou «» car à «» «» la même formule qu'en dynamique newtonienne.
↑ En fait l'« interaction nucléaire forte » s'exerce entre les particules constitutives du proton « les quarks » lesquels n'existent pas à l'état libre il faut trois quarks pour former un proton up et down les 1ers étant de charge individuelle et le 2ème de charge individuelle d'où la charge du proton , il faut aussi trois quarks pour former un neutron up et down charge du neutron , l'« interaction nucléaire forte » étant à très courte portée de l'ordre de , ce qui signifie qu'au-delà de l'estimation de sa portée l'« interaction nucléaire forte » peut être considérée comme nulle ; une conséquence de la très courte portée de l'« interaction nucléaire forte » entre « quarks » étant que l'interaction exercée entre « quarks » de deux nucléons de noyaux différents ne se manifestant que si les nucléons se côtoient, on peut penser qu'elle s’exerce entre les noyaux mais cette interaction entre noyaux n'est que la résultante des interactions entre « quarks » pour éviter cette ambiguïté, on parlera d'« interaction nucléaire forte résiduelle » entre noyaux sans que ce soit systématique.
↑ C.-à-d. la distance séparant la particule et le noyau d' en les supposant tous les deux ponctuels.
![{\displaystyle \;k\in \mathbb {R} ^{*}\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{pour une force répulsive}}\\<0\;{\text{pour une force attractive}}\end{array}}\right\rbrace {\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a609e991df4411e0941dd8bd1d8d777b0ac24673)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6515d4ab3aeccb7f846142fd40a7d0f7d1129e6e)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {u'}^{2}\!\left[\theta (t)\right]+u^{2}\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +k\;u\!\!\left[\theta (t)\right]=E_{m,\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ffd5c4edd3865a45cb8792b9be5e48bd888e69)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{2}(t)+U_{\text{eff}}\!\left[r(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00330eec9df4186ffee74c5839e20fecbac98385)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {U\!\left[r(t)\right]}{2}}<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2585c5781dc81a177d4cce0db8a004eaf3d5883f)
![{\displaystyle \;k\in \mathbb {R} ^{*}\left\lbrace {\begin{array}{c}>0\;{\text{pour une force répulsive}}\\<0\;{\text{pour une force attractive}}\end{array}}\right\rbrace {\Bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63782359bb90e63da4b879a6f7902ae928f34a7a)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {u'}^{2}\!\left[\theta (t)\right]+u^{2}\!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +k\;u\!\!\left[\theta (t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70b98b5c99a75b3b72a1ef5820dfa2c14e2d27)
![{\displaystyle \;\left(xOy\right){\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a79698d8463858cf4d3cbb8787552e09bbdc93)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left[{u'}^{2}\!\left(\theta \right)+u^{2}\!\left(\theta \right)\right]+k\;u\!\!\left(\theta \right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119a59c9baf13bf96e13f4fdedb738a3811812c6)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {\dfrac {(-e)^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )}{p^{2}}}+{\dfrac {\left[1+e\;\cos(\theta -\varphi )\right]^{2}}{p^{2}}}\right\rbrace +k\;{\dfrac {1+e\;\cos(\theta -\varphi )}{p}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb957201f05f3e46f48872502252fa82c4ac19f8)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left\lbrace -e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )-\left[1+e\;\cos(\theta -\varphi )\right]^{2}+2\;\left[1+e\;\cos(\theta -\varphi )\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2862d926b6830faf4f54ca6a054d313674f04c1)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left[-e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )-1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta -\varphi )-2\;e\;\cos(\theta -\varphi )+2+2\;e\;\cos(\theta -\varphi )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd1453da82c26e85de737adc1651b39b279e27c)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left[1-e^{2}\right]={\dfrac {-k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927ee9292a5db29f925a288e19589a31650752aa)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {\vert k\vert }{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79758bf76bc4662aa0f41e182c213faeebfbf05)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {m\;C^{2}}{2}}\left\lbrace {\dfrac {(-e)^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )}{p^{2}}}+{\dfrac {\left[e\;\cos(\theta -\varphi )-1\right]^{2}}{p^{2}}}\right\rbrace +k\;{\dfrac {e\;\cos(\theta -\varphi )-1}{p}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1e3c195ff78c8f764e4c93bc248d9953cdac6a)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left\lbrace e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )+\left[e\;\cos(\theta -\varphi )-1\right]^{2}+2\;\left[e\;\cos(\theta -\varphi )-1\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1cb2e1da401d370403f500bf9299dc47338510)
![{\displaystyle {\dfrac {k}{2\;p}}\left[e^{2}\;\sin ^{2}(\theta -\varphi )+e^{2}\;\cos ^{2}(\theta -\varphi )+1-2\;e\;\cos(\theta -\varphi )+2\;e\;\cos(\theta -\varphi )-2\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ca3cde26aff638b9f543c9398e59ab0da1d821)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78da16b05549bef38cdfa75bdd0b49a15f60b921)
![{\displaystyle \;E_{m}(\theta )={\dfrac {-k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80163c19a90dd8618cca43cf0415a56eeb7c9aad)
![{\displaystyle \;E_{m}={\dfrac {k}{2\;p}}\left[1-e^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4dcc34f5277ae112c35970fdf03f4dcd771447)
![{\displaystyle \;\ldots {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad3ffc88399e77946910eb87c77e2259b1247ea)
![{\displaystyle \;E_{m}={\dfrac {k}{2\;p}}\left[e^{2}-1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86688fb8d61750590e55fdb0d3266f1ce672544d)
![{\displaystyle \;r={\dfrac {p}{2}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1157afa7046f0012c61e6028ed95ac8dfe8dd72d)
![{\displaystyle \;r_{1}=p{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985709497a9d8239a85cbe9cec2d304df0a5f6c0)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,r_{1}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f7d9d5cf9aedfd00ac274c9e890bf0ac57fda2)
![{\displaystyle \;\left]r_{1}\,,\,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2639514a56d7b1c7e8c6c5dd1a622b8e82ac0abb)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,r_{1}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46dd7cbf4b62eed6de694ec373d5622e02544a52)
![{\displaystyle \;\left]r_{1}\,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ea5b5f924b298d0401f8811f2e3318a632bd83)
![{\displaystyle \;P_{u_{\text{eff}}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62196bec4ae3ed2933b54f4ec47d6d424ce143d)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\left(xOy\right){\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469bb4160090ab5eac83866b32bbe93f80da237a)
![{\displaystyle \;M{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f93f9657f29526adcf2d86ed64bd1d90385b8cc)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}\in \left]U_{\text{eff, min}}={\dfrac {k}{2\;p}}\,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d422be23fd3724c529869cd2d4c24df78244a41b)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}r_{P}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}-{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]\\r_{A}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}+{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc6941cd4593c603296b7c02aaa2c2a084eefbb)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}r_{P}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]<p\\r_{A}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]>p\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfdf825919b8ad4b5182c57140a7b130a2e774ee)
![{\displaystyle {\big )}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b456f4e754fcfd326ab95538fe020c6ad50229b8)
![{\displaystyle \;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b966de570d932c845399ff5335f0b7f95352f5)
![{\displaystyle {\dfrac {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}}{{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\right]}}-1={\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]-1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a750c8f4f956a580a7209f03844ead3148495d2)
![{\displaystyle \;r_{A}={\dfrac {p}{1-e}}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ab29c911f24e50ad8efd57a55cf08f64ecb37f)
![{\displaystyle 1-{\dfrac {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}}{{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\right]}}=1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}-{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1335ccf4457e9e4ac5795c9b534ace1a6f7c8a90)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}\in \left]0\,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184e7895c1fd418e852da2b300b4d7bc828d2188)
![{\displaystyle \;r_{P}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}+{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fcf4c7881a78cef7607c5ce14231dc85039ed90)
![{\displaystyle =p\;{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}\left[1-{\sqrt {1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{U_{\text{eff, min}}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}-{\dfrac {U_{\text{eff, min}}}{E_{m,\,0}}}}}\right]=p\left[{\dfrac {-\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}\right]<{\dfrac {p}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9aee241a660e6b7b4fbb925475d21e67b8ffd2e)
![{\displaystyle \;r_{P}={\dfrac {p}{1+e}}=p\left[{\dfrac {-\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4ea28e2508c5eca53a8f4a0ccbd1b56c607725)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{{\dfrac {-\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}}}-1={\dfrac {{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}}{-{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert ^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+\left[{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}\right]}}-1={\dfrac {E_{m,\,0}}{\vert U_{\text{eff, min}}\vert }}\left[{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff, min}}^{\,2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {\vert U_{\text{eff, min}}\vert }{E_{m,\,0}}}}}\right]-1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55d8c122bbb32af60515e75ce6965fc6dbff181)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756ca7598cf24e1c4a95319eea0e201c7b63b792)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,+\infty \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8d3fd8cdc20577d5760fd5d2f833042ebf1fda)
![{\displaystyle \;r_{P}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}+{\dfrac {1}{2}}\;{\sqrt {{\dfrac {k^{2}}{E_{m,\,0}^{\,2}}}\left(1+{\dfrac {2\;p\;E_{m,\,0}}{k}}\right)}}={\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1+{\dfrac {2\;p\;E_{m,\,0}}{k}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f58e81d8898664feec10224fd47e85daabcc08)
![{\displaystyle \;r_{P}=p\;{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1+{\dfrac {p}{\dfrac {k}{2\;E_{m,\,0}}}}}}\right]=p\;{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\left[1+{\sqrt {1+{\dfrac {3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fa215545973a12b25205298dcf704710cbc16e)
![{\displaystyle \;r_{P}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42f31da0df0f7bcc2acf548f99bad9ae94cfc40)
![{\displaystyle \;r_{P}=p\times \left[{\dfrac {1}{9}}+{\sqrt {{\dfrac {1}{81}}+{\dfrac {1}{9}}}}\right]\simeq 0,4625\;p\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc23e6baea26af559c2daf9a94ced1acaa03caa)
![{\displaystyle \;r_{P}={\dfrac {p}{e-1}}=p\left[{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d16cbdd47991b0a4660a7c77e4e5ae5cfae9bb2)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}}}+1={\dfrac {-{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}}{-{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+\left[{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}\right]}}+1={\dfrac {3\;E_{m,\,0}}{U_{\text{eff}}(p)}}\left[-{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}+{\sqrt {{\dfrac {U_{\text{eff}}^{\,2}(p)}{9\;E_{m,\,0}^{\,2}}}+{\dfrac {U_{\text{eff}}(p)}{3\;E_{m,\,0}}}}}\right]+1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ded3814f155971c9fc3fc06609ad1541e830ed8)
![{\displaystyle {\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9e51d2d3cafc3e7d1a34196d9b65ac61640ed1)
![{\displaystyle {\dfrac {C}{p^{2}}}\;\left[1+\cos(\theta -\varphi )\right]^{2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cf4d61fb0e02ca9be2cc451ab8177cd09a253d)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\beta }{\cos ^{4}(\beta )}}={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\beta )}}\;{\dfrac {d\beta }{\cos ^{2}(\beta )}}=\left[1+\tan ^{2}(\beta )\right]\;d\left[\tan(\beta )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0855e7c794b9eb0335b9461f94121162dde642)
![{\displaystyle \;\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]\;2\;d\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]={\dfrac {4\;C}{p^{2}}}\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03079b08c1e496a4cd54b666ec9f794731c7740f)
![{\displaystyle \;\left[1+\tan ^{2}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]\;d\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]={\dfrac {2\;C}{p^{2}}}\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855d6b2d501e568227d923c2d717dd966b521dd7)
![{\displaystyle \;\left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]-\left[\tan \!\left({\dfrac {-\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {-\varphi }{2}}\right)\right]={\dfrac {2\;C}{p^{2}}}\;t\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e760c3454fef36e0db2716c63aa7fd95dd3b96)
![{\displaystyle \;t={\dfrac {p^{2}}{2\;C}}\left\lbrace \left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]+\left[\tan \!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af99140f9810151b89fb625adcfc861ed3b16f2)
![{\displaystyle \;t={\dfrac {2\;r_{p}}{v_{P}}}\left\lbrace \left[\tan \!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\theta -\varphi }{2}}\right)\right]+\left[\tan \!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)+{\dfrac {1}{3}}\;\tan ^{3}\!\left({\dfrac {\varphi }{2}}\right)\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018b8824aee48997c8fb8b8ab9357b3a6cfdfe19)
![{\displaystyle {\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb5ec6bb7771c982c131bdb53858ed6e79e456a4)
![{\displaystyle \;C=\left[{\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ede9aa16043731b1cf1e9760f6ba16b4d919cd)
![{\displaystyle \;C=\left\lbrace \left[{\overrightarrow {OH}}+{\overrightarrow {HM_{0}}}\right]\wedge {\vec {V}}_{0}\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OH}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}+\left[{\overrightarrow {HM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1915fb36d06f333bf2387e966f8f3dddc690ccbc)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {HM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f911de132f75c8d9948c80e74e92654720b4d6b)
![{\displaystyle \;C=\left[{\overrightarrow {OH}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15d6e222bb6dedd93a0e82ead86a74adf67d4fd)
![{\displaystyle \;C=\left[h\;{\vec {u}}_{y}\wedge v_{0}\;{\vec {u}}_{x}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49526889b2e37fbabaa0036540f89e2bb05a6ae6)
![{\displaystyle \;u_{r}(\theta =\pi )=-{\vec {u}}_{x}{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1331288843970ec8eedc3189f340d7118caa6b)
![{\displaystyle \;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9706cf9d642486f3a81b3b57c09822282de96fe2)
![{\displaystyle \;\varphi \in \left]0\,,\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed06f00bd8aa93e193288d8b6d8eb3ce968d269)
![{\displaystyle \;\varphi \in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a76e0909d7b4b784c6b18e828e7c2bad963516)
![{\displaystyle \;{\dfrac {D}{2}}=\beta -{\dfrac {\pi }{2}}\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d1a15b36e700e06368cbe4f0c1a09ea8f7f688)
![{\displaystyle \;\varphi \in \left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\cup \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2078457722efe248f1713d075693737327f1c98b)
![{\displaystyle \;\varphi \in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfe0997a3aea5eb490916ea100a2832317c2ac6)
![{\displaystyle \;\arctan \!\left(-{\dfrac {m\;v_{0}^{\,2}\;h}{k}}\right)\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9f0d202a3534f360e46dedfa5e50089053803a)
![{\displaystyle \;\in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c106c8e3324ecaf4ccafeaa13076a8138548e812)
![{\displaystyle \;{\dfrac {D}{2}}={\dfrac {\pi }{2}}-\beta \in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d40dcdf31f7ddae23105448c732af344e703165)
![{\displaystyle \;\left]0\,,\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6524ef24a8428149b9587955c9262f01a4eef29e)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\arctan(x)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\\\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19105cb111371900ebe5820502d69197fbe86fc4)
![{\displaystyle \;y=\pi -2\;\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\in \left]0\,,\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adb2287a7c9dd7e9d3b91ae29558607a639cb08)
![{\displaystyle \;{\dfrac {y}{2}}={\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b958f2a0d64e54cf79c2f28cb470e55c7acf97)
![{\displaystyle \;\tan \!\left({\dfrac {y}{2}}\right)=\tan \!\left[{\dfrac {\pi }{2}}-\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\right]\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c79f0641e2e277854f6b38a53f36b8e40935ad8)
![{\displaystyle \;\tan \!\left({\dfrac {y}{2}}\right)=\cot \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\right]={\dfrac {1}{\tan \!\left[\arctan \!\left({\dfrac {1}{x}}\right)\right]}}={\dfrac {1}{\dfrac {1}{x}}}=x\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0c7e1bfb398148474d085923435d89e5946129)
![{\displaystyle \;{\dfrac {y}{2}}\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3264ba8db171408e4f2bf44ffe3027463ffb86ba)
![{\displaystyle \;{\dfrac {y}{2}}=\arctan(x)\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5271fe481242f1c3eb08bae508df9a21a7acea30)
![{\displaystyle \;y=2\;\arctan(x)\in \left]0\,,\,+\pi \right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a87e3cf8d843e9b1694077cb47d7eeed62c221)
![{\displaystyle \;\alpha {\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c65dd712cc71933c55bab45918bc0ec3a5c1fe)
![{\displaystyle \;D\simeq 2\;\arctan \!\left[{\dfrac {79\times 1,6\;10^{-19}\times 9\;10^{9}}{\left(8,5\;10^{6}\right)\;h}}\right]\simeq 2\;\arctan \!\left({\dfrac {1,338\;10^{-14}}{h_{{\text{en}}\,m}}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3fb6f1dd60f8042027660aeba3b9692b145c20a)
![{\displaystyle \;2\;E_{m,\,0}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600b780b9b37f2e403b83b6883471c62492b41f9)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd0c02f32f607a22fbd5b1388a07b45e1c3f614)
![{\displaystyle \;h_{\text{désacc}}\simeq 4,9\;fm{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48427f83050321c6a07cb74914a72a346291b34)
![{\displaystyle \;r_{P}(h_{{\text{désacc}},\,{\text{coulomb}}})\simeq 10\;fm{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b263f69ea0f533a4634f685a07d2c949875978)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cdf7bbd29d34f582bd1fd0087eee0c08bc00a37)
![{\displaystyle {\dfrac {U\!\left[r(t)\right]}{2}}<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a0e3cdbe0db5f06a156f5edd15a0d97423c532)
![{\displaystyle \;K_{M}(t)=E_{m}(t)-U\!\left[r(t)\right]=-{\dfrac {U\!\left[r(t)\right]}{2}}=-E_{m}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6469a7c5328173f0bf518cb201f32c9f929a40d)
![{\displaystyle \;E_{m}(t)={\dfrac {U\!\left[r(t)\right]}{2}}={\dfrac {k}{2\;r(t)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce72801adfd0ec04c74dc3b13db75890dd5d10a)
![{\displaystyle \;\left[e\right]\simeq 1,602\;10^{-19}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70ab3b03815e13bd7444a106e0d55d2a0286237)
![{\displaystyle \;1\;eV=\left[e\right]J\simeq 1,602\;10^{-19}\;J\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0c25132ba8d09279f638d4bc05cb6e28e8657b)
![{\displaystyle \;1\;J={\dfrac {1}{\left[e\right]}}\;eV\simeq {\dfrac {1}{1,602\;10^{-19}}}\;eV\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f246d7c89e39259043df7eecb04250c1429d892f)
![{\displaystyle {\dfrac {\alpha }{\left[e\right]}}\;eV\simeq {\dfrac {\alpha }{1,602\;10^{-19}}}\;eV\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc77ec6974db0c19d9ac24dda9ca5025e6e37492)
![{\displaystyle \;\left[e\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239d35a272752e4563c12f2a10b45eb3b874ac78)
![{\displaystyle \;1929{\big ]}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ceea040e9a1a9f65aee736195c73d101a6c5eb)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b481adb879dcaed7808c3034f6267870dc80bee1)
![{\displaystyle {\big ]}{\big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a034fcc6c80b600edbfced2889da54722687c9)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=C<0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4b15f6e8aa5b2846177462296174a0b106f87c)
![{\displaystyle \;{\bigg \vert }\!\left[{\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}{\bigg \vert }=\vert C\vert =v_{0}\;h\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7378b4d87f647240e260ee49f13f8e51b3ed043f)
![{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=C=-v_{0}\;h\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb1cf2550c04db7c0ecdf69078670c698f7a8b6)
![{\displaystyle \;\left]0\,,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f57f1d7b45d118cd2df928c8ca8c8348c407f5)
![{\displaystyle \;1\;{\text{année-lumière}}=c\;T_{\text{révol. (♁) dans Cop}}\simeq \left[3\;10^{8}\times \left(365,25\times 24\times 3600\right)\right]m\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec0ebef6dce1db565d5082c5c4340a4f036ae65)
![{\displaystyle \;\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd582c3d5ac38eab93443e972b74c7a2d92a0f9b)
![{\displaystyle \;20\;mai\;2019{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5de5d1d1f3e90f2e7ea145b6e9f7cc0cd667f36)
![{\displaystyle \;1\;MeV=\left[e\right]MJ\simeq 1,602\;10^{-13}\;J\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c228ba974e36cd195fb576107fec2c216ef2ab)
![{\displaystyle \;{\text{dén}}={\dfrac {Z_{Au}\;e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;\left[{\sqrt {1+\left({\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}}{Z_{Au}\;e}}\right)^{\!\!2}\;h^{2}}}-1\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a13c58a18bd617256429472ff4bcab19f3bad94)
![{\displaystyle \;{\sqrt {1+\left({\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}}{Z_{Au}\;e}}\right)^{\!\!2}\;h^{2}}}=\left[1+\left({\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}}{Z_{Au}\;e}}\right)^{\!\!2}\;h^{2}\right]^{\!{\frac {1}{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe6573d99bf0483ce17ce4c60d8ae36a90d5ce5)
![{\displaystyle \;n={\dfrac {1}{2}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9230b956bfa7653b8e30c3971976c4b8c939af7)
![{\displaystyle \;{\text{dén}}\simeq {\dfrac {Z_{Au}\;e}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;\left[{\dfrac {1}{2}}\,\left({\dfrac {4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;E_{m,\,0,\,{\text{en}}\,eV}}{Z_{Au}\;e}}\right)^{\!\!2}\;h^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c007b4949aebc242abe91f11ca0ccc0565cdd3)
![{\displaystyle \;O{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95462c879c4098309601d463686aeaaa0495ea2)
![{\displaystyle \;M_{P}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc15b6a9511c560178836e46d13e7a0fda76fd5)
![{\displaystyle \;1+\tan ^{2}(x)={\dfrac {1}{\cos ^{2}(x)}}{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a8d802373cc4e3f8e35a79ec92f977d658b4b7)
![{\displaystyle \;h\in \left[0\,,\,h_{\text{désacc}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fa7648e67c5e71b059d2cead462862c998fac9)
![{\displaystyle {\big )}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf218fbc487e14f73cca7693c1e60d9fce5eb3c)
![{\displaystyle \;R_{{\text{noyau}},\,A}\simeq R_{0}\;{\sqrt[{3}]{A}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6194f8d674a0d0ced8807fa21eea230c71c46d30)
![{\displaystyle \;R_{{\text{noyau d'}}Au}\simeq 1,4\times {\sqrt[{3}]{197}}\simeq 8,1\;fm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8e8fa3954af9ef369c195f54c8832f148a0d80d)
![{\displaystyle \;R_{{\text{noyau}},\,A}\simeq {R'}_{0}\;{\sqrt[{3}]{A}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b161887deb996d78d6ec477f4f9239fe7b68ca5)
![{\displaystyle \;R_{{\text{noyau d'}}He}\simeq 1,2\times {\sqrt[{3}]{4}}\simeq 1,9\;fm}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191ef1d4870fd6e8baa2b563ac09c7e58ce89659)
