Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Cas particulier du mouvement circulaire, satellites, planètes
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.
Nature uniforme du mouvement circulaire d'un point matériel dans un champ à force centrale, expression de sa période dans le cas où cette force centrale est conservativemodifier
Rappel de la 1ère intégrale 1ère du mouvement d'un point matériel M dans un champ à force centrale de centre O, conservation du moment cinétique vectoriel de M par rapport au centre de force Omodifier
Intégrale 1ère du mouvement d'un point à force centrale (non nécessairement conservative)
Il existe une intégrale 1ère du mouvement d'un point matériel à force centrale conservative ou non[1] correspondant à la conservation du moment cinétique vectoriel du point matérielpar rapport au centre de force dans le référentiel d'étude galiléen c'est-à-dire « conservation de relativement à la variation du temps » soit, mathématiquement,
Conséquences : Nature plane du mouvement de « si est à » et Conséquences : rectilignedu mouvement de M« si est à ».
Conséquences : Applicabilité de la loi des aires «» avec «» les coordonnées polaires de pôle le centre de force du point dans le plan de son mouvement[2], étant le vecteur unitaire orientant les angles du plan et « la constante des aires » si l'axe polaire passe par en étant orienté de vers et si l'angle que fait avec l'axe polaire est «», la constante des aires s'évalue par «» avec et .
Conséquences : Interprétation géométrique de la loi des aires : « vitesse aréolaire constante » plus précisément «» avec « la constante des aires » et «» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur du point matériel » lorsque ce dernier se déplace à partir de l'instant sur une durée élémentaire soit, en utilisant les coordonnées polaires de pôle le centre de force «» du point dans le plan de son mouvement[2], «».
Conséquence de la nature circulaire de centre O du mouvement de M, nature uniforme du mouvementmodifier
La trajectoire décrite par le point matériel à mouvement à force centrale étant un cercle de centre le centre de force et repérant par ses coordonnées polaires «» dans le plan de son mouvement[2], on en déduit l'équation polaire du cercle décrit par «» et, d'après la loi des aires suivie par , la vitesse angulaire de ce dernier sur le cercle «» avec « la constante des aires » c'est-à-dire la « nature uniforme du mouvement circulaire de ».
Pour que le mouvement du point matériel soumis à une force centrale soit circulaire de centre le centre de force, il est nécessaire que le vecteur vitesse initiale du point «» soit à son vecteur position initiale «» c'est-à-dire que l'angle que fait le 1er avec l'axe polaire passant par en étant orienté de vers soit égal à soit «» dont on déduit la constante des aires «» avec et et par suite la réécriture de la vitesse angulaire de sur le cercle à l'instant en fonction des C.I[3]. «» toutefois cela démontre la constance de la vitesse angulaire sans expliciter sa valeur car, pour que le mouvement de soit circulaire de centre le centre de force, ne peut pas être quelconque relativement à comme cela sera expliqué au paragraphe suivant « expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale » de ce chapitre.
Remarque : Les mouvements circulaires d’un point soumis uniquement à une force centrale ne sont pas nécessairement de centre le centre de forcemême si ce cas est le plus fréquent, tout dépend de la loi de force c'est-à-dire la façon dont l’intensité de la force varie avec et des C.I[3]. :
Remarque : contre exemple de trajectoire circulaire d’un point uniquement soumis à une force centrale conservative dont le cercle passe par le centre de force et n'est donc pas de centre : soumis uniquement à une force centrale attractive «» étant une constante , et étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage polaire de dans le plan de son mouvement on rappelle que le mouvement de étant à force centrale est plan ou rectiligne suivant les C.I[3]. de lancement lancé de avec un vecteur vitesse initiale « à » de norme «»[4] ;
Remarque : contre exemple avec ces C.I[3]. et cette loi de force on peut établir mais on ne le fera pas, bien que cela se fasse sans difficulté apparente que la trajectoire de est d'équation polaire «» et étant respectivement l'abscisse angulaire et le vecteur unitaire orthoradial du repérage polaire de dans le plan de son mouvement avec pour axe polaire passant par en étant orienté de vers c'est-à-dire le « cercle de diamètre » en effet si on multiplie l’équation polaire de part et d’autre par «» on obtient «» dans laquelle on reconnaît d'où «» courbe passant effectivement par «» équation cartésienne du « cercle de centre et de rayon » c'est-à-dire effectivement de diamètre ce qui représente donc un exemple de mouvement circulaire de point uniquement soumis à une force centrale mais dont « le cercle n'est pas de centre le centre de force»[5].
Expression de la vitesse angulaire du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservativemodifier
Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel est conservative, celle-ci s'écrit, en repérant le point par ses coordonnées polaires de pôle le centre de force dans le plan du mouvement de [2], «»[6]cette force étant la seule que subit le point matériel ; Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel M ( m ) est conservative, l'application de la r.f.d.n[7]. au point matériel dans le référentiel d'étude galiléen conduisant à
«»,
Dans le cas où la force centrale que subit le point matériel M ( m ) est conservative, sa projection sur , dans le cas où le mouvement de est circulaire de centre le centre de force, de rayon «»[8] donnant «» soit «» quantité nécessairement [9] nécessitant «» c'est-à-dire attractive[10]
«» ou «» avec «».
Expression de la période du mouvement circulaire de centre O du point M uniquement soumis à une force centrale conservativemodifier
Tout mouvement circulaire uniforme étant périodique, de période «» liée à sa vitesse angulaire constante «» par «» on en déduit que
le mouvement circulaire du point matériel de centre le centre de la force centrale conservative «»[6] agissant seule sur repéré par ses coordonnées polaires de pôle dans le plan du mouvement de [2], étant le vecteur unitaire radial lié au point étant uniforme de vitesse angulaire «» est périodique de période
«».
Remarque : Pour établir la nature périodique du mouvement de sans passer par le caractère uniforme du mouvement de ce dernier, il est possible d'utiliser l'interprétation géométrique de la loi des aires c'est-à-dire « la vitesse aréolaire constante » «» avec «» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur lorsque se déplace à partir de l'instant sur une durée élémentaire », dont on déduit «» l'aire balayée par « lorsque effectue son nème tour sur sa trajectoire circulaire » avec «» et par suite la valeur de la durée du nème tour de sur sa trajectoire circulaire «» indépendante de d'où l'établissement de la nature périodique du mouvement desur sa trajectoire circulaire de centrele centre de forcesans avoir, auparavant, établi sa nature uniformela valeur de «» déduite de la vitesse aréolaire associée à la valeur de la constante des aires en fonction des C.I[3]. «» avec et soit «» «» ou encore, avec utilisant que la vitesse d'un point sur un cercle est orthoradiale, «» c'est-à-dire l'expression de la période de révolution d'un point en mouvement circulaire uniforme mais,
Remarque : tant que l'on n'utilise pas la loi de force, il est impossible d'expliciter la valeur de la période du mouvement, laquelle dépend évidemment de la façon dont le mouvement circulaire est imposé par la force centrale conservative «»[6], et étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage polaire de dans le plan de son mouvement[2].
Application aux mouvements circulaires d'un satellite ou d'une planètemodifier
Les mouvements de satellite considéré comme ponctuel autour de la Terre ou de planète également considérée comme ponctuelle autour du Soleil sont des mouvements à force centrale de centre de force respectif « le centre de la Terre » ou « celui du Soleil » conservative, l'interaction entre satellite et Terre ainsi qu'entre planète et Soleil étant gravitationnelle donc attractive correspondant à une force newtonienne[11] ;
ces mouvements, sous C.I[3]. à préciser, sont elliptiques[12] et, parmi ceux-ci nous étudierons les cas particuliers de « mouvements circulaires » nécessitant des C.I[3]. plus restrictives.
Application au cas d'une force newtonienne attractivemodifier
On rappelle que le point matériel est soumis à une force newtonienne attractive si celle-ci s'écrit « avec »[11], et étant respectivement la coordonnée radiale de et le vecteur unitaire radial lié à de son repérage sphérique de pôle le centre de forceou de son repérage polaire de pôle le centre de force dans le plan du mouvement de [2] si ce dernier n'est soumis qu'à la force newtonienne attractive ; cette force attractive peut être de nature
gravitationnelle « vaut alors » avec « la constante de gravitation universelle » et « la masse de la source à l'origine du champ de gravitation newtonien » ou
électrostatique « vaut alors » avec « où est la permittivité diélectrique du vide[13] », « la charge de la source à l'origine du champ électrostatique newtonien », charge de signe opposé à celui de la charge du point matériel pour que la force newtonienne électrostatique soit attractive.
De même on rappelle que le mouvement du point matériel soumis à une force centrale conservative «»[6] est circulaire de centre le centre de force ssi
les vecteurs vitesse et position initiales sont c'est-à-dire «» et
En utilisant les deux rappels on conclut que le mouvement du point matériel soumis à une force newtonienne attractive « avec »[11] est circulaire de centre le centre de force[14] ssi
les vecteurs vitesse et position initiales sont c'est-à-dire «» et
leurs normes sont liées par la loi de force selon «» avec et soit encore «», la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale s'écrivant «».
Dans le cas d'une force newtonienne électrostatique attractive, la norme de la vitesse initiale pour que le mouvement de soit circulaire[14] s'écrit «» une période de révolution «» exemple : le modèle classique de l'atome d'hydrogène avec « la charge du noyau », « la charge de l'électron étant la charge élémentaire » et « la masse de l'atome ».
Dans le cas d'une force newtonienne gravitationnelle, la norme de la vitesse initiale pour que le mouvement de soit circulaire[14] s'écrit «»[15] une période de révolution «» exemple : tout objet dans le champ d’attraction d’une planète ou étoile avec « la masse de la planète ou de l'étoile », la période de révolution étant indépendante de la masse de l'objet.
Mouvement circulaire d'une planète du Système solairemodifier
Préliminaire : On a vu dans la note « 63 » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » que la planète du Système solaire ayant la trajectoire la plus excentrique est « Mercure (☿), », la suivante par ordre d’excentricité étant « Mars (♂), » et celle la moins excentrique « Vénus (♀), », la « Terre (♁) » se situant en 6ème position du Système solaire par excentricité avec «», la 7ème position étant occupée par « Neptune (♆) » avec «» ;
Préliminaire : ainsi, mis à part « Mercure (☿) », on peut, en 1ère approximation, considérer les trajectoires des planètes du Système solaire comme circulaires.
Dans l'exemple du mouvement circulaire des planètes du Système solaire le centre attractif est le centre du « Soleil (☉) », la vitesse de la planète sur son orbite supposée circulaire de rayon «» est «»[15] dans laquelle « est la constante de gravitation universelle » et « la masse du Soleil (☉) », sa période de révolution dans le référentiel de Copernic[16] «» :
dans le cas de la « Terre (♁) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «[17] soit », on trouve une vitesse orbitale «» soit approximativement «» et une période de révolution «»[18] ou, par définition d'une « année sidérale de symbole »[19] «» ;
dans le cas des planètes telluriques dont la « Terre (♁) » est la 3ème en partant du « Soleil (☉) » on trouve respectivement pour « Mercure (☿) » en remplaçant sa trajectoire elliptique par une trajectoire circulaire dont le rayon serait le demi-grand axe de l'ellipse c'est-à-dire assimilé à dans lequel [17] et [17] sont respectivement les distances séparant son périhélie et son aphélie au centre du « Soleil (☉) » soit « assimilé à »[17], «» soit approximativement «» et une période de révolution dans l'hypothèse d'un mouvement circulaire «»[18],[20], pour « Vénus (♀) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «»[17], «» soit approximativement «» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic[16] «»[18], pour « Mars (♂) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «»[17], «» soit approximativement «» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic[16] «»[18] ou «»[19] ;
dans le cas des planètes géantes toutes situées au-delà de « Mars (♂) » on trouve respectivement pour « Jupiter (♃) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «»[17], «» soit approximativement «» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic[16] «»[18] ou «»[19], pour « Saturne (♄) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «»[17], «» soit approximativement «» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic[16] «»[18] ou «»[19], pour « Uranus (♅) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «»[17], «» soit approximativement «» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic[16] «»[18] ou «»[19], pour « Neptune (♆) » décrivant une trajectoire quasi-circulaire de rayon «»[17], «» soit approximativement «» et une période de révolution dans le référentiel de Copernic[16] «»[18] ou «»[19].
Mouvement circulaire d'un satellite de la Terremodifier
Préliminaire : La plupart des satellites de la « Terre (♁) » ont, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, une trajectoire elliptique dont le centre de la « Terre (♁) » est un des foyers et dont l'excentricité est non nulle mais quelques uns d'entre eux sont lancés avec des C.I[3]. telles que leur trajectoire soit circulaire de centre de la « Terre (♁) » ;
Préliminaire : ici nous ne nous intéressons qu'aux satellites de la « Terre (♁) » ayant une trajectoire circulaire dans le référentiel géocentrique supposé galiléen.
Dans l'exemple du mouvement circulaire des satellites terrestres le centre attractif est le centre de la « Terre (♁) », la vitesse du satellite terrestre sur son orbite supposée circulaire de rayon «» est «»[15] dans laquelle « est la constante de gravitation universelle » et « la masse de la Terre (♁) », Dans l'exemple du mouvement circulaire des satellites terrestres le centre attractif est le centre de la « Terre (♁) », la période de révolution du satellite terrestre à trajectoire circulaire de rayon «» dans le référentiel géocentrique est «» :
dans le cas du satellite naturel terrestre « la Lune (☽) », décrivant une trajectoire quasi-circulaire[21] de rayon «[17] soit », on trouve une vitesse orbitale «» soit approximativement «» et une période de révolution dans le référentiel géocentrique «»[18] définissant le « mois sidéral lunaire » ;
dans le cas des satellites artificiels terrestres décrivant une trajectoire circulaire, on trouve une vitesse orbitale et une période de révolution dans le référentiel géocentrique dépendant du rayon de l'orbite circulaire décrite «» soit avec «» soit à d'altitude, «» soit «» et «», avec «» soit au ras du sol terrestre[22], «» soit «» c'est-à-dire approximativement «» et «», quand l'altitude «»[23] du satellite terrestre on note que « sa vitesse circulaire comme »[23] et que « sa période de révolution comme »[23].
Établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite ou d'une planètemodifier
Les mouvements de satellite considéré comme ponctuel autour de la Terre ou de planète également considérée comme ponctuelle autour du Soleil étant des mouvements à force centrale de centre de force respectif « le centre de la Terre » ou « celui du Soleil » conservative, avec une interaction entre satellite et Terre ainsi qu'entre planète et Soleil gravitationnelle donc attractive correspondant à une force newtonienne[11], ces mouvements, sous C.I[3]. à préciser, sont elliptiques[12] ;
on peut donc appliquer, à ces derniers, la 3ème loi de Kepler[24] établie au paragraphe « 3ème loi de Kepler » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » énonçant que « le rapport avec le demi-grand axe de l'ellipse décrite par le satellite ou la planète dans sa révolution autour de son centre d'attraction et la période de révolution correspondante dans le référentiel galiléen géocentrique pour le satellite ou de Copernic[16] pour la planète est une constante indépendante de la masse du satellite ou de la planète subissant l'attraction gravitationnelle de la Terre (♁) ou du Soleil (☉) » et
parmi les mouvements elliptiques ci-dessus, certains, avec des C.I[3]. plus restrictives conduisant à une excentricité nulle, correspondent à un « mouvement circulaire » pour lequel la 3ème loi de Kepler[24] s'applique, « le demi-grand axe de l'ellipse devant être remplacé par le rayon du cercle ».
Dans ce paragraphe nous nous proposons de démontrer directement la 3ème loi de Kepler[24] dans ces cas particuliers
Établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'une planètemodifier
On applique la r.f.d.n[7]. à la planète étudiée dans le référentiel de Copernic[16] et on projette sur vecteur unitaire radial du repérage polaire de pôle le centre du Soleil (☉) de la planète dans le plan de la trajectoire de cette dernière pour déterminer la vitesse linéaire «» ou la vitesse angulaire «» en fonction du rayon de l’orbite circulaire «»[25] soit :
«» soit, en projetant sur , «»[8] ou «» donnant finalement «» «» ;
on détermine alors la période de révolution de la planète dans le référentiel de Copernic[16] par «»[26]ou par «» puis
on élève au carré soit «» «» constituant la 3ème loi de Kepler[24] pour les planètes du Système solaire en mouvement circulaire.
Établissement direct de la 3ème loi de Kepler dans le cas particulier d'un mouvement circulaire d'un satellite autour de la Terremodifier
On applique la r.f.d.n[7]. au satellite étudié dans le référentiel géocentrique et on projette sur vecteur unitaire radial du repérage polaire de pôle le centre de la Terre (♁) du satellite dans le plan de la trajectoire de ce dernier pour déterminer la vitesse linéaire «» ou la vitesse angulaire «» en fonction du rayon de l’orbite circulaire «»[25] soit :
«» soit, en projetant sur , «»[8] ou «» donnant finalement «» «» ;
on détermine alors la période de révolution du satellite dans le référentiel géocentrique par «»[26]ou par «» puis
on élève au carré soit «» «» constituant la 3ème loi de Kepler[24] pour les satellites terrestres en mouvement circulaire.
Complément[27] : Pour le satellite naturel de la « Terre (♁) », à savoir la « Lune (☽) », la 3ème loi de Kepler[24] doit être adaptée car, la masse de la Lune (☽) n'étant pas négligeable devant celle de la Terre (♁), le référentiel barycentrique du système « Terre (♁), Lune (☽) » considérées comme ponctuelles[28] ne s'identifie pas au référentiel géocentrique et par suite,
Complément : la période de révolution de la « Lune (☽) » dans le référentiel géocentriquelié au « centre de la Terre (♁) » en translation relativement au référentiel de Copernic[16] galiléens'identifiant à celle du « mobile réduit» du système « Terre (♁), Lune (☽) »[29]dans le référentiel barycentrique du système, en supposant que s'applique sur le mobile réduitla force d'attraction gravitationnelle que la Terre (♁) exerce sur la Lune (☽) «»[30] de norme «» « étant le centre de la Lune (☽) » laquelle s'écrivant encore, en utilisant la définition du mobile réduit du système « Terre (♁), Lune (☽) »[29] «», «» avec , s'interprète en considérant que la force à appliquer au « mobile réduit» dans le référentiel barycentrique du système « Terre (♁), Lune (☽) » résulte d'une interaction gravitationnelle de « centre», d'où
Complément : le mouvement barycentrique du mobile réduit étant un mouvement à force centrale conservative de centre de force on en déduit que la période de révolution du « mobile réduit » du système « Terre (♁), Lune (☽) » dans le référentiel barycentrique de ce dernier s'écrit «» et par suite,
Complément : la période de révolution de la « Lune (☽) » dans le référentiel géocentrique s'obtenant par «» on en déduit, avec la définition du mobile réduit du système « Terre (♁), Lune (☽) »[29], «» soit
Complément : l'adaptation de la 3ème loi de Kepler[24] au mouvement géocentrique de la « Lune (☽) » «».
Généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planète ou d'un satellitemodifier
La 3ème loi de Kepler[24] appliquée à un point matériel uniquement soumis à une force newtonienne attractive conservative de centre de force quand décrit un mouvement elliptique a été établie au paragraphe « 3ème loi de Kepler » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », elle énonce que « le rapport avec le demi-grand axe de l'ellipse décrite par dans sa révolution autour de son centre de force et la période de révolution correspondante dans le référentiel d'étude galiléen est une constante indépendante de » ;
Généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'une planètemodifier
On admet qu’on obtient la 3ème loi de Kepler[24] pour une planète du Système solaire décrivant une trajectoire elliptique dans le référentiel de Copernic[16] adaptée à partir de celle pour une planète à orbite circulaire dans le même référentiel en remplaçant le rayon de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe de l’orbite elliptique sans autre modification d’où
«».
Généralisation de la 3ème loi de Kepler au cas d'un mouvement elliptique d'un satellite autour de la Terremodifier
On admet qu’on obtient la 3ème loi de Kepler[24] pour un satellite terrestre décrivant une trajectoire elliptique dans le référentiel géocentrique adaptée à partir de celle pour un satellite à orbite circulaire dans le même référentiel en remplaçant le rayon de la trajectoire circulaire par le demi-grand axe de l’orbite elliptique sans autre modification d’où
↑ Dans le cas où la force centrale n'est pas conservative c'est la seule intégrale 1ère du mouvement.
↑ 2,02,12,22,32,42,5 et 2,6 Le cas où le mouvement de est rectiligne peut être considéré comme un cas particulier d'un mouvement plan mais dans ce cas le plan est indéterminé avec pour seule exigence que la trajectoire rectiligne de soit dans le plan, la conséquence en étant que l'abscisse angulaire de reste constante.
↑ Cette vitesse initiale correspondant à une énergie cinétique initiale «» et la force «» étant conservative et dérivant de l'énergie potentielle en choisissant sa référence à l'infini, ce qui correspond à une énergie potentielle initiale «», les conditions initiales de lancement correspondent à une énergie mécanique initiale «», hors ces conditions le mouvement n'est pas circulaire ceci n'étant vrai que pour la loi de force envisagée.
↑ Dans cet exemple de mouvement circulaire de centre différent du centre de force l'équation de la trajectoire étant «», le mouvement n'est pas uniforme en effet, d'après la note « 4 » plus haut dans ce chapitre, la force «» est conservative dérivant de l'énergie potentielle « avec référence à l'infini » et étant uniquement soumis à une force centrale conservative, son énergie mécanique est conservée soit «» la valeur de «» ayant été déterminée dans la note « 4 » plus haut dans ce chapitre d'où «» variant comme d'où un mouvement non uniforme.
↑ La nullité de cette quantité étant à rejeter car un mouvement circulaire ne peut pas se faire avec une vitesse angulaire nulle.
↑ Dans le cas où la force centrale conservative subie par le point matériel est répulsive, le mouvement de ce dernier ne peut pas être circulaire de centre le centre de force.
↑ La permittivité diélectrique du videplus généralement d'un milieu isolant est une constante caractérisant la réponse du vide ou celle du milieu isolant à l'action d'un champ électrique plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.
↑ 14,014,1 et 14,2 La trajectoire d'un point matériel soumis uniquement à une force newtonienne attractive étant une conique de foyer voir le paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne attractive (k < 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » c'est-à-dire, avec des conditions initiales permettant une trajectoire bornée, une ellipse dont le centre de force est l'un des foyers et, sous conditions initiales plus particulières où l'excentricité de l'ellipse est nulle, un cercle de centre les deux foyers d'une ellipse d'excentricité nulle étant confondus avec son centre de symétrie ; Aussi le mouvement circulaire d'un point matériel uniquement soumis à une force newtonienne attractive étant nécessairement de centre le centre de force il est inutile de le préciser
↑ 17,0017,0117,0217,0317,0417,0517,0617,0717,0817,09 et 17,10 C.-à-d. unité astronomique unité adaptée pour exprimer les distances du Système solaire choisie égale à la distance moyenne séparant les centres du Soleil et de la Terre soit «».
↑ 19,019,119,219,319,4 et 19,5 Avec «» définissant une année sidérale c'est-à-dire l'intervalle de temps que met la Terre (♁) pour effectuer une révolution complète sur son orbite dans le référentiel de Copernic.
↑ En considérant la nature elliptique d'excentricité «» de la trajectoire de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic ainsi que la valeur du demi-grand axe de cette dernière «» on en déduit celle de son paramètre voir les paragraphes « principales propriétés d'une ellipse (utilisant sa définition bifocale) » et « définition monofocale d'une conique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » «» voir le paragraphe « établissement de la définition bifocale d'une ellipse à partir de sa définition monofocale (détermination du demi-grand axe en fonction du paramètre et de l'excentricité) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » soit «» puis, en utilisant son expression dans le cas d'une attraction gravitationnelle newtonienne «» voir le paragraphe « nature de la trajectoire dans le cas d'une force newtonienne attractive (k < 0) » du chap. de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans laquelle est la constante des aires du mouvement de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic d'où l'évaluation de la valeur absolue de cette dernière «» ; au périhélie et à l'aphélie de la trajectoire de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic, le vecteur vitesse étant au rayon vecteur, leur composante radiale est nulle et leur composante orthoradiale pouvant être déterminée par application de la loi des aires sous la forme «», de «» on en déduit la norme des vecteurs vitesse en ces deux points et sachant que «» et en utilisant «» «» soit «» et «» alors qu'on trouvait, en remplaçant la trajectoire elliptique de « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic par une trajectoire circulaire de rayon « assimilé à », «» ; on peut aussi déterminer la période de révolution de la planète « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic en considérant la nature elliptique d'excentricité «» de sa trajectoire, soit «», par utilisation de l'aspect « vitesse aréolaire constante égale à » de la loi des aires «» aire de l'intérieur d'une ellipse, voir le paragraphe « exemples d'aire de surface classique (à retenir) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou, avec voir le paragraphe « principales propriétés d'une ellipse » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » où dans lequel , «» d'où «» c'est-à-dire la même valeur de période de révolution de la planète « Mercure (☿) » dans le référentiel de Copernic que celle trouvée en supposant une trajectoire circulaire de rayon «» soit «».
↑ L'excentricité de l'orbite lunaire autour de la Terre étant «» peut être, en 1ère approximation, considérée comme nulle d'où une trajectoire de « la Lune (☽) » quasi-circulaire dans le référentiel géocentrique.
↑ Ce qui n'est évidemment pas réaliste compte-tenu des obstacles possibles.
↑ 23,023,1 et 23,2 La Terre (♁) étant assimilée à une boule de rayon «».
↑ 24,0024,0124,0224,0324,0424,0524,0624,0724,08 et 24,09Johannes Kepler (1571 - 1630) est un astronome germanique célèbre pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernichypothèse que son professeur de mathématiques Michæl Mæstlin lui enseigna ainsi qu’à tous ses meilleurs étudiants à l’Université de Tübingen alors que l’enseignement officiel que M. Mæstlin donnait aux autres étudiants était toujours fondé sur l’hypothèse géocentrique de Ptolémée affirmant avec N. Copernic que la Terre tourne autour du Soleil et découvrant que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques ; en , poursuivi pour ses convictions religieuses il était ministre du culte luthérien et ses idées coperniciennes, il se réfugie à Prague pour devenir l’assistant de l’astronome danoisTycho Brahe, ce dernier faisant des observations très précises des mouvements des planètes mais d’après J. Kepler étant incapable de les exploiter correctement T. Brahe ne croyait pas à l’héliocentrisme de Copernic, ni d’ailleurs au géocentrisme de Ptolémée, l’hypothèse qu’il soutenait plaçait la Terre au centre du monde, le Soleil ayant un mouvement circulaire autour de cette dernière et les autres planètes un mouvement circulaire autour du Soleil et non autour de la Terre comme dans le géocentrisme de Ptolémée ; T. Brahe demande alors à J. Kepler de calculer l’orbite précise de Mars, travail que ce dernier commence en et qu’il pensait réaliser en quelques semaines mais qui lui demanda près de six ans de calcul, période pendant laquelle il dégagea ses deux 1ères lois, sa 3ème loi étant découverte près de plus tard. Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais à qui on doit essentiellement la théorie physique de l'« héliocentrisme » consistant à considérer que c'est le Soleil et non la Terre qui est au centre du Système solaire. Michæl Mæstlin (1550 - 1631) astronome et mathématicien allemand, connu essentiellement pour avoir été le mentor de Johannes Kepler ; on lui doit aussi le premier calcul connu de l'inverse du nombre d'or en . Ptolémée (né vers l'an 100 - mort vers l'an 168) astronome et astrologue grec ayant vécu à Alexandrie (Égypte), on lui doit un traité d'astronomie connu de nos jours sous le nom d'Almagesteune somme des connaissances les plus avancées pour l'époque en mathématiques et astronomie et un traité de géographie une synthèse des connaissances géographiques du monde gréco-romain. Tycho Brahe (1546 - 1601) astronome danois ayant privilégié l'observation astronomique, il recueille ainsi un nombre très important de données beaucoup plus précises que celles obtenues par ses prédécesseurs ; il observe entre autres la Supernova de 1572 ainsi que la grande comète de 1577 qui lui permettent d'affirmer que ce ne sont pas des phénomènes atmosphériques
↑ Référentiel lié au centre d'inertie C.D.I. du système « Terre (♁), Lune (☽) » considérées comme ponctuelles en translation relativement au référentiel géocentrique.