Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités

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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes,
l'espace physique étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite ».

Définition du mouvement d'un point à force centrale, exemples

Définition d'une force centrale

Force centrale

     Une force $\;{\vec {F}}\;$ appliquée à un point matériel $\;M\;$ est centrale dans un référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ si son support passe par un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ ;

     dans la base locale sphérique de pôle $\;O\;$ associée au point $\;M\;$ «$\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)\;$» la force centrale s’écrit «$\;{\vec {F}}=F\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\,{\vec {u}}_{r}\;$» ;

• si «$\;F\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» est «$\;>0\;$» la force est dite « centrifuge » et
• si «$\;F\!\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)\;$» est «$\;<0\;$» elle est dite       « centripète ».

Définition du mouvement d'un point à force centrale

Mouvement d'un point à force centrale

     Un point $\;M\;$ a un « mouvement à force centrale » si « la seule force » à laquelle il est soumis $\;{\big (}$ou si « la résultante de toutes les forces » qui lui sont appliquées${\big )}\;$ est « centrale ».

Exemples

Liste non exhaustive.

Point matériel M qui n'est soumis qu'à une force de rappel linéaire relativement à un point fixe O

     $\;\succ \;$1^er exemple de « point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale » : si $\;M\;$ n'est soumis qu'à la force «$\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste>0\;$», le signe «$\;-\;$» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action $\;O\;$ $\;{\big [}$en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «$\;k\;r\;$», étant toujours «$\;>0\;$ pour $\;M\neq O\;$» la force est « centripète » relativement au point $\;O$, conférant à ce dernier une action attractive sur le point matériel $\;M{\big ]}$.

            Exemple de matérialisation : Un point matériel $\;M\;$ soumis à la force créé par un ressort de raideur «$\;k\;$» et de longueur à vide « nulle » dont une extrémité est reliée à $\;M$, l'autre extrémité $\;O\;$ étant fixe, les éventuelles autres forces appliquées à $\;M\;$ se compensant à tout instant ;

            Exemple de matérialisation : la coordonnée radiale de $\;M\;$ à savoir «$\;r\;$» est égale à « la longueur du ressort » et, dans la mesure où sa longueur à vide est « nulle », «$\;r\;$» s'identifie aussi à « l'allongement du ressort » et par suite, l'expression de la force suit la loi de Hooke.

            Le point matériel $\;M\;$ dans un « champ de force de ce type » c'est-à-dire $\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste>0\;$» sans autres forces définit un « oscillateur harmonique spatial ».

Point matériel dans un champ newtonien et qui n'est soumis à aucune autre force

     Deux principaux champs de forces newtoniennes sont connus :

• celui que crée un astre de forme sphérique avec une répartition de masse à symétrie sphérique sur un point matériel $\;M\;$ situé à l'extérieur de l'astre $\;{\big [}$la force exercée étant la force d'attraction gravitationnelle de Newton${\big ]}\;$ et
• celui que crée un point matériel chargé, fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, sur un point matériel $\;M\;$ également chargé, l'espace séparant les deux charges étant le vide $\;{\big [}$la force exercée étant la force d'action électrostatique de Coulomb${\big ]}$ ;

     si le point matériel $\;M\;$ « n'est soumis qu'à cette force newtonienne » ou s'il est soumis à cette force newtonienne avec d'autres forces se compensant, « le mouvement de $\;M\;$ est à force centrale ».

     $\;\succ \;$2^ème exemple de « point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale », mouvement de la Terre dans le champ gravitationnel du Soleil étudié dans le référentiel de Copernic : en 1^ère approximation la Terre « ♁ » assimilée à un point matériel $\;M_{\text{♁}}\;$ de masse $\;m_{\text{♁}}\;$ n'est soumis qu'à la force gravitationnelle créée par le Soleil « ☉ » assimilée à un point matériel $\;M_{\text{☉}}\;$ de masse $\;m_{\text{☉}}\;$ «$\;{\vec {F}}_{{\text{gravit}},\,{\text{♁}}\,\leftarrow \,{\text{☉}}}(M_{\text{♁}})$ $=-{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans laquelle $\;r\;$ est la coordonnée radiale de $\;M_{\text{♁}}\;$ dans le repérage sphérique de pôle $\;M_{\text{☉}}$, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le 1^er vecteur de base sphérique lié à $\;M_{\text{♁}}\;$ et $\;{\mathcal {G}}\;$ la constante de gravitation universelle valant $\;{\mathcal {G}}=6,67\;10^{-11}\;U.S.I.\;$», le signe «$\;-\;$» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action $\;M_{\text{☉}}\;$ $\;{\bigg [}$en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «$\;{\mathcal {G}}\;{\dfrac {m_{\text{☉}}\;m_{\text{♁}}}{r^{2}}}\;$», étant toujours «$\;>0$, la force est « centripète » relativement au point $\;M_{\text{☉}}$, conférant à ce dernier une action attractive sur $\;M_{\text{♁}}{\bigg ]}$.

            Exemples analogues : $\;\blacktriangleright \;$ l'une des sept autres planètes ou une comète dans le champ gravitationnel du Soleil étudié dans le référentiel de Copernic,

            Exemples analogues : $\;\blacktriangleright \;$ satellite artificiel dans le champ gravitationnel de la Terre étudié dans le référentiel géocentrique ou

            Exemples analogues : $\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ satellite artificiel dans celui champ gravitation d’une autre planète étudié dans le référentiel « planétocentrique ».

     $\;\succ \;$3^ème exemple de « point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale », mouvement d'un ion M dans le champ électrostatique d'un autre ion O étudié dans le référentiel lié à l'ion source $\;O$ : un ion assimilée à un point matériel $\;M\;$ de charge $\;q\;$ n'est soumis qu'à la force électrostatique créée par un autre ion assimilée à un point matériel $\;O\;$ de charge $\;q_{O}\;$ «$\;{\vec {F}}_{{\text{électrostat}},\,M\,\leftarrow \,O}(M)={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}\;r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans laquelle $\;r\;$ est la coordonnée radiale de $\;M\;$ dans le repérage sphérique de pôle $\;O$, $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le 1^er vecteur de base sphérique lié à $\;M\;$ et $\;\varepsilon _{0}\;$ la permittivité diélectrique du vide telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}=$ $9\;10^{9}\;U.S.I.\;$», le signe «$\;+\;$» assurant le caractère « répulsif » de la force relativement au centre d'action $\;O\;$ dans le cas où les charges $\;q\;$ et $\;q_{0}\;$ sont de même signe $\;{\big [}$la force étant alors « centrifuge »${\big ]}\;$ et le caractère « attractif » de cette force relativement au centre d'action $\;O\;$ dans le cas où les charges $\;q\;$ et $\;q_{0}\;$ sont de signe contraire $\;{\big [}$la force étant alors « centripète »${\big ]}.$

1^ère intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force

Schéma de description d'un mouvement à force centrale

     Le point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ repéré, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, par ses coordonnées sphériques $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$, acquiert, relativement à $\;{\mathcal {R}}$, un « mouvement à force centrale » dans la mesure où $\;M\;$ n'est soumis qu'à l'action d'« une seule force centrale » $\;{\big (}$le centre d'action de la force, fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, étant noté $\;O\;$ et choisi comme pôle du repérage sphérique de $\;M{\big )}$ «$\;{\vec {F}}(M)={\overline {F}}\!\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)\;{\vec {u}}_{r}\;$» ;

     appliquant le théorème du moment cinétique vectoriel à $\;M\;$ par rapport au point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, on obtient «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]=$ ${\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)}{dt}},\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)=r\;{\vec {u}}_{r}\wedge {\overline {F}}\!\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)\;{\vec {u}}_{r}={\vec {0}}\;$» d'où «$\;{\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)}{dt}}={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» et par suite, en intégrant relativement au temps, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)={\overrightarrow {cste}}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {cste}}\;$ déterminé par C.I. » soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)={\vec {\sigma }}_{O}(M,\,0)\;$» c'est-à-dire la « conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$» $\;{\big [}$pour la suite nous noterons «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ pour $\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,t)\;$» et «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$ pour $\;{\vec {\sigma }}_{O}(M,\,0)\;$»${\big ]}$.

Intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale (non nécessairement conservative)

     Il existe une intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ à force centrale $\;{\big (}$conservative ou non${\big )}\;$ correspondant à la conservation du moment cinétique vectoriel du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen c'est-à-dire « conservation de $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$ ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ relativement à la variation du temps $\;t\;$» soit, mathématiquement, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0),\;\;\forall \;t\;$ avec $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\;$» ou,
après simplification par $\;m$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0),\;\;\forall \;t\;$».

1^ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : « nature plane (ou rectiligne) du mouvement »

Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires

Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point sont colinéaires

     Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ étant nul c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {0}}\;$», de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ on en déduit la nullité de ce dernier pour tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore, après simplification par $\;m$,

«$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ;

                                                                                                       «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant colinéaires pour tout $\;t\;$», on déduit que le mouvement du point $\;M\;$ est rectiligne selon $\;\left(OM_{0}\right)$ $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$ $\;{\big \{}$pour le justifier on peut procéder par récurrence${\big \}}$.

Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales ne sont pas colinéaires, l'espace physique étant « orienté à droite »

Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point ne sont pas colinéaires

     Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ étant non nul c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\neq {\vec {0}}\;$», de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport à $\;O\;$ c'est-à-dire de

«$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0),\;\;\forall \;t\;$», on en déduit

     Si «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\nparallel }\;$ à $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}}\;$» la non nullité de «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$» ainsi que la conservation de sa direction pour tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)=$ ${\overrightarrow {OM}}(t)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ de direction constante $\;\forall \;t\;$» $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$ ou encore, après simplification par $\;m$,

«$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)\neq {\vec {0}}\;$ de direction constante $\;\forall \;t\;$» ;

     Si «$\;\color {transparent}{{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}}\;$ est $\;\color {transparent}{\nparallel }\;$ à $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}}\;$» en utilisant la définition du produit vectoriel, on en déduit que «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\;$ et $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ sont toujours $\;\perp \;$ à cette direction fixe » et par suite « le mouvement du point $\;M\;$ se fait dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$» c'est-à-dire « le plan contenant $\;O$, $\;M_{0}\;$ et $\;{\vec {V}}_{0}\;$».

2^ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la « loi des aires »

L'applicabilité de la « loi des aires » pour le « mouvement d'un point matériel $\;M\;$ à force centrale » doit être connue sans hésitation $\;{\big (}$ainsi que sa justification${\big )}$.

Choix du repère cartésien lié au référentiel d’étude dans lequel O est fixe

     $\;\succ \;$Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», le mouvement étant rectiligne suivant $\;\left(OM_{0}\right)$, on choisit pour « axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» la « droite passant par $\;O\;$ contenant $\;M_{0}\;$ et orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}\;$» ; le mouvement de $\;M\;$ se fait alors le long de $\;{\overrightarrow {Ox}}$.

     $\;\succ \;$Si «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», le mouvement étant plan $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)$, on choisit pour « axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$» la « droite passant par $\;O\;$ contenant $\;M_{0}\;$ et orienté de $\;O\;$ vers $\;M_{0}\;$» et pour « axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$» un « axe $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ tel que $\;{\vec {V}}_{0}\;$ soit contenu dans le plan $\;xOy\;$», l'« axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$» étant «$\;\perp \;$ aux deux autres axes tel que «$\;\left({\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right)\;$ soit direct $\;{\big (}$l'espace physique étant orienté à droite${\big )}\;$» ; le vecteur moment cinétique initial de $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\;$» est alors colinéaire à $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ et le mouvement de $\;M\;$ se faisant dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)$, se fait alors dans le plan $\;xOy$.

Définition de la constante des aires « C »

     Dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», le vecteur moment cinétique initial de $\;M\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)\neq {\vec {0}}\;$» étant colinéaire à $\;{\overrightarrow {Oz}}$, il en est de même de «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\neq {\vec {0}}\;$».

Définition de la constante des aires « C »

     Dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire dans le cas où $\;M\;$ a un mouvement plan passant par le centre de force $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{z}$, on définit la constante des aires $\;C\;$ selon «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}\neq 0\;$».

     Remarque : dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», on a alors «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(0)={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge m\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}={\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)={\vec {0}}\;$» ;

Schémas de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires $\;{\big (}$schéma de gauche${\big )}\;$ ou non colinéaires $\;{\big (}$schéma de droite${\big )}$

     Remarque : seul l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ ayant été défini car les deux autres axes $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ ne jouent aucun rôle, on choisit alors ces derniers quelconques dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;{\big (}$voir schéma de gauche ci-contre${\big )}\;$ et on peut encore définir la constante des aires $\;C\;$ par «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$».

     Détermination de la constante des aires dans le cas où elle n'est pas nulle $\;{\Big [}$c'est-à-dire dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$»${\Big ]}$ $\;{\big (}$voir schéma de droite ci-contre${\big )}$ : avec «$\;{\overrightarrow {OM_{0}}}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}$, $\;r_{0}\;$ étant $\;>0\;$» et «$\;{\vec {V}}_{0}=$ $v_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}$, $\;v_{0}\;$ étant égal à $\;\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert >0\;$ et $\;\alpha _{0}\;$ algébrisé par $\;{\vec {u}}_{z}\;$ égal à $\;{\widehat {\left({\vec {u}}_{x}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$» on en déduit «$\;C\;{\vec {u}}_{z}={\overrightarrow {OM_{0}}}\wedge {\vec {V}}_{0}=r_{0}\;{\vec {u}}_{x}\wedge \left[v_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}+v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{y}\right]=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{z}\;$» soit finalement

«$\;C=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$» $\;{\big (}$sur le schéma de droite ci-dessus, $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ «$\;C>0\;$»${\big )}$ ;

               autre façon pour déterminer «$\;C\;$» dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» $\;{\big (}$voir schéma de droite ci-dessus${\big )}$ :

               $\;\succ \;$chercher le signe de $\;C\;$ en regardant dans quel sens le mouvement de $\;M\;$ commence initialement, « ici $\;{\vec {V}}_{0}\;$ est disposé de tel façon que le mouvement de $\;M\;$ commence initialement dans le sens $\;+\;$» d’où «$\;C>0\;$» puis

               $\;\succ \;$chercher sa valeur absolue selon «$\;\vert C\vert =\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert \;d\;$» où «$\;d\;$ est le bras de levier de $\;{\vec {V}}_{0}\;$» $\;{\big (}$c'est-à-dire la distance orthogonale séparant $\;O\;$ du support de $\;{\vec {V}}_{0}\;$${\big )}\;$ soit «$\;d=r_{0}\;\vert \sin(\alpha _{0})\vert \;$» dont on déduit «$\;\vert C\vert =v_{0}\;r_{0}\;\vert \sin(\alpha _{0})\vert \;$» et enfin

               $\;\succ \;$on en tire la valeur algébrique de $\;C\;$ en rassemblant les deux informations soit

«$\;C=r_{0}\;v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$».

Établissement de la « loi des aires »

     Supposant « plan » le mouvement à force centrale du point matériel $\;M\;$ et repérant ce dernier dans le plan $\;xOy\;$ de son mouvement par ses coordonnées polaires de pôle « le centre de force $\;O\;$» soit «$\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$», la base polaire liée à $\;M\;$ étant «$\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$» d’où, à l'instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» et «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» dont on déduit, au même instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)$ $=r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\wedge \left[{\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\right]=r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}\;$» ;

     de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ relativement à $\;O$, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0)\;$», ou de la relation de conservation obtenue en divisant par la masse de $\;M$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)=C\;{\vec {u}}_{z}\;$», on en déduit $\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{z}=C\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$».

Début d’un théorème

Énoncé de la « loi des aires »

     L'intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale « plan » dans le plan $\;xOy\;$ avec le centre de force $\;O\;$ choisi comme pôle du repérage polaire de $\;M$, ce dernier y ayant «$\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$» comme coordonnées polaires à l'instant $\;t$, à savoir « la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ par rapport au point $\;O\;$» prend la forme, projetée sur l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\perp \;$ au plan $\;xOy\;$ et orientant ce dernier, de « la loi des aires » s'écrivant selon «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$» dans laquelle «$\;C\;$ est la constante des aires ».

Fin du théorème

     Remarques : $\;\succ \;$Dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», nous avons établi, par récurrence, la nature « rectiligne » du mouvement de $\;M\;$ le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$ et introduit la notion de constante des aires $\;C\;$ dans le paragraphe « définition de la constante des aires “ C ” (remarque) » plus haut dans ce chapitre, obtenant ainsi «$\;C=0\;$» mais, pour que cette introduction ait un sens, il reste à établir la « validité de la loi des aires dans le cas où $\;C=0\;$» $\;{\big [}$plus précisément nous allons établir la validité de la loi des aires dans le cas où $\;C=0\;$ sans tenir compte du caractère rectiligne du mouvement de $\;M$, ce qui permettra de démontrer d'une autre façon la nature rectiligne de son mouvement${\big ]}$ ;

           Remarques : choisissant de repérer le point $\;M\;$ par ses coordonnées sphériques de pôle $\;O\;$ à savoir $\;\left(r\,,\,\theta \,,\,\varphi \right)$, la base sphérique liée à $\;M\;$ étant $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)\;$ d'où, à l'instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)=$ $r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$» et «$\;{\vec {V}}_{M}(t)={\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OM}}(t)\wedge {\vec {V}}_{M}(t)=r(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)\wedge \left\lbrace {\dot {r}}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)+r(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)\right\rbrace =$ $r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)-r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» au même instant $\;t$ ;

           Remarques : de la conservation du moment cinétique vectoriel de $\;M\;$ relativement à $\;O$, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)={\vec {\sigma }}_{O}(0)={\vec {0}}\;$», on en déduit «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\varphi }(t)-r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)={\vec {0}}\;$» soit «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)$ $=0\;$» d'une part et «$\;r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;$» d'autre part ;

           Remarques : de «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$» on tire «$\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$» qui s'intègre par rapport à $\;t\;$ en «$\;\theta (t)=cste=\theta (0)\;$» et, en choisissant de repérer l'angle $\;\theta \;$ par rapport à la direction $\;\left(OM_{0}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\theta (0)=0\;$ d'où «$\;\theta (t)=0,\;\;\forall \;t\;$» c'est-à-dire la nature rectiligne du mouvement de $\;M\;$ le long de $\;\left(OM_{0}\right)$ $\;{\big [}$de «$\;\theta (t)=0,\;\;\forall \;t\;$» on déduit que la 2^ème équation «$\;r^{2}\!(t)\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\;{\dot {\varphi }}(t)=0\;$» étant automatiquement réalisée n'a aucun intérêt${\big ]}$ ;

           Remarques : en conclusion si, dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», on choisit l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ porté par $\;\left(OM_{0}\right)$, $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ orthogonaux entre eux, étant choisis dans le plan passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Ox}}$, et si on définit la constante des aires $\;C\;$ par «$\;C={\dfrac {{\vec {\sigma }}_{O}(0)}{m}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\left[{\overrightarrow {OM}}(0)\wedge {\vec {V}}_{M}(0)\right]\cdot {\vec {u}}_{z}=0\;$», on vérifie que « la loi des aires est applicable quand $\;C=0\;$» sous la forme «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C=0\;$».

     Remarques : $\;\succ \;$De l'expression du rapport du moment cinétique scalaire du point $\;M\;$ relativement à l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ divisé par la masse du point, rapport exprimé en repérage polaire «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$», on en déduit une 3^ème façon de déterminer la constante des aires $\;C\;$ selon «$\;C=r^{2}\!(0)\;{\dot {\theta }}(0)=r(0)\;\left[r(0)\;{\dot {\theta }}(0)\right]=r_{0}\;V_{0,\,\theta }\;$» consistant à « multiplier la distance séparant $\;M_{0}\;$ de $\;O\;$ par la vitesse orthoradiale initiale $\;V_{0,\,\theta }=v_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$».

Quelques conséquences de la loi des aires

Utilisation dans le cas où « C = 0 »

     Ayant établi « l'applicabilité de la loi des aires pour un point matériel ayant un mouvement à force centrale quelles que soient les C.I. », que «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ soit $\;\nparallel \;$ ou $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$», on peut l'utiliser pour établir que « le mouvement de $\;M\;$ est rectiligne le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$ dans le cas où la constante des aires $\;C\;$ est nulle » en effet de «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C=0,\;\;\forall \;t\;$» avec $\;r(t)\;$ non identiquement nul on tire «$\;{\dot {\theta }}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» qui s'intègre en «$\;\theta (t)=cste=\theta (0)\;$» soit «$\;\theta (t)=0,\;\;\forall \;t\;$» par choix de l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ passant par $\;M_{0}\;$ d'où la nature rectiligne du mouvement de $\;M\;$ le long de $\;\left(OM_{0}\right)\;$.

Mouvement s’effectuant toujours dans le même sens dans le cas où « C ≠ 0 »

     Dans le cas où «$\;{\vec {V}}_{M}(0)={\vec {V}}_{0}\neq {\vec {0}}\;$ est $\;\nparallel \;$ à $\;{\overrightarrow {OM}}(0)={\overrightarrow {OM_{0}}}\neq {\vec {0}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;C\neq 0\;$» le mouvement de $\;M\;$ se fait toujours dans le même sens dans le plan $\;xOy$, en effet, la loi des aires s’écrivant «$\;r^{2}\!(t)\;{\dot {\theta }}(t)$ $=C\neq 0,\;\;\forall \;t\;$» avec «$\;r^{2}\!(t)>0\;$» on en déduit que «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$ et $\;C\;$» sont toujours de même signe,

• le mouvement se faisant dans le sens «$\;+\;$» si «$\;C\;$ est $\;>0\;$» et
• le mouvement se faisant dans le sens «$\;-\;$» si «$\;C\;$ est $\;<0\;$» ;

     parallèlement «$\;{\dot {\theta }}(t)\;$» ne s’annule jamais.

Commentaire sur la forme « semi-intégrée » de l’accélération orthoradiale

     Nous avons établi au paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude (autre forme de l'accélération orthoradiale “ forme semi-intégrée ”) » du chap.$2$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{r(t)}}\;{\dfrac {d\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)}{dt}}(t)\;$ si $\;r(t)\neq 0\;$» dans laquelle nous remarquons que la quantité à dériver temporellement est la grandeur conservée dans la loi des aires, cela ne doit pas nous étonner car,

     dans le cas d’un mouvement à force centrale, la composante orthoradiale de la force étant nulle, l’accélération orthoradiale doit aussi l’être comme conséquence de la r.f.d.n. et effectivement,

«$\;\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)(t)=C,\;\;\forall \;t\;$ avec $\;r(t)\neq 0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{r(t)}}\;{\dfrac {d\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)}{dt}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ avec $\;r(t)\neq 0\;$» $\;\ldots$

Aspect « vitesse aréolaire constante » de la loi des aires

Schéma de description de «$\;d{\mathcal {A}}\;$» l'aire balayée par le rayon vecteur du point matériel $\;M$ $\;{\Big (}$c'est-à-dire par son vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}{\Big )}\;$ lorsque $\;M\;$ se déplace dans le plan $\;xOy\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ sur une durée élémentaire $\;dt$

     Soit «$\;d{\mathcal {A}}\;$» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point matériel $\;M\;$» lorsque ce dernier se déplace dans le plan $\;xOy\;$ à partir de l'instant $\;t\;$ sur une durée élémentaire $\;dt$ $\;{\big (}$voir schéma descriptif ci-contre, l'espace physique étant orienté à droite${\big )}$ ;

     l'aire est algébrisée, elle est $\;>0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;+$ ${\big (}$cas de la figure${\big )}\;$ et

     l'aire est algébrisée, elle est $\;<0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;-$ ${\big (}$cas de figure non représenté${\big )}$ ;

     sachant que l'aire $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une de ses bases par la hauteur correspondante $\;{\Big [}$la base considérée étant $\;OM_{t}=r(t)$ $\;{\big (}$coordonnée radiale du point $\;M_{t}{\big )}\;$ et la hauteur correspondante $\;dh\;$ c'est-à-dire la valeur absolue du projeté du vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}={\overrightarrow {M_{t}M_{t+dt}}}\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }$ $\;{\big (}$le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire liée au point $\;M_{t}\;$ dans le plan $\;xOy{\big )}\;$ soit $\;dh=\vert dM_{\theta }\vert =$ $\vert V_{\theta }(t)\vert \;dt=r(t)\;\vert {\dot {\theta }}(t)\vert \;dt$ $\;{\big (}\theta \;$ étant l'abscisse angulaire du point $\;M_{t}{\big )}{\Big ]}\;$ on en tire «$\;{\Big \vert }d{\mathcal {A}}{\Big \vert }={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;\vert {\dot {\theta }}(t)\vert \;dt\;$» et,

     comme «$\;d{\mathcal {A}}\;$» est $\;>0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;+\;$ et $\;<0\;$ si $\;M\;$ tourne dans le sens $\;-\;$ c'est-à-dire du signe de $\;{\dot {\theta }}(t)$, on en déduit

«$\;d{\mathcal {A}}={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;dt\;$» ;

     la vitesse aréolaire du mouvement du point $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ étant définie, à l'instant $\;t$, par «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)\;$» est encore égale à

«$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$»

     soit, quand le point matériel $\;M\;$ décrit un mouvement à force centrale, lequel suit « la loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C$, la constante des aires » $\;{\big [}$restant valable pour $\;C=0{\big ]}$, l'expression de « la vitesse aréolaire du mouvement à force centrale du point $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$»

«$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;$ avec $\;C$, la constante des aires » $\;{\big [}$restant valable pour $\;C=0{\big ]}\;$ ;

Signification géométrique de la loi des aires : vitesse aréolaire constante

      Lorsqu'un point matériel $\;M\;$ décrit un mouvement à force centrale de centre de force $\;O$, on peut appliquer au point $\;M\;$ du plan $\;xOy\;$ la « loi des aires avec une constante des aires $\;C\;$», la signification géométrique de la loi des aires appliquée au point $\;M\;$ étant « la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de $\;M\;$», plus précisément «$\;{\dfrac {d{\mathcal {A}}}{dt}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;$».

Conséquence de la constance de la vitesse aréolaire

      Lorsqu'un point matériel $\;M\;$ décrit un mouvement à force centrale de centre de force $\;O$, on peut appliquer au point $\;M\;$ du plan $\;xOy\;$ la « loi des aires avec une constante des aires $\;C\;$» et de « la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de $\;M\;$» on en déduit que « l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur du point $\;M\;$ à partir de l'instant initial $\;t=0$ vaut, à l'instant $\;t$, $\;{\mathcal {A}}(t)={\dfrac {C}{2}}\;t\;$» ;

     de « la constance de la vitesse aréolaire du mouvement de $\;M\;$» on déduit encore que « l'aire algébrique balayée par le rayon vecteur du point $\;M\;$ pendant deux durées identiques à partir d’instants différents est la même ».

« En complément » : variables et formules de Binet d’un mouvement à force centrale et leur intérêt

Introduction

     Tout d'abord le mouvement d'un point matériel à force centrale est « rectiligne ou plan », conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$» ;

     dans les deux cas, la loi des aires est applicable au mouvement du point sous la forme «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C\;$ constante des aires », autre conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel $\;{\vec {\sigma }}_{O}(t)\;$ par rapport au centre de force $\;O\;$» et on a la propriété suivante :

• «$\;C=0\;$ $\Rightarrow$ mouvement rectiligne » et
• «$\;C\neq 0\;$ $\Rightarrow$ mouvement plan ».

     Les variables et formules de Binet peuvent s’employer dès lors que la loi des aires sous la forme «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ avec $\;C\;$ constante des aires » s’applique c'est-à-dire pour tous les mouvements à force centrale $\;{\bigg [}$toutefois leur utilisation n'est intéressante que dans le cas «$\;C\neq 0\;$», elle permet alors d’exprimer la vitesse angulaire «$\;{\dot {\theta }}\;$» en fonction de la coordonnée radiale «$\;r\;$» par «$\;{\dot {\theta }}={\dfrac {C}{r^{2}}}\;$»${\bigg ]}$.

Définition des variables de Binet

     Le principe soutendant l'utilisation des variables de Binet est de supprimer la dépendance directe au temps $\;t\;$ des variables radiale $\;r$ $\;{\big [}$ou d'une fonction $\;{\big (}$à définir${\big )}\;$ de la variable radiale${\big ]}\;$ et angulaire $\;\theta$, la dépendance au temps $\;t\;$ restant localisée uniquement dans la constante des aires $\;C$, laquelle s'exprime en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$.

     Ainsi on définit d’abord la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$» considérée comme « fonction de $\;\theta \;$», s’exprimant en «$\;m^{-1}\;$»,

     Ainsi on définit d’abord la 2^nde variable de Binet étant la dérivée de $\;u\;$ par rapport à $\;\theta \;$ soit «$\;u'={\dfrac {du}{d\theta }}\;$» également « fonction de $\;\theta \;$», s’exprimant en «$\;m^{-1}\;$» et

     Ainsi on définit d’abord la 3^ème variable de Binet étant la dérivée seconde de $\;u\;$ par rapport à $\;\theta \;$ soit «$\;u''={\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\;$» également « fonction de $\;\theta \;$», s’exprimant en «$\;m^{-1}\;$».

     Remarque : Si la 1^ère variable de Binet peut être définie dans le cas où la constante des aires $\;C\;$ est nulle $\;{\big (}$bien que son introduction n'ait alors aucun intérêt, le mouvement de $\;M\;$ étant rectiligne${\big )}$, les 2^ème et 3^ème variables de Binet n'y auraient aucun sens $\;{\big (}$plus exactement elles seraient infinies${\big )}$, aussi leur introduction nécessite «$\;C\neq 0\;$».

Préliminaire : « expressions de Binet » des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M

     Le nom des expressions, en fonction des variables de Binet et de la constante des aires, des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ dont le mouvement est à force centrale, n'est pas codifié, l'appellation « expressions de Binet » est donc personnelle ;

     ces expressions sont utiles pour démontrer les « formules de Binet » $\;{\big [}$voir les paragraphes « 1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) » et « 2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) » plus bas dans le chapitre $\;{\big (}$attention l'appellation « formules de Binet » devant être réservée à ces deux formules${\big )}{\big ]}$,
                       elles peuvent aussi être utilisées pour déterminer les constantes d’intégration par conditions initiales.

Expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M

     La composante radiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$, le vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprimant selon «$\;V_{r}(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}(t)={\dot {r}}(t)\;$» avec $\;{\vec {u}}_{r}(t)\;$ le vecteur unitaire radial de la base polaire lié à $\;M\;$ du plan $\;xOy$, $\;r(t)\;$ étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de $\;M\;$ dans $\;xOy$, nous transformons cette expression par utilisation de la formule de dérivation de fonction composée «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)={\dfrac {dr}{dt}}(t)={\dfrac {dr}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)\;$» dans laquelle $\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dot {\theta }}(t)\;$ étant la vitesse angulaire du point $\;M\;$ peut s'exprimer en fonction de sa coordonnée radiale $\;r(t)\;$ ainsi que de la constante des aires $\;C\;$ par utilisation de la loi des aires selon $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$» d'où la réécriture de la composante radiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ : «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)={\dfrac {dr}{d\theta }}\!\left[\theta (t)\right]\;{\dfrac {C}{r^{2}(t)}}=C\,\left[{\dfrac {1}{r^{2}(\theta )}}\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )\right]\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets « l'opposé de la dérivée de $\;{\dfrac {1}{r}}\;$ par rapport à $\;\theta \;$ selon $\;{\dfrac {1}{r^{2}(\theta )}}\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )=r^{-2}(\theta )\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )={\dfrac {1}{-1}}\;{\dfrac {d\left(r^{-1}\right)}{d\theta }}(\theta )=-{\dfrac {d\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta }}(\theta )\;$ c'est-à-dire l'opposé de $\;u'$, la 2^ème variable de Binet soit finalement $\;{\dfrac {1}{r^{2}(\theta )}}\;{\dfrac {dr}{d\theta }}(\theta )=-u'\;$» et par suite «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'\;$».

Expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M à mouvement à force centrale

     La composante radiale du vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction de la 2^ème variable de Binet «$\;u'={\dfrac {d\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta }}\;$ fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ et de la constante des aires selon «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}V_{r}(t)&=&-C&\times &u'\\m\cdot s^{-1}&=&m^{2}\cdot s^{-1}&\times &m^{-1}\end{array}}\right\rbrace$.

Expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M

     La composante orthoradiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$, le vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprimant selon «$\;V_{\theta }(t)={\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» avec $\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire lié à $\;M\;$ du plan $\;xOy$, $\;r(t)\;$ étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de $\;M\;$ dans $\;xOy\;$ et $\;\theta (t)\;$ la loi horaire scalaire de variation de l'abscisse angulaire de $\;M\;$ dans ce même plan, nous transformons cette expression par utilisation de la loi des aires selon $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dot {\theta }}(t)$ $={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}\;$» d'où la réécriture de la composante orthoradiale de $\;{\vec {V}}_{M}(t)$ : «$\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=r(t)\;{\dfrac {C}{r^{2}(t)}}=C\,\left[{\dfrac {1}{r(\theta )}}\right]\;$» ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets, la 1^ère variable de Binet c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{r(\theta )}}=u\;$», nous en déduisons «$\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u\;$».

Expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M à mouvement à force centrale

     La composante orthoradiale du vecteur vitesse du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction de la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ et de la constante des aires selon «$\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}V_{\theta }(t)&=&C&\times &u\\m\cdot s^{-1}&=&m^{2}\cdot s^{-1}&\times &m^{-1}\end{array}}\right\rbrace$.

1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse)

     Pour établir la 1^ère formule de Binet $\;{\big (}$celle relative au carré de la vitesse${\big )}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy$, il suffit d’évaluer «$\;V_{M}^{2}(t)\;$» dans lequel $\;V_{M}(t)=\Vert {\vec {V}}_{M}(t)\Vert$, $\;{\vec {V}}_{M}(t)\;$ étant le vecteur vitesse du point $\;M$, c'est-à-dire «$\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{r}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\big [}$avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t{\big ]}$, par «$\;V_{M}^{2}(t)=V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)\;$» en y injectant les 1^ère et 2^ème expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse $\;{\big [}$voir les paragraphes « expression des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre${\big ]}\;$ à savoir «$\;V_{r}(t)=-C\;u'\;$ et $\;V_{\theta }(t)=C\;u\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{M}^{2}(t)=\left(-C\;u'\right)^{2}+\left(-C\;u\right)^{2}=C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$», cette dernière expression constituant la 1^ère formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative au carré de la vitesse${\big )}$.

1^ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) d'un mouvement à force centrale

     Le carré de la vitesse du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction des 1^ère et 2^ème variables de Binet respectivement «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u'=$ ${\dfrac {d\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta }}\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ ainsi que de la constante des aires selon la 1^ère formule de Binet suivante «$\;V_{M}^{2}(t)=V_{r}^{2}(t)+V_{\theta }^{2}(t)=C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans le carré de la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}V_{M}^{2}(t)&=&C^{2}&\times &\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\\m^{2}\cdot s^{-2}&=&m^{4}\cdot s^{-2}&\times &m^{-2}\end{array}}\right\rbrace$.

     Remarque : On peut se servir de l’homogénéité pour retenir la 1^ère formule de Binet $\;{\big (}$celle relative au carré de la vitesse${\big )}\;$ d'un mouvement à force centrale : en effet «$\;V_{M}^{2}(t)\;$ s'exprimant en $\;m^{2}\cdot s^{-2}\;$» et « la dépendance relativement au temps $\;t\;$ se trouvant, dans les expressions ou formules de Binet, exclusivement dans la constante des aires laquelle s'exprime en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$» il est donc nécessaire que cette dernière apparaisse au carré dans un 1^er facteur correspondant à «$\;C^{2}\;$ en $\;m^{4}\cdot s^{-2}\;$», le 2^ème facteur devant s'exprimer en $\;m^{-2}\;$ pouvant être, par exemple, représenté par un carré $\;{\big (}$ou une somme de carré${\big )}\;$ de variables de Binet c'est en fait «$\;\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$» $\;\ldots$

2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération radiale)

     Pour établir la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$celle relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ du mouvement d'un point matériel $\;M\;$ quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy$, il suffit d’évaluer «$\;a_{r}(t)={\vec {a}}_{M}(t)\cdot {\vec {u}}_{r}(t)\;$» dans lequel $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ est le vecteur accélération du point $\;M$, encore égal à «$\;{\vec {a}}_{M}(t)=a_{r}(t)\;{\vec {u}}_{r}(t)+a_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$» $\;{\big [}$avec $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t{\big ]}$, par «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» dans laquelle il faut expliciter les deux termes «$\;{\ddot {r}}(t)\;$» et «$\;-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» à l'aide des variables de Binet ainsi que de la constante des aires en utilisant éventuellement les 1^ère et 2^ème expressions de Binet des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse $\;{\big [}$voir les paragraphes « expression des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre${\big ]}\;$ à savoir «$\;V_{r}(t)={\dot {r}}(t)=-C\;u'\;$ et $\;V_{\theta }(t)=r(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» :

• «$\;{\ddot {r}}(t)={\dfrac {d{\dot {r}}}{dt}}(t)={\dfrac {dV_{r}}{d\theta }}(\theta )\;{\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\dfrac {d\left(-C\;u'\right)}{d\theta }}(\theta )\;{\dot {\theta }}(t)\;$» dans laquelle on remplace $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ par son expression tirée de la loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}$, vitesse angulaire qui s'exprime ainsi en fonction de la constante des aires et de la 1^ère variable de Binet $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ selon «$\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u^{2}\;$ considérée comme fonction de $\;\theta \;$» soit finalement «$\;{\ddot {r}}(t)=-C\;u''\;C\;u^{2}=-C^{2}\;u^{2}\;u''\;$ fonction de $\;\theta \;$» puis
• «$\;-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$» dans laquelle on remplace $\;{\dot {\theta }}(t)\;$ par son expression tirée de la loi des aires $\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)=C\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {C}{r^{2}(t)}}$, vitesse angulaire qui s'exprime ainsi en fonction de la constante des aires et de la 1^ère variable de Binet $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ selon «$\;{\dot {\theta }}(t)=C\;u^{2}\;$ considérée comme fonction de $\;\theta \;$» soit encore «$\;-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=-{\dfrac {1}{u}}\left(C\;u^{2}\right)^{2}=-C^{2}\;u^{3}\;$ fonction de $\;\theta \;$» ;

     en conclusion «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=\left(-C^{2}\;u^{2}\;u''\right)+\left(-C^{2}\;u^{3}\right)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$», cette dernière expression constituant la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}$.

2^ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) d'un mouvement à force centrale

     L'accélération radiale du point matériel $\;M\;$ décrivant un mouvement à force centrale $\;{\big (}$de centre de force $\;O{\big )}$, de constante des aires $\;C\neq 0$, dans le plan $\;xOy\;$ s'exprime simplement en fonction des 1^ère et 3^ème variables de Binet respectivement «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u''=$ ${\dfrac {d^{2}\left({\dfrac {1}{r}}\right)}{d\theta ^{2}}}\;$ toutes deux fonction de $\;\theta \;$» $\;{\big (}r\;$ étant la coordonnée radiale de $\;M$, $\;\theta \;$ son abscisse angulaire${\big )}\;$ ainsi que de la constante des aires selon la 2^ème formule de Binet suivante «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$ fonction de $\;\theta \;$»
la dépendance par rapport à $\;t\;$ restant localisée dans le carré de la constante des aires
selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c c c}a_{r}(t)&=&-C^{2}&\times &u^{2}&\times &\left(u''+u\right)\\m\cdot s^{-2}&=&m^{4}\cdot s^{-2}&\times &m^{-2}&\times &m^{-1}\end{array}}\right\rbrace$.

     Remarques : On peut se servir de l’homogénéité pour retenir la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$celle relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ d'un mouvement à force centrale : en effet «$\;a_{r}(t)\;$ s'exprimant en $\;m\cdot s^{-2}\;$» et « la dépendance relativement au temps $\;t\;$ se trouvant, dans les expressions ou formules de Binet, exclusivement dans la constante des aires laquelle s'exprime en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$» il est donc nécessaire que cette dernière apparaisse au carré dans un 1^er facteur correspondant à «$\;C^{2}\;$ en $\;m^{4}\cdot s^{-2}\;$», le 2^ème facteur devant s'exprimer en $\;m^{-3}\;$ pouvant être, par exemple, représenté par un cube $\;{\big (}$ou un carré multiplié par une somme${\big )}\;$ de variables de Binet c'est en fait «$\;-u^{2}\left(u''+u\right)\;$» $\;\ldots$

     Remarques : On rappelle que l’accélération orthoradiale est toujours nulle dans un mouvement à force centrale ; on pourra se souvenir de cela pour retenir la forme semi-intégrée de l’accélération orthoradiale «$\;a_{\theta }(t)={\dfrac {1}{r(t)}}\;{\dfrac {d\left(r^{2}\;{\dot {\theta }}\right)}{dt}}(t)\;$» dont le 2^ème facteur est la dérivée temporelle de l'expression intervenant dans la loi des aires «$\;r^{2}(t)\;{\dot {\theta }}(t)\;$» $\;{\big (}$laquelle étant constante dans un mouvement à force centrale entraîne une dérivée temporelle nulle${\big )}\;$ expression en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$ conduisant à une dérivée temporelle en «$\;{\dfrac {m^{2}\cdot s^{-1}}{s}}=m^{2}\cdot s^{-2}\;$» d'où la nécessité d'un 1^er facteur devant assurer le bon dimensionnement du produit en accélération c'est-à-dire en $\;m\cdot s^{-2}$, « ce 1^er facteur devant s’exprimer en $\;m^{-1}\;$» $\Leftarrow$ «$\;{\dfrac {1}{r(t)}}\;$» est un candidat satisfaisant en dimension.

Exemple d’utilisation de la formule de Binet relative à l’accélération radiale

     Soit un point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale, de centre de force $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, de constante des aires $\;C\neq 0\;$ assurant que le mouvement de $\;M\;$ se fait dans un plan fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$ ; ayant choisi ce plan comme plan $\;xOy\;$ et y adoptant le repérage polaire de $\;M$ $\;{\Big [}\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ étant la base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, $\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$ ses coordonnées polaires au même instant $\;t{\Big ]}$, nous appliquons la r.f.d.n. au point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen sachant que la force centrale appliquée à $\;M\;$ s'exprime selon «$\;{\vec {F}}(M)=$ $F(r,\,\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;$», ce qui nous donne, en projetant cette relation sur $\;{\vec {u}}_{r}$, «$\;F(r,\,\theta )=m\;a_{r}(t)\;$», $\;m\;$ étant la masse de $\;M\;$ et $\;a_{r}(t)\;$ son accélération radiale à l'instant $\;t$ ;

     le mouvement étant à force centrale nous pouvons utiliser les variables de Binet permettant d'expliciter l'accélération radiale de $\;M\;$ selon la 2^ème formule de Binet «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$», la composante de la force s'exprimant en fonction de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ et de la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$» selon «$\;F(r,\,\theta )=F\!\left({\dfrac {1}{u}},\,\theta \right)\;$» soit finalement

l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ «$\;F\!\left({\dfrac {1}{u}},\,\theta \right)=-m\;C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$»

     Un exemple aboutissant à une résolution simplifiée par utilisation de la 2^ème formule de Binet $\;\rightsquigarrow \;$ mouvement à force centrale d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonienne $\;{\vec {F}}(M)=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle non nulle $\;{\big [}$si $\;k\;$ est $\;<0\;$ le centre de force $\;O\;$ est attractif et si $\;k\;$ est $\;>0\;$ il est répulsif${\big ]}$ :

     Un exemple la composante radiale de la force s'écrivant, en utilisant la 1^ère variable de Binet «$\;u={\dfrac {1}{r}}\;$», «$\;F(r{\cancel {,\,\theta }})={\dfrac {k}{r^{2}}}=k\;u^{2}\;$» conduit à l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ du mouvement de $\;M\;$ dans le champ de force newtonienne «$\;k\;u^{2}=-m\;C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$» soit encore, après simplification par $\;u^{2}\;$ et normalisation,

«$\;u''(\theta )+u(\theta )=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;$» c'est-à-dire
une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ sans terme du 1^er ordre hétérogène à excitation constante ;

     Un exemple la résolution ne présentant aucune difficulté nous obtenons la solution de cette équation selon $\;u(\theta )=u_{f}+u_{\mathit {l}}(\theta )\;$ avec la solution forcée de même forme que l'excitation $\;u_{f}=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}\;$ et la solution libre $\;u_{\mathit {l}}(\theta )=A\;\cos(\theta +\psi )\;$ avec $\;A\;$ et $\;\psi \;$ constantes réelles d'intégration soit finalement

«$\;u(\theta )=-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}+A\;\cos(\theta +\psi )\;$» avec $\;A\;$ et $\;\psi \;$ constantes à déterminer à l'aide des C.I.
d'où, en revenant à la coordonnée polaire «$\;r\;$» du point $\;M\;$ par «$\;r(\theta )={\dfrac {1}{u(\theta )}}\;$»,
$\;r(\theta )={\dfrac {1}{-{\dfrac {k}{m\;C^{2}}}+A\;\cos(\theta +\psi )}}={\dfrac {-{\dfrac {m\;C^{2}}{k}}}{1+A'\;\cos(\theta +\psi )}}\;$ avec $\;A'\;$ et $\;\psi \;$ constantes à déterminer à l'aide des C.I..

2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique

Condition pour que la force centrale soit conservative

     $\;\succ \;$Nous nous plaçons d'abord dans le cas où la force centrale agissant sur le point matériel $\;M\;$ est la seule $\Rightarrow$ le point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale de centre de force $\;O$, décrit une trajectoire plane $\;{\big (}$ou rectiligne${\big )}$ ;

          avec le « choix du repère cartésien lié au référentiel d'étude dans lequel O est fixe » précisé plus haut dans le chapitre, la force centrale s'exerçant sur $\;M\;$ s’écrit «$\;{\vec {F}}(M)=F(r,\,\theta )\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;{\vec {u}}_{r}\;$ est le vecteur unitaire radial lié à $\;M\;$ dans son repérage polaire de pôle $\;O$, $\;\left(r\,,_{,}\theta \right)\;$ les coordonnées polaires de $\;M$ ;

          on en déduit le travail élémentaire de la force «$\;{\vec {F}}(M)\;$» lors d'un déplacement élémentaire quelconque de $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ «$\;\delta W({\vec {F}})={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=F(r,\,\theta )\;dr\;$» et cette forme différentielle est une différentielle de fonction si «$\;F(r,\,\theta )\;$ est indépendant de $\;\theta \;$».

     $\;\succ \;$Dans le cas où la force centrale agissant sur le point matériel $\;M\;$ n'est pas la seule, le point matériel $\;M\;$ n'ayant pas, a priori, un mouvement à force centrale, ce dernier n'est pas nécessairement plan et il convient de maintenir le repérage sphérique de pôle « le centre de force $\;O\;$» lié à $\;M\;$ d'où l'expression de la force centrale «$\;{\vec {F}}(M)=F(r,\,\theta ,\,\varphi )\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;{\vec {u}}_{r}\;$ est le vecteur unitaire radial lié à $\;M\;$ dans son repérage sphérique de pôle $\;O$, $\;\left(r\,,_{,}\theta \,,\,\varphi \right)\;$ les coordonnées sphériques de $\;M$ ;

          on en déduit le travail élémentaire de la force «$\;{\vec {F}}(M)\;$» lors d'un déplacement élémentaire quelconque de $\;M\;$ dans l'espace «$\;\delta W({\vec {F}})={\vec {F}}(M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=F(r,\,\theta ,\,\varphi )\;dr\;$» et cette forme différentielle est une différentielle de fonction si «$\;F(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ est indépendant de $\;\theta \;$ et de $\;\varphi \;$».

     $\;\succ \;$En conclusion « la condition pour que la force centrale soit conservative » est que « l'intensité de la force ne dépende que de $\;r\;$» soit «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$» en repérage polaire du plan du mouvement à force centrale du point matériel $\;M$ $\;{\big [}$ou en repérage sphérique dans le cas où le point matériel sur lequel la force centrale agit n'a pas un mouvement à force centrale${\big ]}$.

Définition de l’énergie potentielle « U(r) » dont « dérive » la force centrale conservative et exemples

     L'énergie potentielle «$\;U(r)\;$» dont « dérive » la force centrale conservative appliquée au point matériel $\;M\;$ «$\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$» $\;{\big (}$avec $\;{\vec {u}}_{r}\;$ le vecteur unitaire radial lié à $\;M$, $\;r\;$ sa coordonnée radiale de son repérage polaire de pôle « le centre de force $\;O\;$» dans le plan $\;xOy\;$ du mouvement de $\;M{\big )}\;$ est définie par «$\;\delta W({\vec {F}})=F(r)\;dr=-dU\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {dU}{dr}}(r)=-F(r)\;$» d'où, après intégration,

«$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'\;$» avec la nécessité de préciser sa référence.

     Exemples de force centrale conservative : on vérifie que les forces des exemples cités dans le paragraphe « exemples (de mouvement à force centrale) » plus haut dans ce chapitre sont effectivement conservatives ;

     Exemples de force centrale conservative : $\;\succ \;$ force de rappel linéaire relativement à un point fixe $\;O$ : «$\;{\vec {F}}(M)=-k\;{\overrightarrow {OM}}=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste>0\;$», le signe «$\;-\;$» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action $\;O$ $\;{\big [}$en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «$\;k\;r\;$», étant toujours «$\;>0\;$ pour $\;M\neq O\;$» la force est « centripète » relativement au point $\;O$, conférant à ce dernier une action attractive sur le point matériel $\;M{\big ]}$ ; $\;F(r)=-k\;r\;$ ne dépendant que de $\;r\;$ est effectivement conservative $\;{\big [}$que le mouvement du point matériel sur lequel elle s'applique soit à force centrale ou non${\big ]}\;$ et l'énergie potentielle dont elle « dérive » est «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}k\;r'\;dr'={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}+cste\;$» soit, « en choisissant sa référence en $\;O$, $\;U(r)={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\;$» $\;{\big [}$où $\;r=OM\;$ que ce soit en repérage polaire du plan $\;xOy\;$ ou sphérique${\big ]}$ ;

     Exemples de force centrale conservative : $\;\succ \;$ force newtonienne de gravitation ou électrostatique, le centre de force étant en $\;O$ : «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k=cste\;$ algébrique $\;\neq 0\;$» $\;{\bigg \{}$«$\;k<0\;$» si attractive comme le cas d'une force d'attraction gravitationnelle $\;{\big [}$par exemple créée par le Soleil de masse $\;m_{\text{☉}}\;$ sur un point matériel de masse $\;m\;$ $\Rightarrow$ «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{☉}}\;m\;$», $\;{\mathcal {G}}\;$ étant la constante de gravitation universelle${\big ]}\;$ ou le cas d'une force électrostatique entre points de charge de signe contraire $\;{\bigg [}$par exemple créée par une charge ponctuelle en $\;O\;$ de charge $\;q_{O}>0\;$ sur une autre charge ponctuelle en $\;M\;$ de charge $\;q<0$ $\;{\big (}$ou $\;q_{O}<0\;$ et $\;q>0{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}<0\;$», $\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide${\bigg ]}\;$ et «$\;k>0\;$» si répulsive comme le cas d'une force électrostatique entre points de charge de même signe $\;{\bigg [}$par exemple créée par une charge ponctuelle en $\;O\;$ de charge $\;q_{O}>0\;$ sur une autre charge ponctuelle en $\;M\;$ de charge $\;q>0$ $\;{\big (}$ou $\;q_{O}<0\;$ et $\;q<0{\big )}\;$ $\Rightarrow$ «$\;k={\dfrac {q_{O}\;q}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}>0\;$», $\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide${\bigg ]}{\bigg \}}$ ; $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;$ ne dépendant que de $\;r\;$ est effectivement conservative $\;{\big [}$que le mouvement du point matériel sur lequel elle s'applique soit à force centrale ou non${\big ]}\;$ et l'énergie potentielle dont elle « dérive » est «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-{\dfrac {k}{{r'}^{2}}}\;dr'={\dfrac {k}{r}}+cste\;$» soit, « en choisissant sa référence à l'infini de $\;O$, $\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$» $\;{\big [}$où $\;r=OM\;$ que ce soit en repérage polaire du plan $\;xOy\;$ ou sphérique${\big ]}$.

2^ème intégrale 1^ère du mouvement d’un point à force centrale quand cette dernière est conservative : conservation de son énergie mécanique

     Le point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ ayant, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, un mouvement à force centrale conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ de centre de force $\;O$ $\;{\big (}{\vec {u}}_{r}\;$ étant le vecteur unitaire radial de la base polaire liée à $\;M\;$ dans le plan $\;xOy\;$ du mouvement de $\;M\;$ avec $\;r\;$ la coordonnée radiale de ce dernier${\big )}$, il possède, en plus de son énergie cinétique «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)\;$», une réserve d'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ c'est-à-dire «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'\;$ avec choix de sa référence à préciser », soit au total une énergie mécanique dans le champ de la force conservative «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)+\displaystyle \int ^{r(t)}-F(r')\;dr'\;$» ;

     en absence d'autre force que la force centrale conservative, le point matériel $\;M\;$ étant « à mouvement conservatif », il y a conservation de l’énergie mécanique du point $\;M\;$, «$\;E_{m}(t)=cste,\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0)\;$ avec $\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}+U(r_{0})\;$ dans laquelle $\;U(r_{0})=\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$», ceci constituant la 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative.

2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point à force centrale quand cette dernière est conservative

     Il existe une 2^ème intégrale 1^ère du mouvement d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à force centrale quand cette dernière est conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans le champ de force conservative c'est-à-dire « conservation de $\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]\;$ relativement à la variation du temps $\;t\;$» avec $\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)\;$ l'énergie cinétique de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'$ $\;{\big (}$avec choix de sa référence à préciser${\big )}\;$ l'énergie potentielle dont « dérive » la force conservative soit, mathématiquement, «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0),\;\;\forall \;t\;$ avec $\;E_{m}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0})\;$ dans laquelle $\;U(r_{0})=\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$» ou,
«$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+U(r_{0}),\;\;\forall \;t\;$» dans laquelle $\;U\!\left[r(t)\right]=\displaystyle \int ^{r(t)}-F(r')\;dr'\;$».

Exemple d’utilisation de la formule de Binet relative au carré de la vitesse

     Soit un point matériel $\;M\;$ ayant un mouvement à force centrale conservative, de centre de force $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, de constante des aires $\;C\neq 0\;$ assurant que le mouvement de $\;M\;$ soit « conservatif » dans un plan fixe du référentiel $\;{\mathcal {R}}$ ; ayant choisi ce plan comme plan $\;xOy\;$ et y adoptant le repérage polaire de $\;M$ $\;{\Big [}\left\lbrace {\vec {u}}_{r}(t)\,,\,{\vec {u}}_{\theta }(t)\right\rbrace \;$ étant la base polaire lié au point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, $\;\left\lbrace r(t)\,,\,\theta (t)\right\rbrace \;$ ses coordonnées polaires au même instant $\;t{\Big ]}$, nous écrivons la conservation de l'énergie mécanique du point matériel $\;M\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de la force centrale conservative $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}\;$ s'exprimant selon «$\;U(r)=\displaystyle \int ^{r}-F(r')\;dr'$ $\;{\big (}$avec choix de sa référence à préciser${\big )}\;$», soit «$\;E_{m}(t)=E_{m}(0),\;$ $\;\forall \;t\;$» avec «$\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U\!\left[r(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{2}\!(t)+\displaystyle \int ^{r(t)}-F(r')\;dr'\;$» et «$\;E_{m}(0)=K_{M}(0)+U(r_{0})={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$» ;

     le mouvement étant à force centrale nous pouvons utiliser les variables de Binet permettant d'expliciter le carré de la vitesse de $\;M\;$ selon la 1^ère formule de Binet «$\;V_{M}^{2}\!(t)=C^{2}\,\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$», l'énergie potentielle de $\;M\;$ dans le champ de la force centrale conservative s'exprimant en fonction de la coordonnée radiale de $\;M\;$ c'est-à-dire $\;r\;$ peut se réécrire en fonction de la 1^ère variable de Binet «$\;u=$ ${\dfrac {1}{r}}\;$» selon «$\;U\!\left[{\dfrac {1}{u}}\right]=\displaystyle \int ^{\frac {1}{u}}-F(r')\;dr'\;$» soit finalement

l'intégrale 1^ère spatiale en $\;u(\theta )\;$ $\;{\big [}$ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta ){\big ]}\;$
soit «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]=E_{m}(0)\;$»
avec «$\;E_{m}(0)=K_{M}(0)+U(r_{0})={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+\displaystyle \int ^{r_{0}}-F(r')\;dr'\;$».

     Un exemple à résolution abordable par utilisation de la 1^ère formule de Binet $\;\rightsquigarrow \;$ mouvement à force centrale conservative d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force newtonienne $\;{\vec {F}}(M)=$ ${\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ « dérivant » du champ d'énergie potentielle newtonienne $\;U(M)={\dfrac {k}{r}}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle non nulle $\;{\big [}$si $\;k\;$ est $\;<0\;$ le centre de force $\;O\;$ est attractif, l'énergie potentielle $\;U(M)\;$ étant toujours $\;<0\;$ et si $\;k\;$ est $\;>0\;$ le centre de force $\;O\;$ est répulsif, l'énergie potentielle $\;U(M)\;$ étant toujours $\;>0\;$${\big ]}$ :

     Un exemple l'intégrale 1^ère spatiale en $\;u(\theta )\;$ $\;{\big [}$ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta ){\big ]}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]=E_{m}(0)\;$» se réécrit, avec «$\;U(r)={\dfrac {k}{r}}\;$ $\Rightarrow$ $\;U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]={\dfrac {k}{\dfrac {1}{u(\theta )}}}=k\;u(\theta )\;$», selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+k\;u(\theta )=E_{m}(0)\;$» laquelle, en absence de simplification par une grandeur dépendant de la 1^ère variable de Binet, reste une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ dont la résolution compliquée est néanmoins abordable $\;\ldots$

     Un exemple à résolution trop compliquée par utilisation de la 1^ère formule de Binet $\;\rightsquigarrow \;$ mouvement à force centrale conservative d'un point matériel $\;M\;$ dans un champ de force attractive $\;\propto \;$ à $\;r$ $\;{\vec {F}}(M)=-k\;r\;{\vec {u}}_{r}\;$ « dérivant » du champ d'énergie potentielle $\;U(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\;$ avec $\;k\;$ constante réelle $\;>0$, l'énergie potentielle $\;U(M)\;$ étant toujours $\;>0$ :

     Un exemple l'intégrale 1^ère spatiale en $\;u(\theta )\;$ $\;{\big [}$ou équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta ){\big ]}\;$ «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]=E_{m}(0)\;$» se réécrit, avec «$\;U(r)={\dfrac {1}{2}}\;k\;r^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;U\!\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]={\dfrac {1}{2}}\;k\left[{\dfrac {1}{u(\theta )}}\right]^{\!2}={\dfrac {k}{2\;u^{2}(\theta )}}\;$», selon «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left[{u'}^{2}(\theta )+u^{2}(\theta )\right]+{\dfrac {k}{2\;u^{2}(\theta )}}=E_{m}(0)\;$» laquelle, en absence de simplification par une grandeur dépendant de la 1^ère variable de Binet, reste une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ dont la résolution est non abordable dans cet exposé $\;\ldots$