Mécanique des systèmes de points/Cinétique et dynamique d'un système de deux points matériels

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Cinétique d'un système de deux points matériels

     Dans le cas général le système de deux points matériels est déformable et

     s'il est « indéformable » il définit un « solide $\;{\big (}$au sens de la mécanique${\big )}\;$».

Définition de la masse du système

     La masse du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{1}\;\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\;\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$» est une grandeur scalaire $\;>0\;$ caractérisant l'inertie du système et définie selon

«$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{1}+m_{2}\;$».

     Remarque : Comme la masse de chaque point est constante, la masse du système ne varie pas c'est-à-dire «$\;m_{\text{syst}}=cste\;$».

Définition du centre d'inertie (ou centre de masse) G du système

Définition

     Le centre d'inertie $\;{\big (}$ou centre de masse${\big )}\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le barycentre $\;G\;$ des positions instantanées des points matériels affectées de leur masse comme cœfficient, sa définition mathématique s'écrivant

«$\;G\;$ tel que $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}={\vec {0}}\;$ ou $\;m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\vec {0}}\;$» $\;{\big (}G\;$ est donc un point fictif${\big )}$.

Propriété

     Avec $\;O\;$ représentant une position quelconque, «$\;G\;$ est tel que $\;{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}}}={\dfrac {m_{1}\;{\overrightarrow {OM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {OM_{2}}}}{m_{1}+m_{2}}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=m_{1}\;{\overrightarrow {OM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {OM_{2}}}\;$» $\;{\big (}$de par la définition $\;G\;$ est indépendant de $\;O{\big )}$.

     Justification : introduisant la position $\;O\;$ dans la définition, on obtient «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}-{\overrightarrow {OG}}\right]={\vec {0}}\;$» ou «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\right]{\overrightarrow {OG}}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}=m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}\;$» ou encore «$\;{\overrightarrow {OG}}$ $={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{m_{\text{syst}}}}={\dfrac {\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}}{\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}}}\;$».

Résultante cinétique du système des deux points matériels

Définition

     La résultante cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en mouvement dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est notée, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$ $\;{\big [}$ou, en absence d'ambiguïté, $\;{\vec {P}}(t){\big ]}\;$ et définie comme la somme des quantités de mouvement de chaque point matériel du système au même instant $\;t\;$ soit, en notant $\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ la quantité de mouvement du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à cet instant $\;t$,

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\vec {p}}_{M_{1}}(t)+{\vec {p}}_{M_{2}}(t)\;$» ou encore, ;
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}(t)+m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : L'éventuelle variation de la résultante cinétique du système de deux points matériels ne dépend que la modification du mouvement des points le constituant.

Propriété de liaison avec le C.D.I.

     La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est liée au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ selon

«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans lequel
$\;m_{\text{syst}}\;$ est la masse du système et
$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse de $\;G\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Démonstration : Choisissant un point $\;O\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur position du C.D.I. $\;G\;$ du système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,(m_{i})\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$ est tel que $\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {OG}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)$ ;

     Démonstration : dérivant cette relation par rapport à $\;t\;$ et compte-tenu de la linéarité de l'opération dérivation on obtient $\;m_{\text{syst}}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OG}}}{dt}}(t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{i}}}}{dt}}(t)\;$ ou, en utilisant la définition des vecteurs vitesses, $\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$, le 2^ème membre définissant la résultante cinétique du système de deux points matériels, C.Q.F.D.

Remarque

     La résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», définie à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, est aussi, au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur quantité de mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système, point fictif auquel on affecte toute la masse du système.

Moment cinétique vectoriel en O du système des deux points matériels

Définition

     Le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à un point $\;O$ $\;{\big (}$a priori quelconque${\big )}\;$ est la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point matériel, définie à l'instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à ce même point $\;O\;$ soit encore

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{1}}(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{2}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
soit encore «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

Formule de changement d'origine

     Soit $\;\left(O\,,\,O'\right)\;$ deux points quelconques distincts, la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ suit la relation suivante

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» est la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$.

     Démonstration : Pour démontrer la relation ci-dessus on utilise la relation de Chasles $\;{\overrightarrow {OM_{i}}}={\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\;$ et la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit $\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[{\overrightarrow {OO'}}+{\overrightarrow {O'M_{i}}}\right]\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {O'M_{i}}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ dans laquelle on reconnaît dans le dernier terme $\;{\vec {\sigma }}_{\!O'}({\text{syst}},\,t)\;$ et on factorise vectoriellement à gauche par $\;{\overrightarrow {OO'}}\;$ dans le 1^er terme $\Rightarrow$ $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)={\overrightarrow {OO'}}\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]={\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ d'où la R.Q.F.D.

     Remarque : Le changement d'origine entre un point quelconque $\;O\;$ et le C.D.I. $\;G\;$ du système est le plus couramment utilisé soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» ;

     Remarque : le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels, à l'instant $\;t$, par rapport à un point $\;O\;$ quelconque dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)\;$» est donc la somme
        Remarque : du moment cinétique vectoriel du système, au même instant $\;t$, par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et
        Remarque : du moment cinétique vectoriel, par rapport à $\;O$, du point fictif $\;G\;$ de quantité de mouvement $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$».

Cas d'un système de deux points matériels en translation

     Considérant le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]{\big \}}$, le moment cinétique vectoriel du système en translation dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ vaut, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» dans lequel «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\\{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, d'une part «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» et d'autre part «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\overrightarrow {GM_{1}}}\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)+{\overrightarrow {GM_{2}}}\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» puis, en factorisant vectoriellement à droite par $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)=$ $\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}\right]\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système soit

«$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {0}}\;$» et
«$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst. en transl.}},\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ $\;={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$».

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé

     Le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» étant en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ et choisissant comme point origine de calcul du vecteur moment cinétique du système un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, on peut écrire, au même instant $\;t$, le vecteur moment cinétique du point $\;M_{i},\;\;\forall \;i\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport à $\;A\;$ sous la forme $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ $m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\;$, avec $\;H_{i}\;$ centre de rotation de $\;M_{i}\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;r_{i}\;$ le rayon du cercle décrit par $\;M_{i}$, le vecteur moment cinétique du système $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ s'obtenant en faisant la somme des vecteurs moment cinétique de chaque point $\;M_{i}$ ;
     on en déduit donc $\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[m_{i}\;r_{i}^{2}\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-m_{i}\;{\overline {\Omega }}(t)\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$ ou, après distribution de la somme sur chaque terme de l'expression entre crochets puis factorisation par $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ ou $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans le 1^er ou 2^ème terme,

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}\right]{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]$» ;

     en notant «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}J_{\Delta }(M_{i})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$» exprimée en $\;kg\cdot m^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$ $\;{\big [}$il s'agit de la 2^ème grandeur d'inertie caractérisant le système, la 1^ère étant sa masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ et

     repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big [}$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big [}$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$,

     le vecteur moment cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, de vecteur rotation instantanée $\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, évalué au même instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, se réécrit selon

«$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\right]\;$».

     Remarques : Pour un système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, il existe un point origine $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est un « axe principal d'inertie » c'est-à-dire tel que

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» avec
«$\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$» et
«$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}\;$ le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$»,

     Remarques : ce qui nécessite «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, en repérant le point $\;M_{i}\;$ par ses coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, c'est-à-dire «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» $\;{\big [}$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$ la condition pour que l'axe soit « principal d'inertie relativement au point $\;A\;$» se réécrit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

Schéma descriptif d'un système de deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta$ $\;{\big [}M_{1}$, $\;M_{2}\;$ et $\;\Delta \;$ étant coplanaires avec $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ de part et d'autre de $\;\Delta {\big ]}$, positionnement de $\;A\;$ pour que $\;\Delta \;$ soit axe principal d'inertie du système

     Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point $\;A$ : $\;\succ \;$1^er cas $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, de part et d'autre de $\;\Delta$, dans un même plan le contenant,
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ ${\big [}$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ tel que $\;m_{1}\;r_{1}\;z_{1}=m_{2}\;r_{2}\;z_{2}$, les cotes des points $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant repérées par rapport au point origine $\;A\;$» dont on déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ étant égal à $\;-{\vec {u}}_{r_{1}}(t){\big ]}$, c'est-à-dire que « l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point $\;A_{p}\;$ comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » $\;{\big \{}A_{p}\;$ est alors hors du segment $\;\left[H_{1}H_{2}\right]$, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ étant respectivement les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire les centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right){\big \}}\;$ $\Rightarrow$

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» ;

                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «$\;G\;$ C.D.I. de $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {A_{p}G}}=m_{1}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{2}}}\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r_{1}}$, $\;0=m_{1}\;r_{1}-m_{2}\;r_{2}\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;m_{1}\;r_{1}=m_{2}\;r_{2}\;$» cette condition étant à réaliser simultanément avec celle pour que $\;\left(\Delta \right)\;$ soit « axe principal d'inertie du système pour $\;A_{p}\;$» à savoir «$\;m_{1}\;r_{1}\;z_{1}$ $=m_{2}\;r_{2}\;z_{2}\;$» nous en déduisons «$\;z_{1}=z_{2}\;$» c'est-à-dire la confusion de $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}$, projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ ou encore centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right)$ ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système pour tout point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$» si, en plus de la configuration étudiée dans ce cas particulier, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ les centres des cercles respectivement décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$, sont confondus $\;{\big (}$leur position commune s'identifie avec celle du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points matériels${\big )}$ ;
                            Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion dans ce cas $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe de symétrie $\;{\big (}$matérielle${\big )}\;$ de révolution du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» c'est-à-dire que $\;\left(\Delta \right)\;$ est tel que «$\;m_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

Schéma descriptif d'un système de deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta$ $\;{\big [}M_{1}$, $\;M_{2}\;$ et $\;\Delta \;$ étant coplanaires avec $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ d'un même côté par rapport à $\;\Delta {\big ]}$, positionnement de $\;A\;$ pour que $\;\Delta \;$ soit axe principal d'inertie du système

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : $\;\succ \;$2^ème cas $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, d'un même côté de $\;\Delta$, dans un même plan le contenant,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier qu'« il existe un point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ ${\big [}$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ tel que $\;m_{2}\;r_{2}\;z_{2}=-m_{1}\;r_{1}\;z_{1}$, les cotes des points $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant repérées par rapport au point origine $\;A\;$» dont on déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ étant égal à $\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t){\big ]}$, c'est-à-dire que « l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ est axe principal d'inertie du système à la condition de choisir le point $\;A_{p}\;$ comme origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système » $\;{\big \{}A_{p}\;$ est alors sur le segment $\;\left[H_{1}H_{2}\right]$, $\;H_{1}\;$ et $\;H_{2}\;$ étant respectivement les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire les centres respectifs des cercles décrits par $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ dans leur rotation autour de $\;\left(\Delta \right){\big \}}\;$ $\Rightarrow$

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : or «$\;G\;$ C.D.I. de $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» $\Leftrightarrow$ «$\;m_{\text{syst}}\;{\overrightarrow {A_{p}G}}=m_{1}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {A_{p}M_{2}}}\;$» soit, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{r_{1}}$, «$\;0=m_{1}\;r_{1}+m_{2}\;r_{2}\;$» cette condition étant à rejeter dans la mesure où $\;r_{1}\;$ et $\;r_{2}\;$ sont tous deux nécessairement $\;>0$ ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ que $\;A_{p}\;$ pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée.

Schéma descriptif d'un système de deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ en rotation autour d'un axe $\;\Delta$ $\;{\big [}M_{1}$, $\;M_{2}\;$ dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta {\big ]}$, recherche de la condition pour que $\;\Delta \;$ soit axe principal d'inertie du système pour $\;A$

         Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : $\;\succ \;$3^ème cas $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}$, $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ tournent autour de l'axe de rotation $\;\Delta \;$ en restant, dans un même plan $\;\perp \;$ à $\;\Delta$, les projetés orthogonaux sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ étant confondus en $\;H$ $\;{\big (}$noté $\;A\;$ sur le schéma ci-contre${\big )}$, $\;H\;$ étant aussi le centre commun de rotation des deux points autour de $\;\left(\Delta \right)$,
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : on peut aisément vérifier que l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ est « principal d'inertie du système pour le point $\;H\;$» ${\big [}$que l'on notera $\;A_{p}\;$ par la suite${\big ]}\;$ car «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}\left\lbrace z_{i}=0\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]},\;\;\forall \;t{\big ]}$ $\;{\big [}\left\lbrace {\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right\rbrace _{i\,\in \left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$ pouvant être positionnés de façon quelconque${\big ]}$ ou encore «$\;m_{1}\;z_{1}\;r_{1}\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)+m_{2}\;z_{2}\;r_{2}\;{\vec {u}}_{r_{2}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» $\;{\big [}z_{1}=z_{2}=0,\;\;\forall \;t{\big ]}$ $\;{\big [}{\vec {u}}_{r_{2}}(t)\;$ et $\;{\vec {u}}_{r_{1}}(t)\;$ pouvant être positionnés de façon quelconque${\big ]}\;$ $\Rightarrow$

«$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» ;

                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : existe-t-il d'autres points $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ pour lequel cet axe serait « principal d'inertie du système » ? Pour répondre à cette question utilisons la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel du système «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» avec $\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système et $\;G\;$ le C.D.I. de ce dernier, nous en déduisons que «$\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\;$ sera égal à $\,{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A_{p}}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» si «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)$ $={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» ou, sachant que
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : $\;G\;$ est, comme le système, en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$ ou $\;\neq {\vec {0}}\;$ mais orthoradial », avec cette dernière possibilité à rejeter car impliquant «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ radial et $\;\neq {\vec {0}}\;$», nous en déduisons «$\;{\overrightarrow {AA_{p}}}\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)=$ ${\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ si $\;G\;\in \left(\Delta \right)\;$» soit encore
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$» confondu avec $\;A_{p}$ $\;{\big (}$noté $\;A\;$ sur le schéma ci-dessus${\big )}$ ;
                                 Remarques : Différents cas de figure pour lequel l'axe est principal d'inertie pour le point A : remarque : en conclusion, il n'existe pas d'autre point $\;A\;\in \left(\Delta \right)\;$ que $\;A_{p}\;$ pour lequel $\;\left(\Delta \right)\;$ est « axe principal d'inertie du système » dans ce cas particulier de configuration étudiée $\;{\big (}$ce point $\;A_{p}\;$ centre commun de rotation des deux points matériels est aussi celui de rotation du C.D.I. $\;G\;$ du système des deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace {\big )}$.

Définition du moment cinétique scalaire du système des deux points matériels relativement à Δ

Définition

     Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» par rapport à un axe $\;\Delta$, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est définie comme la projection orthogonale sur l'axe, du vecteur moment cinétique du système, au même instant $\;t$, dans le même référentiel $\;{\mathcal {R}}$, par rapport à un point $\;A\;$ quelconque de l'axe soit

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\;t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\;t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», $\;\forall \;A\;\in \;\Delta$.

     Justification de la définition : On justifie la définition du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels en vérifiant que le moment cinétique vectoriel du système est équiprojectif c'est-à-dire en vérifiant la propriété «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;$» ;

     Justification de la définition : pour cela on utilise la formule de changement d'origine d'évaluation du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels entre $\;A\;$ et $\;A'\;$ soit «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$» et on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\overrightarrow {AA'}}\;$ en utilisant, dans le membre de droite, la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\overrightarrow {AA'}}\;{\cancel {+\left[{\overrightarrow {AA'}}\wedge {\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\right]\cdot {\overrightarrow {AA'}}}}\;$» R.Q.F.D. ;

     Justification de la définition : prenant deux points distincts $\;A\;$ et $\;A'\;$ quelconques sur l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, nous pouvons poser $\;{\overrightarrow {AA'}}={\overline {AA'}}\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et l'équiprojectivité du moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels se réécrit, après simplification par $\;{\overline {AA'}}\neq 0$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}_{\!A'}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», la valeur commune définissant le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels.

Système de deux points matériels en translation dans le référentiel d'étude

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque d'un axe $\;\Delta$, «$\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)=\;{\cancel {{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst. en transl.}},\,t)\;+}}\;{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» dans lequel «$\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=$ $m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ d'où
     le moment cinétique scalaire du système en translation évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en transl.}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=$ $m_{\text{syst}}\left[{\overrightarrow {AG}}(t)\wedge {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {AG}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire ou, en notant $\;H_{G}\;$ le projeté orthogonal de $\;G\;$ sur l'axe $\;\Delta \;$ «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$» soit enfin, en utilisant le repérage cylindro-polaire de pôle $\;A\;$ et d'axe orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ les coordonnées cylindro-polaires de $\;G\;$ sont $\;\left(r_{G}\,,\,\theta _{G}\,,\,z_{G}\right)$ $\;{\big [}$avec pour base cylindro-polaire liée à $\;G$, $\;\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right\rbrace {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\overrightarrow {H_{G}G}}(t)=r_{G}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ ce qui permet de réécrire «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)\;$» selon «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)$ $=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\left[{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(t)\right]\;$» ou, en notant $\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$ la composante orthoradiale du vecteur vitesse de translation du système à l'instant $\;t$,

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en transl.}},\,t)=m_{\text{syst}}\;r_{G}(t)\;V_{\theta ,\,{\text{syst. en transl.}}}(t)\;$.

Système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant, à l'instant $\;t\;$ relativement à un point $\;A\;$ quelconque de $\;\left(\Delta \right)$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}J_{\Delta }(M_{i})=$ $\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$» est le moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)$, $\;H_{i}\;$ le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe et $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, d'où
     le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$, le moment scalaire étant évalué par rapport à $\;\left(\Delta \right)$, «$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left\lbrace J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;{\cancel {-\;{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overline {AH_{i}}}\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}}\;$» en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle ainsi que $\;{\overrightarrow {H_{i}M_{i}}}(t)\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;\;\forall \;M_{i}$, soit l'expression finale du moment cinétique scalaire du système en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ par rapport auquel le moment cinétique est évalué

«$\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» que l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit principal d'inertie ou non.

Énergie cinétique d'un système de deux points matériels

Définition

     L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est la somme des énergies cinétiques des deux points matériels, définies au même instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ soit encore

«$\;K({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}K_{M_{i}}(t)=K_{M_{1}}(t)+K_{M_{2}}(t)\;$» ou
«$\;K({\text{syst}},\,t)=\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,2}}{2\;m_{i}}}(t)\!\!&=&\!\!\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)\!\!&=&\!\!\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\\&&{\text{ou}}&&\\{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,2}}{2\;m_{1}}}(t)+{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,2}}{2\;m_{2}}}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,2}(t)\!\!&=&\!\!{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{1}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{2}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» avec
$\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur quantité de mouvement de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$»,
et $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ « le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ dans $\;({\mathcal {R}})\;$ au même instant $\;t\;$».

Cas d'un système de deux points matériels en translation de vecteur vitesse fixé

     L'énergie cinétique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$ au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t),\;\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]{\big \}}$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)}{2}}\;$ et reconnaissant $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{\text{syst}}\;$ dans l'autre facteur

«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}(t)\;$»
ou encore, avec $\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$
«$\;K({\text{syst. en transl.}},\,t)={\dfrac {{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}^{\,2}}{2\;m_{\text{syst}}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {P}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\text{syst. en transl.}}(t)\;$».

Cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\,\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,2}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)$, de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big \{}$c'est-à-dire tel que $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t),\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta {\big \}}\;$, s'évaluant selon «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {p}}_{M_{i}}(t)\cdot \left[{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]\;$» ou, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire «$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)\;$» soit, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {\Omega }}(t)}{2}}\;$ et en reconnaissant dans l'autre facteur $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {\sigma }}_{\!A}(M_{i},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\;$

«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;{\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst. en rot.}},\,t)\cdot {\vec {\Omega }}(t)\;$» ou
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle $\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ est la vitesse angulaire de rotation du système autour de $\;\left(\Delta \right)\;$
ou encore, avec $\;\sigma _{\!\Delta }({\text{syst. en rot.}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}(t)\;$, $\;J_{\Delta }=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{2}=m_{1}\;r_{1}^{2}+m_{2}\;r_{2}^{2}\;$ étant le moment d'inertie du système relativement à $\;\left(\Delta \right)$,
«$\;K({\text{syst. en rot.}},\,t)={\dfrac {\sigma _{\!\Delta }^{\,2}({\text{syst. en rot.}})}{2\;J_{\Delta }}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }\;{\overline {\Omega }}^{2}(t)\;$».

Référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels et cinétique associée

Référentiel du centre de masse (ou barycentrique)

Définition

Référentiel barycentrique (ou du centre de masse) d'un système de deux points matériels

     Le référentiel barycentrique $\;{\big (}$ou du centre de masse${\big )}\;$ ${\mathcal {R}}^{*}\;$ du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le référentiel lié au C.D.I. $\;G\;$ du système en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarques : $\;G\;$ étant immobile dans $\;{\mathcal {R}}^{*}$, le vecteur vitesse de $\;G\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ y est nul soit «$\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» noté plus succinctement «$\;{\vec {V}}^{\,*}\!(G,\,t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

     Remarques : Bien que ce ne soit pas une obligation, on prend usuellement comme origine du repère associé à $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ le point $\;G$.

Intérêt de son introduction

     On peut décrire la cinématique d'un système de deux points matériels dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ en la considérant comme composée de deux mouvements :

        $\;\succ \;$un mouvement de translation de vecteur vitesse égal, à l'instant $\;t$, à $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)$, ce mouvement considérant le système à l'instant $\;t\;$ comme un solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ et

        $\;\succ \;$un mouvement de rotation ou de déformation du système relativement au solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ lié au C.D.I. $\;G$ ;

     le solide $\;{\mathcal {S}}_{G}(t)\;$ s'identifie au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, ce dernier étant lié à $\;G$, en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}\!(G,\,t)\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;

     la description de la cinématique du système se réduit donc à

        $\;\succ \;$celle du mouvement du C.D.I. $\;G\;$ dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et

        $\;\succ \;$celle du mouvement de chaque point dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ c'est-à-dire à celle du mouvement barycentrique de chaque point.

Grandeurs cinétiques barycentriques d'un système de deux points matériels

Résultante cinétique barycentrique

     Définition : La résultante cinétique barycentrique $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)$, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme des vecteurs quantité de mouvement barycentrique des deux points matériels du système soit

«$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)={\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\;$» ou encore «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)=m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\;$».

     Propriété : «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» car «$\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)\;$» d'une part et «$\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'autre part ;
     Propriété : on en déduit «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$».

Moment cinétique vectoriel barycentrique

     Définition : Le moment cinétique barycentrique vectoriel, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué en un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme des vecteurs moment cinétique barycentrique des deux points matériels du système par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t\;$ soit

«$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!(M_{i},\,t)={\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!(M_{1},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!(M_{2},\,t)\;$» ou encore
«$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge m_{1}\;{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge m_{2}\;{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\;$».

     Propriété : «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est indépendant du point origine $\;O\;$ et simplement noté «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» en effet, si on applique la formule de changement d'origine de calcul du moment cinétique barycentrique entre deux points $\;O\;$ et $\;O'\;$ distincts on obtient «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OO'}}\wedge {\vec {P}}^{\,*}\!(t)\;$» avec $\;{\vec {P}}^{\,*}\!(t)={\vec {0}}\;$ d'où «$\;{\vec {\sigma }}_{O}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{O'}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t),\;\;\forall \;t,\;\;\forall \;\left\lbrace O\,,\,O'\right\rbrace \;$».

Énergie cinétique barycentrique

     Définition : L'énergie cinétique barycentrique, à l'instant $\;t$, du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme des énergies cinétiques barycentriques des deux points matériels du système au même instant $\;t\;$ soit

«$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}K^{\,*}\!(M_{i},\,t)=K^{\,*}\!(M_{1},\,t)+K^{\,*}\!(M_{2},\,t)\;$» ou encore
«$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{i}}}\!(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\!(t)}{2}}\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad ={\dfrac {1}{2}}\;m_{1}\left[{\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{2}\left[{\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)={\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{1}}}\!(t)+{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\right]^{2}}{2\;m_{2}}}\!(t)={\dfrac {{\vec {p}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}^{\,*}\!(t)}{2}}+{\dfrac {{\vec {p}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}^{\,*}\!(t)}{2}}\;$».

Mouvement du référentiel barycentrique par rapport au référentiel d'étude et conséquence sur la dérivation temporelle d'une grandeur vectorielle

     A priori, il est nécessaire de préciser le référentiel $\;{\big (}{\mathcal {R}}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ dans lequel on calcule la dérivée temporelle d'une fonction vectorielle $\;{\big [}$en effet, a priori, même si la norme de la fonction vectorielle est constante, sa direction peut être constante dans un référentiel et variable dans un autre, entraînant la nullité de la dérivée temporelle dans le 1^er référentiel et la non nullité dans l’autre${\big ]}$ ;

     toutefois, quand les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre, les dérivées temporelles de grandeurs vectorielles sont identiques $\;{\big [}$voir le paragraphe « introduction (au changement de référentiel en cinématique newtonienne dans le cas du référentiel d'entraînement en translation relativement au référentiel absolu) » du chap.$1$ de la leçon « Mécanique du point en référentiel non galiléen »${\big ]}$, cela résulte du fait que la direction de la fonction vectorielle est alors indépendante du référentiel d'où

     toutefois $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ étant en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}^{\,*}(t)\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}$, on aura «$\;\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}\right]_{\mathcal {R}}\!\!(t)\;$» $\Rightarrow$
      toutefois il est inutile de préciser le référentiel $\;{\big (}{\mathcal {R}}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ dans lequel on fait la dérivation temporelle de la grandeur vectorielle $\;{\vec {A}}(t)$, la dérivée temporelle étant simplement notée «$\;{\dfrac {d{\vec {A}}}{dt}}(t)\;$».

Théorèmes de Kœnig (ou König)

     Les théorèmes de Kœnig $\;{\big (}$ou König${\big )}\;$ permettent d'expliciter le changement de référentiel faisant passer du référentiel barycentrique d'un système fermé de matière au référentiel d'étude pour les grandeurs cinétiques « moment cinétique vectoriel » et « énergie cinétique » du système de matière ; ci-dessous on ne s'intéresse qu'aux systèmes de deux points matériels.

Théorème de Kœnig relatif au moment cinétique vectoriel (ou 1^er théorème de Kœnig)

Énoncé

Début d’un théorème

1^er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique)

     Le moment cinétique vectoriel du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un point $\;O\;$ quelconque «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme

• du moment cinétique barycentrique vectoriel du système «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
• du moment cinétique vectoriel du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» soit, mathématiquement «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$».

Fin du théorème

Démonstration

     Ayant établi la formule de changement d'origine du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels dans un référentiel d'étude et l'appliquant entre un point $\;O\;$ quelconque et le C.D.I. $\;G\;$ du système, on peut donc écrire «$\;{\vec {\sigma }}_{\!O}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» dans laquelle toutes les grandeurs cinétiques ou cinématiques sont définies dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;

     il reste, pour terminer la démonstration du 1^er théorème de Kœnig, à établir que le moment cinétique vectoriel du système évalué par rapport au C.D.I. $\;G\;$ du système, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, s'identifie au moment cinétique barycentrique vectoriel du système, au même instant $\;t$, c'est-à-dire au moment cinétique vectoriel du système, à l'instant $\;t$, dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, lequel moment, étant indépendant du point origine de calcul, peut être évalué au C.D.I. $\;G\;$ du système, soit encore à établir «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;{\overset {\text{?}}{=}}\;{\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)\;$» ;

     pour cela on applique la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$», le mouvement d'entraînement d'un point $\;M_{i}\;$ quelconque étant une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\Rightarrow$ le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M_{i}\;$ vérifie «$\;{\vec {V}}_{e,\,M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\forall \;M_{i},\;\forall \;t\;$» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point $\;M_{i}\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis,
     en multipliant vectoriellement à gauche les deux membres par $\;m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\;$ et en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle dans le membre de droite «$\,{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$ $={\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{G}(t)\,$», enfin
     en ajoutant ces $\;2\;$ relations «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge m_{i}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$», « 1^er membre dans lequel on reconnaît $\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)\;$» et 2^nd membre dans lequel « le 1^er terme s'identifie à $\;{\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)$», le « 2^ème terme se réécrivant, en factorisant vectoriellement à droite par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\wedge {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {0}}\;$» par définition du C.D.I. du système de deux points matériels d'où finalement «$\;{\vec {\sigma }}_{\!G}({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!G}^{*}({\text{syst}},\,t)\;$» R.Q.F.D.

Version projetée sur une direction fixée du 1^er théorème de Kœnig

Début d’un théorème

1^er théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif au moment cinétique) en projection sur une direction fixée

     Le moment cinétique scalaire du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un axe $\;\Delta _{O}\;$ quelconque orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme

• du moment cinétique barycentrique scalaire du système «$\;\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ relativement à la direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ et
• du moment cinétique scalaire du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\Delta _{O}$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» soit, mathématiquement «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Il suffit d'appliquer, à l'instant $\;t$, au système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», le 1^er théorème de Kœnig, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)=$ ${\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis
     Démonstration : Il suffit de multiplier chaque membre par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ définissant la direction de projection du 1^er théorème de Kœnig, soit «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle, «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et enfin
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» le moment cinétique scalaire du système à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ relativement à un axe $\;\Delta _{O}\;$ passant par $\;O\;$ et orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)\;$»,
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «$\;{\vec {\sigma }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» le moment cinétique barycentrique scalaire du système à l'instant $\;t\;$ relativement à la direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ «$\;\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» et
     Démonstration : Il suffit de reconnaître dans «$\;{\vec {\sigma }}_{O}\!(G,\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» le moment cinétique scalaire du C.D.I. $\;G\;$ du système au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\Delta _{O}\;$ «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)$ $=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$»,
     Démonstration : soit finalement «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» R.Q.F.D.

Système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right),\right.$ $\left.M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$» en rotation autour d'un axe $\;\Delta _{O}\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le C.D.I. $\;G\;$ du système étant hors de l'axe $\;\Delta _{O}$

     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : Soit le système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation autour de l'axe $\;\Delta _{O}\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\bigg [}$le repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}\;$ étant $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace$, $\;{\vec {u}}_{z}\;$ orientant $\;\Delta _{O}{\bigg ]}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ $\;{\big (}$voir figure ci-contre${\big )}$, le C.D.I. $\;G\;$ du système étant hors de l'axe $\;\Delta _{O}$,
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système $\;{\bigg [}$le repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ étant $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Gx}}^{*}\,,\,{\overrightarrow {Gy}}^{*}\,,\,{\overrightarrow {Gz}}^{*}\right\rbrace \;$ choisis $\;\parallel \;$ aux axes du repère cartésien associé à $\;{\mathcal {R}}{\bigg ]}\;$ est en translation circulaire dans $\;{\mathcal {R}}\;$ avec un vecteur vitesse instantanée $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G,\,t)$ ;
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ étant en translation relativement à $\;{\mathcal {R}}$, le mouvement barycentrique du système des deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right),\right.$ $\left.M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$» est en rotation autour de l'axe $\;\Delta _{G}\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ ;
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : l'application du 1^er théorème de Kœnig au système des deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» dans sa version projetée sur une direction orientée par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ nous conduit à «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)$ $=\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)\;$» avec

• «$\;\sigma _{{\vec {u}}_{\Delta }}^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\left[r_{i}^{*}\right]^{2}=m_{1}\left[r_{1}^{*}\right]^{2}+m_{2}\left[r_{2}^{*}\right]^{2}\;$ est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{G}\;$», avec $\;r_{i}^{*}\;$ la distance orthogonale séparant le point $\;M_{i}\;$ de l'axe $\;\Delta _{G}$, «$\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ étant la vitesse angulaire instantanée de rotation du système définie selon $\;{\overrightarrow {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et
• «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!(G,\,t)=\left[{\overrightarrow {OG}}(t)\wedge m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G,\,t)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta _{O}}(G)\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta _{O}}(G)=m_{\text{syst}}\;r_{G}^{\,2}\;$ est le moment d'inertie du C.D.I. $\;G\left(m_{\text{syst}}\right)\;$ par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\;$», avec $\;r_{G}\;$ la distance orthogonale séparant le C.D.I. $\;G\;$ de l'axe $\;\Delta _{O}$, d'où

«$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)+J_{\Delta _{O}}(G)\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)=\left[J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+J_{\Delta _{O}}(G)\right]{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$»,

     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en évaluant directement le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ par «$\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$ dans lequel «$\;J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;r_{i}^{\,2}=m_{1}\;r_{1}^{\,2}+m_{2}\;r_{2}^{\,2}\;$ est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{O}\;$», avec $\;r_{i}\;$ la distance orthogonale séparant le point $\;M_{i}\;$ de l'axe $\;\Delta _{O}\;$ et
     Cas particulier d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel d'étude : soit, en identifiant les deux expressions de $\;\sigma _{\Delta _{O}}\!({\text{syst}},\,t)\;$ déterminée directement et par 1^er théorème de Kœnig dans sa version projetée sur la direction $\;{\vec {u}}_{\Delta }$,

«$\;J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)=\left[J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+J_{\Delta _{O}}(G)\right]{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t)\;$»
$\Downarrow$ $\;{\big \{}$après simplification par $\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}}(t){\big \}}\;$
«$\;J_{\Delta _{O}}({\text{syst}})=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+J_{\Delta _{O}}(G)=J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})+m_{\text{syst}}\;r_{G}^{\,2}\;$» $\;{\big (}$théorème de Huygens${\big )}\;$,
$\;r_{G}\;$ étant aussi la distance orthogonale séparant $\;\Delta _{G}\;$ de $\;\Delta _{O}$.

Théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique (ou 2^ème théorème de Kœnig)

Énoncé

Début d’un théorème

2^ème théorème de Kœnig (ou théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique)

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ «$\;K({\text{syst}},\,t)\;$» est la somme

• de l'énergie cinétique barycentrique du système «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)\;$» évalué à l'instant $\;t\;$ et
• de l'énergie cinétique du C.D.I. $\;G\;$ du système évalué au même instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ $\;{\big [}$en attribuant au point fictif $\;G\;$ la masse $\;m_{\text{syst}}{\big ]}\;$ «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» soit, mathématiquement «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$».

Fin du théorème

Démonstration

     L'énergie cinétique du système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» étant définie,

• à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, selon «$\;K({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}\!(t)\;$» et,
• dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, au même instant $\;t$, selon «$\;K^{*}({\text{syst}},\,t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\,\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{\!2}\!(t)\;$»,

     nous déterminons le lien entre les deux en appliquant la loi de composition newtonienne des vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en translation relativement au référentiel absolu, « le référentiel absolu étant le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel d'entraînement le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$», le mouvement d'entraînement d'un point $\;M_{i}\;$ quelconque étant une translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\Rightarrow$ le vecteur vitesse d'entraînement du point $\;M_{i}\;$ vérifie «$\;{\vec {V}}_{e,\,M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t),\;\forall \;M_{i},\;\forall \;t\;$» et la loi de composition newtonienne des vitesses du point $\;M_{i}\;$ s'écrit «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)=$ ${\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)+{\vec {V}}_{G}(t)\;$» puis,
     en formant le carré scalaire multiplié par $\;{\dfrac {m_{i}}{2}}\;$ de chaque membre et en développant le membre de droite «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$», enfin
     en ajoutant ces $\;2\;$ relations «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,2}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\left[{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}\right]^{2}\!(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {1}{2}}\;m_{i}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$», « 1^er membre dans lequel on reconnaît $\;K({\text{syst}},\,t)\;$» et 2^nd membre dans lequel « le 1^er terme s'identifie à $\;K^{*}({\text{syst}},\,t)\;$», le « 2^ème terme se réécrivant, en factorisant scalairement par $\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ $\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;{\vec {V}}_{M_{i}}^{\,*}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {P}}^{\,*}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)=0\;$» par nullité de la résultante cinétique barycentrique du système de deux points matériels et le « 3^ème terme, en factorisant par $\;{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}$, $\;\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\right]{\dfrac {{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)}{2}}={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)=K(G,\,t)\;$» d'où finalement «$\;K({\text{syst}},\,t)$ $=K^{*}({\text{syst}},\,t)+\;K(G,\,t)=K^{*}({\text{syst}},\,t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{\,2}(t)\;$» R.Q.F.D.

Exemple d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ_G de vecteur rotation instantanée barycentrique fixé

     Considérons un système de deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation autour d'un axe $\;\Delta _{G}\;$ passant par le C.D.I. $\;G\;$ du système et de direction fixe dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système, avec un vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$ à l'instant $\;t$,
     Considérons le C.D.I. $\;G\;$ du système se déplaçant dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et y ayant un vecteur vitesse instantanée $\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}(G,\,t)\;$ au même instant $\;t$,
     l'application du 2^ème théorème de Kœnig au système des deux points matériels «$\;\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» nous conduit à «$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)\;$» avec

• «$\;K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}^{\,2}(t)\;$» dans lequel «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\left[r_{i}^{*}\right]^{2}=m_{1}\left[r_{1}^{*}\right]^{2}+m_{2}\left[r_{2}^{*}\right]^{2}\;$ est le moment d'inertie du système par rapport à l'axe $\;\Delta _{G}\;$», avec $\;r_{i}^{*}\;$ la distance orthogonale entre le point $\;M_{i}\;$ et l'axe $\;\Delta _{G}$, «$\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\;$ étant la vitesse angulaire de rotation du système à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ soit $\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)={\overrightarrow {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» $\;{\big \{}{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant $\;\Delta _{G}{\big \}}$ $\;{\big [}$cette partie d’énergie cinétique correspondant à la rotation propre barycentrique du système des deux points${\big ]}\;$ et
• «$\;K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}^{\,2}(G,\,t)\;$» dans lequel «$\;m_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}=m_{1}+m_{2}\;$ est la masse du système » $\;{\big [}$cette partie d’énergie cinétique correspondant à la translation d'ensemble du système des deux points dans le référentiel d'étude${\big ]}\;$ d'où

«$\;K({\text{syst}},\,t)=K^{\,*}\!({\text{syst}},\,t)+K\!(G,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}_{/\,{\mathcal {R}}^{*}}^{\,2}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{/\,{\mathcal {R}}}^{\,2}(G,\,t)\;$».

Dynamique d'un système de deux points matériels dans un référentiel galiléen

Systèmes de forces extérieures, de forces intérieures, résultante des systèmes de forces

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste $\;{\big (}$une force devant être invariante par changement de référentiel${\big )}\;$ ainsi que la notion associée de « résultante ».

Définition des systèmes de forces extérieures, de forces intérieures

     $\;\succ \;$Une force extérieure est une force que l'extérieur du système de deux points matériels «$\;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)\;$» exerce sur un point de ce système «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» ;
           le système des forces extérieures est alors défini comme l'ensemble des forces «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$ que chaque système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ de $\;\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur chaque point $\;M_{i}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» $\;{\bigg [}$ou encore «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{\begin{array}{l}i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]\\k\,\in \,\left[\left[1\,,\,p\right]\right]\end{array}}\;$»${\bigg ]}$.

     $\;\succ \;$Une force intérieure est une force qu'un point du système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» exerce sur un autre point ce système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ ;
           le système des forces intérieures est alors défini comme l'ensemble des forces $\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\begin{array}{l}i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]\\j\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]\,{\text{avec}}\,j\,\neq \,i\end{array}}\;$ que chaque point $\;M_{j}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur chaque point $\;M_{i}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.

           Remarques : Dans le système des forces intérieures on a à envisager l’action que $\;M_{j}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ mais aussi l’action que $\;M_{i}\;$ exerce sur $\;M_{j}\;$ avec $\;j\neq i$ ; on parle alors d’interactions entre les deux points et si l’une est appelée arbitrairement « action », l’autre est alors nommée « réaction ». Newton a énoncé un principe « traitant de l’action et de la réaction » ou des « actions réciproques », ce principe constitue la 3^ème brique fondamentale de la construction de la mécanique newtonienne du point matériel au même titre que le principe d’inertie ou le p.f.d.n. et il est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3^ème loi de Newton.

Rappel du principe de l'action et de la réaction (ou 3^ème loi de Newton)

     Le principe des actions réciproques $\;{\big (}$ou 3^ème loi de Newton${\big )}\;$ a déjà été énoncé et commenté au paragraphe « énoncé du principe des actions réciproques et commentaires » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », il ne s'agit donc que d'un rappel.

Début d’un théorème

Principe des actions réciproques (ou 3^ème loi de Newton)

     Pour deux points matériels $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ en interaction telle que $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ décrive l'action de $\;M_{2}\;$ sur $\;M_{1}\;$ et $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ l'action de $\;M_{1}\;$ sur $\;M_{2}\;$, on a à tout instant et quels que soient les mouvements de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}$ : $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$
et
$\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$.

Fin du théorème

     Commentaires : En « dynamique newtonienne » les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\;$ en étant indépendant également, le principe est applicable dans n'importe quel référentiel ;

     Commentaires : la 2^ème relation $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$ peut s'écrire encore, en utilisant la 1^ère relation, $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}$, ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ et $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ sont identiques, de support commun $\;\left(M_{1}M_{2}\right)$, la 1^ère relation $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$ ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme.

Résultante d'un système de forces

Résultante du système des forces extérieures (ou encore résultante dynamique)

Résultante dynamique appliquée à un système de deux points matériels

     La résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}\;$ appliquée à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la résultante des forces extérieures s'exerçant sur ce système de points soit encore $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$ avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}$.

Résultante du système des forces intérieures

Résultante du système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels

     La résultante du système des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme des forces qu'un point quelconque du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur l'autre point du système, soit encore $\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;$ la force que $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ exerce sur $\;M_{i}$.

     Propriété : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de deux points matériels en dynamique newtonienne » soit

«$\;{\vec {F}}_{\text{int}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}\;$»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système.

              Propriété Démonstration : cette propriété résulte de la 1^ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\vec {0}}$.

Théorème de la résultante cinétique, théorème du mouvement du centre d'inertie (ou théorème du centre d’inertie ou de masse)

Théorème de la résultante cinétique

     Voir aussi le paragraphe « théorème de la résultante cinétique d'un système fermé de points matériels » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème

Théorème de la résultante cinétique d'un système de deux points matériels

     « Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}$, la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ appliquée, à l'instant $\;t$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est égale à la dérivée temporelle de sa résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ au même instant $\;t$ » soit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)$.

Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de deux points matériels.

     Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut appliquer, à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, la r.f.d. soit

«$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$» et

           Démonstration : Le référentiel d'étude étant galiléen, on peut faire la somme de ces $\;2\;$ relations ce qui donne $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$ ou $\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left(\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}F_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right)={\dfrac {d\left(\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}\right)}{dt}}(t)$,

• le 1^er terme du 1^er membre étant la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ s'exerçant sur le système de deux points matériels,
• le 2^ème terme du 1^er membre, la résultante des forces intérieures $\;{\vec {F}}_{\text{int}}\;$ exercées sur tout le système, résultante nulle en toute circonstance soit $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ et
• le 2^nd membre, la dérivée temporelle de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ du système de deux points matériels soit $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ d'où

pour un système de deux points matériels dans un référentiel galiléen,
$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)+{\vec {0}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ ou $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ (C.Q.F.D.),
applicable sous cette forme en dynamique newtonienne ou relativiste.

Théorème du mouvement du centre d'inertie (ou théorème du centre d’inertie ou de masse)

     Voir aussi le paragraphe « théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels » du chap.$9$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème

Théorème du mouvement du centre d'inertie d'un système de deux points matériels (cadre de la dynamique newtonienne)

     « Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ et dans le cadre de la dynamique newtonienne, la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ appliquée, à l'instant $\;t$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est égale au produit de la masse $\;{\big (}$inerte${\big )}$ $\;m_{\text{syst}}\;$ du système par le vecteur accélération $\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ de son C.D.I. $\;G_{\text{syst}}\;$ au même instant $\;t$ » soit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)$.

Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème s'applique exclusivement, en dynamique newtonienne, à un système $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de deux points matériels.

     Démonstration : Cela découle de l'application, dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}$, du théorème de la résultante cinétique au système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ soumis, à l'instant $\;t$, à la résultante dynamique $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ soit $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ dans laquelle $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ est la résultante cinétique du système au même instant $\;t\;$ et,
            Démonstration : Cela découle de la propriété liant, dans le cadre de la cinétique newtonienne, la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)$, la masse $\;{\big (}$inerte${\big )}$ $\;m_{\text{syst}}\;$ et le vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ du C.D.I. du système à savoir $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ dont on déduit,
            Démonstration : $\;{\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)$, la masse du système de deux points matériels étant constante, soit,
            Démonstration : par report dans l'expression du théorème de la résultante cinétique, $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {a}}_{G_{\text{syst}}}(t)\;$ (C.Q.F.D.).

Théorèmes de l'inertie

     Préliminaire : Les théorèmes de l'inertie appliqués à un système de deux points matériels sont des cas particuliers des deux théorèmes précédents, il ne serait donc pas nécessaire de les faire apparaître dans l'exposé si ce n'est pour satisfaire une présentation historique $\;\ldots$

Début d’un théorème

Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne ou relativiste)

     « Il existe au moins un référentiel d'espace-temps $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}\;$ d'un système de deux points matériels isolé «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est conservée au cours du temps du référentiel $\;{\mathcal {R}}$ », ce référentiel étant qualifié de « galiléen $\;{\big (}$ou inertiel${\big )}\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un point matériel $\;M_{i}\;$ quelconque de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ postule l'existence d'au moins un référentiel dans lequel, par absence de forces extérieures appliquées à $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big [}$le système étant isolé${\big ]}\;$ «$\;{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}\,\neq \,M_{i}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$» d'où, en faisant ajoutant ces relations écrites pour chaque point et en utilisant la conséquence du principe des actions réciproques que l'on suppose applicable dans le référentiel considéré à savoir $\;{\vec {F}}_{\text{int}}={\vec {0}}\;$ ainsi que la définition de la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{M_{i}}$, on établit $\;{\vec {0}}={\dfrac {d{\vec {P}}_{\text{syst}}}{dt}}(t)\;$ soit, après intégration relativement au temps, le théorème énoncé.

Début d’un théorème

Théorème de l'inertie (en dynamique newtonienne)

     « Il existe au moins un référentiel d'espace-temps $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel le C.D.I. d'un système de deux points matériels isolé «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est animé d'un mouvement rectiligne uniforme », ce référentiel étant qualifié de « galiléen $\;{\big (}$ou inertiel${\big )}\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Appliquant le théorème de l'inertie au système isolé $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ on en déduit l'existence d'un référentiel d'espace-temps $\;{\mathcal {R}}\;$ dans lequel la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservée au cours du temps puis, comme $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ avec $\;m_{\text{syst}}=cste\;$ pour un système de deux points matériels, on en déduit la conservation du vecteur vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système et par suite un mouvement rectiligne uniforme de $\;G$.

Conséquences

     Conséquence du théorème de la résultante cinétique : Si le système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}$, l'application du théorème de la résultante cinétique au système dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps $\;t$,

« la conservation de la résultante cinétique du système » soit $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;t$ ;
cette conclusion est applicable en dynamique newtonienne ou relativiste.

     Conséquence du théorème du mouvement du centre d'inertie : Si le système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est « pseudo isolé » c'est-à-dire si la résultante dynamique appliquée au système est telle que $\;{\vec {F}}_{\text{ext}}={\vec {0}}$, l'application du théorème du mouvement du C.D.I. au système dans un référentiel galiléen implique, après intégration par rapport au temps $\;t$,

« la conservation du vecteur vitesse du C.D.I. du système » soit $\;{\vec {V}}_{G_{\text{syst}}}(t)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;\;\forall \;t$ ;
cette conclusion n'étant, a priori, applicable qu'en dynamique newtonienne.

Moments résultants d’un système de forces calculé en O (a priori quelconque)

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste $\;{\big (}$une force devant être invariante par changement de référentiel${\big )}\;$ ainsi que les notions associées de moments résultants vectoriel et scalaire.

Moment résultant vectoriel du système de forces extérieures calculé en O (ou encore moment résultant vectoriel dynamique)

Moment résultant dynamique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels

     Le vecteur moment résultant dynamique relativement au point origine $\;O\;$ quelconque $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}\;$ appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le vecteur moment résultant des forces extérieures s'exerçant sur ce système de points relativement au point $\;O\;$ soit encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$ avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}$.

Moment résultant vectoriel du système de forces intérieures calculé en O

Moment résultant vectoriel du système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels

     Le vecteur moment résultant du système des forces intérieures relativement au point origine $\;O\;$ quelconque $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}\;$ appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme de tous les moments de forces relativement au point $\;O\;$ qu'un point quelconque du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur l'autre point du système soit encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace ={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\right]\;$ avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;$ la force que $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ et $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}$.

     Propriété : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du vecteur moment résultant des forces intérieures s’exerçant sur un système de deux points matériels en dynamique newtonienne » soit

«$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace ={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\right]={\vec {0}}\;$»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système.

              Propriété Démonstration : le vecteur moment résultant des forces intérieures s'exerçant sur le système «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», avec $\;O\;$ comme point origine d'évaluation des moments vectoriels, s'écrivant $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=$ ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\right]+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\right]={\overrightarrow {OM_{1}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}+{\overrightarrow {OM_{2}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ ou,
              Propriété Démonstration : ayant, d’après la 1^ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=-{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ soit, en substituant $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ par $\;-{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ et en factorisant vectoriellement à droite par $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}=\left[{\overrightarrow {OM_{1}}}-{\overrightarrow {OM_{2}}}\right]\wedge \;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\overrightarrow {M_{2}M_{1}}}\wedge \;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;$»,
              Propriété Démonstration : enfin, d’après la 2^ème relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a $\;{\overrightarrow {M_{2}M_{1}}}\wedge \;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}={\vec {0}}\;$ d'où la propriété énoncée $\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}={\vec {0}}$.

Commentaires sur le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels

     Le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels a une résultante et un moment résultant vectoriel par rapport à n'importe quel point origine tous deux nuls $\;{\big (}$en effet si le moment résultant vectoriel est nul par rapport à un point origine $\;O$, il l'est par rapport à tout autre point origine $\;O'\neq O\;$ car la résultante l'est aussi${\big )}$ ;

     toutefois, dans le cas général, le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels n'est pas équivalent à un système de forces nul $\;{\big (}$en particulier nous verrons que la puissance développée par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de deux points matériels déformable n’est pas nul, alors que celui d'un système de forces nul l'est évidemment${\big )}$.

Moment résultant scalaire d’un système de forces par rapport à un axe Δ

Rappel de la définition d'un moment scalaire de force à partir du moment vectoriel de celle-ci

     Le moment scalaire d'une force $\;{\vec {F}}(M)\;$ par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)$, noté $\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;$ est le projeté, sur l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, du moment vectoriel de cette force par rapport à un point $\;O\;$ quelconque de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit

«$\;{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }=\left[{\overrightarrow {OM}}\wedge {\vec {F}}(M)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$», $\;\forall \;O\;\in \,\left(\Delta \right)\;$.

Moment résultant scalaire du système de forces extérieures (ou moment résultant dynamique scalaire) appliqué à un système de deux points matériels

Moment résultant dynamique scalaire appliqué à un système de deux points matériels

     Le moment résultant dynamique scalaire relativement à l'axe $\;\Delta \;$ quelconque $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}\;$ appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le moment résultant scalaire des forces extérieures s'exerçant sur ce système de points relativement à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ soit encore $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }$, $\;\forall \;O\;\in \,\left(\Delta \right)\;$ avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}$.

Définition du moment résultant scalaire du système de forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels et propriété

Moment résultant scalaire du système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels

     Le moment résultant scalaire du système des forces intérieures relativement à l'axe $\;\Delta \;$ quelconque $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}\;$ appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme de tous les moments de forces relativement à l'axe $\;\Delta \;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ qu'un point quelconque du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur l'autre point du système soit encore $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace ={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\right]+{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\right]\;$ avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;$ la force que $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ et $\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]=\left[{\overrightarrow {OM_{i}}}\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }$.

     Propriété : Une conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité du moment résultant scalaire des forces intérieures s’exerçant sur un système de deux points matériels en dynamique newtonienne » soit

«$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace ={\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\right]+{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\right]=0\;$»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système.

              Propriété Démonstration : ayant établi au paragraphe « définition du moment résultant vectoriel du système de forces intérieures appliqué à un système discret fermé de points matériels et propriété » plus haut dans ce chapitre «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}={\vec {0}}\;$» on en déduit aisément, en multipliant scalairement chaque membre par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\vec {0}}\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» c'est-à-dire la propriété énoncée «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{int}}}=0\;$».

Théorèmes des moments cinétiques

Théorème du moment cinétique vectoriel

Énoncé et démonstration

     Voir aussi le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système discret de points matériels » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;O\;$ appliqué, à l'instant $\;t$, au système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même point $\;O$, au même instant $\;t$, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}},\,t)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Considérant le système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels,

     Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à chaque point matériel $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement au point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$, s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)$ $={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;$»,

     Démonstration : on fait la somme de ces $\;2\;$ relations $\Rightarrow$ «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})}{dt}}(t)\;$» et on reconnaît dans

• « le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système de deux points matériels évalué au point origine $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
• « le 2^ème terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système de deux points matériels évalué au même point $\;O\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$» et
• « le 2^ème membre » encore égal, par « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle », à «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{O}(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système de deux points matériels par rapport au même point $\;O\;$ au même instant $\;t$.

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de deux points matériels.

Conséquence : condition de conservation du moment cinétique vectoriel

     Il y a conservation du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels par rapport à un point $\;O\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à savoir «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=$ ${\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t\;$» si le vecteur moment résultant dynamique en $\;O\;$ appliqué au système est nul à tout instant $\;t\;$ c'est-à-dire si «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$», cette propriété résultant de l'application du théorème du moment cinétique vectoriel au système de deux points matériels en un point $\;O\;$ fixe dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{O,\,{\text{ext}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» dans lequel la nullité du 1^er membre conduit à celle du 2^ème membre c'est-à-dire à «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)={\vec {0}},\;\;\forall \;t\;$» d'où, après intégration par rapport au temps, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{O}\!\left({\text{syst}},\,t\right)={\overrightarrow {\text{cste}}},\;\;\forall \;t$» ;

     le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système de deux points matériels par rapport au point $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen peut être nul par

« absence de forces extérieures » c'est-à-dire si le système des deux points est isolé,
« des forces extérieures toutes centrales par rapport au point fixe $\;O\;$» ou
« des forces extérieures dont les vecteurs moments par rapport au point fixe $\;O\;$ se compensent ».

Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel en un point A mobile dans le référentiel d'étude

     Le prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels en un point origine $\;A\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen n'est pas mémoriser quand le point origine $\;A\;$ a un mouvement quelconque relativement au système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;

     toutefois son cas particulier où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. $\;G\;$ du système est utilisé plus fréquemment et par suite est à retenir.

Début d’un théorème

Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels dans le cas où le point origine A d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;A\;$ appliqué, à l'instant $\;t$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la somme de la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au même point $\;A\;$ au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» et du produit vectoriel «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ dans lequel $\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ est le vecteur résultante cinétique du système dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ à l'instant $\;t\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$».

Fin du théorème

     Commentaires : Ce prolongement de théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système fermé $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de points matériels.

     Commentaires : En cinétique newtonienne la résultante cinétique d'un système de deux points matériels $\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ est lié à la vitesse du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ et à la masse de ce dernier $\;m_{\text{syst}}\;$ par $\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « propriété de liaison avec le C.D.I. (de la résultante cinétique d'un système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, l'expression mathématique du prolongement du théorème se réécrivant selon «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» ;
     Commentaires : par contre, en cinétique relativiste, il n'y a pas de lien simple entre la résultante cinétique $\;{\vec {P}}_{\text{relativ}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ d'un système de deux points matériels et le mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système d'où aucune autre réécriture du prolongement de ce théorème en dynamique relativiste.

     Démonstration : Considérant le système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments vectoriels ;

     Démonstration : on exprime d'abord la forme du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un point matériel $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement au point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}\;$, en écrivant ce théorème relativement à un point origine $\;O\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i})}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» puis on effectue le changement d'origine selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l l l}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\\{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i})\!\!&=&\!\!{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})\!\!&+&\!\!{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {p}}_{M_{i}}(t)\end{array}}\right\rbrace \;$» que l'on reporte dans la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ après dérivation de la dernière expression selon «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!O}(M_{i})}{dt}}(t)$ $={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$», ce qui donne, après factorisation vectorielle partielle à gauche par $\;{\overrightarrow {OA}}(t)\;$ dans le 2^ème terme

«$\;\left\lbrace {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right\rbrace +\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]\right\rbrace ={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t),\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$»,

     Démonstration : ou encore, en appliquant la r.f.d.n. à $\;M_{i}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}={\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}+{\overrightarrow {OA}}(t)\wedge \left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\overrightarrow {OA}}(t)\wedge {\dfrac {d{\vec {p}}_{M_{i}}}{dt}}(t)\;$» d'où la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right]+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right]={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\;$»

     Démonstration : soit, enfin en ajoutant les $\;2\;$ relations, «$\;\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de}}\,{\mathcal {S}}\right)}\right](t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\right](t)\right\rbrace =\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})}{dt}}(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» et on reconnaît dans

• « le 1^er terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant dynamique appliqué au système de deux points matériels évalué au point origine $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
• « le 2^ème terme du 1^er membre » le vecteur moment résultant des forces intérieures appliquées au système de deux points matériels évalué au même point $\;A\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{int}}}(t)={\vec {0}}\;$»,
• « le 1^er terme du 2^ème membre » égal, après « permutation de la somme discrète et de la dérivation temporelle », à «$\;{\dfrac {d\!\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}(M_{i})\right]}{dt}}(t)\;$» c'est-à-dire à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique du système de deux points matériels par rapport au même point $\;A\;$ au même instant $\;t\;$ et enfin
• « le 2^ème terme du 2^ème membre » dans lequel on effectue une factorisation vectorielle à gauche par $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge \left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {p}}_{\!M_{i}}(t)\right]\;$» reconnaissant dans le 2^ème facteur du produit vectoriel le vecteur résultante cinétique du système de deux points matériels «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où la réécriture de ce terme selon «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;

     Démonstration : finalement le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à un point $\;A\;$ mobile dans $\;{\mathcal {R}}$, prend la forme «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» d'où l'énoncé $\;{\big (}$qui n'est pas à retenir mais à retrouver si besoin est${\big )}$.

Théorème du moment cinétique vectoriel en G (centre d'inertie du système de deux points matériels) dans le référentiel d'étude

     C'est un cas particulier du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen car le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est mobile $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big [}$le seul cas où $\;G\;$ y serait fixe est «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ isolé ou pseudo-isolé sans vitesse initiale »${\big ]}$ :

     le prolongement du théorème dans lequel on utilise «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» $\;{\big [}$voir le paragraphe « propriété de liaison avec le C.D.I. (de la résultante cinétique d'un système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, conduit donc à «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;{\cancel {+\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\wedge \left[m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\right]}}\;$» d'où l'énoncé :

Début d’un théorème

Prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un système de deux points matériels dans le cas où le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. G du système dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des vecteurs moments le C.D.I. $\;G\;$ du système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» étudié dans $\;{\mathcal {R}}$, le vecteur moment résultant dynamique par rapport à $\;G\;$ appliqué, à l'instant $\;t$, au système «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du vecteur moment cinétique de ce dernier par rapport au C.D.I. $\;G\;$ au même instant $\;t$ «$\;{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!G}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Remarque : Même si le point origine d'évaluation des moments vectoriels est le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, le théorème est appliqué dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\;{\big [}$et non dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}$, lequel est en général non galiléen${\big ]}$.

Théorème du moment cinétique scalaire, énoncé et démonstration

     Voir aussi le paragraphe « théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système discret de points matériels » du chap.$5$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Cas d'un mouvement quelconque

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système de deux points matériels dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, et prenant pour origine des moments scalaires un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}$, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\Delta \;$ appliqué, à l'instant $\;t$, au système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» est égal à la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport au même axe $\;\Delta$, au même instant $\;t$, «$\;\sigma _{\Delta }({\text{syst}},\,t)\;$» soit «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : Considérant le système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» étudié dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen et un axe $\;\Delta \;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ par rapport auquel on détermine les moments scalaires, l'axe $\;\Delta \;$ étant orienté par le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }$,

     Démonstration : le théorème du moment cinétique vectoriel appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, moments évalués relativement à un point $\;O\;$ quelconque, fixe sur $\;\Delta \;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$, s'écrivant «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$»,

     Démonstration : on multiplie scalairement chaque membre par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!O,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» et on reconnaît

• dans « le 1^er membre » le moment résultant dynamique scalaire appliqué au système de deux points matériels évalué par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» et
• dans « le 2^ème membre » se transformant en «$\;{\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma }}_{O}({\text{syst}})\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;$» compte-tenu de la constance de $\;{\vec {u}}_{\Delta }$, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système de deux points matériels par rapport au même axe $\;\Delta \;$ au même instant $\;t$, «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$».

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de deux points matériels.

Cas d’un système en rotation autour d’un axe Δ fixe

     Voir aussi le paragraphe « application du théorème du moment cinétique scalaire au cas d'un système fermé de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe quelconque dans un référentiel d'étude galiléen » du chap.$6$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Début d’un théorème

Théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen où le système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}$» a un mouvement de rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et prenant pour origine des moments l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ du système à l'instant $\;t$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)\;$» est égal au produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$» du système par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» du système autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ au même instant $\;t$ $\;{\big [}$la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$».

Fin du théorème

     Commentaire : sous cette forme, ce théorème applicable en dynamique newtonienne à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste.

     Démonstration : Ayant rappelé, dans le paragraphe « moment cinétique scalaire d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe Δ de vecteur rotation instantanée fixé » plus haut dans ce chapitre, le lien entre le moment cinétique scalaire du système par rapport à l'axe $\;\Delta \;$ de rotation $\;\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)$, la vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ de rotation et le moment d'inertie $\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ à savoir «$\;\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)$ $=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» et appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au système sous sa forme la plus générale «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=$ ${\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$», il suffit alors d'expliciter la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire dans le cas du système en rotation sachant que le moment d'inertie du système relativement à cet axe est une constante, soit «$\;{\dfrac {d\sigma _{\Delta }({\text{syst}})}{dt}}(t)={\dfrac {d\left[J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}\right]}{dt}}(t)$ $=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» et par suite «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» R.Q.F.D.

     Remarque : Sachant $\;{\big [}$voir le paragraphe « expression du vecteur moment cinétique dans le cas d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée fixé (le point origine de calcul étant un point A quelconque de l'axe) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ que «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)=J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)-{\overline {\Omega }}(t)\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}m_{i}\;z_{i}\;r_{i}\;{\vec {u}}_{r_{i}}(t)\right]\;$» dans laquelle «$\;\left(r_{i},\,\theta _{i},\,z_{i}\right)\;$» sont les coordonnées cylindro-polaires de pôle $\;A\;$ et d'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ $\;{\big [}$de sens a priori arbitraire sur $\;\left(\Delta \right)\;$ mais pratiquement choisi dans le sens de rotation quand celui-ci, connu, ne change pas${\big ]}\;$ du point $\;M_{i},\,\left(m_{i}\right)$ $\;{\big [}$la base cylindro-polaire liée à $\;M_{i}\;$ étant notée $\;\left({\vec {u}}_{r_{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{i}}\,,\,{\vec {u}}_{\Delta }\right){\big ]}\;$, $\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$, $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée du système à l'instant $\;t\;$ et $\;{\overline {\Omega }}(t)=$ ${\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation du système au même instant $\;t$, nous constatons que, dans le cas général, «$\;{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\neq J_{\Delta }\;{\overrightarrow {\Omega }}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\sigma }}_{\!A}}{dt}}({\text{syst}},\,t)\neq$ $J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» d'où
     Remarque : le théorème du moment cinétique vectoriel d'un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude galiléen s'écrit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)=$ ${\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{A}({\text{syst}})}{dt}}(t)\;$» avec «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\neq J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» dans le cas général où l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ n'est pas un axe principal d'inertie du système ;

     Remarque : par contre, dans le cas particulier où l'axe $\;\left(\Delta \right)$, fixe dans le référentiel d'étude galiléen, est un axe principal d'inertie du système de deux points matériels autour duquel il est en rotation, le théorème du moment cinétique vectoriel du système en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ s'écrit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d{\vec {\sigma }}_{A}({\text{syst}})}{dt}}(t)=J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overrightarrow {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }=J_{\Delta }\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», $\;A\;$ étant un point quelconque de $\;\left(\Delta \right)$.

     Conséquence : Si le moment résultant dynamique scalaire du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$ en rotation autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen est nul c'est-à-dire si «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)=0\;$», le système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ tourne à vitesse angulaire conservée dans le temps c'est-à-dire «$\;{\overline {\Omega }}(t)=cste,\;\;\forall \;t\;$».

Complément, système de deux points en rotation autour d’un axe Δ se déplaçant dans le référentiel d'étude en y gardant une direction fixe

     Le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\;{\big [}$ce qui a pour conséquence que le vecteur unitaire $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ orientant $\;\left(\Delta \right)\;$ est un vecteur constant dans $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ n'est pas mémoriser car d'utilisation trop restreinte mais il faut savoir le retrouver si besoin est ;

     il se déduit du prolongement du théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en un point origine $\;A\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, $\;A\;$ étant choisi sur $\;\left(\Delta \right)\;$ de façon à ce que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\\\sigma _{\!\Delta }({\text{syst}},\,t)={\vec {\sigma }}_{\!A}({\text{syst}},\,t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\end{array}}\right\rbrace \;$ soit «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» dans laquelle «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ est la résultante cinétique du système » et «$\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;A\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$» définis tous deux à l'instant $\;t\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }+\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$» dans laquelle on reconnaît

• dans le 1^er membre, le moment résultant dynamique scalaire du système relativement à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$»,
• dans le 1^er terme du 2^ème membre, la dérivée temporelle du moment cinétique scalaire du système relativement à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ car «$\;{\dfrac {d\,{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }={\dfrac {d\left[{\overrightarrow {\sigma _{\!A}}}\!\left({\text{syst}}\right)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]}{dt}}(t)\;$» compte-tenu du fait que $\;{\vec {u}}_{\Delta }={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ soit «$\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)\;$» et
• dans le 2^ème terme du 2^ème membre, un produit mixte «$\;\left[{\vec {V}}_{\!A}(t)\wedge {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\right]\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ a priori $\;\neq 0\;$» ou encore, «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$ a priori $\;\neq 0\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire,

     soit finalement, sans utiliser le caractère rotatif du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)={\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» ;

     pour un système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation, à l'instant $\;t$, à la vitesse angulaire $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ se translatant dans $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big [}$donc gardant une direction fixe${\big ]}$, le moment cinétique scalaire du système à l'instant $\;t$, dans $\;{\mathcal {R}}$, s'exprimant selon «$\;\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec $\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du système par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {d\sigma _{\!\Delta }\!\left({\text{syst}}\right)}{dt}}(t)=$ $J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)\;$» d'où l'énoncé du prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ de direction fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen.

Début d’un théorème

Prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen où le système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}$» a un mouvement de rotation autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de direction fixe dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et prenant pour origine des moments l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ de rotation, le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ du système à l'instant $\;t$ «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)\;$» est égal à la somme du produit du moment d'inertie «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$» du système par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire instantanée «$\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» du système autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ au même instant $\;t$ $\;{\big [}$la vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ étant encore la dérivée temporelle de l'abscisse angulaire instantanée $\;\theta (t)\;$ repérant le système dans sa rotation relativement au référentiel $\;{\mathcal {R}}{\big ]}\;$ et d'un terme correctif, a priori non nul, tenant compte de la translation de $\;\left(\Delta \right)\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ et de la résultante cinétique du système $\;{\vec {P}}_{\text{syst}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ soit «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)+\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$»,
$\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ étant le vecteur unitaire orientant $\;\left(\Delta \right)\;$ et $\;A\;$ un point quelconque fixe sur cet axe.

Fin du théorème

     Commentaires : sous cette forme, ce prolongement de théorème applicable en dynamique newtonienne à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe de direction fixe, ne l'est pas en dynamique relativiste.

     Commentaires : Le terme correctif «$\;\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)\;$» se réécrivant, en tenant compte de «$\;{\vec {P}}\!\left({\text{syst}},\,t\right)=m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» $\;{\big [}$voir le paragraphe « propriété de liaison avec le C.D.I. (de la résultante cinétique du système de deux points matériels) » plus haut dans ce chapitre${\big ]}$, «$\;m_{\text{syst}}\left[{\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {V}}_{\!A}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{\!G}(t)\;$» est nul dans le cas de nullité d'un produit mixte c'est-à-dire dans le cas où

• l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ glisse sur lui-même $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ du point fixe $\;A\;$ de $\;\left(\Delta \right)\;$ est colinéaire à $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$ ou,
• l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ se translate parallèlement au mouvement du C.D.I. $\;G\;$ du système $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ du point fixe $\;A\;$ de $\;\left(\Delta \right)\;$ est colinéaire à $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)\;$ ou encore,
• l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ passe par le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big [}$ce qui est certainement le cas le plus fréquemment rencontré${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {V}}_{\!A}(t)\;$ du point fixe $\;A\;$ de $\;\left(\Delta \right)\;$ est colinéaire à $\;{\vec {V}}_{\!G}(t)$ ;

     Commentaires : en conclusion le prolongement du théorème du moment cinétique scalaire appliqué à un système de deux points matériels en rotation autour d'un axe de direction fixe dans le référentiel d'étude galiléen prend la forme simplifiée «$\;{\mathcal {M}}_{\Delta ,\,{\text{ext}}}\!\left(t\right)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d{\overline {\Omega }}}{dt}}(t)=J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\dfrac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}(t)\;$» dans le cas où l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ glisse sur lui-même ou si la translation de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ se fait parallèlement à la trajectoire du C.D.I. $\;G\;$ du système $\;{\big [}$dont un cas particulier est l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ passant par $\;G\;$ c'est-à-dire «$\;\left(\Delta \right)=\left(\Delta _{G}\right)\;$»${\big ]}$.

Puissance des systèmes de forces relativement au référentiel d'étude

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste $\;{\big (}$une force devant être invariante par changement de référentiel${\big )}\;$ ainsi que la notion associée de puissance développée.

Puissance du système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude

Puissance développée par le système des forces extérieures appliqué à un système de deux points matériels

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, la puissance développée par le système des forces extérieures $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ appliqué, à l'instant $\;t$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme des puissances développées dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, par les forces extérieures s'exerçant, au même instant $\;t$, sur chaque point matériel soit «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}\;$ et
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

• 1^er cas particulier, système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en translation de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$» dans laquelle
  «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ; 1^er cas particulier, démonstration : il suffit de factoriser scalairement par $\;{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$ dans l'expression définissant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$», on obtient ainsi «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=$ $\left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$», le facteur entre crochets s'identifiant à la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ R.Q.F.D.
• 2^ème cas particulier, système (indéformable) de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle
  «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et
  «$\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation, à l'instant $\;t$, de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$» ; 2^ème cas particulier, démonstration : on utilise l'expression du vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ lors d'un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ avec $\;A\;\in \;\Delta \;$ «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)$ $={\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\overrightarrow {\Omega }}(t)\wedge {\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {AM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;$» en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire, nouvelle expression dans laquelle on reconnaît le vecteur moment de la force $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$ relativement au point $\;A\;$ dans le facteur entre crochets $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;$» puis, en factorisant scalairement par $\;{\vec {\Omega }}(t)$, «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace ={\overrightarrow {\Omega }}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\;$» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ par rapport à $\;A\;$ et enfin, en explicitant $\;{\vec {\Omega }}(t)\;$ en fonction de la vitesse angulaire de rotation de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ «$\;{\vec {\Omega }}(t)={\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», on obtient «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)$ $=\left[{\overline {\Omega }}(t)\;{\vec {u}}_{\Delta }\right]\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)={\overline {\Omega }}(t)\left[{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!A,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\right]={\overline {\Omega }}(t)\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$» R.Q.F.D.
• 3^ème cas particulier, système indéformable de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$» dans laquelle
  «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$»,
  «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ le vecteur vitesse du C.D.I. de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$»,
  «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport au C.D.I. de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et
  «$\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$ le vecteur rotation instantanée, à l'instant $\;t$, de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de l'axe $\;\Delta _{G}(t)\;$ dans le référentiel barycentrique du solide $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$» $\;{\big (}$ou
  dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, les deux étant en translation l'un par rapport à l'autre${\big )}$ ; 3^ème cas particulier, démonstration : comme cela a été introduit dans le paragraphe « référentiel barycentrique intérêt de son introduction » plus haut dans ce chapitre, le mouvement général d'un système de deux points matériels «$\;{\mathcal {S}}\;$» indéformable $\;{\big (}$c'est-à-dire un solide au sens de la mécanique${\big )}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ est un mouvement composé
  3^ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, «$\;{\vec {V}}_{G}(t)\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$» dans lequel $\;G\;$ est le C.D.I. du système et
  3^ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$d'une rotation autour de son C.D.I. $\;G\;$ de vecteur rotation instantanée $\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du solide d'où
  3^ème cas particulier, démonstration : le vecteur vitesse du point $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, «$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\;$» dont on déduit l'expression de la puissance développée par la force extérieure agissant sur $\;M_{i}\;$ à l'instant $\;t$, «$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\;$» et, en ajoutant ces $\;2\;$ relations, la puissance $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ cherchée «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\right]+\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\wedge {\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\right]\right\rbrace \;$» ce qui donne
  3^ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$dans le 1^er terme, après factorisation scalaire par $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\vec {V}}_{G}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)\;$» et
  3^ème cas particulier, démonstration : $\;\succ \;$dans le 2^ème terme, en utilisant l'invariance d'un produit mixte par permutation circulaire, «$\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace \;$» puis la factorisation scalaire par $\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)$, «$\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot \left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[{\overrightarrow {GM_{i}}}(t)\wedge {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace ={\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$» en reconnaissant dans le facteur entre accolades le moment résultant dynamique vectoriel appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ par rapport à $\;G\;$ d'où
  3^ème cas particulier, démonstration : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}(t)}(t)\;$» R.Q.F.D.

Puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude

Puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels

     La puissance développée, à l'instant $\;t$, dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, par le système des forces intérieures, $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)$, appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme de toutes les puissances développées par les forces qu'un point quelconque du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ exerce sur l'autre point du système, au même instant $\;t$, dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}$, soit encore «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]\right\rbrace ={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]\;$» avec
«$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» la puissance développée à l'instant $\;t\;$ par la force que $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$,
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Autres expressions : la 1^ère découle de l'utilisation de $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}=-{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ et de l'introduction du référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié au point $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$,
           Autres expressions : la 2^nde est obtenue à partir de la 1^ère mais sans la restriction permettant de ne pas compter deux fois le couple $\;\left(i\,,\,j\neq i\right)\;$ par exemple «$\;j>i$ $\;{\big (}$ou $\;j<i{\big )}\;$» $\;{\big [}$sans cette restriction on obtient $\;2\;$ fois plus de termes dans la double somme${\big ]}\;$ d'où le facteur $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ pour compenser :

           Autres expressions : $\;\succ \;$«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot {\vec {V}}_{M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force que le point $\;M_{1}\;$ exerce sur le point $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\Big \{}$on peut aussi utiliser le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ lié à $\;M_{2}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ pour écrire «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\cdot {\vec {V}}_{M_{1}\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force que le point $\;M_{2}\;$ exerce sur le point $\;M_{1}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ lié à $\;M_{2}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\Big \}}$ ;

           Autres expressions : $\;\succ \;$«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace {\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]+{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\right\rbrace \;$» dans lesquelles «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}(t)\;$» c'est-à-dire la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force que $\;M_{j}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ lié à $\;M_{j}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ ;

           Autres expressions : démonstration de la 1^ère autre expression de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)$ : la définition de la puissance développée par les forces intérieures s'exerçant sur le système $\;{\mathcal {S}}\;$ étant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=$ ${\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$» se réécrit
           Autres expressions : démonstration : en utilisant la 1^ère relation introduite dans le principe des actions réciproques à savoir «$\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)=-{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\;$» pour factoriser scalairement le terme entre crochets par «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\;$», ce qui donne «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{M_{2}}(t)-{\vec {V}}_{M_{1}}(t)\right]\,$» ou encore,

           Autres expressions : démonstration : en évaluant dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ la grandeur vectorielle «$\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)-{\vec {V}}_{M_{1}}(t)\;$» on obtient «$\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)-{\vec {V}}_{M_{1}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{2}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!\!(t)-\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {OM_{1}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!\!(t)$ $=\left[{\dfrac {d\,[{\overrightarrow {OM_{2}}}-{\overrightarrow {OM_{1}}}]}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!\!(t)\;$» $\;{\big (}$cette dernière expression résultant de l'utilisation de la relation de Chasles${\big )}$, c'est-à-dire la dérivée temporelle, dans $\;{\mathcal {R}}$, du « vecteur position relative $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;$ de $\;M_{2}\;$ relativement à $\;M_{1}\;$ à l'instant $\;t\;$» ou, « vecteur position de $\;M_{2}\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$», ou encore, avec $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ en translation par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}}\!\!(t)=\left[{\dfrac {d\,{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}{dt}}\right]_{/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\!(t)\;$» cette dernière expression définissant le « vecteur vitesse relative à l'instant $\;t\;$ de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ noté $\;{\vec {V}}_{\!M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$» soit finalement «$\;{\vec {V}}_{M_{2}}(t)-{\vec {V}}_{M_{1}}(t)$ $={\vec {V}}_{\!M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$» et par suite

           Autres expressions : démonstration : «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\vec {F}}_{\!M_{2}\,\leftarrow \,M_{1}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\!M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)={\mathcal {P}}_{/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\!\left[{\vec {F}}_{\!M_{2}\,\leftarrow \,M_{1}}(t)\right]\;$» R.Q.F.D.

           Autres expressions : démonstration : Remarque : L'expression utilisant le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ lié à $\;M_{2}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ s'obtient en permutant les indices «$\;_{1}\;$ et $\;_{2}\;$» selon «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)$ $={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}(t)+{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}(t)={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}}(t)-{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}}(t)\;$ en remplaçant $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\;$ par $\;-{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\;$ d'où $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=$ ${\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{M_{1}}(t)-{\vec {V}}_{M_{2}}(t)\right]{\overset {\cdots }{\;=\;}}{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$».

     Conséquences : $\;\succ \;$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$» ne dépendant que des directions communes des axes des repères associés aux référentiels $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ ou $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ et $\;{\mathcal {R}}\;$ mais non de leur origine $\;M_{1}\;$ ou $\;M_{2}\;$ et $\;O$, a même valeur dans tout référentiel en translation par rapport aux $\;{\mathcal {R}}$, en particulier dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)$.

     Conséquences : $\;\succ \;$ Dans le cas général «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$» est «$\;\neq 0\;$» car dépendant de la vitesse relative du point $\;M_{2}\;$ par rapport au point $\;M_{1}$ $\;{\big \{}$ou de celle du point $\;M_{1}\;$ par rapport au point $\;M_{2}{\big \}}$ $\;{\big [}$et celles-ci sont non nulles si le système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est déformable${\big ]}$.

     Conséquences : $\;\succ \;$ Si le système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est indéformable, «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot {\vec {V}}_{M_{1}\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}(t)=0\;$» car «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;{\vec {u}}_{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2}}\;$» par 2^ème relation du principe des actions réciproques et la composante sur $\;{\vec {u}}_{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2}}\;$ de $\;{\vec {V}}_{M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$ étant $\;{\dot {r}}_{1\,,\,2}\;$ avec $\;r_{2\,,\,1}=M_{1}M_{2}=cste\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {r}}_{1\,,\,2}=0\;$ d'où «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot {\vec {V}}_{M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)=0\;$».

Théorème de la puissance cinétique

     Voir aussi le paragraphe « énoncé (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen) » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Énoncé et démonstration

Début d’un théorème

Théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de deux points matériels dans un référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la puissance cinétique d’un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», à l'instant $\;t$, «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» est égale à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$» et de celle développée par les forces intérieures appliquées au même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ au même instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$» soit, mathématiquement, «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)+{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$».

Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de deux points matériels.

     Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, on applique le théorème de la puissance cinétique à chaque point matériel $\;M_{i}\;$, soit

«$\;{\dot {K}}_{M_{i}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext de}}\,\left({\mathcal {S}}\right)}\right]\!(t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t),\;\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$» puis

               Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, on fait la somme, membre à membre, des $\;2\;$ relations $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ ainsi définies à l'instant $\;t\;$

«$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dot {K}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext de}}\,\left({\mathcal {S}}\right)}\right]\!(t)+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace$» ou encore
«$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dot {K}}_{M_{i}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext de}}\,\left({\mathcal {S}}\right)}\right]\!(t)+\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace$»

• le 1^er membre «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\dot {K}}_{M_{i}}(t)\;$» se réécrivant «$\;{\dfrac {d\left[\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{K}_{M_{i}}\right]}{dt}}(t)\;$» après permutation de la dérivation temporelle et de l'addition est égale à la dérivée temporelle de l’énergie cinétique du système «$\;K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)$ $=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{K}_{M_{i}}(t)\;$» à l'instant $\;t\;$ c'est-à-dire à la puissance cinétique du système «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» au même instant $\;t$,
• le 1^er terme du 2^nd membre «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)\;$» définit la puissance développée, à l'instant $\;t$, par les forces extérieures appliquées au système «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,{\text{ext}}}\right]\!(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$» et
• le 2^ème terme du 2^nd membre «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace \;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par les forces intérieures appliquées au système «$\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{M_{i}\,\leftarrow \,M_{j}}\right]\!(t)\right\rbrace$ $={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$»,

               Démonstration : Dans le référentiel d'étude galiléen Rgal, d’où la démonstration du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de deux points matériels.

Cas particulier d'un système de deux points matériels indéformable

     Voir aussi le paragraphe « théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans le référentiel d'étude galiléen » du chap.$10$ de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI ».

Conséquence de la nullité de la puissance du système de forces intérieures s'exerçant sur le système de deux points matériels indéformable

     Le théorème de la puissance cinétique se simplifie dans le cas particulier d'un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» indéformable car nous avons établi au paragraphe « 3^ème conséquence d'évaluation de la puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre que cette dernière est nulle soit «$\;{\mathcal {P}}_{{\text{int}}\,{\text{syst. indéform.}}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» d'où l'énoncé du théorème :

Début d’un théorème

Théorème de la puissance cinétique appliqué à un système indéformable de deux points matériels dans un référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la puissance cinétique, à l'instant $\;t$, d’un système indéformable de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)\;$» est égale à la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$» soit, mathématiquement, «$\;{\dot {K}}_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$».

Fin du théorème

     Commentaire : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système indéformable de deux points matériels $\;\ldots$

Cas d'un système de deux points matériels indéformable en translation

     Soit un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en translation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ de vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;$» avec «$\;F_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation «$\;K_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen se réécrit «$\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;$».

Cas d'un système de deux points matériels indéformable en rotation autour d'un axe fixe de vecteur rotation instantanée donné

     Soit un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ de vitesse angulaire instantanée $\;{\overline {\Omega }}(t)\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» avec «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ relativement à $\;\left(\Delta \right)\;$» et l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe «$\;K_{({\mathcal {S}})\,{\text{en rot.}}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}(t)\;$» avec «$\;J_{\Delta }({\mathcal {S}})\;$ le moment d'inertie du système », le théorème de la puissance cinétique appliqué au système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation autour d'un axe fixe $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen se réécrit «$\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\mathcal {S}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$».

Complément, système de deux points matériels indéformable en mouvement quelconque

     Soit un système de deux points matériels indéformable «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen, mouvement composé d'une translation de vecteur vitesse, à l'instant $\;t$, $\;{\vec {V}}_{G}(t)$, $\;G\;$ étant le C.D.I. du système, et d'une rotation de vecteur rotation instantanée, au même instant $\;t$, $\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}(t)\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G$ : la puissance développée par le système des forces extérieures appliqué au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en mouvement quelconque s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}(t)\;$» avec «$\;F_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ainsi que «$\;{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique vectoriel appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$ évalué par rapport à $\;G\;$» et l'énergie cinétique du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en mouvement quelconque «$\;K_{({\mathcal {S}})}(t)=K_{({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)+{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du système », «$\;K_{({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)\;$ l'énergie cinétique barycentrique du système encore égale à $\;K_{({\mathcal {S}})}^{\,*}(t)={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}^{\,2}(t)$, $\;J_{\Delta _{G}}({\mathcal {S}})\;$ étant le moment d'inertie du système par rapport à l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», le théorème de la puissance cinétique appliqué au système indéformable de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en mouvement quelconque dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen se réécrit «$\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\mathcal {S}})\;{\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}^{\,2}\right]}{dt}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{G}(t)+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{\!G,\,{\text{ext}}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}_{\,/\,\Delta _{G}}(t)\;$».

Travail développé par les systèmes de forces relativement au référentiel d'étude

     Les notions de systèmes de forces sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne, toutefois elles restent applicables dans celui de la dynamique relativiste $\;{\big (}$une force devant être invariante par changement de référentiel${\big )}\;$ ainsi que les notions associées de travaux élémentaire et fini.

Travail développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude

Travail élémentaire développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude

Travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système de deux points matériels

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures $\;\delta W_{\text{ext}}(t)\;$ appliqué sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le produit de la puissance développée par le système des forces extérieures $\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, par la durée élémentaire de l'action $\;dt$, soit «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace dt\;$» avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}\;$ et
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ la puissance développée par $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$
à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : «$\,\delta W_{\text{ext}}(t)=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace dt=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace dt=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\right\rbrace dt=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot \left[{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;dt\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\,$» dans laquelle $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}\;$ est le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M_{i}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$ ; «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» étant aussi le travail élémentaire développé par la force $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$ appliqué à $\;M_{i}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$, nous en déduisons la définition équivalente ci-dessous.

Définition équivalente du travail élémentaire développé par le système des forces extérieures appliqué à un système de deux points matériels

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le travail élémentaire développé par le système des forces extérieures $\;\delta W_{\text{ext}}(t)\;$ appliqué sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme des travaux élémentaires développés dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, par les forces extérieures s'exerçant, pendant le même intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, sur chaque point matériel soit «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\delta W\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\,t\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}\;$ et
$\;{\overrightarrow {dM_{i}}}\;$ le vecteur déplacement élémentaire du point $\;M_{i}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

• 1^er cas particulier, système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en translation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ d'un vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$» dans laquelle
  «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ est la résultante dynamique appliquée à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ; 1^er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser $\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt\;$ avec «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;$», on obtient ainsi «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=\left[{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\right]dt\;$» ou encore, «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot \left[{\vec {V}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\right]={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$» par définition du vecteur déplacement élémentaire du système en translation, « R.Q.F.D. ».
• 2^ème cas particulier, système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ d'un angle élémentaire $\;d\theta \;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ : «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» dans laquelle
  «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ à l'instant $\;t\;$» ; 2^ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser $\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)\;dt\;$ avec «$\;{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\;$» dans laquelle «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ par rapport à l'axe de rotation $\;\left(\Delta \right)\;$ à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\overline {\Omega }}(t)={\vec {\Omega }}(t)\cdot {\vec {u}}_{\Delta }\;$ la vitesse angulaire de rotation, à l'instant $\;t$, de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ orienté par $\;{\vec {u}}_{\Delta }\;$», on obtient ainsi «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)=$ $\left[{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;{\overline {\Omega }}(t)\right]dt\;$» ou encore, «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\,\left[{\overline {\Omega }}(t)\;dt\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» par définition de l'angle élémentaire de rotation du système, « R.Q.F.D. ».

Travail développé par le système des forces extérieures relativement au référentiel d'étude sur une durée finie

Travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système de deux points matériels sur une durée finie

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le travail développé par le système des forces extérieures $\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$ appliqué sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme continue de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces extérieures sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ soit «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}_{\text{ext}}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t'\right]\right\rbrace dt'\;$» avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}\;$ et
$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)},\;t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ la puissance développée par $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$
à l'instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, $\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : Ayant établi dans la remarque du paragraphe « travail élémentaire développé par le système de forces extérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre «$\;\delta W_{\text{ext}}(t)$ $=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» avec $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}\;$ le vecteur déplacement élémentaire de $\;M_{i}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ dans $\;{\mathcal {R}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}(t')\right]\;$» dans laquelle chaque point $\;M_{i}\;$ décrivant une trajectoire spécifique $\;\left(\Gamma _{i}\right)\;$ a une position paramétrée par $\;t\;$ avec une position initiale notée $\;M_{i,\,0}\;$ et une finale notée $\;M_{i,\,f}\;$ d'où
     Remarque : en permutant l'addition discrète et l'addition continue, conséquence de la linéarité de ces opérations «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}(t')\right]\;$» et
     Remarque : en reconnaissant dans le terme entre crochets la paramétrisation d'une intégrale curviligne «$\;\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}(t')\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}(t')=\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {(\Gamma _{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$»,
     Remarque : nous en déduisons alors la définition équivalente ci-dessous.

Définition équivalente du travail développé par le système des forces extérieures appliqué à un système de deux points matériels sur une durée finie

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le travail développé par le système des forces extérieures $\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$ appliqué sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme de tous les travaux développés dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, par les forces extérieures s'exerçant, pendant le même intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$, sur chaque point matériel soit «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;$» avec
$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}=\sum \limits _{k\,=\,1\,..\,p}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ la somme des forces
que chaque système $\;(\Sigma _{k})\;$ extérieur exerce sur $\;M_{i}\;$ et
«$\;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {(\Gamma _{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» le travail développé par $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\;$
quand le point $\;M_{i}\;$ se déplace sur $\;\left(\Gamma _{i}\right)\;$ de $\;M_{i,\,0}\;$ à $\;M_{i,\,f}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

• 1^er cas particulier, système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en translation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ telle qu'un point quelconque $\;A$ $\;{\big (}$réel ou fictif${\big )}$, lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, suit la trajectoire $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$ de $\;A_{0}\;$ à $\;A_{f}\;$ dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ : «$\;W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;$» dans laquelle
  «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\;$ est la résultante dynamique appliquée en $\;A\;$ lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en une position générique de $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$» et
  «$\;{\overrightarrow {dA}}\;$ le vecteur déplacement élémentaire du point $\;A\;$ lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$» ; 1^er cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {(\Gamma _{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\right]\;$» dans laquelle $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}\;\;\forall \;M_{i}\;$ est égal à $\;{\overrightarrow {dA}}\;$ au point d'application près, $\;M_{i}\;$ suivant $\;\left(\Gamma _{i}\right)\;$ se déduisant de $\;\left(\Gamma _{A}\right)\;$ par translation de vecteur $\;{\overrightarrow {AM_{i}}}={\overrightarrow {A_{0}M_{i,\,0}}}={\overrightarrow {A_{f}M_{i,\,f}}}\;$ d'où, en permutant l'addition discrète et l'addition continue, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant $\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM_{i}}}\,\,\left(\Gamma _{i}\right)\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\overrightarrow {dA}}\,\,\left(\Gamma _{A}\right)\right\rbrace \;$ «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dA}}\right]\;$» ou encore, après factorisation scalaire par $\;{\overrightarrow {dA}}\;$ dans la fonction à intégrer «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}\left[\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,N}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\cdot {\overrightarrow {dA}}=\displaystyle \int \limits _{A_{0}{\overset {(\Gamma _{A})}{\rightarrow }}A_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(A)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;$» par définition de la résultante dynamique du système en translation, « R.Q.F.D. ».
• 2^ème cas particulier, système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ telle qu'un point quelconque $\;A$ $\;{\big (}$réel ou fictif${\big )}$, lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ mais $\;\notin \left(\Delta \right)$, tourne de $\;A_{0}\;$ à $\;A_{f}\;$ autour du $\;H_{A}$, le projeté orthogonal de $\;A\;$ sur $\;\left(\Delta \right)$, l'abscisse angulaire de $\;A\;$ dans le plan de sa trajectoire $\;\theta _{A}={\widehat {\left({\overrightarrow {H_{A}A_{\text{réf}}}}\,,\,{\overrightarrow {H_{A}A}}\right)}}\;$ variant de $\;\theta _{A,\,0}\;$ à $\;\theta _{A,\,f}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ : «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,0}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\,d\theta _{A}\;$» dans laquelle
  «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\;$ est le moment résultant dynamique scalaire appliquée en $\;A\;$ lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en une position générique du cercle décrit » et
  «$\;d\theta _{A}\;$ la variation élémentaire de l'abscisse angulaire du point générique $\;A\;$ lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» ; 2^ème cas particulier, démonstration : il suffit d'utiliser «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}W_{{\text{sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {({\mathcal {C}}_{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\right]\;$» dans laquelle $\;\left({\mathcal {C}}_{i}\right)\;$ est le cercle suivi par $\;M_{i}\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM_{i}}}$, son vecteur déplacement élémentaire le long de $\;\left({\mathcal {C}}_{i}\right)\;$ ou, en utilisant «$\,\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}{\overset {({\mathcal {C}}_{i})}{\rightarrow }}M_{i,\,f}}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=\displaystyle \int _{\theta _{i,\,0}}^{\theta _{i,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{i}\;$», le point $\;M_{i}\;$ se déplaçant sur un cercle, on obtient «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[\displaystyle \int _{\theta _{i,\,0}}^{\theta _{i,\,f}}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\;d\theta _{i}\right]\;$» dans laquelle $\;d\theta _{i}\;\;\forall \;M_{i}\;$ est égal à $\;d\theta _{A}\;$ au point d'application près, $\;M_{i}\;$ suivant $\;\left({\mathcal {C}}_{i}\right)\;$ se déduisant de $\;\left({\mathcal {C}}_{A}\right)\;$ par composition d'une homothétie de centre $\;H_{A}$, le projeté orthogonal de $\;A\;$ sur l'axe $\;\left(\Delta \right)$, d'une translation de vecteur $\;{\overrightarrow {H_{A}H_{i}}}$, $\;H_{i}\;$ étant le projeté orthogonal de $\;M_{i}\;$ sur l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ et d'une rotation autour de $\;\left(\Delta \right)\;$ d'un angle $\;{\widehat {\left({\overrightarrow {H_{A}A_{0}}}\,,\,{\overrightarrow {H_{i}M_{i,\,0}}}\right)}}\;$ d'où, en permutant l'addition discrète et l'addition continue, conséquence de la linéarité de ces opérations, et en y substituant $\;\left\lbrace d\theta _{i}\,,\,\theta _{i}\in \left[\theta _{i,\,0}\,,\,\theta _{i,\,f}\right]\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace d\theta _{A}\,,\,\theta _{A}\in \left[\theta _{A,\,0}\,,\,\theta _{A,\,f}\right]\right\rbrace \;$ «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]d\theta _{A}\right\rbrace \;$» ou «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\mathcal {M}}_{\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left({\text{ext de }}\;{\mathcal {S}}\right)}\right]\right\rbrace d\theta _{A}\;$» en factorisant par $\;d\theta _{A}\;$ la fonction à intégrer, soit finalement «$\;W_{{\text{ext. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{\theta _{A,\,0}}^{\theta _{A,\,0}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(\theta _{A})\,d\theta _{A}\;$» par définition du moment résultant dynamique scalaire du système en rotation, « R.Q.F.D. ».

Travail développé par le système des forces intérieures relativement au référentiel d'étude

Travail élémentaire développé par le système des forces intérieures relativement au référentiel d'étude

Travail élémentaire développé par le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le travail élémentaire développé par le système des forces intérieures $\;\delta W_{\text{int}}(t)\;$ appliqué sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est le produit de la puissance développée par le système des forces intérieures $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$ à l'instant $\;t\;$ dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, par la durée élémentaire de l'action $\;dt$, soit «$\;\delta W_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;dt=\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right)\right]\right\rbrace dt=\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right)+{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right)\right\rbrace dt\;$» avec
«$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» la puissance développée à l'instant $\;t\;$ par la force que $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$,
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Autres expressions : la 1^ère découle de la 1^ère autre expression de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « 1^ère autre expression de la puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ obtenue en utilisant $\;{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}=-{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ et en introduisant le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié au point $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, 1^ère autre expression de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$ s'écrivant «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]+{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot {\vec {V}}_{M_{2}\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force que le point $\;M_{1}\;$ exerce sur le point $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$ $\;{\big (}$lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ dont on déduit, en multipliant les deux membres par $\;dt$,

«$\;\delta W_{\text{int}}(t)=\delta W\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]+\delta W\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]=\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]\;$» avec
«$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;$» le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
par la force que le point $\;M_{1}\;$ exerce sur le point $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$ $\;{\big (}$lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}$

           Autres expressions : $\;{\Big \{}$on peut aussi utiliser le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ lié à $\;M_{2}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ pour écrire «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]=$ ${\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\cdot {\vec {V}}_{M_{1}\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}(t)\;$» la puissance développée, à l'instant $\;t$, par la force que le point $\;M_{2}\;$ exerce sur le point $\;M_{1}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ lié à $\;M_{2}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et en déduire «$\;\delta W_{\text{int}}(t)=\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\;$» avec «$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]={\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\cdot d{\overrightarrow {M_{2}M_{1}}}(t)\;$» le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ par la force que le point $\;M_{2}\;$ exerce sur le point $\;M_{1}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}$ $\;{\big (}$lié à $\;M_{2}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}{\Big \}}$ ;

           Autres expressions : la 2^nde découle de la 2^nde autre expression de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « 1^ère autre expression de la puissance du système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude » plus haut dans ce chapitre${\big ]}\;$ obtenue en formant la demi-somme des deux formes possibles de la 1^ère autre expression de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)\;$ soit «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace {\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]+{\mathcal {P}}_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\right\rbrace \;$» dont on déduit, en multipliant les deux membres par $\;dt$,

«$\;\delta W_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\left\lbrace \delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]+\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\right\rbrace \;$» avec
«$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot d{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}(t)\;$» le travail élémentaire développé sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$
par la force que le point $\;M_{j}\;$ exerce sur le point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}$ $\;{\big (}$lié à $\;M_{j}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}$.

     Avec un repérage sphérique du point $\;M_{2}\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$ : les coordonnées sphériques du point $\;M_{2}\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ étant «$\;\left(r_{1,\,2}\,,\,\theta _{1,\,2}\,,\,\varphi _{1,\,2}\right)\;$» et la base locale sphérique associée «$\;\left({\vec {u}}_{r_{1,\,2}}={\vec {u}}_{M_{1}\,\rightarrow \,M_{2}}={\vec {u}}_{1,\,2}\,,\,{\vec {u}}_{\theta _{1,\,2}}\,,\,{\vec {u}}_{\varphi _{1,\,2}}\right)\;$», on en déduit l'explicitation de «$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$» par 2^ème relation du principe des actions réciproques et celle de «$\;d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}=$ $dr_{1,\,2}\;{\vec {u}}_{1,\,2}+r_{1,\,2}\;d\theta _{1,\,2}\;{\vec {u}}_{\theta _{1,\,2}}+r_{1,\,2}\;\sin(\theta _{1,\,2})\;d\varphi _{1,\,2}\;{\vec {u}}_{\varphi _{1,\,2}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)={\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;dr_{1,\,2}\;$» et par suite

«$\;\delta W_{\text{int}}={\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;dr_{1,\,2}\;$» ou, en permutant les indices «$\;_{1}\;$ et $\;_{2}\;$», «$\;\delta W_{\text{int}}={\overline {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;dr_{2,\,1}\;$»
ou encore «$\;\delta W_{\text{int}}={\dfrac {1}{2}}\;\left\lbrace {\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;dr_{1,\,2}+{\overline {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;dr_{2,\,1}\right\rbrace \;$».

                  Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : $\;\succ \;$Si la force d'interaction entre $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ est « attractive », «$\;{\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ est $\;<0\;$» et
                        Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : si   la force d'interaction entre M1 et M2elle est « répulsive », «$\;{\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ est $\;>0\;$».
                  Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : $\;\succ \;$De l'explicitation du travail élémentaire $\;\delta W_{\text{int}}(t)\;$ du système des forces intérieures appliqué au système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ précédemment présenté et de son lien avec la puissance développée par ces forces intérieures $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {\delta W_{\text{int}}(t)}{dt}}\;$ on en déduit l'explicitation de la puissance développée par le système des forces intérieures appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ utilisant le repérage sphérique du point $\;M_{2}\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ soit

«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;{\dot {r}}_{1,\,2}(t)={\overline {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;{\dot {r}}_{2,\,1}(t)\;$» ou
«$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;\left\lbrace {\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;{\dot {r}}_{1,\,2}(t)+{\overline {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;{\dot {r}}_{2,\,1}(t)\right\rbrace \;$».

                  Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : $\;\succ \;$De ces expressions appliquées à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ indéformable on vérifie que «$\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$» et
                           Avec un repérage sphérique du point M2 dans le repère associé au référentiel R1 : Remarques : De ces expressions appliquées à (S) indéformable on vérifie que «$\;\delta W_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$».

Travail développé par le système des forces intérieures relativement au référentiel d'étude sur une durée finie

Travail développé par le système des forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels sur une durée finie

     Dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$, le travail développé par le système des forces intérieures $\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$ appliqué sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$, à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» est la somme continue de tous les travaux élémentaires successifs développés par le système des forces intérieures sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ dans le même référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ soit «$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace \sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right)\right]\right\rbrace dt'\;$
$\;\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\left\lbrace {\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t'\right)+{\mathcal {P}}\!\left({\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t'\right)\right\rbrace dt'\;$» avec
«$\;{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot {\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$» la puissance développée à l'instant $\;t\;$ par la force que $\;M_{j}\neq M_{i}\;$ exerce sur $\;M_{i}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$,
$\;{\vec {V}}_{M_{i}}(t)\;$ étant le vecteur vitesse de $\;M_{i}\;$ au même instant $\;t\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$.

     Autres expressions : ces expressions résultent de l'addition continue des « diverses expressions du travail élémentaire développé par le système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude (sous-paragraphe “ autres expressions ”) » établies plus haut dans ce chapitre d'où

           Autres expressions : la 1^ère autre expression «$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,<\,i}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t'\right]\;$» dans laquelle «$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t\right]=$ ${\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)={\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;dr_{1,\,2}(t)\;$» en utilisant le repérage sphérique du point $\;M_{2}\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$, cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la $\;{\big (}$double${\big )}\;$ somme discrète et de la somme continue, à l'aide d'une intégrale curviligne selon

«$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,<\,i}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{i,\,f}}{\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;d{r'}_{j,\,i}\right]\right\rbrace =\displaystyle \int \limits _{M_{2,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{2,\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{2,\,f}}{\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;d{r'}_{1,\,2}\;$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\displaystyle \int \limits _{M_{1,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{1,\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{1,\,f}}{\overline {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;d{r'}_{2,\,1}\;$»
avec $\;\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)\;$ la trajectoire du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ lié à $\;M_{j}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$ et

           Autres expressions : la 2^ème autre expression «$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t')=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t'\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\dfrac {1}{2}}\;\left\lbrace \delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1},\,t'\right]+\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{1\,\leftarrow \,2},\,t'\right]\right\rbrace \;$» dans laquelle «$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\!\left[{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j},\,t\right]={\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\cdot d{\overrightarrow {M_{j}M_{i}}}(t)={\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;dr_{j,\,i}(t)\;$» en utilisant le repérage sphérique du point $\;M_{i}\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}$, cette dernière expression du travail élémentaire conduisant à écrire le travail sur une durée finie, après permutation de la $\;{\big (}$double${\big )}\;$ somme discrète et de la somme continue, à l'aide d'une intégrale curviligne selon

«$\;W_{{\text{int. sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}={\dfrac {1}{2}}\;\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}\left\lbrace \sum \limits _{j\,=\,1\,..\,2}^{j\,\neq \,i}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{i,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{i,\,f}}{\overline {F}}_{i\,\leftarrow \,j}\;d{r'}_{j,\,i}\right]\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left[\displaystyle \int \limits _{M_{2,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{2,\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{2,\,f}}{\overline {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;d{r'}_{1,\,2}\;\;+\displaystyle \int \limits _{M_{1,\,0}\,{\overset {\left(\Gamma _{1,\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\right)}{\longrightarrow }}\,M_{1,\,f}}{\overline {F}}_{1\,\leftarrow \,2}\;d{r'}_{2,\,1}\right]\;$»
avec $\;\left(\Gamma _{i,\,/\,{\mathcal {R}}_{j}}\right)\;$ la trajectoire du point $\;M_{i}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{j}\;$ lié à $\;M_{j}\;$ en translation par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}$.

Théorème de l'énergie cinétique (forme intégrée du théorème de la puissance cinétique)

     La forme « intégrée » associée à la forme « locale » du « théorème de la puissance cinétique » est le « théorème de l'énergie cinétique » $\;{\big [}$voir le paragraphe « différence entre “ forme locale de la dynamique ” et “ forme intégrée associée à cette forme locale ” » du chap.$15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}$.

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire

     Pour passer d'une « forme locale de la dynamique écrite à l'instant $\;t\;$» à la « forme intégrée écrite sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ associée à cette forme locale », il suffit de multiplier la forme locale par $\;dt\;$ d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire $\;{\big [}$après utilisation de $\;{\mathcal {P}}(t)\;dt=\delta W\;$ d'une part et $\;{\dot {K}}(t)\;dt=dK\;$ d'autre part${\big ]}$ :

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué à un système de deux points matériels dans un référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation élémentaire, sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, de l'énergie cinétique d’un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», «$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» est égale à la somme du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ «$\;\delta W_{\text{ext}}\;$» et de celui développé par les forces intérieures appliquées au même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le même intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ «$\;\delta W_{\text{int}}\;$» soit, mathématiquement, «$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}+\delta W_{\text{int}}\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$».

Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de deux points matériels.

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels $\;{\big (}$c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique${\big )}$ : de $\;{\mathcal {P}}_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ on déduit $\;\delta W_{\text{int}}=0\;$ d'où l'énoncé du théorème :

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire appliqué à un système indéformable de deux points matériels dans un référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation élémentaire de l'énergie cinétique d’un système indéformable de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]$, «$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}\;$» est égale au travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le même intervalle de temps $\;\left[t\,,\,t+dt\right]\;$ «$\;\delta W_{\text{ext}}\;$» soit, mathématiquement, «$\;dK_{\left({\mathcal {S}}\right)}=\delta W_{\text{ext}}\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$».

Fin du théorème

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : $\;\succ \;$Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}={\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\right]$ $={\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide » et «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : $\;\succ \;$Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta ={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t)\right]={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» avec «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ appliqué au solide à l'instant $\;t\;$».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : $\;\succ \;$Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I. $\;G\;$ «$\;{\overrightarrow {dG}}={\vec {V}}_{G}(t)\;dt\;$» et d'un déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;d\left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\right]+d\left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t)\right]=$ ${\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {dG}}+{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide », «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué au solide au même instant $\;t\;$».

Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie

     Pour mémoire « le théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie » s'obtient en intégrant « le théorème de l'énergie cinétique sous forme élémentaire » sur l'intervalle de temps d'application du théorème en utilisant que le travail sur une durée finie est la somme continue de tous les travaux élémentaires c'est-à-dire «$\;W_{\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W(t)\;$» d'où l'énoncé du théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système de deux points matériels :

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système de deux points matériels dans un référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation, sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$, de l'énergie cinétique d’un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=$ $\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{f})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{0})\;$» est égale à la somme du travail développé par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ «$\;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t)\;$» et de celui développé par les forces intérieures appliquées au même système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le même $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ «$\;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{int}}(t)\;$» soit, mathématiquement, «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}+W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$».

Fin du théorème

     Commentaires : ce théorème peut s'appliquer sous cette forme, en dynamique newtonienne ou relativiste, à un système $\;{\big (}$déformable ou non${\big )}\;$ de deux points matériels.

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels $\;{\big (}$c'est-à-dire d'un solide au sens de la mécanique${\big )}$ : de $\;\delta W_{\text{int}}(t)=0,\;\;\forall \;t\;$ on déduit $\;W_{{\text{int sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}=0\;$ d'où l'énoncé du théorème :

Début d’un théorème

Théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie appliqué à un système indéformable de deux points matériels dans un référentiel d'étude galiléen

     Dans un référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}$, la variation, sur l'intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]$, de l'énergie cinétique d’un système indéformable de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{f})-K_{\left({\mathcal {S}}\right)}(t_{0})\;$» est égale au travail développé par les forces extérieures appliquées au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ sur le même intervalle de temps $\;\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]\;$ «$\;W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}$ $=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}\delta W_{\text{ext}}(t)\;$» soit, mathématiquement, «$\;\Delta K_{\left({\mathcal {S}}\right)}=W_{{\text{ext sur}}\,\left[t_{0}\,,\,t_{f}\right]}\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$».

Fin du théorème

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : $\;\succ \;$Solide en translation de vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}={\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}(t)\;dt\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t)\right]$ $={\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t_{f})-{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{({\mathcal {S}})\,{\text{en transl.}}}^{\,2}(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}(t)\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide » et «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : $\;\succ \;$Solide en rotation de déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta ={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t)\right]={\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t_{f})-{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;{\overline {\Omega }}^{\,2}\!(t_{0})=\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta \;$» avec «$\;J_{\Delta }({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta \right)\;$ appliqué au solide à l'instant $\;t\;$».

     Cas particulier d'un système indéformable de deux points matériels : $\;\succ \;$Solide en mouvement quelconque composé d'un déplacement élémentaire de son C.D.I. $\;G\;$ «$\;{\overrightarrow {dG}}={\vec {V}}_{G}(t)\;dt\;$» et d'un déplacement angulaire élémentaire «$\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}={\overline {\Omega }}(t)\;dt\;$» autour de l'axe $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ passant par $\;G\;$ mobile dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}_{\text{gal}}\;$ galiléen : «$\;\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t)\right]+\Delta \left[{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t)\right]$ $=\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t_{f})+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t_{f})\right\rbrace -\left\lbrace {\dfrac {1}{2}}\;m_{\text{syst}}\;{\vec {V}}_{G}^{2}(t_{0})+{\dfrac {1}{2}}\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;{\vec {\Omega }}_{/\,\Delta _{G}}^{\,2}\!(t_{0})\right\rbrace =\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\cdot {\overrightarrow {dG}}+\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{f}}{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;d\theta _{/\,\Delta _{G}}\;$» avec «$\;m_{\text{syst}}\;$ la masse du solide », «$\;J_{\Delta _{G}}({\text{syst}})\;$ le moment d'inertie du solide par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$», «$\;{\vec {F}}_{\text{ext}}(t)\;$ la résultante dynamique appliquée au solide à l'instant $\;t\;$» et «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta _{G},\,{\text{ext}}}(t)\;$ le moment résultant dynamique scalaire par rapport à $\;\left(\Delta _{G}\right)\;$ appliqué au solide au même instant $\;t\;$».

Énergie potentielle d'un système de deux points matériels

     Le caractère conservatif d'un système de forces $\;{\big (}$et par suite la notion d'énergie potentielle dans le champ de ce système de forces conservatif${\big )}\;$ n'est introduit que pour un système de forces ne dépendant pas explicitement du temps $\;{\big (}\!\Rightarrow$ l'énergie potentielle associée à ce système de forces conservatif ne dépend pas explicitement du temps${\big )}$ $\;{\big [}$il est néanmoins possible de définir le caractère conservatif d'un système de forces dépendant explicitement du temps si ce système de forces est conservatif à dépendance du temps figée $\;{\big (}\!\Rightarrow$ l'énergie potentielle associée dépend alors explicitement du temps, sa différentielle à temps figé étant l'opposée du travail élémentaire du système de forces à temps figé${\big )}\;$ mais l'intérêt de faire cela, du point de vue énergétique, étant quasi-nul, nous nous abstenons${\big ]}$.

Énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans son champ de forces extérieures (conservatives)

Définitions

Système de forces extérieur conservatif appliqué à un système de deux points matériels

      Le système de forces extérieures appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» et résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ à savoir «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}=\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» est conservatif ssi son travail élémentaire «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=$ $\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» est une différentielle de fonction scalaire des $\;6\;$ coordonnées du système des $\;2\;$ points ou,      $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ ne dépendant pas du point $\;M_{j}\;$ autre que $\;M_{i}\;$ $\Rightarrow$ les $\;2\;$ formes différentielles «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» sont indépendantes l'une de l'autre, le système de forces extérieures est conservatif ssi chaque forme différentielle «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» est une différentielle de fonction scalaire des $\;3\;$ coordonnées du point $\;M_{i}\;$.

     Remarque : Les C.N. pour que la forme différentielle «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» soit une différentielle de fonction scalaire peuvent être étudiées dans le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », le caractère suffisant de ces C.N. étant usuellement vérifié pour les fonctions vectorielles $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}(M_{i})\;$ utilisées $\;{\big [}$mais néanmoins, il faut savoir que les C.N. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}$.

Énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces extérieures conservatif

      L'énergie potentielle du système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» dans le champ du système de forces extérieures conservatif «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}=\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est la fonction scalaire $\;{\big (}$définie à une constante additive près${\big )}\;$ des $\;6\;$ coordonnées du système des $\;2\;$ points, notée «$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,M_{2}\right]\;$» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire du système de forces extérieures conservatif dont elle « dérive » soit mathématiquement «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=-dU_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,M_{2}\right]\;$» ou,      $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ ne dépendant pas du point $\;M_{j}\;$ autre que $\;M_{i}\;$, les $\;2\;$ formes différentielles «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» définissant le travail élémentaire $\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$ sont indépendantes l'une de l'autre et l'énergie potentielle du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces extérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ peut être définie $\;{\big (}$à une constante additive près${\big )}\;$ comme la somme des $\;2\;$ énergies potentielles «$\;U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;$» dont dérive chaque force conservative $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ soit mathématiquement «$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,M_{2}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\;U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;$» avec
«$\;U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;$» définie par «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}=-dU_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;$».

     Remarque : L'énergie potentielle du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces extérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de l'énergie potentielle » c'est-à-dire préciser la valeur des coordonnées des points pour laquelle l'énergie potentielle est choisie nulle.

Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces extérieures conservatif

      L'énergie potentielle du système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» dans le champ du système de forces extérieures conservatif «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}=\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est la fonction scalaire $\;{\big (}$définie à une constante additive près${\big )}\;$ des $\;6\;$ coordonnées du système des $\;2\;$ points, notée «$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,M_{2}\right]\;$» telle que l'opposé de son gradient est égal au champ du système de forces extérieures conservatif dont elle « dérive » soit mathématiquement «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}_{M_{j\,\neq \,i}}\!\left[U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\right]\!\left(M_{1},\,M_{2}\right)\;$» $\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]\;$ ou,      $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ ne dépendant pas du point $\;M_{j}\;$ autre que $\;M_{i}\;$, les $\;2\;$ formes différentielles «$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$» définissant le travail élémentaire $\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)=\sum \limits _{i\,=\,1}^{i\,=\,2}{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\cdot {\overrightarrow {dM_{i}}}\;$ sont indépendantes les unes des autres et l'énergie potentielle du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces extérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ peut être définie $\;{\big (}$à une constante additive près${\big )}\;$ comme la somme des $\;2\;$ énergies potentielles «$\;U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;$» dont dérive chaque force conservative $\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\;$ soit mathématiquement «$\;U_{{\text{ext}},\,\left({\mathcal {F}}_{k}\right)}\!\left[M_{1},\,M_{2}\right]=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}\;U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\!\left[M_{i}\right]\;$» avec
«$\;{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[U_{{\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}}\right](M_{i})\;$» $\;\forall \;i\;\in \;\left[\left[1\,,\,2\right]\right]$.

Cas particuliers

     1^er cas particulier, système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en translation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ d'un vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ par rapport au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ pour lequel le travail élémentaire du système de forces extérieures «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}=\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservatif c'est-à-dire tel que «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)\cdot {\overrightarrow {d{\mathit {l}}}}_{\left({\mathcal {S}}\right)\,{\text{en transl.}}}\;$» est une différentielle de fonction scalaire avec «$\;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)\;$ la résultante du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$», ce travail élémentaire s'écrivant encore «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)\cdot {\overrightarrow {dA}}\;$ avec $\;A\;$ un point quelconque lié à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ notée $\;U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(A)\;$ fonction des $\;3\;$ coordonnées du point $\;A\;$ selon

«$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}\cdot {\overrightarrow {dA}}=-dU_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(A)\;$»
$\Updownarrow$
«$\;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}\right](A)\;$» dans laquelle
«$\;{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}\;$ est la résultante du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» ;

     1^er cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en translation dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)$ $\;{\big (}$au choix de la référence près${\big )}\;$ ne dépend pas du choix du point $\;A\;$ lié au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$ $\;{\big [}$usuellement on choisit pour $\;A\;$ le C.D.I. $\;G\;$ de $\;\left({\mathcal {S}}\right){\big ]}\;\ldots$

     2^ème cas particulier, système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» en rotation $\;{\big (}$donc indéformable${\big )}\;$ d'un angle élémentaire $\;d\theta \;$ sur l'intervalle de temps $\;\left[t\,,\,,t+dt\right]\;$ autour d'un axe $\;\left(\Delta \right)\;$ fixe du référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ pour lequel le travail élémentaire du système de forces extérieures «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{i\,\leftarrow \,\left(\Sigma _{k}\right)}\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}=\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» appliqué à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ et résultant de l'action du système $\;\left(\Sigma _{k}\right)\;$ extérieur à $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ est conservatif c'est-à-dire tel que «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)\;d\theta \;$» est une différentielle de fonction scalaire avec «$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(t)=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}\right](t)\;$ le moment résultant scalaire du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ par rapport à l'axe $\;\left(\Delta \right)\;$», ce travail élémentaire s'identifie à l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$ notée $\;U_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(A)\;$ fonction de l'abscisse angulaire de rotation $\;\theta \;$ selon

«$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{k}\right)={\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(\theta )\;d\theta =-dU_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(\theta )\;$»
$\Updownarrow$
«$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}(\theta )=-{\dfrac {dU_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}}{d\theta }}(\theta )\;$» dans laquelle
«$\;{\mathcal {M}}_{\!\Delta ,\,{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}=\sum \limits _{i\,=\,1\,..\,2}{\mathcal {M}}_{\!\Delta }\!\left[{\vec {F}}_{{\text{ext}},\,{\mathcal {F}}_{k}}\right]\;$ est le moment résultant scalaire du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)\;$» ;

     2^ème cas particulier, l'expression de l'énergie potentielle du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ en rotation dans le champ du système des forces extérieures $\;\left({\mathcal {F}}_{k}\right)$ $\;{\big (}$au choix de la référence près${\big )}\;$ ne dépend pas du choix de la direction, liée au système $\;\left({\mathcal {S}}\right)$, par rapport à laquelle est définie l'abscisse angulaire de rotation $\;\theta \;\ldots$

Énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points matériels (évidemment pour une interaction conservative)

Définitions

Système de forces intérieur conservatif appliqué à un système de deux points matériels

      Le système de forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» et correspondant à « une interaction $\;_{q}\;$ entre les deux points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» à savoir «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\left(i,\,j\,\neq \,i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]^{2}}=$ $\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$» est conservatif ssi son travail élémentaire «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)=\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1},\,t\right]\;$ $\;{\big (}$avec $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ le référentiel lié au point $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ $={\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\;$» est une différentielle de fonction scalaire des $\;3\;$ coordonnées du « point $\;M_{2}\;\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$» $\;{\Big \{}$ou ssi l'autre expression de son travail élémentaire «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)=\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\;$ $\;{\big (}$avec $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ le référentiel lié au point $\;M_{2}\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ $={\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2}(t)\cdot d{\overrightarrow {M_{2}M_{1}}}\;$» est une différentielle de fonction scalaire des $\;3\;$ coordonnées du « point $\;M_{1}\;\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$»${\Big \}}$.

     Remarque : Avec un repérage sphérique du point $\;M_{2}\;$ dans le repère associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$, nous avons établi dans le paragraphe « travail élémentaire développé par le système de forces intérieures relativement au référentiel d'étude (avec un repérage sphérique …) » plus haut dans ce chapitre une expression du travail élémentaire de la force intérieure que $\;M_{1}\;$ exerce sur $\;M_{2}\;$ adaptable, dans le cas présent, selon «$\;\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1},\,t\right]={\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;dr_{1,\,2}\;$» avec «$\;r_{1,\,2}=M_{1}M_{2}\;$ la coordonnée radiale de $\;M_{2}\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$» et «$\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;$ la seule composante radiale de $\;{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;$ appliquée à $\;M_{2}\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$», d'où

Définition équivalente d'un système de forces intérieur conservatif appliqué à un système de deux points matériels

      Le système de forces intérieures appliqué à un système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» et correspondant à « une interaction $\;_{q}\;$ entre points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» à savoir «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\left(i,\,j\,\neq \,i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]^{2}}=$ $\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$» est conservatif ssi son travail élémentaire «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;dr_{1,\,2}\;$» $\;{\big (}$avec $\;r_{1,\,2}=M_{1}M_{2}\;$ la coordonnée radiale de $\;M_{2}\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{1}$, le référentiel lié au point $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;$ la seule composante radiale de $\;{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;$ appliquée à $\;M_{2}\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{1}{\big )}\;$ est une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale du « point $\;M_{2}\;\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$» $\;{\Big \{}$ou ssi l'autre expression de son travail élémentaire «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2}\;dr_{2,\,1}$ $\;{\big (}$avec $\;r_{2,\,1}=M_{2}M_{1}\;$ la coordonnée radiale de $\;M_{1}\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{2}$, le référentiel lié au point $\;M_{2}\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ et $\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2}\;$ la seule composante radiale de $\;{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2}\;$ appliquée à $\;M_{1}\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{2}{\big )}\;$ est une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale du « point $\;M_{1}\;\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$»${\Big \}}\;$.

     Remarque : Les C.N. pour que la forme différentielle «$\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;dr_{1,\,2}\;$» soit une différentielle de fonction scalaire $\;{\big [}$voir le paragraphe « recherche de conditions nécessaires pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}\;$ donnent, dans le cas présent, que «$\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}$, la seule composante radiale de $\;{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;$ appliquée à $\;M_{2}\;$ dans le repère associé à $\;{\mathcal {R}}_{1}$, doit être indépendante des coordonnées angulaires $\;\left(\theta _{1,\,2}\,,\,\varphi _{1,\,2}\right)\;$ du point $\;M_{2}\;\;$ dans le repérage sphérique lié à ce point associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$», le caractère suffisant de ces C.N. étant usuellement vérifié pour les fonctions scalaires $\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ utilisées $\;{\big [}$mais néanmoins, il faut savoir que les C.N. ne sont pas systématiquement suffisantes, voir le paragraphe « conditions suffisantes pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction » du chap.$28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI »${\big ]}$.

Énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif

      L'énergie potentielle du système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» dans le champ du système de forces intérieures conservatif «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\left(i,\,j\,\neq \,i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]^{2}}=$ $\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$» correspondant à « une interaction $\;_{q}\;$ entre les deux points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est la fonction scalaire $\;{\big (}$définie à une constante additive près${\big )}\;$

• de la coordonnée radiale du point $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$, notée «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{1,\,2}\right]\;$» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire du système de forces intérieures conservatif dont elle « dérive » soit mathématiquement «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2}\;dr_{1,\,2}=-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{1,\,2}\right]\;$» ou,
• de la coordonnée radiale du point $\;M_{1}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{2}$, notée «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{2,\,1}\right]\;$» telle que sa différentielle est égale à l'opposé du travail élémentaire du système de forces intérieures conservatif dont elle « dérive » soit mathématiquement «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)={\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}\;dr_{2,\,1}=-dU_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{2,\,1}\right]\;$».

     Remarques : L'énergie potentielle du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces intérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ étant définie à une constante additive près, il faut « préciser la référence de cette énergie potentielle » : usuellement « la référence de $\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{1,\,2}\right]\;$» est choisie pour les points du système $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ éloignés à l'infini l'un de l'autre c'est-à-dire « pour $\;r_{1,\,2}=\infty \;$».

     Remarques : L'énergie potentielle du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces intérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ ne dépendant que de la distance séparant le deux points du système et celle-ci étant indépendante du référentiel dans laquelle elle est définie, on en déduit que «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{1,\,2}\right]\;$ est invariante par changement de référentiel ».

Définition équivalente de l'énergie potentielle d'un système de deux points matériels dans le champ du système de forces intérieures conservatif

      L'énergie potentielle du système de deux points matériels «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(m_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$» dans le champ du système de forces intérieures conservatif «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\right\rbrace _{\left(i,\,j\,\neq \,i\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]^{2}}=$ $\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$» correspondant à « une interaction $\;_{q}\;$ entre les deux points de $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$» est la fonction scalaire $\;{\big (}$définie à une constante additive près${\big )}\;$

• de la coordonnée radiale du point $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$, notée «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{1,\,2}\right]\;$» telle que l'opposé de son gradient est égal au champ du système de forces intérieures conservatif dont elle « dérive » soit mathématiquement «$\;{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\right]\!\left(r_{1,\,2}\right)\;$» ou
• de la coordonnée radiale du point $\;M_{1}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}$, notée «$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{2,\,1}\right]\;$» telle que l'opposé de son gradient est égal au champ du système de forces intérieures conservatif dont elle « dérive » soit mathématiquement «$\;{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2}=-{\overrightarrow {\text{grad}}}\!\left[U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\right]\!\left(r_{2,\,1}\right)\;$».

     Remarques : L'énergie potentielle du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces intérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ peut se réécrire comme la demi-somme des deux formes d'énergie potentielle précédentes soit

«$\;U_{{\text{int}},\,\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)}\!\left[r_{1,\,2}=r_{2,\,1}\right]={\dfrac {1}{2}}\,\left[U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}}\!\left(r_{1,\,2}\right)+U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,1\,\leftarrow \,2}}\!\left(r_{2,\,1}\right)\right]\;$» avec
«$\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}}\!\left(r_{j,\,i}\right)\;$» définie de la même façon c'est-à-dire telle que
«$\;{\dfrac {dU_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}}}{dr_{j,\,i}}}(r_{j,\,i})=-{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}(r_{j,\,i})=-{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,i\,\leftarrow \,j}\cdot {\vec {u}}_{j\,\rightarrow \,i}\;$».

     Remarques : Avec le choix de « référence pour $\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}}\!\left(r_{1,\,2}\right)\;$» «$\;r_{1,\,2}=\infty \;$», nous en déduisons le signe de l'énergie potentielle du système de deux points matériels $\;\left({\mathcal {S}}\right)\;$ dans le champ du système de forces intérieures conservatif $\;\left({\mathcal {F}}_{{\text{interact}}_{q}}\right)\;$ si la composante radiale de force $\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ est de variation monotone à savoir
     Remarques : $\;\succ \;$si la force d'interaction de type $\;_{q}\;$ est « purement attractive » «$\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ est $\;<0\;$» $\Rightarrow$ $\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}}\!\left(r_{1,\,2}\right)\;$ étant $\;\nearrow \;$ quand $\;r_{1,\,2}\nearrow \;$ jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où «$\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}}\!\left(r_{1,\,2}\right)\;$ est $\;<0,\;\;\forall \;r_{1,\,2}\;$» et
     Remarques : $\;\succ \;$si la force d'interaction de type $\;_{q}\;$ est « purement répulsive » «$\;{\overline {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ est $\;>0\;$» $\Rightarrow$ $\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}}\!\left(r_{1,\,2}\right)\;$ étant $\;\searrow \;$ quand $\;r_{1,\,2}\nearrow \;$ jusqu'à sa valeur de référence nulle d'où «$\;U_{{\vec {F}}_{{\text{interact}}_{q},\,2\,\leftarrow \,1}}\!\left(r_{1,\,2}\right)\;$ est $\;>0,\;\;\forall \;r_{1,\,2}\;$».

Exemple, énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés ou de celui de deux points matériels en interaction gravitationnelle

1^ère expression de l'énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés, analogie avec un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle

$\;\blacktriangleright \;$1^ère expression de l'énergie potentielle d'interaction d'un système de deux points chargés :

     Soit un système de deux points chargés «$\;\left({\mathcal {S}}\right)=\left\lbrace M_{i}\;\left(q_{i}\right)\right\rbrace _{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,2\right]\right]}\;$», le système des forces d'interaction électrostatique «$\;\left\lbrace {\vec {F}}_{{\text{int. élect.}}\,2\,\leftarrow \,1}\,,\,{\vec {F}}_{{\text{int. élect.}}\,1\,\leftarrow \,2}\right\rbrace \;$» entre les deux points du système est conservatif $\;{\big [}$en effet chaque force suivant la loi de Coulomb rappelée ci-dessous, on vérifie bien que le travail élémentaire de chacune d'elle est une différentielle de fonction scalaire, ceci caractérisant le caractère conservatif du système de forces${\big ]}$.

Début d’un théorème

Loi d'interaction de Coulomb entre charges ponctuelles

     Entre deux charges ponctuelles $\;M_{1}\,\left(q_{1}\right)\,$ et $\;M_{2}\,\left(q_{2}\right)\,$ s'exerce une « interaction électrostatique » telle que

• la force que $\;M_{1}\;$ exerce sur $\;M_{2}\;$ dans le vide s’écrive «$\;{\vec {F}}_{M_{2}\,\leftarrow \,M_{1}}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{1}\;q_{2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{1\,\rightarrow \,2}\;$» avec $\;r_{1,\,2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{1\,\rightarrow \,2}\;$ respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du point $\;M_{2}\;$ dans le repérage sphérique de pôle $\;M_{1}\;$ et
• la force que $\;M_{2}\;$ exerce sur $\;M_{1}\;$ est l'opposée de la précédente à savoir «$\;{\vec {F}}_{M_{1}\,\leftarrow \,M_{2}}=-{\vec {F}}_{M_{2}\,\leftarrow \,M-1}=-{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{1}\;q_{2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{1\,\rightarrow \,2}\;$» ou encore «${\vec {F}}_{M_{1}\,\leftarrow \,M_{2}}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{1}\;q_{2}}{r_{2,\,1}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{2\,\rightarrow \,1}\;$» avec $\;r_{2,\,1}=r_{1,\,2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{2\,\rightarrow \,1}\;$ respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du point $\;M_{1}\;$ dans le repérage sphérique de pôle $\;M_{2}\;$ ;

     ces forces électrostatiques sont appelées « forces d'interaction de Coulomb », «$\;\varepsilon _{0}\;$ étant la permittivité diélectrique du vide » de valeur telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\,U.S.I.\;$.

Fin du théorème

     Vérification du caractère conservatif du système des forces d'interaction de Coulomb entre les deux points chargés : son travail élémentaire «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{\text{int. élect.}}\right)=\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{1}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{int. élect.}},\,2\,\leftarrow \,1},\,t\right]\;$ $\;{\big (}$avec $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ le référentiel lié au point $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ $={\vec {F}}_{{\text{int. élect.}},\,2\,\leftarrow \,1}(t)\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{1}\;q_{2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{1\,\rightarrow \,2}\cdot d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;{\dfrac {q_{1}\;q_{2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}}\;dr_{1,\,2}\;$» est bien une différentielle de fonction scalaire de la coordonnée radiale repérant le « point $\;M_{2}\;\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$» car le cœfficient de $\;dr_{1,\,2}\;$ est indépendant des coordonnées angulaires $\;\left(\theta _{1,\,2}\,,\,\varphi _{1,\,2}\right)\;$ du point $\;M_{2}\;\;$ dans le repérage sphérique lié à ce point associé au référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$» $\;{\bigg \{}$on aurait pu utiliser l'autre force de travail élémentaire «$\;\delta W\!\left({\mathcal {F}}_{\text{int. élect.}}\right)=\delta W_{\,/\,{\mathcal {R}}_{2}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{int. élect.}},\,1\,\leftarrow \,2},\,t\right]\;$ $\;{\big (}$avec $\;{\mathcal {R}}_{2}\;$ le référentiel lié au point $\;M_{2}\;$ en translation relativement au référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}{\big )}\;$ $={\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{F}}_{\text{int. élect.},1\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->2}(t)\cdot <!--\; \cdot \; -->d\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M_2{M}_1}=\frac{1}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{2,1}^2}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}}_2$