Mécanique du point/Oscillateurs

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Oscillateur harmonique

Exemples d'oscillateurs

Masse-ressort : mouvement horizontal

Mouvement horizontal

On considère un mobile auto porteur relié à un mur par un ressort de raideur k.

Bilan des forces :

• Une force de rappel ${\vec {F}}_{R}$ due au ressort et proportionnelle au déplacement du mobile
• Le poids ${\vec {P}}$
• La réaction du support ${\vec {R}}$

On applique le principe fondamental de la dynamique au mobile : $m\,{\vec {a}}={\vec {F}}_{R}+{\vec {P}}+{\vec {R}}$

On projette sur l'axe (Ox) :

$m{\ddot {x}}(t)=-kx(t)$

On définie la pulsation propre de l'oscillateur : $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$

On obtient une équation différentielle du second degré :

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

Système Masse suspendue à un ressort

Bilan des forces :

• Poids ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$
• Force de rappel du ressort : ${\vec {F}}_{R}=-k(l-l_{0}){\vec {u}}_{x}$

Principe fondamental de la dynamique :

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}-k(l-l_{0}){\vec {u}}_{x}$

On projette sur l'axe à l'équilibre :

$0=mg-k(l_{e}-l_{0})$

$kl_{e}=mg+kl_{0}$

$l_{e}=l_{0}+{mg \over k}$

On introduit x l'écart par rapport à la position d'équilibre :

$l=l_{e}+x$

$m{\ddot {x}}=mg-k(l-l_{0})$

$m{\ddot {x}}=mg-k(l_{e}+x-l_{0})$

$m{\ddot {x}}=mg-k(l_{0}+{mg \over k}+x-l_{0})$

$m{\ddot {x}}=mg-kl_{0}-mg-kx+kl_{0}$

$m{\ddot {x}}=-kx$

${\ddot {x}}+{k \over m}x=0$

Solution

On cherche si une solution de la forme $x(t)=A\sin(\omega _{0}t+\phi )$ peut convenir. Calculons ses dérivées par rapport au temps :

${\dot {x}}(t)={\frac {dx(t)}{dt}}=A\omega _{0}cos(\omega _{0}t+\phi )$

${\ddot {x}}(t)={\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-A\omega _{0}^{2}\sin(\omega _{0}t+\phi )=-\omega _{0}^{2}x(t)$

Introduisons ces expressions dans la partie gauche de l'équation caractéristique :

${\begin{aligned}{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)&=-\omega _{0}^{2}x(t)+\omega _{0}^{2}x(t)\\&=0\end{aligned}}$

A est l'amplitude (en mètre) et $\phi$ la phase (en radian). Ces constantes sont déterminées grâce aux conditions initiales (Exemple).

La période propre $T_{0}$ du mouvement est la durée entre 2 passages consécutifs dans le même sens pour une position donnée. Une telle durée correspond à une augmentation de $2\pi$ de l'argument de la fonction sinusoïdale et donc à $\omega _{0}T_{0}=2\pi$

Ainsi :

$T_{0}={2\pi \over \omega _{0}}=2\pi {\sqrt {m \over k}}$

La période est indépendante de l'amplitude du mouvement. Un tel système est dit isochrone.

Aspect énergétique

La vitesse est :

$v={\dot {x}}(t)=A\omega cos(\omega _{0}t+\phi )$

L'énergie cinétique est :

$E_{c}={1 \over 2}mv^{2}={1 \over 2}mA^{2}\omega _{0}^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\phi )={1 \over 2}kA^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\phi )$

L'énergie potentielle est :

$E_{p}={1 \over 2}kx^{2}={1 \over 2}kA^{2}sin^{2}(\omega _{0}t+\phi )$

L'énergie mécanique est :

$E_{m}=E_{c}+E_{p}={1 \over 2}kA^{2}(cos^{2}(\omega _{0}t+\phi )+sin^{2}(\omega _{0}t+\phi ))={1 \over 2}kA^{2}$

L'énergie mécanique est constante au cours du temps et proportionnelle au carré de l'amplitude.

${\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0$ avec $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}$

Oscillations amorties par un frottement fluide

En plus de la force de rappel, la particule est soumise à une force de frottement F=-bv. On applique le principe fondamental de la dynamique :

$m{\ddot {x}}=-b{\dot {x}}-kx$

$m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0$

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$ avec $\omega _{0}^{2}={k \over m}$ et $2\beta ={b \over m}$

Le discriminant est :

$\delta =4\beta ^{2}-4\omega _{0}^{2}=4(\beta ^{2}-\omega _{0}^{2})$

${\sqrt {\delta }}=2{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

Les solutions sont :

$x_{1}={-2\beta -2{\sqrt {\delta }} \over 2}=-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

$x_{2}={-2\beta +2{\sqrt {\delta }} \over 2}=-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

Oscillations forcées

$M{\ddot {x}}+B{\dot {x}}+Kx=F\cos \omega t$