Mécanique du solide/Solide indéformable et centre d'inertie

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Solide indéformable et centre d'inertie
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Chapitre no 1
Leçon : Mécanique du solide
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Répartition continue de matière, solide

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Remarques :

  • Le solide est homogène si   ne dépend pas de P.

On adoptera aussi des modèles de répartition continue de matière sur une surface, ou sur une ligne, selon les solides à étudier.

Masse et centre d'inertie

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  • Si le solide est homogène de volume V, alors  

Centre d'inertie

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En introduisant l'origine O, on obtient facilement la formule suivante pour calculer G :

Exemples

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Plaque triangulaire homogène

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On désire calculer le centre d'inertie d'une plaque triangulaire à répartition surfacique de masse homogène  .

On se place dans un repère   où :

  et  .

On a alors :

 

On note  . L'aire du triangle vaut :

 

de plus l'élément d'aire vaut :

 

donc avec  

on obtient :

 

 

 

comme M est le milieu du segment  , le second terme s'annule :

 

Or   par proportionnalité :

 

en écrivant  , on obtient :

 

 

 

 

Remarques

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  • Le centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène est donc le même que l'isobarycentre des trois sommets du triangle.

Triangle à répartition linéique de masse sur les côtés

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Dans ce cas le calcul intégral est inutile puisque le barycentre de chaque côté est son milieu affecté du poids correspondant à la longueur du côté. Le centre de gravité de ces trois points donne celui du triangle.