Mécanique du solide/Solide indéformable et centre d'inertie
Répartition continue de matière, solide
modifier- Un solide indéformable est un système de points matériels tel que la distance entre deux points quelconques du système est une constante du temps
- On adopte pour la mécanique du solide le modèle de la répartition continue de matières.
- Chaque élément de matière contient un nombre infini de points.
- On définit alors la masse volumique locale au point P du solide comme :
Remarques :
- Le solide est homogène si ne dépend pas de P.
On adoptera aussi des modèles de répartition continue de matière sur une surface, ou sur une ligne, selon les solides à étudier.
Masse et centre d'inertie
modifierMasse
modifier
- Si le solide est homogène de volume V, alors
Centre d'inertie
modifierLe centre d'inertie G du solide est le barycentre des points du solides pondérés par . Il est défini par la formule :
En introduisant l'origine O, on obtient facilement la formule suivante pour calculer G :
Exemples
modifierPlaque triangulaire homogène
modifierCalcul
modifierOn désire calculer le centre d'inertie d'une plaque triangulaire à répartition surfacique de masse homogène .
On se place dans un repère où :
et .
On a alors :
On note . L'aire du triangle vaut :
de plus l'élément d'aire vaut :
donc avec
on obtient :
comme M est le milieu du segment , le second terme s'annule :
Or par proportionnalité :
en écrivant , on obtient :
Remarques
modifier- Le centre de gravité d'une plaque triangulaire homogène est donc le même que l'isobarycentre des trois sommets du triangle.
Triangle à répartition linéique de masse sur les côtés
modifierDans ce cas le calcul intégral est inutile puisque le barycentre de chaque côté est son milieu affecté du poids correspondant à la longueur du côté. Le centre de gravité de ces trois points donne celui du triangle.