Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Énergétique

**Énergétique**
Leçon : Mécanique pour l'enseignement technique industriel

Chapitre n^o 20
Chap. préc. :	Dynamique
Chap. suiv. :	Mécanique des fluides
Exercices :	Énergétique

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Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Énergétique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Présentation

Le but d'un mécanisme est de produire des mouvements (sinon, on ne parle pas de mécanisme mais de structure). Le but de ce chapitre est d'exprimer le travail à fournir par l'effecteur en termes d'énergie, ce qui permet de choisir ou valider l'actionneur.

Objectif

À la fin du chapitre, l'étudiant doit être capable :

de définir ce qu'est l'énergie, la puissance, le rendement ;
de repérer dans une machine les endroits où l'énergie est transmise, transformée et perdue ;
de calculer l'énergie à partir des formules fournies.

Qu'est-ce que l'énergie ?

L'énergie : un phénomène

Le terme « énergie » vient du grec ergos (εργος), le travail. L'énergie est donc ce qui travaille, c'est-à-dire ce qui modifie le monde.

Énergie

Phénomène pouvant modifier l'état d'un système

Cette définition est très large, et nécessite de définir l'état d'un système… Elle est toutefois intéressante car elle indique bien que c’est un phénomène, c'est-à-dire un événement qui a un effet sur le système, qui le modifie.

On classe en général l'énergie en plusieurs catégories :

sources d'énergie : ce qui permet de faire fonctionner une machine, comme l'électricité, l'essence, le vent (moulin, éolienne), …
- énergie fossile : source d'énergie créée il y a très longtemps, comme le pétrole, le charbon (tous deux issus de la transformation de la matière organique il y a plusieurs millions d'années), l'uranium (formé il y a 5 milliards d'années à la création du système solaire),
- énergie renouvelable : énergie dont la source se renouvelle ou arrive en permanence, comme l'éclairement par le Soleil (énergie solaire), le souffle du vent (énergie éolienne), le remplissage des lacs d'altitude (barrage, énergie hydraulique), …
stockage d'énergie :
- énergie chimique : stockage sous forme de produits dont la réaction chimique libère de la chaleur (essence, gaz) ou un courant électrique (pile, accumulateur, batterie),
- énergie potentielle élastique : déformation d'un objet pouvant restituer un effort (compression d'un ressort, d'un gaz),
- énergie potentielle de gravité : monter une masse, dont la descente restitue un effort (poids d'une horloge, eau d'un barrage),
- énergie nucléaire : matière dont la désintégration fournit de la chaleur ;
transport d'énergie :
- énergie électrique : courant électrique dans des câbles,
- énergie hydraulique ou pneumatique : huile ou air sous pression dans des tuyaux ;
utilisation d'énergie : c’est l'effet voulu,
- énergie thermique : élévation ou baisse de la température,
- énergie cinétique : mouvement,
- énergie lumineuse : lumière.

On voit que l’on a des phénomènes très différents qui sont désignés par le même terme :

mouvements d'électrons (énergie électrique) ;
resserrement ou écartement d'atomes (énergie potentielle élastique) ;
mouvement de matière (énergie cinétique) ;
…

Énergie mécanique

Énergie concernant le déplacement ou la déformation d'un objet. Ce terme regroupe :

l'énergie cinétique (énergie de mouvement ) ;
l'énergie potentielle de gravité (énergie d'altitude) ;
l'énergie potentielle élastique (énergie de déformation).

La machine : un transformateur d'énergie

On peut voir les machines comme étant des transformateurs d'énergie. Par exemple :

la voiture transforme l'énergie chimique (essence, diesel) ou électrique (batteries) en énergie cinétique (mouvement) ;
l'ampoule électrique transforme l'énergie électrique (courant du secteur ou d'une pile) en énergie lumineuse (lumière) ;
la chauffage transforme l'énergie chimique (bois, gaz, fioul) ou électrique (courant du secteur) en énergie thermique (chaleur) ;
l'ascenseur électrique transforme l'énergie électrique (courant du secteur) en énergie potentielle de gravité (altitude) ;
le barrage hydroélectrique transforme l'énergie potentielle de gravité (altitude de l'eau) en énergie électrique (courant du secteur) ;
…

Représentation symbolique d'une machine à laver

Activité 1

Pour une machine à laver moderne :

Indiquer l'énergie source.
Donner trois transformations de cette énergie, avec les organes effectuant cette transformation.

Solution

La machine est alimentée par l'électricité, c’est donc l'énergie électrique.
L'énergie électrique est transformée par :
- le moteur, qui crée un mouvement, donc de l'énergie mécanique ;
- la résistance, qui crée de la chaleur, donc de l'énergie thermique ;
- la pompe, qui crée un flux d'eau, donc de l'énergie hydraulique.

Élévateur hydraulique.

Activité 2

Considérons par exemple un élévateur hydraulique. Indiquer :

La nature de l'énergie utile, et l'organe fournissant cette énergie.
La nature de l'énergie d'alimentation, et l'organe utilisant cette énergie.
La nature de l'énergie intermédiaire.

Solution

Le travail (ce qui modifie le système) consiste à monter un objet ; il est effectué par un vérin, c’est de l'énergie mécanique.
Le compresseur qui « pousse » l'huile est alimenté par du courant électrique, c’est de l'énergie électrique.
Le vérin est alimenté par de l'huile sous pression, c’est de l'énergie hydraulique.

L'énergie : une grandeur

En sciences physiques, et notamment en mécanique, l'énergie est une grandeur, c'est-à-dire une quantité, un nombre avec un unité.

Énergie

Grandeur exprimant l'intensité d'un phénomène ; elle s'exprime en joules^[1] (J).

Les différents phénomènes s'expriment dans la même unité. L'énergie est donc en quelque sorte une « monnaie unique » permettant de relier l'intensité des phénomènes entre eux.

Reprenons l'exemple de l’élévateur hydraulique. On peut exprimer chaque phénomène avec ses propres unités :

état de l’objet : altitude en mètres (m) ; vitesse ascensionnelle en mètres par seconde (m/s), centimètres par seconde (cm/s) ou millimètres par seconde (mm/s) ;
état de l'huile : pression en pascals (Pa), mégapascals (MPa) ou bars (bar) ; vitesse en mètres par seconde (m/s), centimètres par seconde (cm/s) ou millimètres par seconde (mm/s) ;
état du compresseur : tension électrique en volts (V) ; intensité du courant en ampères (A).

L'intensité d'un phénomène dépend de l'intensité de l'autre :

plus le courant électrique est fort, plus la vitesse de l'huile est importante, donc plus la vitesse de montée de l’objet est importante.

Mais on peut aussi exprimer toutes ces intensités sous forme d'énergie (énergie électrique, énergie hydraulique, énergie mécanique), en joules (J). Comme on utilise la même unité, on a la même valeur !

Propriété

En absence de phénomène dissipatif, l'énergie se conserve.

Flux d'énergie et pertes.

Mais ceci est un cas idéal. Dans la réalité :

le courant électrique crée un échauffement dans les conducteurs (effet Joule) ;
les frottements dans les pièces mécaniques créent elles aussi de l'échauffement, ainsi que des vibrations.

Une partie de l'énergie sert donc à chauffer et à faire vibrer, ce qui ne nous intéresse pas ici. On définit le rendement comme étant la part de l'énergie qui nous est vraiment utile, appelée « énergie utile », par rapport à l'énergie totale consommée, appelée « énergie absorbée ».

Rendement

Le rendement est noté η (lettre grecque êta), et vaut :

\eta ={\frac {\mathrm {W_{u}} }{\mathrm {W_{a}} }}

où

W_u est l'énergie utile, en joules (J) ;
W_a est l'énergie absorbée, en joules (J).

Le rendement est un nombre sans unité.

Le rendement peut s'exprimer en pourcents : un rendement de 0,7 est un rendement de 70 %.

Pertes

Le terme « les pertes » désigne l'énergie qui n’est pas utile, soit W_a - W_u. La proportion de perte vaut 1 - η.

Si le rendement est de 0,7, alors on a une proportion de perte de 1 - 0,7 = 0,3 (soit quasiment 1/3 de pertes). Cette proportion peut s'exprimer en pourcents : si le rendement est de 70 %, alors on a 30 % de pertes.

Travail d'une action mécanique

L'énergie que nécessite un déplacement sous l'effet d'une action mécanique est appelée « travail », et est noté W (de l'anglais work).

Travail d'une action mécanique

Le travail d'une action mécanique entre une position A et une position B du système est l'énergie qu’il faut fournir au système pour effectuer le mouvement. Il est noté

W_A→B

et s'exprime en joules (J).

Travail d'une force

Le travail d'une force constante ${\vec {\mathrm {F} }}$ sur un trajet entre un point A et un point B est donné par :

\mathrm {W} _{\mathrm {A} \to \mathrm {B} }({\vec {\mathrm {F} }})={\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\cdot {\vec {\mathrm {F} }}

où « · » est le produit scalaire.

Rappels sur le produit scalaire

Si la force est colinéaire au déplacement ( ${\vec {\mathrm {F} }}//{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}$ ), alors :
- $\mathrm {W} _{\mathrm {A} \to \mathrm {B} }({\vec {\mathrm {F} }})=\|{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\|\times \|{\vec {\mathrm {F} }}\|$ si ${\vec {\mathrm {F} }}$ est dans le sens du déplacement, on parle de « travail moteur »,
- $\mathrm {W} _{\mathrm {A} \to \mathrm {B} }({\vec {\mathrm {F} }})=-\|{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\|\times \|{\vec {\mathrm {F} }}\|$ si ${\vec {\mathrm {F} }}$ est dans le sens inverse du déplacement, on parle de « travail résistant » ;
si la force est perpendiculaire au déplacement ( ${\vec {\mathrm {F} }}\perp {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}$ ), alors : $\mathrm {W} _{\mathrm {A} \to \mathrm {B} }({\vec {\mathrm {F} }})=0$ ;
dans le cas général, $\mathrm {W} _{\mathrm {A} \to \mathrm {B} }({\vec {\mathrm {F} }})=\|{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\|\times \|{\vec {\mathrm {F} }}\|\times \cos({\widehat {{\overrightarrow {\mathrm {AB} }},{\vec {\mathrm {F} }}}})$ .

Travail d'un couple

Considérons un solide ayant un mouvement de rotation autour d'un axe fixe ; la position du solide est repérée par l'angle θ.

Le travail d'un couple de moment constant C sur une rotation d'un angle θ₁ à un angle θ₂ est donné par :

W_{θ₁ → θ₂}(C) = ± C × (θ₂ - θ₁).

Le signe est positif si le couple agit dans le sens des θ croissants, négatif s'il agit dans l'autre sens.

Si le travail est positif, alors on a un travail moteur. Si le travail est négatif, le travail est résistant.

Énergie mécanique

L'énergie mécanique d'un système peut être vue comme un réservoir. Un travail moteur « remplit » ce réservoir, un travail résistant le « vide ».

Nous nous contentons ici de deux composantes de l'énergie mécanique : l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de gravité.

Énergie cinétique

L'énergie cinétique, notée E_c, est l'énergie du mouvement. Comme le mouvement, elle est définie pour un référentiel donné. Nous considérons par défaut que c’est un référentiel lié au sol : route, atelier, bâti d'une machine, …

Énergie cinétique de translation

Un solide de masse m, animé d'un mouvement de translation avec une vitesse v, a pour énergie cinétique

\mathrm {E_{c}} ={\frac {1}{2}}mv^{2}

.

Unités :

m : kilogrammes (kg ;
v : mètres par seconde (m/s) ;
E_c : joules (J).

Exemple : une voiture de 700 m roulant à une vitesse de 50 km/h a pour énergie cinétique :

v = 13,9 m/s

E_c = 0,5 × 700 × 13,9² = 67 600 J = 67,6 kJ.

Énergie cinétique de rotation

Un solide d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe (Δ) avec une vitesse angulaire ω, et ayant un moment d'inertie J_Δ, a pour énergie cinétique

\mathrm {E_{c}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {J} _{\Delta }\omega ^{2}

.

Unités :

J_Δ : kilogrammes mètres carrés (kgm²) ;
ω : radians par seconde (rad/s) ;
E_c : joules (J).

Exemple : un cylindre uniforme de 25 kg et de 54 cm de diamètre tourne autour de son axe propre avec une vitesse angulaire de 51,4 rad/s ; il a pour énergie cinétique :

J = 0,5 × m × R² = 0,5 × 25 × 0,27² = 0,911 kgm²

E_c = 0,5 × 0,911 × 51,4² = 1 200 J = 1,20 kJ.

Énergie potentielle de gravité

L'énergie potentielle de gravité, ou de pesanteur, est l'énergie qui résulte de l'altitude d'un objet. Elle est dite « potentielle » car l’objet n’est pas modifié en lui-même ; ce « potentiel » se concrétise lorsque l’objet descend, il restitue alors cette énergie pour faire tourner une horloge ou une turbine de production d'électricité.

Cette énergie est relative au niveau de référence que l’on choisit : niveau de la mer, niveau du sol de la pièce, … ce n’est pas la valeur absolue de cette énergie qui est intéressante, mais la variation de cette valeur.

Énergie potentielle de gravité

Un solide de masse m situé à une altitude z possède une énergie potentielle de gravité valant :

E_p = m × g × z.

où g est l'intensité de la gravité, pris en général pour g = 9,81 m.s^-2.

Unités :

m : kilogrammes (kg ;
z : mètres (m) ;
g : mètres par seconde au carré (m/²), ou newtons par kilogramme (N/kg) ;
E_p : joules (J).

Lois de conservation de l'énergie

Les lois de conservation de l'énergie permettent de résoudre des problèmes de manière simple. Elles supposent qu’il n'y a pas de phénomène dissipatif.

Méthode générale

Les lois de conservation de l'énergie s'appliquent entre deux situations, deux positions A et B du solide. Pour les utiliser, il faut donc lister les paramètres permettant de calculer l'énergie dans ces deux situations. On peut par exemple faire une liste sur deux colonnes :

Position A		Position B
v_A = …		v_B = …
…

Théorème de l'énergie cinétique

Rappelons que l’on peut voir l'énergie comme un réservoir, qui est « rempli » ou « vidé » par le travail.

Théorème de l'énergie cinétique

La variation de l'énergie cinétique entre une position A et une position B est égale au travail des actions mécaniques s'exerçant sur le système entre A et B.

\Delta \mathrm {E_{c}} =\mathrm {E_{c\ B}} -\mathrm {E_{c\ A}} =\sum \mathrm {W} _{\mathrm {A} \to \mathrm {B} }

.

Application en translation

Nous supposons que seule une force constante, appelée F, travaille. Le théorème devient :

\mathrm {E_{c\ B}} -\mathrm {E_{c\ A}} ={\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\cdot {\vec {\mathrm {F} }}

voire, si la force est colinéaire au trajet :

E_{c B} - E_{c A} = ±F × L

le paramètre L étant la longueur du trajet parcouru.

Application en rotation autour d'un axe fixe

Nous supposons que seule un couple, de moment costant C, travaille. Le théorème devient :

E_{c B} - E_{c A} = ±C × (θ₂ - θ₁).

On s'arrange souvent pour que l'angle de départ soit nul, ce qui donne

E_{c B} - E_{c A} = ±C × θ.

Théorème de l'énergie mécanique

Nous considérons ici le cas particulier :

d'un solide en translation (pas de rotation) ;
lorsque l’on ne s'intéresse qu'au poids.

Théorème de l'énergie mécanique

Dans le cas d'un système dont seul le poids effectue un travail, l'énergie mécanique est constante : sur un mouvement de A à B,

E_m(B) = E_m(A)

E_c(B) + E_p(B) = E_c(A) + E_p(A).

On peut voir l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de gravité comme deux réservoirs ; l'énergie passe de l'un à l'autre, mais la quantité totale d'énergie est constante.

Puissance mécanique

Puissance moyenne

Commençons par un rappel :

Puissance moyenne

La puissance moyenne est la variation d'énergie en fonction du temps :

{\mathcal {P}}={\frac {\mathrm {E} _{2}-\mathrm {E} _{1}}{t_{2}-t_{1}}}

.

Elle s'exprime en watts^[2] (W) :

1 W = 1 J/s.

Attention à ne pas confondre la grandeur W (le travail) et l'unité W (le watt).

Exemple

Une voiture de masse 700 kg passe de 0 à 50 km/h en 3 s. Quelle est la puissance mécanique mise en œuvre ?

Solution

Il s'agit ici d'énergie cinétique. On a

v₁ = 0 donc E_{c 1} = 0 ;
v₂ = 50 km/h = 13,9 m/s donc E_{c 2} = 0,5 × m × v₂² = 0,5 × 700 × 13,9² = 67 600 J ;

donc

{\mathcal {P}}={\frac {67\,600}{3}}=22\,500\ \mathrm {W} =22,5\ \mathrm {kW}

.

Corollaire

L'énergie W dépensée par une machine développant une puissance P durant un temps t vaut :

W = P × t.

Puissance instantanée

Puissance instantanée pour un mouvement de translation

Soit un solide en mouvement de translation avec une vitesse instantanée ${\vec {v}}$ , et soumis à une force extérieure ${\vec {\mathrm {F} }}$ . La puissance instantanée de cette force vaut :

{\mathcal {P}}={\vec {\mathrm {F} }}\cdot {\vec {v}}

.

Démonstration

Si ${\vec {v}}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}$ sont constants, alors sur un trajet ${\overrightarrow {\mathrm {AB} }}$ durant un temps t :

{\vec {v}}={\frac {1}{t}}{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}

(vitesse moyenne)

{\begin{aligned}{\mathcal {P}}\ &={\frac {\mathrm {W} _{\mathrm {A} \to \mathrm {B} }({\vec {\mathrm {F} }})}{t}}\\&={\frac {{\vec {\mathrm {F} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}}{t}}\\&={\vec {\mathrm {F} }}\cdot {\frac {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}{t}}\\&={\vec {\mathrm {F} }}\cdot {\vec {v}}.\end{aligned}}

Si la vitesse ou la force varient, on effectue un passage à la limite pour t tendant vers 0.

Si ${\vec {v}}$ et ${\vec {\mathrm {F} }}$ sont colinéaires, alors

P = ±F × v.

Puissance instantanée pour un mouvement de rotation

Soit un solide en mouvement de rotation avec une vitesse angulaire instantanée ω, et soumis à un couple extérieur de moment C. La puissance instantanée de ce couple vaut :

P = ±C × ω.

Démonstration

La démonstration est similaire à précédemment : pour une rotation d'un angle θ₁ à un angle θ₂ qui a une durée t, on a

P = W_{θ₁→θ₂}(C)/t = ±C × (θ₂ - θ₁)/t = ±C × ω.

Rendement

Rappelons que l’on peut définir le rendement avec la puissance plutôt qu'avec l'énergie (on obtient la même valeur dans les deux cas) :

η = P_u/P_a

avec

P_u : puissance utile, et
P_a : puissance absorbée.

Démonstration

${\frac {{\mathcal {P}}_{\mathrm {u} }}{{\mathcal {P}}_{\mathrm {a} }}}={\frac {\frac {\mathrm {W} _{\mathrm {u} }}{t}}{\frac {\mathrm {W} _{\mathrm {a} }}{t}}}={\frac {\mathrm {W} _{\mathrm {u} }}{\mathrm {W} _{\mathrm {a} }}}\times {\frac {t}{t}}=\eta \times 1.$

Énergie électrique

Dans l’industrie, les actionneurs sont souvent mus par l'électricité, et les turbines servent souvent à entraîner des alternateurs. Nous rappelons donc ici les définitions de base.

Courant continu

La puissance P est définie par

P = U × I

avec

U : tension électrique, en volts^[3] (V) ;
I : intensité du courant électrique, en ampères^[4] (A).

L'énergie dépensée est

W = P × t = U × I × t.

Courant alternatif

En courant monophasé, la puissance s'exprime par :

P = U × I × cos(φ)

où

U est la tension efficace (V) ;
I est l'intensité efficace (A) ;
φ est le déphasage ; cos(φ) est le facteur de puissance.

En courant triphasé, lorsque les phases sont équilibrées, on a

{\mathcal {P}}=\mathrm {U} \times \mathrm {I} \times {\sqrt {3}}\times \cos(\varphi )

.

Comme les machine tournent souvent pendant plusieurs heures, on utilise comme unité d'énergie le watt heure (Wh) ou le kilowatt heure (kWh) :

1 Wh = 1 W × 1 h = 1 W × 3 600 s = 3 600 J.

Note pour les enseignants

Diplômes français

Notes

↑ James Prescott Joule (1818–1889), physicien et brasseur britannique
↑ du nom de James Watt (1736-1819), ingénieur écossais ayant amené des améliorations clef dans la machine à vapeur
↑ de Alessandro Volta (1745-1827), physicien italien, inventeur de la pile électrique
↑ de André-Marie Ampère (1775-1836), physicien français

Mécanique pour l'enseignement technique industriel

Dynamique

Mécanique des fluides

[1] James Prescott Joule (1818–1889), physicien et brasseur britannique

[2] u nom de James Watt (1736-1819), ingénieur écossais ayant amené des améliorations clef dans la machine à vapeur

[3] Alessandro Volta (1745-1827), physicien italien, inventeur de la pile électrique

[4] André-Marie Ampère (1775-1836), physicien français

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[4]