Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Statique - Principes de la statique

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Présentation

Nous avons vu précédemment comment on « transforme » la réalité en nombres, en vecteurs ; c’est la modélisation. Cette modélisation permet ensuite de faire des calculs ou des tracés.

Le but de ceci est de déterminer les actions mécaniques inconnues (par exemple, l’effort à fournir par un actionneur, les efforts sur les liaisons…). Ceci se fait grâce aux principes de la statique. La démarche se décompose en quatre parties :

1. Isolement d’un système.
2. Simplification des problèmes plans.
3. Bilan des actions mécaniques extérieures.
4. Application du principe des actions réciproques.
5. Application du principe fondamental de la statique.

Objectifs

Le but de ce chapitre est d’identifier les étapes de la résolution d'un problème de statique et d’en connaître les principes.

Savoirs techniques

Connaissances (notions, concepts)	Niveau
	1	2	3	4
Isolement d'un système.			×
Principe des actions mutuelles : expression vectorielle.			×
Bilan des actions mécaniques extérieures.			×
Principe fondamental de la statique : expression vectorielle.			×

Isolement d'un solide

On s’intéresse à l’équilibre d’un système. Il faut donc indiquer quel est le système étudié. Le mot « système » peut désigner une pièce ou un ensemble de pièces.

Isolement d'un solide

Isoler un système, c’est représenter le système seul, en enlevant ce qu’il y a autour. Sur le schéma, on place les points et directions importantes : centre de gravité et axe vertical, points de contact avec les pièces autour et normales aux surfaces de contact.

La frontière entre le système et l’extérieur est appelée « frontière d’isolement » ; c’est la limite de l’étude.

Le système doit être rigide.

« Rigide » signifie que les points d’application des forces extérieures ne doivent pas bouger les uns par rapport aux autres. Mais le système peut présenter des pièces mobiles à l’intérieur (cas par exemple d’un moteur).

Exemple

Mise en situaiotn : échelle d'accès à la passerelle supérieure d'une cuve (mélangeur).

Plan de détail de l'échelle.

On considère une cuve utilisée pour la fabrication du sucre.

Sur la partie supérieure de la cuve, on peut avoir accès aux différents éléments de mise en service et de contrôle grâce à une passerelle composée de caillebotis. On accède à celle-ci grâce à une échelle fixée sur les longerons rep. C4 (voir figure ci-contre).

La modélisation de l’échelle est donnée sur la figure ci-dessous. La liaison en A (patte de fixation rep. B3) entre l’échelle rep. B et le longeron rep. C4 est modélisée par une liaison pivot d’axe $(\mathrm {A} ;{\vec {z}})$. La liaison en B (patte de fixation rep. B3’) entre l’échelle rep. B et le longeron rep. C4 est modélisée par une liaison ponctuelle de normale $(\mathrm {B} ;{\vec {x}})$.

C4	2	Longeron support de caillebotis	S235
B3	4	Patte de fixation	S235
B2	7	Barreau	S235
B1	2	Montants	S235
Rep.	Nb.	Désignation	Matière	Observations

Modélisation mécanique de l'échelle.

Question.

Isoler l’ensemble {échelle rep. B ; technicien de maintenance}, avec l’échelle rep. B = {B1 ; B2 ; B3 ; B3’}.

Isolement de l'échelle.

Réponse.

On représente schématiquement l’échelle avec les points et directions importants (voir figure ci-contre) :

• centre de gravité G et sa verticale ;
• centre de la liaison A (il n’y a pas de direction particulière pour une liaison pivot) ;
• point de contact B et normale de contact.

La forme exacte de l’échelle — épaisseur des pièces, présence du technicien — n’a pas d’importance.

Faites ces exercices : Isolement d'un solide.

Activité 3

Isoler une voiture en train de rouler sur une route horizontale. Le problème est symétrique dans le plan sagittal (plan vertical séparant la voiture en deux moitiés gauche-droite), et l’on supposera que la liaison entre les roues arrière (roues libres) et le sol est une liaison idéale.

Solution

Isolement de la voiture

On recense les actions mécaniques extérieures :

• poids : poids du véhicule ${\vec {\mathrm {P} }}$ ;
• pression : frottement de l'air (vent relatif) ${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {f} }$ ;
• points de contact : contact du sol 0 avec les roues de la voiture 1 en A et en B.

Caractéristiques des actions mécaniques

Action	Point d'application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	↓	mg
${\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {f} }$	centre de la face avant	—	←	déterminé par la vitesse
${\vec {\mathrm {A} }}_{0/1}$	A	|	?	?
${\vec {\mathrm {B} }}_{0/1}$	B	?	?	?

 

Simplification des problèmes plans

Propriété

Si le problème présente :

• un plan de symétrie ;
• une symétrie de chargement (les forces sont réparties de manière symétrique par rapport au plan) ;

alors on peut « oublier l’épaisseur » et travailler dans le plan de symétrie. On considère alors que :

• tous les points d'application sont dans ce plan ;
• toutes les forces sont dans ce plan.

Nous considérerons par défaut que ce plan est le plan $(\mathrm {O} ;{\vec {x}};{\vec {y}})$.

Cuiseur de graisse au lithium : mise en évidence du plan de symétrie.

Forces extérieures agissant sur le cuiseur de graisse au lithium (problème plan).

Exemple.

Le système représenté sur la figure ci-contre est une unité de fabrication de graisse au lithium. Le système présente un plan de symétrie ; on peut donc se contenter de travailler sur une vue projetée.

On considère que l’on n’a que trois actions mécaniques extérieures : le poids ${\vec {P}}$, l’action ${\vec {\mathrm {B} }}_{\mathrm {sol/pied} }$ du sol sur le pied en B, et l’action ${\vec {\mathrm {D} }}_{\mathrm {sol/pied} }$ du sol sur le pied en D. Cette dernière action regroupe en fait l’action du sol sur deux pieds symétriques, en D₁ et D₂ :

${\vec {\mathrm {D} }}_{\mathrm {sol/pied} }={\vec {\mathrm {D} }}_{\mathrm {1\ sol/pied} }+{\vec {\mathrm {D} }}_{\mathrm {2\ sol/pied} }$.

Équivalence des liaisons pour les problèmes plans : liaisons équivalentes à une sphère plan (gauche) et à une pivot d'axe z (droite).

Dans l'hypothèse des problèmes plans, on peut souvent se ramener à trois types de liaisons seulement : liaison sphère-plan, liaison pivot d'axe z, liaison encastrement :

• équivalent à une liaison sphère-plan de normale ${\vec {y}}$ :
  • liaison linéaire rectiligne d'axe ${\vec {z}}$ et de normale ${\vec {y}}$,
  • liaison linéaire annulaire d'axe ${\vec {y}}$ ;
• équivalent à une liaison pivot d'axe ${\vec {z}}$ :
  • liaison rotule,
  • liaison pivot glissant d'axe ${\vec {z}}$,
  • liaison linéaire annulaire d'axe ${\vec {z}}$.

Bilan des actions mécaniques extérieures

L’étape suivante consiste à faire le bilan des actions mécaniques extérieures (BAME), c’est-à-dire de recenser les actions mécaniques extérieures au système qui agissent sur lui. Ce sont les « 3 P » :

• poids ;
• pressions ;
• points de contact (actions de contact).

On détermine les caractéristiques connues des actions mécaniques, sous forme d’un tableau. On représente les forces sur le dessin de modélisation.

Exemple.

Reprenons le cas de l’échelle, {échelle rep. B ; technicien de maintenance}. Sa masse est estimée à 140 kg. Du fait de la symétrie du problème, nous considérons qu’il s'agit d'un problème plan dans le plan (X, Y).

Question.

Faire le bilan des actions mécaniques extérieures.

Modélisation des caractéristiques connues des actions mécaniques.

Réponse.

On a donc :

• poids : $\|{\vec {\mathrm {P} }}\|=m\times g=140\times 9,81=1\,370\ \mathrm {N}$ ;
• pression : aucune, la pression atmosphérique s’exerce partout et a une résultante nulle ;
• points de contact :
  • A : force ${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }$,
  • B : force ${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }$, sa direction est horizontale (normale au plan d’appui de la liaison).

Caractéristiques des actions mécaniques (voir figure ci-contre)

Action mécanique	Point d’application	Direction	Sens	Intensité
${\vec {\mathrm {P} }}$	G	|	↑	1 370 N
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3} }$	A	?	?	?
${\vec {\mathrm {A} }}_{\mathrm {AC4/B3'} }$	B	—	?	?

Principe des actions réciproques

Illustration du principe des actions réciproques : deux patineurs sur glace exercent mutuellement une action l'un sur l'autre.

Comme déjà énoncé précédemment (voir Modélisation des actions mécaniques > Actions de contact) : si une personne 1 pousse sur une personne 2 avec une force de 100 N, alors la personne 2 pousse sur une personne 1 avec une force de 100 N également.

Début d’un théorème

Principe des actions réciproques

Soient deux pièces 1 et 2 en contact au point A, alors l’action de 1 sur 2 est égale et opposée à l’action de 2 sur 1 :

${\vec {\mathrm {A} }}_{1/2}=-{\vec {\mathrm {A} }}_{2/1}$.

Fin du théorème

Ce principe est également appelé « principe des actions mutuelles » ou encore « 3^e loi de Newton ». Ainsi, si l’on connaît l’une des deux forces, on en déduit l’autre.

Principe fondamental de la statique (PFS)

Définition

Un système est dit à l’équilibre statique s’il est immobile dans le référentiel de l’étude :

• son centre de gravité ne se déplace pas (équilibre en translation) ;
• le système ne tourne pas (équilibre en rotation).

Si le système est à l'équilibre, alors nécessairement les actions mécaniques extérieures se compensent, s'annulent.

Début d’un théorème

Principe fondamental de la statique

Conditions d’équilibre statique d’un système :

Théorème de la résultante statique (TRS)

Un système est à l’équilibre en translation si la somme des forces extérieures est nulle :

$\sum {\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ext} }={\vec {0}}$.

Théorème du moment résultant statique (TMRS)

Un système est à l’équilibre en rotation si la somme des moments des forces extérieures par rapport à un point A quelconque est nul :

$\sum {\mathcal {M}}_{\mathrm {A} }({\vec {\mathrm {F} }}_{\mathrm {ext} })=0$.

Fin du théorème

Le PFS dérive de la deuxième loi de Newton.

Dans un certain nombre de cas, les équations peuvent se résoudre de manière graphique.

Colis posé sur une table à quatre pieds (haut), à laquelle on ajoute une barre de pivot (bas).

On peut se demander pourquoi on peut choisir le point A n’importe où. Considérons un colis posé sur une table à quatre pieds. C'est un problème plan. L'effort de poussée des pieds dépend de la position du colis sur la table.

Plaçons une barre de section circulaire à un endroit quelconque de la table ; cette barre touche la table, mais n'exerce pas d'effort dessus. Cette barre représente un pivot pour la table. La situation est similaire à celle de la table seule : l'effort fourni par les pieds et par le pivot ne dépendent que de la position du colis, et sont identiques aux efforts de poussée des pieds dans le cas de la table.

Nous pouvons donc placer un pivot virtuel n’importe où, et appliquer la loi des leviers par rapport à ce pivot, ce qui donne le théorème du moment résultant statique.

Notes pour les enseignants

La réciprocité des actions mécaniques est générale, mais il vaut mieux se limiter au seul cas des actions de contact, qui est intuitif ; il n’est pas utile, voire peut-être contre-productif, de parler de l'attraction gravitationnelle qu'exerce un objet sur la Terre… Le principe des actions réciproques peut se montrer simplement en reproduisant le schéma (sans les patins) avec un élève : le professeur demande à un élève de tendre ses mains, il pousse dessus avec ses mains et demande « si je pousse sur prénom de l'élève avec une force de 100 N, avec quelle force pousse-t-il sur moi ? »

La notion de liaisons équivalente dans le cas de problèmes plans peut être introduite au cours d'exercices plutôt qu'en cours magistral.

La notion de moment transmissible n’est pas utile à tous les domaines.

La notion d'isolement d'un solide peut être mise en parallèle avec l’analyse des mécanismes. Le tracé de la frontière d'isolement peut alors se faire sur le graphe des liaisons, et la détermination des actions de contact peut se faire à partir du graphe des liaisons et du schéma cinématique.

Diplômes français

Unités des diplômes français concernées par ce chapitre :

• bac pro EDPI :
  • S4.1.4 : Principe des actions mutuelles : mise en évidence expérimentale et traduction vectorielle ;
  • S4.3.2 : Principe fondamental de la statique : traduction vectorielle du principe fondamental de la statique, théorème de a résultante, théorème du moment ;
• bac pro TU :
  • S1.3.2 : Modélisation des actions mécaniques :
    • principe des actions mutuelles.
    • isolement d'un système de solides (frontière, actions intérieures et extérieures) ;
  • S1.5.1 Principe fondamental de la statique : théorème de la résultante, théorème du moment ;
• bac pro MEI : S.1.1.2 : Mécanique — Statique :
  • modélisation des actions mécaniques : principe des actions mutuelles, expression vectorielle ;
  • principe fondamental de la statique :
    • isolement d'un système ;
    • bilan des actions mécaniques extérieures ;
    • principe fondamental de la statique : théorème de la résultante, théorème du moment résultant ;
• bac pro ROC-SM : S2.1.1 Statique :
  • statique du solide : condition d'équilibre d'un solide, postulat fondamental de la statique ;
  • statique des systèmes constitués de plusieurs solides : principe des actions réciproques ;
• bac pro TCI : S1.4.1 Statique — Modélisation des actions mécaniques : principe fondamental de la statique.

Pour les baccalauréats non-professionnels :

• bac STI2D ITEC :
  • A1-1.2.3 Principe des actions mutuelles ;
  • A1-1.3 Isolement d'un système de solides :
    • frontière d'isolement,
    • identification des actions extérieures s'exerçant sur le système.
  • A1-3.1 Principe fondamental de la statique : traduction vectorielle du principe fondamental de la statique :
    • théorème de la résultante,
    • théorème du moment.

Pour les post-baccalauréats scientifiques et sti:

• DUT Génie Mécanique et Productique et CPGE : Tous les thèmes serviront