Méthodologie en sciences calculatoires/Râteau de montage

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Lorsque le niveau d'étude s'élève, on demande à l'élève ou étudiant d’être capable d'utiliser, de sa propre initiative, plusieurs formules ou équations pour résoudre un problème, certaines devant être inversées. En complément de la méthode de la boîte à outils, on peut utiliser la méthode du « râteau de montage ».

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Présentation de la méthode

Un râteau de montage est un diagramme arborescent utilisé pour déterminer l’ordre des opérations pour le montage de dispositifs complexes. Le diagramme P.E.R.T. utilisé en planification est une extension de ce type de diagramme ; de manière générale, il s'agit d'une carte heuristique. Pour obtenir le produit final, il faut assembler les pièces élémentaires en sous-ensembles, puis assembler les sous-ensembles entre eux.

Pour réaliser ce râteau de montage, on prend la variable que l’on doit trouver et on la met à droite. Puis, on place à sa gauche, les une au dessus des autres, les formules qui la font intervenir et on liste encore à gauche les autres variables que font intervenir ces formules. Certaines sont des données de l'énoncé, mais on a peut-être encore des variables inconnues. On place alors à gauche les formules qui les font intervenir et ainsi de suite jusqu'à remonter aux variables de l'énoncé.

Puis, pour effectuer le calcul, on utilise les formules en lisant le râteau de montage de gauche à droite.

Début de l'exemple

Calcul d'un coefficient de sécurité effectif en résistance des matériaux

Énoncé

Soit un vérin ayant une tige de diamètre 40 mm faite en acier inoxydable ayant une limite élastique R_e = 220 MPa. Ce vérin doit lever une charge de 40 kN. Déterminer le coefficient de sécurité effectif s.

Brouillon

Nous avons numéroté ici les formules en chiffres romains afin de faciliter la lecture. Pour la construction du râteau de montage :

• on cherche ici s, la seule formule le contenant est la IV, elle contient deux autres variables, R_e (donnée de l'énoncé) et R_pe ;
• R_pe intervient dans une seule formule, la III, qui ne contient qu'une autre variable, σ ;
• σ intervient dans une seule formule, la I, qui contient deux autres variables, F (donnée de l'énoncé) et S ;
• S intervient dans une seule formule, la II, qui ne contient qu'une autre variable, r (l'énoncé donne d).

Résolution au brouillon

II : S = π × 20² = 1 256,6 mm²

I : $\sigma ={\frac {40\,000}{1\,256,6}}=31,8\ \mathrm {MPa}$

III+IV : $s={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\mathrm {R_{pe}} }}={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\sigma }}={\frac {220}{31,8}}=6,9$

Rédaction en calcul numérique

L'aire de la section droite de la tige de vérin vaut

S = π × r² = π × 20² = 1 256,6 mm².

La contrainte normale vaut donc

$\sigma ={\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {S} }}={\frac {40\,000}{1\,256,6}}=31,8\ \mathrm {MPa}$.

À la limite de résistance, on a σ = R_pe et donc

$\mathrm {R_{pe}} ={\frac {\mathrm {R_{e}} }{s}}\Longrightarrow s={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\mathrm {R_{pe}} }}={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\sigma }}={\frac {220}{31,8}}$

s = 6,9.

Rédaction littérale

L'aire de la section droite de la tige de vérin vaut

S = π × r² = π × d²/4.

La contrainte normale vaut donc

$\sigma ={\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {S} }}={\frac {4\mathrm {F} }{\pi d^{2}}}$.

À la limite de résistance, on a σ = R_pe et donc

$\mathrm {R_{pe}} ={\frac {\mathrm {R_{e}} }{s}}\Longrightarrow s={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\mathrm {R_{pe}} }}={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\sigma }}={\frac {\mathrm {R_{e}} \pi d^{2}}{4\mathrm {F} }}$.

La différentielle totale est

$\mathrm {d} s={\frac {\pi d^{2}}{4\mathrm {F} }}\mathrm {dR_{e}} +{\frac {\mathrm {R_{e}} \pi }{4\mathrm {F} }}2d\cdot \mathrm {d} d-{\frac {\mathrm {R_{e}} \pi d^{2}}{4\mathrm {F} ^{2}}}\mathrm {dF} ={\frac {\pi d}{4\mathrm {F} }}\left(d\cdot \mathrm {dR_{e}} +2\mathrm {R_{e}} \mathrm {d} d-{\frac {\mathrm {R_{e}} d}{\mathrm {F} }}\mathrm {dF} \right)$.

La précision du calcul est donc

${\begin{aligned}\Delta s&={\frac {\pi d}{4\mathrm {F} }}\left(d\cdot \Delta \mathrm {R_{e}} +2\mathrm {R_{e}} \Delta d+{\frac {\mathrm {R_{e}} d}{\mathrm {F} }}\Delta \mathrm {F} \right)\\&={\frac {\pi \times 4\cdot 10^{-2}}{4\times 4\cdot 10^{4}}}\left(4\cdot 10^{-2}\times 10^{6}+2\times 2,2\cdot 10^{8}\times 10^{-3}+{\frac {2,2\cdot 10^{8}\times 4\cdot 10^{-2}}{4\cdot 10^{4}}}\times 10^{3}\right)\\&={\frac {\pi \times 10^{-6}}{4}}\left(4\cdot 10^{4}+2\times 2,2\cdot 10^{5}+2,2\cdot 10^{5}\right)\\&=\pi \times 0,175\simeq 0,6\end{aligned}}$.

Application numérique :

$s={\frac {2,2\cdot 10^{8}\times \pi (4\cdot 10^{-2})^{2}}{4\times 4\cdot 10^{4}}}={\frac {2,2\cdot 10^{8}\times \pi 10^{-4}}{10^{4}}}=2,2\times \pi$

s = 6,9 ± 0,6

Le coefficient de sécurité étant habituellement une valeur entière ou demi-entière, on prendra s = 6,5 (on minimise le coefficient de sécurité effectif par excès de prudence).

Fin de l'exemple

Limites de la méthode

De manière générale, la résolution d'un problème consiste à :

• modéliser le problème, c'est-à-dire poser les hypothèses et établir un système d'équations décrivant le comportement du système ;
• résoudre le système d'équations.

La méthode du râteau de montage ne peut être utilisée que lorsque l’on a dès le départ un système triangulaire d'équations.

Début de l'exemple

Calcul d'un coefficient de sécurité effectif en résistance des matériaux

L'exemple ci-dessus :

${\begin{cases}{\text{I : }}\sigma =\mathrm {N} /\mathrm {S} \\{\text{II : }}\mathrm {S} =\pi r^{2}\\{\text{III : }}\sigma \leqslant \mathrm {R_{pe}} \\{\text{IV : }}\mathrm {R_{pe}} =\mathrm {R_{e}} /s\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\text{I : }}\sigma -\mathrm {N} /\mathrm {S} =0\\{\text{II : }}\mathrm {S} =\pi r^{2}\\{\text{III : }}\sigma -\mathrm {R_{pe}} \leqslant 0\\{\text{IV : }}\mathrm {R_{pe}} -\mathrm {R_{e}} /s=0\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\text{I : }}\sigma -40\,000/\mathrm {S} =0\\{\text{II : }}\mathrm {S} =\pi 40^{2}\\{\text{III : }}\sigma -\mathrm {R_{pe}} \leqslant 0\\{\text{IV : }}\mathrm {R_{pe}} -220/s=0\end{cases}}$

peut être mis en forme

${\begin{aligned}&\quad \mathbf {s} \quad &\quad \mathbf {R_{pe}} \quad &\quad \mathbf {\sigma } \quad &\quad \mathbf {S} \quad &\quad \mathrm {C^{te}} \\{\text{IV : }}&-220/s&+\mathrm {R_{pe}} &&&=0\\{\text{III : }}&&-\mathrm {R_{pe}} &+\sigma &&\leqslant 0\\{\text{I : }}&&&+\sigma &-40\,000/\mathrm {S} &=0\\{\text{II : }}&&&&\mathrm {S} &=\pi 40^{2}\\\end{aligned}}$

Même si ce n’est pas un système linéaire représentable par une matrice, on voit que l’on a une forme triangulaire : une ligne donnée ne fait intervenir que des grandeurs inconnues déjà utilisées dans les lignes précédentes.

Fin de l'exemple

À l'inverse, le problème de la chute d'une pierre dans un puits ne peut pas être résolu suivant cette méthode. Mais la méthode aide à sa résolution.

Début de l'exemple

Calcul de la profondeur d'un puits

Énoncé

Une personne fait tomber une pierre dans un puits. Le bruit de la chute lui parvient trois seconde après le lâcher. Quelle est la profondeur du puits ?

Données : vitesse du son v_s = 330 m⋅s^-1, accélération de la gravité g = 9,81 m⋅s^-2.

Analyse

Le système d'équations s'écrit :

${\begin{cases}{\text{I : }}t=t_{1}+t_{2}\\{\text{II : }}d={\frac {1}{2}}\mathrm {g} t_{1}^{2}\\{\text{III : }}v_{\mathrm {s} }={\frac {d}{t_{2}}}\\\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\text{I : }}t_{1}+t_{2}=3\\{\text{II : }}d-4,905t_{1}^{2}=0\\{\text{III : }}{\frac {d}{t_{2}}}=330\\\end{cases}}$

ce qui se transforme en

${\begin{aligned}&\mathbf {t_{1}} \quad &\mathbf {t_{2}} \quad &\mathbf {d} \quad &\mathbf {C^{te}} \\{\text{I : }}&t_{1}&+t_{2}&&=3\\{\text{II : }}&-4,905t_{1}^{2}&&+d&=0\\{\text{III : }}&&1/t_{2}&\times d&=330\end{aligned}}$

ici, quelles que soient les permutations de lignes ou de colonnes, on n'arrive jamais à une forme triangulaire.

Brouillon

Si l’on essaie de faire un râteau de montage, on voit que l’on n'arrive pas à un « peigne » à gauche ; deux des branches fusionnent alors que l’on ne devrait avoir que des séparations lorsque l’on progresse de la droite vers la gauche.

Mais la méthode permet tout de même d'organiser les calculs. En effet, une des méthodes de résolution d'équation est la méthode de substitution. Comme on veut déterminer d, cette grandeur doit être substituée aux autres. En lisant le diagramme de la droite vers la gauche, on voit l’ordre dans lequel les substitutions peuvent s'opérer :

1. On détermine t₁ = ƒ(d, g) grâce à l'équation II.
2. On détermine t₂ = ƒ(d, v_s) grâce à l'équation III.
3. On substitue t₁ et t₂ dans l'équation I.

Donc :

II : $t_{1}={\sqrt {\frac {2d}{g}}}$

III : $t_{2}={\frac {d}{\mathrm {v_{s}} }}$

I : $t={\sqrt {\frac {2d}{\mathrm {g} }}}+{\frac {d}{v_{\mathrm {s} }}}$

ce qui nous donne une équation du second degré en d à résoudre. Par exemple

${\frac {2d}{\mathrm {g} }}=\left(t-{\frac {d}{v_{\mathrm {s} }}}\right)^{2}=t^{2}-2{\frac {dt}{v_{\mathrm {s} }}}+{\frac {d^{2}}{v_{\mathrm {s} }^{2}}}$

${\frac {d^{2}}{v_{\mathrm {s} }^{2}}}-2\left({\frac {t}{v_{\mathrm {s} }}}+{\frac {1}{\mathrm {g} }}\right)d+t^{2}=0$

Fin de l'exemple

Recommandations

Malgré cette limitation, la méthode du râteau de montage est une méthode simple. Même si l’on exige une présentation sous forme de système d'équation, cette méthode permet, au brouillon, d’avoir une réponse rapide et donc de vérifier la résolution du système d'équations.

On peut donc recommander dans un premier temps de toujours essayer cette méthode. Si elle échoue, alors cela n'aura pas été du temps perdu puisqu'elle aide quand même à organiser les calculs (ordre des substitutions en lisant le diagramme de droite à gauche).