Mathématiciens de l’Antiquité

Géométrie

Euclide est le compilateur des connaissances de cette époque en matière de géométrie et d’arithmétique dans les Éléments. Les livres I à VI traitent de la géométrie plane et des proportions, et les XI à XIII traitent de la géométrie dans l’espace. Y sont présents le théorème de Pythagore, de Thalès, somme des angles d’un triangle et inscriptions et circonscriptions de polygones réguliers dans le cercle.

Appolonius de Perge décrit dans les Coniques les propriétés des différentes courbes naissantes de la section du cône par un plan: ellipse, hyperbole et parabole.

Hippocrate de Chios réalise la quadrature des lunules, donnant de l’espoir pour la quadrature du cercle.

Archimède procède par des méthodes qu’il précise dans La Méthode dont la seule copie qui nous soit parvenue a été découverte dans le palimpseste d’Archimède en 1906, et lui a permis de découvrir certains de ses célèbres résultats géométriques : rapport du volume du cylindre à la sphère inscrite, aire de la spirale d’Archimède.

Les 3 problèmes de l’Antiquité

La quadrature du cercle consiste à construire à partir d’un cercle donné un carré de surface égale à celle du cercle.

La trisection de l’angle consiste à construire à partir d’un angle deux droites le découpant en trois angles égaux.

La duplication du cube consiste à construire à partir d’un cube donné un cube de volume double de celui de départ.

Ces problèmes lorsque l’on demande de les résoudre à la règle et au compas sont insolubles, mais cela n’a pu être prouvé qu’au XVII^e siècle avec la notion de nombre constructible et la preuve de la transcendance de π.

Arithmétique

Les livres VII à X des Éléments d’Euclide traitent du nombre en lui-même, quoi ils y sont encore représentés sous formes de longueurs, et c’est une définition géométrique qu’Euclide donne de la divisibilité (la commensurabilité). On y trouve les premiers résultats connus sur l’arithmétique: irrationalité de la racine carrée de 2, infinité des nombres premiers, formule pour les nombres parfaits pairs, etc.

Diophante, auteur de Arithmétique, y traite quant à lui des sujets qui sont aujourd’hui également relatifs à l’algèbre (résolution de certaines équations du second degré), et des équations à plusieurs inconnues dont on cherche les solutions en nombres entiers, parfois en rationnels (équations dites diophantiennes).

Pour aller plus loin

• Problème des bœufs d’Hélios: un problème redécouvert par Lessing qui implique l'équation de Pell-Fermat.
• Histoire de l’Arithmétique