Mathématiques en MP/Devoir/Intégrale dépendant d'un paramètre

Pour $x>0$, on pose

$f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\;\mathrm {d} t$.

— Ⅰ —

1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\left]0,+\infty \right[$ et que $f(0)$ est une intégrale divergente.
2. Montrer que $f$ est décroissante.
3. Montrer que
   $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\int _{x}^{x+1}{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u$.
4. On définit la fonction $h:\mathbb {R} _{+}^{*}\to \mathbb {R}$ par
   $h(x)=\int _{x}^{x+1}{\frac {\mathrm {e} ^{u}}{u}}\;\mathrm {d} u$.
   Montrer que $h$ est dérivable et exprimer sa dérivée.
5. En déduire que $f$ est dérivable et que
   $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f'(x)=-f(x)+{\frac {\mathrm {e} }{x+1}}-{\frac {1}{x}}$.

— Ⅱ —

Dans les questions suivantes, on étudie le comportement de $f$ au voisinage de $+\infty$ puis au voisinage de $0$. Il est conseillé d'utiliser la formule $f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\;\mathrm {d} t$.

1. Montrer que
   $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\frac {1}{x+1}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t\leq f(x)\leq {\frac {1}{x}}\int _{0}^{1}\mathrm {e} ^{t}\;\mathrm {d} t$.
2. En déduire un équivalent de $f$ au voisinage de $+\infty$.
3. Montrer que
   $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad f(x)=g(x)+\ln(x+1)-\ln x$,
   avec
   $g(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{x+t}}\;\mathrm {d} t$.
4. Montrer que $g$ est définie et continue sur $\left[0,+\infty \right[$.
5. Déduire des questions précédentes l'équivalent suivant en $0$ : $f(x)\sim _{0}-\ln x$.

Corrigé

— Ⅰ —

1. $\forall x\geq \varepsilon >0\quad 0<{\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}}{\varepsilon +t}}\in \mathrm {L} ^{1}([0,1])$, tandis que ${\frac {\mathrm {e} ^{t}}{t}}\sim _{0}{\frac {1}{t}}$, non intégrable en $0$.
2. $\forall y\geq x>0\quad \forall t\geq 0\quad {\frac {\mathrm {e} ^{t}}{y+t}}\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}}{x+t}}$, donc $f(y)\leq f(x)$.
3. Simple changement de variable $u=x+t$.
4. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $\forall x>0\quad h'(x)={\frac {\mathrm {e} ^{x+1}}{x+1}}-{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}$.
5. $\forall x>0\quad f'(x)=-\mathrm {e} ^{x}h(x)+\mathrm {e} ^{x}h'(x)=-f(x)+{\frac {\mathrm {e} }{x+1}}-{\frac {1}{x}}$.

— Ⅱ —

1. $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall t\geq 0\quad {\frac {1}{x+1}}\leq {\frac {1}{x+t}}\leq {\frac {1}{x}}$.
2. $\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad {\frac {\mathrm {e} -1}{x+1}}\leq f(x)\leq {\frac {\mathrm {e} -1}{x}}$ donc $f(x)\sim _{+\infty }{\frac {\mathrm {e} -1}{x}}$.
3. $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{x+t}}=\ln(1+x)-\ln x$.
4. $\forall t>0\quad x\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{x+t}}$ est continue sur $\left[0,+\infty \right[$ et $\forall x\geq 0\quad \forall t>0\quad 0\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{x+t}}\leq {\frac {\mathrm {e} ^{t}-1}{t}}$, (prolongeable en une) fonction continue donc intégrable sur $[0,1]$.
5. Quand $x\to 0$, $g(x)+\ln(x+1)\to g(0)\prec -\ln x$.