Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires

Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires
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Devoir no1
Cours : Mathématiques en MPSI

Devoir de niveau 14.

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Durée : 4 heures.


ÉnoncéModifier

Questions de cours : rudiments de logique et décomposition en éléments simplesModifier

1. On exprime qu'une suite   de nombre réels converge vers le réel   si elle vérifie la propriété suivante :

 .

Exprimer la propriété contraire.

2. Soit   un polynôme non nul et   une racine de  .

2.1. Définir la multiplicité de   pour  .
2.2. Caractériser la multiplicité de   pour   à l'aide des polynômes dérivés de  .

Exercice 1 : décomposition en éléments simplesModifier

Décomposer les fractions rationnelles suivantes en éléments simples :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.  .

Exercice 2 : sommesModifier

Calculer, pour  , les sommes suivantes :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.  .

Exercice 3 : systèmes linéairesModifier

On considère le système   :

 
  1. Déterminer les valeurs du paramètre   pour lesquelles   est de Cramer.
  2. Résoudre   lorsqu'il n'est pas de Cramer.

Exercice 4 : applicationsModifier

On cherche les applications   telles que

 

1. On note   l'application suivante :

 
1.1. Montrer que   induit une bijection de l'ensemble   dans lui-même. L'application induite sera notée   :
 
1.2. Déterminer les applications   et  .

2. Conclure.

Exercice 5 : sommes avec la suite de FibonacciModifier

On définit la suite de Fibonacci   par

 

1. Calculer   pour  .

2. Soit  . Calculer les sommes suivantes :

2.1   (on pourra pour cela transformer ces sommes en des sommes télescopiques) ;
2.2   ;
2.3  .

3.

3.1 Établir que l'on a :
 .
3.2 En déduire une expression des nombres   et   en fonction de  ,  ,   uniquement.

4. Pour  , on pose  .

L'objet de la question est de prouver que les nombres   sont des termes de la suite de Fibonacci.

4.1 Calculer   pour  . Que conjecture-t-on ?
4.2 À l'aide de la question précédente, établir une expression de   en fonction de  ,  ,   et  , puis en fonction de  ,   et  .
Conclure.

Exercice 6 : dénombrement, vocabulaire ensembliste et sommesModifier

Soient   et   des ensembles finis de cardinal   et   respectivement. On suppose   non vide. On note   le nombre de surjections de   dans  .

1. Déterminer   lorsque  .

2. Calculer  ,   et  .

3. Lorsque  , quelles sont les applications non surjectives de   dans   ? En déduire  .

4. En s'inspirant de la question précédente, montrer que  . En déduire  .

5. On revient au cas général.
Pour  , on pose

 .
5.1 Justifier que l'on a
5.1.1.  .
5.1.2.  .
5.2. En déduire la formule suivante.
 .