Mathématiques en terminale générale/Devoir/Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales

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On choisit pour unité de longueur 4 cm, et on munit le plan d'un repère orthonormal direct $(O;\,{\vec {u}},\,{\vec {v}})$. Vous représenterez dans ce repère les courbes demandées.

— Ⅰ —

1°  On note E l'ensemble des complexes $z$ tels que $z-i{\bar {z}}\neq 0$ et on considère la fonction $f$ qui, à chaque élément de E, associe le complexe :

$f(z)={\frac {z+{\bar {z}}-i}{z-i{\bar {z}}}}$

Déterminez l'ensemble E et représentez-le graphiquement.

Par la suite, si un complexe $z$ de E est représenté par un point M, on notera M' le point représentant $f(z)$.

2°  Résolvez dans $\mathbb {C}$ l'équation $f(z)=i$.

3°  $z$ est un complexe appartenant à E; Le point M qui le représente a pour coordonnées $(x;\,y)$. Exprimez en fonction de $x$ et $y$ les coordonnées du point M'.

4°  Déterminez et représentez graphiquement l'ensemble des complexes $z$ tels que $f(z)$ soit un imaginaire pur.

5°  $z=x+iy$ est un complexe de E.

Montrez que le module de $f(z)$ est égal à ${\sqrt {2}}$ si et seulement si $x$ et $y$ sont liés par la relation $4y^{2}-8xy-1=0$.

— Ⅱ —

Le but de cette partie est de représenter l'ensemble E' des complexes $z=x+iy$ tels que $f(z)$ ait pour module ${\sqrt {2}}$. C'est-à-dire aussi, d'après la fin de la première partie, l'ensemble des couples $(x;\,y)$ tels que $4y^{2}-8xy-1=0\qquad$ [1].

1°  Montrez que pour tout réel $x$, il existe deux réels $y_{1}$ et $y_{2}$ à déterminer tels que $(x;\,y_{1})$ et $(x;\,y_{2})$ vérifie la relation [1].

2°  $a$ et $b$ sont les fonctions définies sur $\mathbb {R}$ par :

${\begin{cases}a(x)=x+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4x^{2}+1}}\\b(x)=x-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4x^{2}+1}}\end{cases}}$

On notera ${\mathcal {C}}$ la courbe représentative de $a$ et ${\mathcal {C}}'$ la courbe représentative de $b$.

a)  Montrez que l'ensemble E' cherché est représenté par la réunion de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}'$.

b)  Montrez que l'origine O est centre de symétrie de E'.

3°  Étudiez la fonction $a$ et tracez sa courbe représentative.

Montrez que la droite d d'équation $y=2x$ est asymptote à ${\mathcal {C}}$ au voisinage de $+\infty$ et précisez la position de ${\mathcal {C}}$ par rapport à cette asymptote.

4°  Tracez la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'interception de ${\mathcal {C}}$ avec l'axe des ordonnées.

5°  Représentez l'ensemble E'.

— Ⅲ —

On se propose de calculer en cm², l'aire ${\mathcal {A}}$ du domaine compris entre la courbe ${\mathcal {C}}$, les droites d'équation $x=0$, $x=1$, et l'axe des abscisses.

1°  Exprimez cette aire sous forme d'une intégrale.

2°  On note $a_{1}$ la restriction de $a$ à l'intervalle $I=[0;\,1]$.

a)  Pourquoi $a_{1}$ est-elle une bijection de $I$ sur l'intervalle $J=\left[{\frac {1}{2}};\,{\frac {2+{\sqrt {5}}}{2}}\right]$ ?

b)  Soit $h$ la fonction définie sur $J$ par $h(x)={\frac {4x^{2}-1}{8x}}$

Vérifiez que pour tout $x$ de $J,\,a_{1}\left(h(x)\right)=x$, et que pour tout $x$ de $I,\,h\left(a_{1}(x)\right)=x$.

Comment qualifie-t-on $h$ par rapport à $a_{1}$, et $a_{1}$ par rapport à $h$ ?

Qu'en résulte-t-il pour les courbes ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {C}}_{h}$ ?

3°  Tracez la courbe représentative de $h$.

4°  Calculez l'intégrale $\int _{\frac {1}{2}}^{\frac {2+{\sqrt {5}}}{2}}{\frac {4x^{2}-1}{8x}}\,\mathrm {d} x$ et interprétez-la graphiquement.

5°  Déduisez alors de ce qui précède l'aire ${\mathcal {A}}$ cherchée.

Corrigé

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