Mathématiques en terminale générale/Devoir/Fonctions irrationnelles, formule du binôme et complexes

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

1°  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=x+{\sqrt {1+x^{2}}}$

a)  Montrez que pour tout réel $x$,

${\sqrt {1+x^{2}}}>|x|$

et déduisez-en le signe de $f(x)$.

b)  Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(0;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.

2°  On considère la fonction $g$ définie sur $]0;\,+\infty [$ par :

$g(x)={\frac {x^{2}-1}{2x}}$.

Vérifiez que pour tout réel $x,\,g\left(f(x)\right)=x$, et que pour tout réel $x>0,\,f\left(g(x)\right)=x$.

3°  On considère la fonction $h$ définie par :

$h(u)={\frac {1}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right)$

Dressez le tableau de variation de $h$, précisez les limites aux bornes de son ensemble de définition.

4°  $n$ est un naturel.

On considère la fonction $P_{n}$ definie sur $\mathbb {R}$ par :

$P_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left(\left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)^{n}+\left(x-{\sqrt {1+x^{2}}}\right)^{n}\right)$

a)  Montrez que $P_{n}$ est un polynôme.

Précisez son degré.

b)  Comparez, pour tout réel $x,\,P_{n}(x)$ et $P_{n}(-x)$.

5°  On note $\varphi$ le polynôme $x\mapsto x^{n}$.

Montrez que suivant la parité de $n$,

$P_{n}=h\circ \varphi \circ f\qquad$ ou $\qquad P_{n}=g\circ \varphi \circ f$

Déduisez-en le tableau de variation de $P_{n}$.

6°  On suppose dans cette question que $n$ est un naturel pair non nul.

a)  $m$ est un réel donné.

Discutez, suivant le choix de $m$, le nombre de racines réelles de l'équation $P_{n}(x)=m$.

b)  $\lambda$ est un réel donné strictement compris entre $0$ et ${\frac {\pi }{2}}$.

Résolvez dans $\mathbb {C}$ l'équation :

${\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)=\cos \lambda$.

Déduisez-en les solutions complexes de l'équation :

${\frac {1}{2}}\left(z^{n}+{\frac {1}{z^{n}}}\right)=\cos \lambda \qquad$(E).

Pour chacune des racines $z$ de l'équation (E), calculez $x={\frac {1}{2}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)$, puis calculez $P_{n}(x)$

(On note encore $P_{n}$ le prolongement à $\mathbb {C}$ du polynôme défini à la question 4°).

Corrigé

Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}