Mathématiques en terminale générale/Devoir/Trigonométrie et dérivation

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

$f_{1}$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

— Ⅰ —

$f_{1}(x)={\begin{cases}x\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.

${\mathcal {C}}_{1}$ est sa courbe représentative dans un repère $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$

1°  Vérifiez que $f_{1}$ est paire.

2°  Montrez que $\lim _{x\to 0}f_{1}(x)=f_{1}(0)$.

3°  Montrez que $f_{1}$ est dérivable sur $]0;\,+\infty [$ mais que $f_{1}$ n'est pas dérivable en 0.

4°  Trouvez les points de ${\mathcal {C}}_{1}$ situés sur les droites d'équations $y=x$ et $y=-x$. Déterminez les tangentes à ${\mathcal {C}}_{1}$ en ces points.

5°  Trouvez graphiquement les solutions de l'équation $\tan u=u$. Déduisez-en les points en lesquels $f_{1}$ admet un extremum local.

6°  Donnez l'allure de ${\mathcal {C}}_{1}$.

— Ⅱ —

$f_{2}$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f_{2}(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.

${\mathcal {C}}_{2}$ est sa courbe représentative dans un repère $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$

1°  Vérifiez que $f_{2}$ est impaire.

2°  Montrez que $f_{2}$ est dérivable en tout point $x\neq 0$, calculez alors $f_{2}'(x)$, puis montrez que $f_{2}$ est dérivable en 0.

3°  Trouvez les points de ${\mathcal {C}}_{2}$ situés sur les paraboles d'équations $y=x^{2}$ et $y=-x^{2}$, et déterminez les tangentes à ${\mathcal {C}}_{2}$ en ces points.

— Ⅲ —

Le but de cette question est d'exhiber une fonction $f$ dérivable dont le nombre dérivé en zéro est strictement positif, et telle qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel elle est croissante.

1°  $f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)={\begin{cases}{\frac {x}{2}}+x^{2}\sin {\frac {1}{x}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{cases}}$.

Calculez $f'(x)$ lorsque $x\neq 0$, et montrez que $f$ est dérivable en zéro; calculez $f'(0)$.

2°  Calculez $f'({\frac {1}{n\pi }})$ pour tout naturel $n\geqslant 1$.

Déduisez-en qu'il n'existe pas d'intervalle contenant zéro sur lequel $f$ est croissante.

Corrigé

Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}