Modélisation Classement des fonctions selon la parité

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Il existe une infinité de fonctions paires et impaires, certaines plus intéressantes et plus proches du réel que d'autres.

Sachant que toute fonction peut se décomposer en une paire et une impaire, qui peuvent être respectivement des combinaisons linéaires P et I de produits pairs et impairs.

Sachant que le produit de deux paires ou de deux impaires est pair, et que celui d'une paire et d'une impaires est impaire.

Il en est de même pour les échantillonnages On classera les fonctions et échantillonnages, à un coefficient multiplicateur près, en fonctions basiques qui serviront de composantes aux décompositions des échantillonnages et fonctions à modéliser :

• Choisi(e)s tel(le)s que f(0)=0, la valeur 0 de la variable étant centrale, la valeur de la fonction devenant la valeur à l'origine

$f(t)=f(0)+A*I_{impaire}(t)+B*P_{paire}(t)$

Tel que $P_{paire}(0)=0$ et l'intervalle t de définition de f centré sur $t=0$

• 4 types principaux, dont 3 de base apparemment uniques, et ayant cette propriété f'(t)=0 se font jour alors :

A / celles qui fluctuent et sont bornées à l'infini paires fPH et impaires fIH( type sin cos, produits et combinaisons linéaires similaires )

B / celles qui tendent vers 0 à l'infini, paires fP0 ou impaires fI0 , type ondelettes de Daubechies mais avec valeur nulle pour t=0

C / celles qui tendent vers 1 à l'infini, paires fP1 ou impaire fI1

D / celles non bornées qui feront l'objet d'une étude spéciale. OUVERT AUX PROPOSITIONS DE FONCTIONS

fonction bornées	fPH & fiH	fP0 & fI0	fP0 & fI1	fP0 &FI0		…
fonctions paires	$1-cos(w_{1}t^{n_{1}})$	$1-e^{-w_{1}t^{2h_{1}}}$	$th(wt^{2h_{1}})$	${\frac {t^{2k}}{t^{2k+2n}+b}}$	$1-{\frac {1}{ch(wt^{h_{1}})}}$	…
fonctions impaires	$sin(w_{2}t^{n_{2}})$	$e^{-w_{1}^{2h_{2}}}sh({-w_{2}^{h_{3}}})$	$th(wt^{h_{2}})$	${\frac {t^{2h+1}}{t^{2h+2m}+d}}$	${\frac {sh(wt^{h_{2}+l})}{ch^{2}(wt^{h_{2}})}}$	…

fonction non bornées			…
fonctions paires	$1-ch(w_{1}t^{n_{1}})$	$t^{2k}$	${\frac {t^{2k-2n}}{t^{2k}+b}}$	…
fonctions impaires	$sh(w_{2}t^{n_{2}})$	$t^{2h+1}$	${\frac {t^{2h+1-2m}}{t^{2h}+d}}$	…

Règles de composition :

fonctions paires	${\frac {F_{1}impaire}{F_{2}impaire}}$	${F_{1}imp}*{F_{2}imp}$	${F_{1}paire}*{F_{2}paire}$	${\frac {|t|}{t}}*Fimp$	toute combinaison linéaire de produits pairs de fonctions
fonctions impaires	${\frac {F_{1}impaire}{F_{2}paire}}$	${\frac {F_{2}paire}{F_{1}impaire}}$	${F_{1}imp}*{F_{2}paire}$	${\frac {|t|}{t}}*Fpaire$	toute combinaison linéaire de produits impairs de fonctions

Exemples de décompositions en fonction paire et impaire

Exemple basique premier d'utilisation de ces fonctions pour la modélisation, et il doit manquer des variantes ! Sachant que y0 compte pour 1 donnée , +4 ( 5 ou 6 si produit ) pour un duo pair impair pas nécessairement de même nature. Observer la méthode de progression et de complétude donne le ton.

2k+1 couples de fonctions en sin cos et exp
1 donnée $(t_{i},y_{i})$ $i=1$
$\delta (t)$
2 données $(t_{i},y_{i})$ $i=-1,1$
$at+b$
3 données $(t_{i},y_{i})$ $i=-1,0,1$
$y_{0}+k*(sin(w_{1}t)$
$y_{0}+k*(+1-cos(w_{2}t)))$
$k*(1-e^{-ht^{2}})$
4 données $(t_{i},y_{i})$ $i=-3,-1,1,3$
$y_{0}+k*(sin(w_{1}t)+1-cos(w_{2}t))$
$y_{0}+Ssin(wt)+C(1-cos(wt))$
5 données$i=-2,-1,0,1,2$
$y_{0}+Se^{-st^{2}}sin(wt)+Ce^{-ct^{2}}(1-cos(wt))$
$y_{0}+Ke^{-kt^{2}}(sin(w_{1}t)+(1-cos(w_{2}t)))$
6 données$i=-5,-3,-1,1,3,5$
$y_{0}+k*(sin(w_{1}t)+1-cos(w_{2}t)+sin(w_{3}t)+1-cos(w_{4}t))$
$y_{0}+Se^{-st^{2}}sin(wt)+Ce^{-ct^{2}}(1-cos(wt))$
$y_{0}+Se^{-kt^{2}}sin(w_{1}t)+Ce^{-kt^{2}}(1-cos(w_{2}t))$
7 données$i=-3,3$
$y_{0}+Se^{-st^{2}}sin(w_{1}t)+Ce^{-ct^{2}}(1-cos(w_{2}t))$
$y_{0}+S_{1}sin(w_{1}t)+C(1-cos(w_{2}t))+S_{3}sin(w_{3}t)$
$y_{0}+Ssin(w_{1}t)+C_{2}(1-cos(w_{2}t))+C_{3}(1-cos(w_{3}t))$
${\frac {A}{x^{k}}}{\sqrt {(x^{2}-a^{2})}}$
$y_{0}+{\frac {ax^{2}+bx+c}{dx^{2}+ex+f}}$ avec les 3 variantes selon le delta du dénominateur
9 données$i=-4,4$
$y_{0}+S_{1}sin(w_{1}t)+S_{3}sin(w_{3}t)+C_{2}(1-cos(w_{2}t))+C_{4}(1-cos(w_{4}t))$
13 données$i=-6,6$
$y_{0}+S_{1}e^{-s_{1}t^{2}}sin(w_{1}t)+S_{3}e^{-s_{3}t^{2}}sin(w_{3}t)+C_{2}e^{-c_{2}st^{2}}(1-cos(w_{2}t))+C_{4}e^{-c_{4}st^{2}}(1-cos(w_{4}t))$
$y_{0}+S_{1}sin(w_{1}t)+S_{3}sin(w_{3}t)+S_{5}sin(w_{5}t)+C_{2}(1-cos(w_{2}t))+C_{4}(1-cos(w_{4}t))+C_{6}(1-cos(w_{6}t))$

etc

La fonction de Dirac est aussi la somme d'une partie paire ${\frac {\delta (t)}{2}}$ $,{\frac {\delta (-t)}{2}}$ et d'une partie impaire ${\frac {\delta (t)}{2}}$,${\frac {-\delta (-t)}{2}}$

Elles servent aussi à résoudre les équations différentielles en produisant des échantillonnages à l'aide des développements limités ou autres