Modélisation Mixte Harmonique Hyperbolique par 5 ou 7 points

Soit 5 couples $(x_{i},y_{i}),i(-2,-1,0,+1,+2)$

Puis soit 7 couples $(x_{i},y_{i}),i(-3,-2,-1,0,+1,+2,+3)$

La mission consiste, si vous l'acceptez, à déterminer une fonction qui répond, soit exactement, soit au mieux au sens de la régression, à ces données.

Possibilités , parmi d'autres à trouver :

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1ere forme de modèle : $y_{i}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*i)+C*(1-coshh(\omega _{c}*i))$

hh signifie que la fonction sin ou cos peuvent être selon les calculs harmonique ou hyperbolique

${\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*-2)+C*(1-coshh(\omega _{c}*-2))\\y_{-1}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*-1)+C*(1-coshh(\omega _{c}*-1))\\y_{+1}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*+1)+C*(1-coshh(\omega _{c}*+1))\\y_{+2}=y_{0}+S*sinhh(\omega _{s}*+2)+C*(1-coshh(\omega _{c}*+2))\end{cases}}$ D'où

${\begin{cases}y_{+2}+y_{-2}=2*y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*2))\\y_{+1}+y_{-1}=2*y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*1))\end{cases}}$

${\begin{cases}y_{+2}-y_{-2}=S*sinhh(\omega _{s}*2)\\y_{+1}-y_{-1}=S*sinhh(\omega _{s}*1)\end{cases}}$

Plus rapide et plus stylé consiste à dire que tout échantillonnage peut se décomposer en une somme d'un échantillonnage pair et d'un échantillonnage impair

Ce qui donne ici $(x_{i},y_{i})=(x_{i},{\frac {y_{i}+y_{-i}}{2}})+(x_{i},{\frac {y_{i}-y_{-i}}{2}})$

Soit ${\begin{cases}{\frac {y_{+2}-y_{-2}}{2}}=S*sinhh(\omega _{s}*2)\\{\frac {y_{+1}-y_{-1}}{2}}=S*sinhh(\omega _{s}*1)\end{cases}}$:ET:${\begin{cases}{\frac {y_{+2}+y_{-2}}{2}}=y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*2))\\{\frac {y_{+1}+y_{-1}}{2}}=y_{0}+C*(1-coshh(\omega _{c}*1))\end{cases}}$

:D'où l'on déduit par calculie les cosinus harmonique ou hyperbolique de ws et wc puis S et C 

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2eme forme de modèle : $y_{i}=y_{0}+e^{-kx^{2}}*(S*sinhh(\omega *x)+C*(1-coshh(\omega *x))$${\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+e^{-k4}*(S*sin(\omega *-2)+C*(1-cos(\omega *2))\\y_{-1}=y_{0}+e^{-k1}*(S*sin(\omega *-1)+C*(1-cos(\omega *1))\\y_{+1}=y_{0}+e^{-k1}*(S*sin(\omega *+1)+C*(1-cos(\omega *1))\\y_{+2}=y_{0}+e^{-k4}*(S*sin(\omega *+2)+C*(1-cos(\omega *2))\end{cases}}$ OU 3ème forme cas particulier de la 2ème : $y_{i}=y_{0}+Ke^{-kx^{2}}*(sinhh(\omega _{s}*x)+(1-coshh(\omega _{c}*x))$${\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ke^{-k4}*(sin(\omega _{s}*-2)+(1-cos(\omega _{c}*2))\\y_{-1}=y_{0}+Ke^{-k1}*(sin(\omega _{s}*-1)+(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+Ke^{-k1}*(sin(\omega _{s}*+1)+(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+Ke^{-k4}*(sin(\omega _{s}*+2)+(1-cos(\omega _{c}*2))\end{cases}}$ Sans oublier dans les deux formes les formes hybrides e*sinhh et coshh , sinhh et e*coshh

OU

Toute combinaison d'une fonction paire t d'une fonction impaire avec 5 inconnues en tout,y0 comptant pour 1 . Des combinaisons à n'en plus finir , ce qui amène à des test de présélection

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Puis au -delà , par exemple si on souhaite n'avoir que des harmoniques, et avec 7 couples de données $y_{t}=y_{0}+e^{-k_{s}t^{2}}*Asin(\omega _{s}*t)+e^{-k_{c}t^{2}}*B(1-cos(\omega _{c}*t))$ ${\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+e^{-4k_{s}}*Asin(\omega _{s}*-2)+e^{-4k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*2))\\y_{-1}=y_{0}+e^{-k_{s}}*Asin(\omega _{s}*-1)+e^{-k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+e^{-k_{s}}*Asin(\omega _{s}*+1)+e^{-k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+e^{-4k_{s}}*Asin(\omega _{s}*+2)+e^{-4k_{c}}*B(1-cos(\omega _{c}*2))\end{cases}}$ _____________________________________________________________ $y_{i}=y_{0}+(1-e^{-k_{s}x^{2}})*Asin(\omega _{s}*x)+(1-e^{-k_{c}x^{2}})*Bcos(\omega _{c}*x)$ ${\begin{cases}y_{-2}=y_{0}-(1-e^{-4k_{s}})*Asin(\omega _{s}*2)+(1-e^{-4k_{c}})*Bcos(\omega _{c}*2)\\y_{-1}=y_{0}-(1-e^{-k_{s}})*Asin(\omega _{s}*1)+(1-e^{-k_{c}})*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+1}=y_{0}+(1-e^{-k_{s}}=*Asin(\omega _{s}*+1)+(1-e^{-k_{c}})*B(1-cos(\omega _{c}*1))\\y_{+2}=y_{0}+(1-e^{-4k_{s}})*Asin(\omega _{s}*2)+(1-e^{-4k_{c}})*Bcos(\omega _{c}*2)\end{cases}}$ _________________________________________________________________________ $y_{i}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}x^{2}}+Bx^{2h+1}e^{-k_{b}x^{2}}$${\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}4}-Bx^{2k+1}e^{-k_{b}4}\\y_{-1}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}1}-Bx^{2k+1}e^{-k_{b}1}\\y_{+1}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}1}+Bx^{2k+1}e^{-k_{b}1}\\y_{+2}=y_{0}+Ax^{2k}e^{-k_{a}4}+Bx^{2k+1}e^{-k_{b}4}\end{cases}}$ En faisant successivement k&h=1,2,3....pour 5 données et en testant ___________________________________________________________________________ $y_{i}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}x^{2}})+Bx^{2h+1}(1-e^{-k_{b}x^{2}})$${\begin{cases}y_{-2}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}4})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\\y_{-1}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}1})-Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+1}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}1})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}1})\\y_{+2}=y_{0}+Ax^{2k}(1-e^{-k_{a}4})+Bx^{2k+1}(1-e^{-k_{b}4})\end{cases}}$ En faisant successivement k&h=1,3,5....pour 5 données et en testant

OU

Toute combinaison de fonction paire et de fonction impaire avec 7 inconnues en tout