Module sur un anneau/Exercices/Modules de type fini

Modules de type fini
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Exercices no2
Leçon : Module sur un anneau

Exercices de niveau 16.

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Module sur un anneau/Exercices/Modules de type fini
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Exercice 1

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Soient   un anneau commutatif (unitaire) et   son radical de Jacobson. On rappelle que   est un idéal de   et que pour tout  ,   est inversible dans  .

Soit   un  -module. On note   le sous-module des éléments de la forme   avec   et  .

  1. Montrer que pour tout   et tous  , si   alors  .
  2. En déduire que si   est de type fini et   alors  .