Début de la boite de navigation du chapitre
Lorsqu'on étudie un système constitué de plusieurs particules, auxquelles sont associés des opérateurs moment cinétique
J
i
{\displaystyle \mathbf {J} _{i}}
, il peut être intéressant de considérer le moment cinétique total
J
=
∑
J
i
{\displaystyle \mathbf {J} =\sum \mathbf {J} _{i}}
.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Moment cinétique en mécanique quantique : Composition de deux moments cinétiques Moment cinétique en mécanique quantique/Composition de deux moments cinétiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Le but de ce chapitre est de faire le lien entre les éléments propres des différents moments cinétiques et ceux du moment cinétique total, dans le cas de l'addition de deux moments cinétique, en traitant d’abord le cas simple de deux spins 1/2. Nous verrons enfin les applications de cette opération.
Un cas simple : composition de deux spins ½
modifier
On s'intéresse ici à la diagonalisation de l'opérateur
S
=
S
1
+
S
2
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {S} _{1}+\mathbf {S} _{2}}
où
S
1
{\displaystyle \mathbf {S} _{1}}
et
S
2
{\displaystyle \mathbf {S} _{2}}
sont des moments cinétiques vérifiant
j
1
=
j
2
=
1
/
2
{\displaystyle j_{1}=j_{2}=1/2~}
, et donc
m
i
=
±
1
/
2
{\displaystyle m_{i}=\pm 1/2~}
.
Pour alléger les notations, on pose pour les kets de
E
=
E
1
⊗
E
2
{\displaystyle E=E_{1}\otimes E_{2}}
:
Définition
|
ε
1
⟩
1
⊗
|
ε
2
⟩
2
=
|
ε
1
ε
2
⟩
{\displaystyle |\varepsilon _{1}\rangle _{1}\otimes |\varepsilon _{2}\rangle _{2}=|\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\rangle }
, par exemple
|
+
⟩
1
⊗
|
−
⟩
2
=
|
+
−
⟩
{\displaystyle |+\rangle _{1}\otimes |-\rangle _{2}=|+-\rangle }
.
On veut trouver une nouvelle base de
E
{\displaystyle E~}
qui diagonalise
S
2
{\displaystyle \mathbf {S} ^{2}}
et
S
z
{\displaystyle S_{z}~}
, on utilise les notations :
Définition
S
2
|
S
,
M
⟩
=
S
(
S
+
1
)
ℏ
2
|
S
,
M
⟩
{\displaystyle \mathbf {S} ^{2}~|S,M\rangle =S(S+1)\hbar ^{2}~|S,M\rangle }
S
z
|
S
,
M
⟩
=
M
ℏ
|
S
,
M
⟩
{\displaystyle S_{z}~|S,M\rangle =M\hbar ~|S,M\rangle }
S
+
=
S
x
+
i
S
y
;
S
−
=
S
x
−
i
S
y
{\displaystyle S_{+}=S_{x}+iS_{y}~~;~~S_{-}=S_{x}-iS_{y}}
La base constituée des kets
|
±
±
⟩
{\displaystyle |\pm \pm \rangle }
est appelée base découplée, celle constituée des kets
|
S
,
M
⟩
{\displaystyle {|S,M\rangle }}
base couplée.
L'action de
S
2
{\displaystyle \mathbf {S} ^{2}}
et de
S
z
{\displaystyle S_{z}~}
sur les kets de la base découplée se fait selon les règles de calcul dans un espace produit tensoriel, par exemple, on a
S
2
|
+
−
⟩
=
(
S
1
2
+
S
2
2
+
2
S
1
x
⋅
S
2
x
+
2
S
1
y
⋅
S
2
y
+
2
S
1
z
⋅
S
2
z
)
|
+
−
⟩
=
(
S
1
2
+
S
2
2
+
2
S
1
z
⋅
S
2
z
+
S
1
+
⋅
S
2
−
+
S
1
−
⋅
S
2
+
)
|
+
−
⟩
=
(
3
ℏ
2
/
4
+
3
ℏ
2
/
4
+
2
⋅
ℏ
/
2
⋅
(
−
ℏ
/
2
)
+
S
1
+
⋅
S
2
−
+
S
1
−
⋅
S
2
+
)
|
+
−
⟩
=
(
ℏ
2
+
S
1
+
⋅
S
2
−
+
S
1
−
⋅
S
2
+
)
|
+
−
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} ^{2}~|+-\rangle &=(\mathbf {S} _{1}^{2}+\mathbf {S} _{2}^{2}+2S_{1x}\cdot S_{2x}+2S_{1y}\cdot S_{2y}+2S_{1z}\cdot S_{2z})~|+-\rangle \\\ &=(\mathbf {S} _{1}^{2}+\mathbf {S} _{2}^{2}+2S_{1z}\cdot S_{2z}+S_{1+}\cdot S_{2-}+S_{1-}\cdot S_{2+})~|+-\rangle \\\ &=(3\hbar ^{2}/4+3\hbar ^{2}/4+2\cdot \hbar /2\cdot (-\hbar /2)+S_{1+}\cdot S_{2-}+S_{1-}\cdot S_{2+})~|+-\rangle \\\ &=(\hbar ^{2}+S_{1+}\cdot S_{2-}+S_{1-}\cdot S_{2+})~|+-\rangle \end{aligned}}}
Or
S
1
+
⋅
S
2
−
|
+
−
⟩
=
S
1
+
|
+
⟩
1
⊗
S
2
−
|
−
⟩
2
=
0
{\displaystyle S_{1+}\cdot S_{2-}~|+-\rangle =S_{1+}~|+\rangle _{1}\otimes S_{2-}~|-\rangle _{2}=0}
et de même
S
1
−
⋅
S
2
+
|
+
−
⟩
=
ℏ
1
/
2
(
1
/
2
+
1
)
−
1
/
2
(
1
/
2
−
1
)
|
−
⟩
1
⊗
ℏ
1
/
2
(
1
/
2
+
1
)
−
(
−
1
/
2
)
(
−
1
/
2
+
1
)
|
+
⟩
2
=
ℏ
2
|
−
+
⟩
{\displaystyle S_{1-}\cdot S_{2+}~|+-\rangle =\hbar {\sqrt {1/2(1/2+1)-1/2(1/2-1)}}~|-\rangle _{1}\otimes \hbar {\sqrt {1/2(1/2+1)-(-1/2)(-1/2+1)}}~|+\rangle _{2}=\hbar ^{2}~|-+\rangle }
d'où finalement :
S
2
|
+
−
⟩
=
ℏ
2
(
|
+
−
⟩
+
|
−
+
⟩
)
{\displaystyle \mathbf {S} ^{2}~|+-\rangle =\hbar ^{2}(|+-\rangle +|-+\rangle )}
Tous calculs effectués, on obtient les matrices suivantes (en rangeant les kets de la base découplée selon
{
|
+
+
⟩
,
|
+
−
⟩
,
|
−
+
⟩
,
|
−
−
⟩
}
{\displaystyle \lbrace |++\rangle ,~|+-\rangle ,~|-+\rangle ,~|--\rangle \rbrace }
) :
Propriété
S
2
=
ℏ
2
(
2
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
2
)
S
z
=
ℏ
(
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle \mathbf {S} ^{2}=\hbar ^{2}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\\\end{pmatrix}}~~~~S_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}
On voit directement les valeurs propres de
S
z
{\displaystyle S_{z}~}
:
M
∈
{
−
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle M\in \lbrace -1,0,1\rbrace }
et une valeur propre de
S
2
{\displaystyle \mathbf {S} ^{2}}
:
S
(
S
+
1
)
=
2
{\displaystyle S(S+1)=2~}
soit
S
=
1
{\displaystyle S=1~}
.
Il reste a diagonaliser la sous-matrice 2x2 suivante :
A
=
(
1
1
1
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\\end{pmatrix}}}
.
Ce calcul ne pose pas de problème, on trouve les valeurs propres
S
=
1
{\displaystyle S=1~}
associée au ket propre normalisé
1
/
2
(
|
+
−
⟩
+
|
−
+
⟩
)
{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )}
et
S
=
0
{\displaystyle S=0~}
associé au ket propre
1
/
2
(
|
+
−
⟩
−
|
−
+
⟩
)
{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle -|-+\rangle )}
.
La base couplée s'écrit
{
|
1
,
1
⟩
,
|
1
,
0
⟩
,
|
1
,
−
1
⟩
,
|
0
,
0
⟩
}
{\displaystyle \lbrace |1,1\rangle ,~|1,0\rangle ,~|1,-1\rangle ,~|0,0\rangle \rbrace }
, et les relations avec la base découplée sont :
Propriété
|
1
,
1
⟩
=
|
+
+
⟩
{\displaystyle |1,1\rangle =|++\rangle }
|
1
,
0
⟩
=
1
/
2
(
|
+
−
⟩
+
|
−
+
⟩
)
{\displaystyle |1,0\rangle =1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle +|-+\rangle )}
|
1
,
−
1
⟩
=
|
−
−
⟩
{\displaystyle |1,-1\rangle =|--\rangle }
|
0
,
0
⟩
=
1
/
2
(
|
+
−
⟩
−
|
−
+
⟩
)
{\displaystyle |0,0\rangle =1/{\sqrt {2}}(|+-\rangle -|-+\rangle )}
Pour
S
=
1
{\displaystyle S=1~}
, on a 3 kets propres différents, on parle d'état triplet, alors que pour
S
=
0
{\displaystyle S=0~}
, on a un seul ket propre, on parle d'état singulet.
Dans le cas général, l'espace des états associé à une particule n’est pas forcément de dimension 2, et donc le problème est beaucoup plus complexe. On ne pourra pas avoir une expression des nouveaux kets propres (de la base couplée) en fonction de ceux de la base découplée comme dans le paragraphe précédent, mais on peut toujours avoir accès aux valeurs propres, et caractériser les kets propres.
On note
|
j
i
,
m
i
⟩
i
{\displaystyle |j_{i},m_{i}\rangle _{i}}
les kets de
E
i
{\displaystyle E_{i}~}
. On se place à
j
1
,
j
2
{\displaystyle j_{1},j_{2}~}
fixés, il n'est donc pas nécessaire de tenir compte de ces nombres dans les notations : on pose
|
m
1
,
m
2
⟩
=
|
j
1
,
m
1
⟩
1
⊗
|
j
2
,
m
2
⟩
2
{\displaystyle |m_{1},m_{2}\rangle =|j_{1},m_{1}\rangle _{1}\otimes |j_{2},m_{2}\rangle _{2}}
pour les kets de la base découplée de
E
=
E
1
⊗
E
2
{\displaystyle E=E_{1}\otimes E_{2}}
, et
|
J
,
M
⟩
{\displaystyle |J,M\rangle }
pour ceux de la base couplée.
Définition
J
i
z
|
m
1
,
m
2
⟩
=
m
i
ℏ
|
m
1
,
m
2
⟩
{\displaystyle J_{iz}~|m_{1},m_{2}\rangle =m_{i}\hbar ~|m_{1},m_{2}\rangle }
J
i
2
|
m
1
,
m
2
⟩
=
j
i
(
j
i
+
1
)
ℏ
2
|
m
1
,
m
2
⟩
{\displaystyle \mathbf {J} _{i}^{2}~|m_{1},m_{2}\rangle =j_{i}(j_{i}+1)\hbar ^{2}~|m_{1},m_{2}\rangle }
Définition
J
z
|
J
,
M
⟩
=
M
ℏ
|
J
,
M
⟩
{\displaystyle J_{z}~|J,M\rangle =M\hbar ~|J,M\rangle }
J
2
|
J
,
M
⟩
=
J
(
J
+
1
)
ℏ
2
|
J
,
M
⟩
{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}~|J,M\rangle =J(J+1)\hbar ^{2}~|J,M\rangle }
Dans le paragraphe suivant, on va chercher à déterminer les valeurs possibles de
J
{\displaystyle J~}
et de
M
{\displaystyle M~}
.
Détermination des valeurs propres
modifier
On remarque que l’on a simplement
J
z
|
m
1
,
m
2
⟩
=
J
1
z
|
m
1
,
m
2
⟩
+
J
2
z
|
m
1
,
m
2
⟩
=
ℏ
(
m
1
+
m
2
)
|
m
1
,
m
2
⟩
{\displaystyle J_{z}~|m_{1},m_{2}\rangle =J_{1z}~|m_{1},m_{2}\rangle +J_{2z}~|m_{1},m_{2}\rangle =\hbar (m_{1}+m_{2})~|m_{1},m_{2}\rangle }
, donc les valeurs propres
M
ℏ
{\displaystyle M\hbar }
de
J
z
{\displaystyle J_{z}~}
sont nécessairement de la forme
M
=
m
1
+
m
2
{\displaystyle M=m_{1}+m_{2}~}
.
Or on a la condition
−
j
i
≤
m
i
≤
j
i
{\displaystyle -j_{i}\leq m_{i}\leq j_{i}~}
, on en déduit les valeurs possibles pour
M
{\displaystyle M~}
:
−
j
1
−
j
2
≤
M
≤
j
1
+
j
2
{\displaystyle -j_{1}-j_{2}\leq M\leq j_{1}+j_{2}~}
. On a vu que
M
{\displaystyle M~}
prenait toutes les valeurs (entières ou demi entières, par saut d'une unité) entre
−
J
m
a
x
{\displaystyle -J_{max}~}
et
J
m
a
x
{\displaystyle J_{max}~}
, donc réciproquement
J
m
a
x
{\displaystyle J_{max}~}
est la plus grande valeur de
M
{\displaystyle M~}
, c'est-à-dire
J
m
a
x
=
j
1
+
j
2
{\displaystyle J_{max}=j_{1}+j_{2}~}
.
D'autre part, le calcul (dont un exemple est brièvement présenté au paragraphe suivant) donne
J
m
i
n
=
|
j
1
−
j
2
|
{\displaystyle J_{min}=|j_{1}-j_{2}|~}
.
On retient :
Pour éviter les confusions, on note ici
|
m
1
,
m
2
⟩
d
{\displaystyle |m_{1},m_{2}\rangle _{d}}
les kets de la base découplée, et
|
m
1
,
m
2
⟩
c
{\displaystyle |m_{1},m_{2}\rangle _{c}}
ceux de la base couplée.
On cherche à caractériser les espaces
E
(
J
)
=
V
e
c
t
(
|
J
,
M
⟩
c
,
M
=
−
J
.
.
J
)
{\displaystyle E(J)=Vect(|J,M\rangle _{c},M=-J..J)}
.
On peut dénombrer les kets de la base découplée qui vérifient les conditions précédentes, c'est-à-dire dénombrer les couples
(
m
1
,
m
2
)
{\displaystyle (m_{1},m_{2})~}
qui vérifient
m
1
+
m
2
=
M
{\displaystyle m_{1}+m_{2}=M~}
, pour une valeur de
M
{\displaystyle M~}
fixée entre
−
J
m
a
x
{\displaystyle -J_{max}~}
et
J
m
a
x
{\displaystyle J_{max}~}
:
M
=
J
m
a
x
{\displaystyle M=J_{max}~}
est réalisée 1 fois, pour
(
m
1
,
m
2
)
=
(
j
1
,
j
2
)
{\displaystyle (m_{1},m_{2})=(j_{1},j_{2})~}
, soit pour le ket
|
J
m
a
x
,
J
m
a
x
⟩
c
=
|
j
1
,
j
2
⟩
d
{\displaystyle |J_{max},J_{max}\rangle _{c}=|j_{1},j_{2}\rangle _{d}}
.
M
=
J
m
a
x
−
1
{\displaystyle M=J_{max}-1~}
est réalisée 2 fois, pour
(
m
1
,
m
2
)
=
(
j
1
,
j
2
−
1
)
{\displaystyle (m_{1},m_{2})=(j_{1},j_{2}-1)~}
et
(
m
1
,
m
2
)
=
(
j
1
−
1
,
j
2
)
{\displaystyle (m_{1},m_{2})=(j_{1}-1,j_{2})~}
. Pour trouver les kets couplés correspondants (c'est-à-dire trouver
J
{\displaystyle J~}
, puisqu'on sait déjà que
M
=
J
m
a
x
−
1
{\displaystyle M=J_{max}-1~}
), il faut calculer l'image des kets découplés correspondants par l'opérateur
J
2
{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}
:
J
2
|
j
1
,
j
2
−
1
⟩
d
=
a
1
|
j
1
,
j
2
−
1
⟩
d
+
b
1
|
j
1
−
1
,
j
2
⟩
d
{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}=a_{1}~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}+b_{1}~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}}
J
2
|
j
1
−
1
,
j
2
⟩
d
=
a
2
|
j
1
,
j
2
−
1
⟩
d
+
b
2
|
j
1
−
1
,
j
2
⟩
d
{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}=a_{2}~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}+b_{2}~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}}
On cherche ensuite
|
J
,
J
m
a
x
−
1
⟩
c
=
α
|
j
1
,
j
2
−
1
⟩
d
+
β
|
j
1
−
1
,
j
2
⟩
d
{\displaystyle |J,J_{max}-1\rangle _{c}=\alpha ~|j_{1},j_{2}-1\rangle _{d}+\beta ~|j_{1}-1,j_{2}\rangle _{d}}
tel que
J
2
|
J
,
J
m
a
x
−
1
⟩
c
=
J
(
J
+
1
)
|
J
,
J
m
a
x
−
1
⟩
c
{\displaystyle \mathbf {J} ^{2}~|J,J_{max}-1\rangle _{c}=J(J+1)~|J,J_{max}-1\rangle _{c}}
, et on trouve les deux solutions
J
=
J
m
a
x
{\displaystyle J=J_{max}~}
et
J
=
J
m
a
x
−
1
{\displaystyle J=J_{max}-1~}
.
Pour
M
=
J
m
a
x
−
1
{\displaystyle M=J_{max}-1~}
, on a donc un ket de
E
(
J
m
a
x
)
{\displaystyle E(J_{max})~}
et un ket de
E
(
J
m
a
x
−
1
)
{\displaystyle E(J_{max}-1)~}
.
En raisonnant de même pour tout
M
∈
{
−
J
m
a
x
,
.
.
,
J
m
a
x
}
{\displaystyle M\in \lbrace -J_{max},..,J_{max}\rbrace }
, on montre qu’il y a un unique ket
|
J
m
a
x
,
M
⟩
c
∈
E
(
J
m
a
x
)
{\displaystyle |J_{max},M\rangle _{c}\in E(J_{max})}
, un unique
|
J
m
a
x
−
1
,
M
⟩
c
∈
E
(
J
m
a
x
−
1
)
{\displaystyle |J_{max}-1,M\rangle _{c}\in E(J_{max}-1)}
, jusqu'à
|
M
,
M
⟩
c
∈
E
(
M
)
{\displaystyle |M,M\rangle _{c}\in E(M)}
.
Ainsi,
J
{\displaystyle J~}
prend toutes les valeurs entre
J
m
i
n
=
|
j
1
−
j
2
|
{\displaystyle J_{min}=|j_{1}-j_{2}|~}
et
J
m
a
x
=
j
1
+
j
2
{\displaystyle J_{max}=j_{1}+j_{2}~}
, par saut d'une unité, et pour chacune de ces valeurs, il y a un espace
E
(
J
)
=
V
e
c
t
(
|
J
,
M
⟩
c
,
M
=
−
J
.
.
J
)
{\displaystyle E(J)=Vect(|J,M\rangle _{c},M=-J..J)}
.
On peut résumer cette propriété dans la tableau suivant :
Propriété
E
(
J
m
a
x
)
E
(
J
m
a
x
−
1
)
.
.
.
E
(
J
m
i
n
)
|
J
m
a
x
,
J
m
a
x
⟩
=
|
j
1
,
j
2
⟩
d
↓
J
−
|
J
m
a
x
,
J
m
a
x
−
1
⟩
→
⊥
|
J
m
a
x
−
1
,
J
m
a
x
−
1
⟩
↓
J
−
↓
J
−
|
J
m
a
x
,
J
m
a
x
−
2
⟩
→
⊥
|
J
m
a
x
−
1
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J
m
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x
−
2
⟩
.
.
.
.
.
.
.
.
.
|
J
m
i
n
,
J
m
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n
⟩
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
|
J
m
i
n
,
−
J
m
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n
⟩
|
J
m
a
x
,
−
J
m
a
x
+
2
⟩
→
⊥
|
J
m
a
x
−
1
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−
J
m
a
x
+
2
⟩
.
.
.
|
J
m
a
x
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−
J
m
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x
+
1
⟩
→
⊥
|
J
m
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x
−
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J
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x
+
1
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|
J
m
a
x
,
−
J
m
a
x
⟩
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}E(J_{max})&&E(J_{max}-1)&...&E(J_{min})\\\hline |J_{max},J_{max}\rangle =|j_{1},j_{2}\rangle _{d}&&&&\\\downarrow J_{-}&&&&\\|J_{max},J_{max}-1\rangle ~~&\rightarrow \bot &|J_{max}-1,J_{max}-1\rangle ~~&&\\\downarrow J_{-}&&\downarrow J_{-}&&\\|J_{max},J_{max}-2\rangle ~~&\rightarrow \bot &|J_{max}-1,J_{max}-2\rangle ~~&...&\\...&&...&&|J_{min},J_{min}\rangle ~~\\...&&...&&...\\...&&...&&|J_{min},-J_{min}\rangle \\|J_{max},-J_{max}+2\rangle &\rightarrow \bot &|J_{max}-1,-J_{max}+2\rangle &...&\\|J_{max},-J_{max}+1\rangle &\rightarrow \bot &|J_{max}-1,-J_{max}+1\rangle &&\\|J_{max},-J_{max}\rangle ~~~~~&&&&\\\end{array}}}