Moment cinétique en mécanique quantique/Composition de deux moments cinétiques

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Lorsqu'on étudie un système constitué de plusieurs particules, auxquelles sont associés des opérateurs moment cinétique , il peut être intéressant de considérer le moment cinétique total .

Composition de deux moments cinétiques
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Chapitre no 5
Leçon : Moment cinétique en mécanique quantique
Chap. préc. :Le spin ½
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Moment cinétique en mécanique quantique/Composition de deux moments cinétiques
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Le but de ce chapitre est de faire le lien entre les éléments propres des différents moments cinétiques et ceux du moment cinétique total, dans le cas de l'addition de deux moments cinétique, en traitant d’abord le cas simple de deux spins 1/2. Nous verrons enfin les applications de cette opération.

Un cas simple : composition de deux spins ½

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On s'intéresse ici à la diagonalisation de l'opérateur    et   sont des moments cinétiques vérifiant  , et donc  .

Notations

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Pour alléger les notations, on pose pour les kets de   :


On veut trouver une nouvelle base de   qui diagonalise   et  , on utilise les notations :


La base constituée des kets   est appelée base découplée, celle constituée des kets   base couplée.

L'action de   et de   sur les kets de la base découplée se fait selon les règles de calcul dans un espace produit tensoriel, par exemple, on a

 

Or

 

et de même

 

d'où finalement :

 

Tous calculs effectués, on obtient les matrices suivantes (en rangeant les kets de la base découplée selon  ) :

On voit directement les valeurs propres de   :   et une valeur propre de   :   soit  . Il reste a diagonaliser la sous-matrice 2x2 suivante :

 .

Ce calcul ne pose pas de problème, on trouve les valeurs propres   associée au ket propre normalisé   et   associé au ket propre  .

Résultats

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La base couplée s'écrit  , et les relations avec la base découplée sont :

Pour  , on a 3 kets propres différents, on parle d'état triplet, alors que pour  , on a un seul ket propre, on parle d'état singulet.

Cas général

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Dans le cas général, l'espace des états associé à une particule n’est pas forcément de dimension 2, et donc le problème est beaucoup plus complexe. On ne pourra pas avoir une expression des nouveaux kets propres (de la base couplée) en fonction de ceux de la base découplée comme dans le paragraphe précédent, mais on peut toujours avoir accès aux valeurs propres, et caractériser les kets propres.

Notations

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On note   les kets de  . On se place à   fixés, il n'est donc pas nécessaire de tenir compte de ces nombres dans les notations : on pose   pour les kets de la base découplée de  , et   pour ceux de la base couplée.


Dans le paragraphe suivant, on va chercher à déterminer les valeurs possibles de   et de  .

Détermination des valeurs propres

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On remarque que l’on a simplement  , donc les valeurs propres   de   sont nécessairement de la forme  .

Or on a la condition  , on en déduit les valeurs possibles pour   :  . On a vu que   prenait toutes les valeurs (entières ou demi entières, par saut d'une unité) entre   et  , donc réciproquement   est la plus grande valeur de  , c'est-à-dire  .

D'autre part, le calcul (dont un exemple est brièvement présenté au paragraphe suivant) donne  .

On retient :

Détermination des kets propres

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Pour éviter les confusions, on note ici   les kets de la base découplée, et   ceux de la base couplée.

On cherche à caractériser les espaces  .

On peut dénombrer les kets de la base découplée qui vérifient les conditions précédentes, c'est-à-dire dénombrer les couples   qui vérifient  , pour une valeur de   fixée entre   et   :


  •   est réalisée 1 fois, pour  , soit pour le ket  .
  •   est réalisée 2 fois, pour   et  . Pour trouver les kets couplés correspondants (c'est-à-dire trouver  , puisqu'on sait déjà que  ), il faut calculer l'image des kets découplés correspondants par l'opérateur   :

 

 

On cherche ensuite   tel que  , et on trouve les deux solutions   et  .

Pour  , on a donc un ket de   et un ket de  .


  • En raisonnant de même pour tout  , on montre qu’il y a un unique ket  , un unique  , jusqu'à  .


Ainsi,   prend toutes les valeurs entre   et  , par saut d'une unité, et pour chacune de ces valeurs, il y a un espace  .

On peut résumer cette propriété dans la tableau suivant :

Applications

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