En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mouvement à force centrale et potentiel newtonien : Force centrale Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Force centrale », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On applique le théorème du moment cinétique à une particule soumise à une force centrale :
, puisque les vecteurs et sont colinéaires.
On en déduit que le moment cinétique est constant au cours du temps. Ceci implique que le vecteur position et le vecteur quantité de mouvement sont à tout instant perpendiculaires au vecteur . La trajectoire est donc plane : elle est entièrement contenue dans le plan orthogonal au moment cinétique contenant le centre attracteur O.
On vient de voir que la trajectoire de la particule est contenue dans un plan fixe d'origine O . On utilise les coordonnée polaires pour exprimer le vecteur position :
En dérivant, on trouve l’expression du vecteur vitesse :
On peut calculer le moment cinétique :
On note la norme du moment cinétique. Au cours du mouvement, la distance au centre r et la vitesse angulaire vont varier mais le produit restera constant à chague instant. On note
L'aire balayée par le vecteur pendant un instant dt est approximée comme étant l'aire du demi rectangle de côtés r et rdθ :
Si on divise par dt, on fait apparaitre la vitesse aréolaire :
La vitesse aérolaire est donc constante au cours du temps. Ce résultat a été trouvé de manière empirique par Johannes Kepler. Il est important de remarquer que ce résultat n’est pas limité aux forces en mais est un résultat général concernant tous les mouvements dans un champ de force central.
On introduit ce résultat dans l’expression de la vitesse en coordonnées polaires :
Pour un mouvement à force centrale, on utilise la constante des aires :
La force étant centrale, l'accélération est dirigée selon et donc sa composante selon est nulle. Son expression est donc :
Calculons :
Ainsi :
Formules de Binet
En coordonnées polaires, les expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale sont données par les formules de Binet :