Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Force centrale

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Force centrale
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Chapitre no 1
Leçon : Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
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DéfinitionModifier

Un champ de forces   est dit champ de force centrale de centre O, s'il vérifie les trois conditions suivantes :

  • Il est indépendant du temps, donc  
  • Il est dirigé (centripète ou centrifuge) en direction du centre de force O, donc  
  •   dépend seulement de la distance radiale r = OM :  .

La force centrale s'écrit donc :


 


Trajectoire planeModifier

 
La trajectoire est contenue dans le plan orthogonal à   et contenant le centre attracteur O.

On applique le théorème du moment cinétique à une particule soumise à une force centrale :

 , puisque les vecteurs   et   sont colinéaires.

On en déduit que le moment cinétique  est constant au cours du temps. Ceci implique que le vecteur position  et le vecteur quantité de mouvement   sont à tout instant perpendiculaires au vecteur  . La trajectoire est donc plane : elle est entièrement contenue dans le plan orthogonal au moment cinétique contenant le centre attracteur O.

Loi des airesModifier

 
Aire dA balayée pendant un instant dt

On vient de voir que la trajectoire de la particule est contenue dans un plan fixe d'origine O . On utilise les coordonnée polaires pour exprimer le vecteur position :

 

En dérivant, on trouve l’expression du vecteur vitesse :

 

On peut calculer le moment cinétique :

 

On note   la norme du moment cinétique. Au cours du mouvement, la distance au centre r et la vitesse angulaire   vont varier mais le produit   restera constant à chague instant. On note  

L'aire balayée par le vecteur   pendant un instant dt est approximée comme étant l'aire du demi rectangle de côtés r et rdθ :

 

Si on divise par dt, on fait apparaitre la vitesse aréolaire :

 

La vitesse aérolaire est donc constante au cours du temps. Ce résultat a été trouvé de manière empirique par Johannes Kepler. Il est important de remarquer que ce résultat n’est pas limité aux forces en   mais est un résultat général concernant tous les mouvements dans un champ de force central.

Formules de BinetModifier

On pose :

 

Calculons la dérivée de r par rapport au temps :

 

On introduit ce résultat dans l’expression de la vitesse en coordonnées polaires :

 
 

Pour un mouvement à force centrale, on utilise la constante des aires :  

 


 


La force étant centrale, l'accélération est dirigée selon   et donc sa composante selon   est nulle. Son expression est donc :

 

Calculons   :

 

Ainsi :