Nombres complexes/Fiche/Nombres complexes et trigonométrie

Fiche mémoire sur les nombres complexes et la trigonométrie

Rappels sur les nombres complexes

• $\forall z\in \mathbb {C} ,Re(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}{\text{ et }}Im(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$
• Inégalité triangulaire : $|z+z'|\leqslant |z|+|z'|$
• Pour tous réels $a,b$ vérifiant $a^{2}+b^{2}=1$, il existe un réel $\theta$ tel que : $a=\cos \theta$ et $b=\sin \theta$

Rappels sur la trigonométrie

Dérivée des fonctions usuelles

• $\textstyle \cos '(x)=-\sin(x)$
• $\textstyle \sin '(x)=\cos(x)$
• $\textstyle \tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)$

Cosinus, sinus et tangente d'une somme

• $\textstyle \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
• $\textstyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
• $\textstyle \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$
• $\textstyle \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$
• $\textstyle \tan(a+b)={\frac {\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}}$
• $\textstyle \tan(a-b)={\frac {\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}}$

Produit de cosinus, sinus ou tangente

• $\textstyle \cos(a)\cos(b)={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)+\cos(a+b))$
• $\textstyle \sin(a)\sin(b)={\frac {1}{2}}(\cos(a-b)-\cos(a+b))$
• $\textstyle \sin(a)\cos(b)={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)+\sin(a-b))$
• $\textstyle \cos(a)\sin(b)={\frac {1}{2}}(\sin(a+b)-\sin(a-b))$

Somme de cosinus, sinus ou tangente

• $\textstyle \sin(p)+\sin(q)=2\sin({\frac {p+q}{2}})\cos({\frac {p-q}{2}})$
• $\textstyle \sin(p)-\sin(q)=2\cos({\frac {p+q}{2}})\sin({\frac {p-q}{2}})$
• $\textstyle \cos(p)+\cos(q)=2coq({\frac {p+q}{2}})\cos({\frac {p-q}{2}})$
• $\textstyle \cos(p)-\cos(q)=-2\sin({\frac {p+q}{2}})\sin({\frac {p-q}{2}})$

Formules de duplication

• $\textstyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)$
• $\textstyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$
• $\textstyle \tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Formules de linérisation

• $\textstyle \cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$
• $\textstyle \sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$

Substitution de la tangente

On pose $\scriptstyle t=\tan({\frac {x}{2}})$

• $\textstyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$
• $\textstyle \cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$
• $\textstyle \tan(x)={\frac {2t}{1-t^{2}}}$

Formules avancées

Formule d'Euler

• $\textstyle \cos(x)=Re(e^{i\theta })={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$
• $\textstyle \sin(x)=Im(e^{i\theta })={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$
• Remarque : On utilisera ces deux formules pour linéariser des expressions de la forme $\cos ^{p}(\theta )+\sin ^{n}(\theta )$

Formule de Moivre

• Soient $\scriptstyle \theta \in \mathbb {R}$ et $\scriptstyle n\in \mathbb {N}$, alors :
  $\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=e^{in\theta }=(e^{i\theta })^{n}=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$

Binôme de Newton

• Rappel : $\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$
• Soient $a,b$ des nombres réels ou complexes et $n$ un entier naturel
  $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$

Application du binôme

• Soient $\scriptstyle \theta \in \mathbb {R}$ et $\scriptstyle n\in \mathbb {N}$, alors :
  $\cos(n\theta )=\sum _{\overset {k=0}{\text{k pair}}}^{\overset {\color {White}n}{n}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(\theta )i^{k}\sin ^{k}(\theta )$
  $\sin(n\theta )={\frac {1}{2}}\sum _{\overset {k=0}{\text{k impair}}}^{\overset {\color {White}n}{n}}{\binom {n}{k}}\cos ^{n-k}(\theta )i^{k}\sin ^{k}(\theta )$

Racines n^ième d'un nombre complexe d'équations du second degré

Introduction

• Soit $\scriptstyle z\in \mathbb {C} ^{*}$, alors $\scriptstyle z^{n}$ admet exactement $n$ racines $n$^ièmes 2 à 2 distinctes.
• Les racines carrées des nombres complexes de $\scriptstyle R\cdot e^{i\theta }$ sont $\scriptstyle {\sqrt {R}}\cdot e^{i{\frac {\theta }{2}}}$ et $\scriptstyle -{\sqrt {R}}\cdot e^{i{\frac {\theta }{2}}}$.

Racines de l'unité

• Les racines de l'unité sont :
  $\omega _{k}=e^{\frac {2ik\pi }{n}},k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}$
• Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j$ et $j^{2}$, où :
  $j=e^{\frac {2\pi i}{3}}={\frac {-1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$
• De plus, on a : $\textstyle {\bar {j}}=j^{2}$ et $\textstyle j^{2}+j+1=0$

Calculs algébriques des racines carrées

• Pour obtenir les racines carrées de $\scriptstyle Z=X+iY\in \mathbb {C} ^{*}$ sous forme algébrique, on résout $z^{2}=Z$
  $z^{2}=Z\Leftrightarrow {\begin{cases}(x+iy)^{2}=X+iY\\|z|^{2}=|Z|\end{cases}}$

Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes

• Soient $a,b,c$ des nombres complexes avec $\scriptstyle a\neq 0$
  On veut résoudre $az^{2}+bz+c=0$.
  On pose $\Delta =b^{2}-4ac$.
  • Si $\scriptstyle \Delta \neq 0$, les solutions de l'équation sont $\scriptstyle {\frac {-b+\delta }{2a}}$ et $\scriptstyle {\frac {-b-\delta }{2a}}$ (où $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$)
  • Si $\scriptstyle \Delta =0$, alors l'équation a une solution double : $\scriptstyle {\frac {-b}{2a}}$

Remarque : si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont solutions de l'équation $\scriptstyle az^{2}+bz+c=0$, alors $\scriptstyle z_{1}+z_{2}={\frac {-b}{a}}$ et $\scriptstyle z_{1}z_{2}={\frac {c}{a}}$

Proposition sur la somme et le produit des racines

• Si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont des nombres complexes dont on connaît la somme $S$ et le produit $P$.
  Alors $z_{1}$ et $z_{2}$ sont solutions de l'équation $z^{2}-Sz+P=0$.

Application des nombres complexes à la géométrie

Quelques rappels utiles ...

• Soient $\scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)$ des points de $P$ (avec $\scriptstyle M\neq A$ et $\scriptstyle M\neq B$)
  • $\scriptstyle {\frac {MA}{MB}}\;=\;|{\frac {z-a}{z-b}}|$
  • $\scriptstyle ({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MA}})\;=\;\arg({\frac {z-a}{z-b}})$
  • Les points $A,B,M$ sont alignés si et seulement si $\scriptstyle {\frac {z-a}{z-b}}\in \mathbb {R}$

Transformations usuelles

• L'application ${\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow z+b}\end{array}}$ se traduit géométriquement par la translation de vecteur $\scriptstyle Re(b){\vec {i}}+Im(b){\vec {j}}$
• L'application ${\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow {\bar {z}}}\end{array}}$ se traduit géométriquement par la symétrie d'axe (Ox).
• L'application ${\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow az}\end{array}}$ se traduit géométriquement par la transformation $\scriptstyle M\rightarrow M'$ avec : $\textstyle {\begin{cases}OM'=|a|\cdot OM\\({\vec {i}},{\overrightarrow {OM'}})=({\vec {i}},{\overrightarrow {OM}})+\arg(a)~[2\pi ]\end{cases}}$
• L'application ${\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow az+b}\end{array}}$ se traduit géométriquement par la transformation $\scriptstyle M\rightarrow M'$ où : $\textstyle {\overrightarrow {\Omega M'}}=|a|\cdot e^{i\arg(a)}{\overrightarrow {\Omega M}}$ (où $\Omega$ est l'unique point fixe d'affixe $\scriptstyle \omega ={\frac {b}{1-a}}$)
  Cette transformation est appelée similitude directe de centre $M$, d'angle $\arg(a)$ et de rapport $|a|$.

Notion de disque

• Le disque ouvert de centre $a$ et de rayon $r$ est : $\scriptstyle D(a,r)\;=\;\{z\in \mathbb {C} \;/\;|z-a|<r\}$
• Le disque fermé de centre $a$ et de rayon $r$ est : $\scriptstyle D'(a,r)\;=\;\{z\in \mathbb {C} \;/\;|z-a|\leqslant r\}$

Expression avancée du scalaire de deux vecteurs

• Soient $\scriptstyle {\vec {u}}(a)$ et $\scriptstyle {\vec {v}}(b)$ des vecteurs de $P$, alors on a : $\scriptstyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;=\;Re(a{\bar {b}})$
• Soient $\scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)$ des points de $P$, alors les vecteurs $\scriptstyle {\overrightarrow {MA}}$ et $\scriptstyle {\overrightarrow {MB}}$ sont orthogonaux si et seulement si : $\scriptstyle Re((z-a)({\bar {z}}-{\bar {b}}))=0$

Racines de l'unité

• L'ensemble des racines $n$^ièmes de l'unité forme un polygone régulier à $n$ côtés (racines cubiques : triangle ; racines 4^e : carré ; ...)