Nombres complexes/Fiche/Nombres complexes et trigonométrie

Fiche mémoire sur les nombres complexes et la trigonométrie
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Rappels sur les nombres complexes modifier

  •  
  • Inégalité triangulaire :  
  • Pour tous réels   vérifiant  , il existe un réel   tel que :   et  


Rappels sur la trigonométrie modifier

Dérivée des fonctions usuelles modifier

  •  
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Cosinus, sinus et tangente d'une somme modifier

  •  
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Produit de cosinus, sinus ou tangente modifier

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Somme de cosinus, sinus ou tangente modifier

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Formules de duplication modifier

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Formules de linérisation modifier

  •  
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Substitution de la tangente modifier

On pose  

  •  
  •  
  •  


Formules avancées modifier

Formule d'Euler modifier

  •  
  •  
  • Remarque : On utilisera ces deux formules pour linéariser des expressions de la forme  

Formule de Moivre modifier

  • Soient   et  , alors :
     

Binôme de Newton modifier

  • Rappel :  
  • Soient   des nombres réels ou complexes et   un entier naturel
     

Application du binôme modifier

  • Soient   et  , alors :
     
     


Racines nième d'un nombre complexe d'équations du second degré modifier

Introduction modifier

  • Soit  , alors   admet exactement   racines  ièmes 2 à 2 distinctes.
  • Les racines carrées des nombres complexes de   sont   et  .

Racines de l'unité modifier

  • Les racines de l'unité sont :
     
  • Les racines cubiques de l'unité sont  ,   et  , où :
     
  • De plus, on a :   et  

Calculs algébriques des racines carrées modifier

  • Pour obtenir les racines carrées de   sous forme algébrique, on résout  
     

Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes modifier

  • Soient   des nombres complexes avec  
    On veut résoudre  .
    On pose  .
    • Si  , les solutions de l'équation sont   et   (où   est une racine carrée de  )
    • Si  , alors l'équation a une solution double :  

Remarque : si   et   sont solutions de l'équation  , alors   et  

Proposition sur la somme et le produit des racines modifier

  • Si   et   sont des nombres complexes dont on connaît la somme   et le produit  .
    Alors   et   sont solutions de l'équation  .

Application des nombres complexes à la géométrie modifier

Quelques rappels utiles ... modifier

  • Soient   des points de   (avec   et  )
    •  
    •  
    • Les points   sont alignés si et seulement si  

Transformations usuelles modifier

  • L'application   se traduit géométriquement par la translation de vecteur  
  • L'application   se traduit géométriquement par la symétrie d'axe (Ox).
  • L'application   se traduit géométriquement par la transformation   avec :  
  • L'application   se traduit géométriquement par la transformation   où :   (où   est l'unique point fixe d'affixe  )
    Cette transformation est appelée similitude directe de centre  , d'angle   et de rapport  .

Notion de disque modifier

  • Le disque ouvert de centre   et de rayon   est :  
  • Le disque fermé de centre   et de rayon   est :  

Expression avancée du scalaire de deux vecteurs modifier

  • Soient   et   des vecteurs de  , alors on a :  
  • Soient   des points de  , alors les vecteurs   et   sont orthogonaux si et seulement si :  

Racines de l'unité modifier

  • L'ensemble des racines  ièmes de l'unité forme un polygone régulier à   côtés (racines cubiques : triangle ; racines 4e : carré ; ...)