Fiche mémoire sur les nombres complexes et la trigonométrie
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Fiche : Nombres complexes et trigonométrieNombres complexes/Fiche/Nombres complexes et trigonométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Rappels sur les nombres complexes
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Rappels sur la trigonométrie
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Formules avancées
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Racines nième d'un nombre complexe d'équations du second degré
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Soit z ∈ C ∗ {\displaystyle \scriptstyle z\in \mathbb {C} ^{*}} , alors z n {\displaystyle \scriptstyle z^{n}} admet exactement n {\displaystyle n} racines n {\displaystyle n} ièmes 2 à 2 distinctes.
Les racines carrées des nombres complexes de R ⋅ e i θ {\displaystyle \scriptstyle R\cdot e^{i\theta }} sont R ⋅ e i θ 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {R}}\cdot e^{i{\frac {\theta }{2}}}} et − R ⋅ e i θ 2 {\displaystyle \scriptstyle -{\sqrt {R}}\cdot e^{i{\frac {\theta }{2}}}} . Racines de l'unité
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Les racines de l'unité sont :ω k = e 2 i k π n , k ∈ { 0 , 1 , … , n − 1 } {\displaystyle \omega _{k}=e^{\frac {2ik\pi }{n}},k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}}
Les racines cubiques de l'unité sont 1 {\displaystyle 1} , j {\displaystyle j} et j 2 {\displaystyle j^{2}} , où : j = e 2 π i 3 = − 1 2 + i 3 2 {\displaystyle j=e^{\frac {2\pi i}{3}}={\frac {-1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
De plus, on a : j ¯ = j 2 {\displaystyle \textstyle {\bar {j}}=j^{2}} et j 2 + j + 1 = 0 {\displaystyle \textstyle j^{2}+j+1=0} Calculs algébriques des racines carrées
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Pour obtenir les racines carrées de Z = X + i Y ∈ C ∗ {\displaystyle \scriptstyle Z=X+iY\in \mathbb {C} ^{*}} sous forme algébrique, on résout z 2 = Z {\displaystyle z^{2}=Z} z 2 = Z ⇔ { ( x + i y ) 2 = X + i Y | z | 2 = | Z | {\displaystyle z^{2}=Z\Leftrightarrow {\begin{cases}(x+iy)^{2}=X+iY\\|z|^{2}=|Z|\end{cases}}} Résolution d'une équation du second degré à coefficients complexes
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Soient a , b , c {\displaystyle a,b,c} des nombres complexes avec a ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle a\neq 0} On veut résoudre a z 2 + b z + c = 0 {\displaystyle az^{2}+bz+c=0} . On pose Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac} .
Si Δ ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \Delta \neq 0} , les solutions de l'équation sont − b + δ 2 a {\displaystyle \scriptstyle {\frac {-b+\delta }{2a}}} et − b − δ 2 a {\displaystyle \scriptstyle {\frac {-b-\delta }{2a}}} (où δ {\displaystyle \delta } est une racine carrée de Δ {\displaystyle \Delta } )
Si Δ = 0 {\displaystyle \scriptstyle \Delta =0} , alors l'équation a une solution double : − b 2 a {\displaystyle \scriptstyle {\frac {-b}{2a}}} Remarque : si z 1 {\displaystyle z_{1}} et z 2 {\displaystyle z_{2}} sont solutions de l'équation a z 2 + b z + c = 0 {\displaystyle \scriptstyle az^{2}+bz+c=0} , alors z 1 + z 2 = − b a {\displaystyle \scriptstyle z_{1}+z_{2}={\frac {-b}{a}}} et z 1 z 2 = c a {\displaystyle \scriptstyle z_{1}z_{2}={\frac {c}{a}}}
Proposition sur la somme et le produit des racines
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Si z 1 {\displaystyle z_{1}} et z 2 {\displaystyle z_{2}} sont des nombres complexes dont on connaît la somme S {\displaystyle S} et le produit P {\displaystyle P} . Alors z 1 {\displaystyle z_{1}} et z 2 {\displaystyle z_{2}} sont solutions de l'équation z 2 − S z + P = 0 {\displaystyle z^{2}-Sz+P=0} . Application des nombres complexes à la géométrie
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Quelques rappels utiles ...
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Soient A ( a ) , B ( b ) , M ( z ) {\displaystyle \scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)} des points de P {\displaystyle P} (avec M ≠ A {\displaystyle \scriptstyle M\neq A} et M ≠ B {\displaystyle \scriptstyle M\neq B} )
M A M B = | z − a z − b | {\displaystyle \scriptstyle {\frac {MA}{MB}}\;=\;|{\frac {z-a}{z-b}}|}
( M B → , M A → ) = arg ( z − a z − b ) {\displaystyle \scriptstyle ({\overrightarrow {MB}},{\overrightarrow {MA}})\;=\;\arg({\frac {z-a}{z-b}})}
Les points A , B , M {\displaystyle A,B,M} sont alignés si et seulement si z − a z − b ∈ R {\displaystyle \scriptstyle {\frac {z-a}{z-b}}\in \mathbb {R} } Transformations usuelles
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L'application C → C z → z + b {\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow z+b}\end{array}}} se traduit géométriquement par la translation de vecteur R e ( b ) i → + I m ( b ) j → {\displaystyle \scriptstyle Re(b){\vec {i}}+Im(b){\vec {j}}}
L'application C → C z → z ¯ {\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow {\bar {z}}}\end{array}}} se traduit géométriquement par la symétrie d'axe (Ox) .
L'application C → C z → a z {\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow az}\end{array}}} se traduit géométriquement par la transformation M → M ′ {\displaystyle \scriptstyle M\rightarrow M'} avec : { O M ′ = | a | ⋅ O M ( i → , O M ′ → ) = ( i → , O M → ) + arg ( a ) [ 2 π ] {\displaystyle \textstyle {\begin{cases}OM'=|a|\cdot OM\\({\vec {i}},{\overrightarrow {OM'}})=({\vec {i}},{\overrightarrow {OM}})+\arg(a)~[2\pi ]\end{cases}}}
L'application C → C z → a z + b {\displaystyle {\begin{array}{llll}_{\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }\\^{z\rightarrow az+b}\end{array}}} se traduit géométriquement par la transformation M → M ′ {\displaystyle \scriptstyle M\rightarrow M'} où : Ω M ′ → = | a | ⋅ e i arg ( a ) Ω M → {\displaystyle \textstyle {\overrightarrow {\Omega M'}}=|a|\cdot e^{i\arg(a)}{\overrightarrow {\Omega M}}} (où Ω {\displaystyle \Omega } est l'unique point fixe d'affixe ω = b 1 − a {\displaystyle \scriptstyle \omega ={\frac {b}{1-a}}} ) Cette transformation est appelée similitude directe de centre M {\displaystyle M} , d'angle arg ( a ) {\displaystyle \arg(a)} et de rapport | a | {\displaystyle |a|} . Notion de disque
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Le disque ouvert de centre a {\displaystyle a} et de rayon r {\displaystyle r} est : D ( a , r ) = { z ∈ C / | z − a | < r } {\displaystyle \scriptstyle D(a,r)\;=\;\{z\in \mathbb {C} \;/\;|z-a|<r\}}
Le disque fermé de centre a {\displaystyle a} et de rayon r {\displaystyle r} est : D ′ ( a , r ) = { z ∈ C / | z − a | ⩽ r } {\displaystyle \scriptstyle D'(a,r)\;=\;\{z\in \mathbb {C} \;/\;|z-a|\leqslant r\}} Expression avancée du scalaire de deux vecteurs
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Soient u → ( a ) {\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}(a)} et v → ( b ) {\displaystyle \scriptstyle {\vec {v}}(b)} des vecteurs de P {\displaystyle P} , alors on a : u → ⋅ v → = R e ( a b ¯ ) {\displaystyle \scriptstyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}\;=\;Re(a{\bar {b}})}
Soient A ( a ) , B ( b ) , M ( z ) {\displaystyle \scriptstyle A(a),\ B(b),\ M(z)} des points de P {\displaystyle P} , alors les vecteurs M A → {\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {MA}}} et M B → {\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {MB}}} sont orthogonaux si et seulement si : R e ( ( z − a ) ( z ¯ − b ¯ ) ) = 0 {\displaystyle \scriptstyle Re((z-a)({\bar {z}}-{\bar {b}}))=0} Racines de l'unité
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L'ensemble des racines n {\displaystyle n} ièmes de l'unité forme un polygone régulier à n {\displaystyle n} côtés (racines cubiques : triangle ; racines 4e : carré ; ...)