Nombres ordinaux transfinis

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Fondements logiques et ensemblistes des mathématiques

 

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Les nombres ordinaux transfinis sont des nombres qui servent à compter au-delà de l'infini des nombres « classiques. »

Notion de cardinal et d'ordinal

Un nombre cardinal sert à dénombrer un ensemble, tandis qu'un nombre ordinal sert à spécifier le rang d'un objet au sein de cet ensemble au préalable ordonné. Par exemple, le cardinal de l’ensemble des nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...) est $\aleph _{0}$ (prononcé « aleph 0 »).

Compter au-delà de l'infini

Le plus petit nombre ordinal transfini est $\omega$ (oméga minuscule). Il correspond à l’ensemble des nombres entiers naturels $\mathbb {N}$ ordonné « naturellement. »

Ainsi, après 0, 1, 2, 3, ... viennent ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + ...

Mais rien ne nous empêche de continuer plus loin. Après ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + ... vient logiquement ω + ω, qu'on note ω2 (lire « oméga deux »).

Puis, après ω2 vient ω2 + 1, ω2 + 2, ω2 + 3, ω2 + ... et ainsi ω3, puis ω4, puis ω5 ; et si l’on continue encore on tombera sur ω × ω, qu'on note ω².

Mais ne nous arrêtons pas là et continuons : après ω² vient ω² + 1, ω² + 2, ω² + ... puis ω² + ω.

Plus loin, on trouve ω² + ω², qu'on note ω²2. Après quoi arrivent ω²3, ω²4, ..., puis ω²ω, c'est-à-dire ω³.

Mais on peut toujours continuer. Après ω³ vient ω⁴, ω⁵, ω^... puis tout naturellement ω^ω ; qui pourra de toute façon encore être agrandi en ω^ωω puis en ω^ωωω, ω^ωωωω, et ainsi de suite...

Référents

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• Loïc Fabiou (discuter)

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