Numération, unités de longueur et de masse/L'arrondissement des nombres

Début de la boite de navigation du chapitre

L'arrondissement d'un nombre est l'opération qui consiste à calculer une valeur approchée du nombre. Ceci est fait en réduisant le nombre de chiffres significatifs à partir du développement décimal du nombre initial.

fin de la boite de navigation du chapitre

Voici 3 données :

1. La famille Dupont comporte 5 personnes.
2. La distance entre Paris et Londres est de 340 km.
3. 87 000 personnes vivent dans la ville N

On doit interpréter différemment ces nombres. Quand on dit que dans la famille Dupont il y a 5 personnes, on donne le nombre exact de personnes.

Quand on dit qu'entre Paris et Londres, il y a 340 km, on ne peut pas considérer ce nombre aussi exact que le nombre de personnes dans une famille. Alors, si on dit que la distance entre Paris et Londres est de 340 km, cela veut dire que la distance réelle est proche de cette valeur : elle peut être un peu plus petite que 340 km, ou un peu plus grande, on dit alors que la distance entre Paris et Londres est arrondie.

Dans le 3^e exemple, le nombre 87 000 donne la population de la ville N. Dans les grandes villes, chaque jour, des gens viennent et partent, donc la valeur de la population d'une ville ne peut pas être constante. Des nombres pareils doivent être «arrondis», et on voit que le nombre 87 000 est arrondi, car les centaines, les dizaines et les unités sont remplacés par des zéros.

Quand on résout des problèmes ou des calculs, on est souvent amenés à arrondir des nombres. Prenons deux nombres : 38 246 et 27 958. On doit arrondir les deux en conservant les milliers. Dans le premier, il y a 38 milliers, à part les milliers, il y a aussi 246 unités, qui ne peuvent pas faire encore un millier. En arrondissant alors, on conserve les milliers et on remplace les classes plus petites par des zéros (38 000).

Pour le deuxième nombre on fait autrement. Dans 27 958, il y a 27 milliers et en plus 958 unités. Ces unités font presque un millier. Alors, pour l'arrondissement au millier, il vaut mieux prendre 28 milliers que 27 milliers. Le nombre arrondi est alors : 28 000.

Arrondissement "au plus proche" des nombres

Si en arrondissant, le premier (à gauche) des chiffres dans l'écriture décimale qu'on enlève est inférieure à 5, alors le dernier chiffre conservé ne change pas; si le premier des chiffres qu'on enlève est supérieur ou égal à 5 avec des chiffres qui suivent différents de zéro, alors le dernier chiffre conservé est augmenté de 1; si le seul chiffre qu'on enlève est égal à 5, alors le dernier chiffre conservé ne change pas quand il est pair, ou est augmenté de 1 s'il est impair. (Cette méthode est aussi nommée arrondi bancaire).

exemples

151,3 ~ 151

271,6 ~ 272

73 ~ 70

456,51 ~ 457

456,5 ~ 456

457,5 ~ 458

0,142857 ~ 0,14286

0,142857 ~ 0,14

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistique pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire.

Notes

• On a indiqué ici comment arrondir les nombres mais il est aussi possible de tronquer les nombres. Dans le cas de la troncature, on élimine simplement les chiffres situés après la virgule :

14,123 ~ 14

14,789 ~ 14

• En informatique, les ordinateurs représentent les nombres réels sur un nombre fini de bits et ainsi la plupart des calculs conduisent à des résultats approchés.

D'autre part, les calculs en virgule flottante ont une précision limitée, qui se traduit par des arrondis qui peuvent s'accumuler de façon gênante. En particulier, la soustraction de deux nombres très proches et entachés d'erreur provoque une grande perte de précision relative : on parle de « cancellation ». Par exemple, dans un calcul en flottants IEEE double précision, (260+1)-260 ne donne pas 1, mais 0 (en arrondi au plus près). La raison est que 260+1 n’est pas représentable exactement et est arrondi à 260.