Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Onde mécanique progressive : Pourquoi la guitare émet-elle un son ? Onde mécanique progressive/Pourquoi la guitare émet-elle un son ? », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Source du son : la corde de la guitare
modifier
On va étudier le comportement de la corde avec les approximations suivantes :
le poids de la corde est négligeable devant la tension de la corde;
la tension de la corde a une valeur constante (corde inextensible et non élastique), on note
‖
T
→
‖
=
T
0
{\displaystyle \|{\overrightarrow {T}}\|=T_{0}}
D'après le théorème fondamental de la dynamique appliqué à l'élément de corde dans le référentiel d'étude, supposé galiléen on a :
μ
d
x
a
→
=
T
1
→
+
T
2
→
{\displaystyle \mu {\rm {d}}x{\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {T_{1}}}+{\overrightarrow {T_{2}}}}
où
μ
{\displaystyle \mu }
(
O
z
)
{\displaystyle (Oz)}
μ
d
x
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
=
−
T
0
sin
(
α
(
x
)
)
+
T
0
sin
(
α
(
x
+
d
x
)
)
{\displaystyle \mu {\rm {d}}x{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=-T_{0}\sin \left(\alpha (x)\right)+T_{0}\sin \left(\alpha (x+{\rm {d}}x)\right)}
Soit en effectuant le développement limité de
sin
(
α
(
x
)
)
{\displaystyle \sin \left(\alpha (x)\right)}
sin
(
α
(
x
+
d
x
)
)
−
sin
(
α
(
x
)
)
=
∂
sin
α
∂
x
d
x
{\displaystyle \sin \left(\alpha (x+{\rm {d}}x)\right)-\sin \left(\alpha (x)\right)={\frac {\partial \sin \alpha }{\partial x}}{\rm {d}}x}
μ
d
x
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
=
T
0
∂
sin
α
∂
x
d
x
{\displaystyle \mu {\rm {d}}x{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial \sin \alpha }{\partial x}}{\rm {d}}x}
L'angle
α
{\displaystyle \alpha }
sin
α
∼
α
∼
tan
α
∼
z
(
x
+
d
x
,
t
)
−
z
(
x
,
t
)
d
x
∼
∂
z
∂
x
(
x
,
t
)
{\displaystyle \sin \alpha \sim \alpha \sim \tan \alpha \sim {\frac {z(x+{\rm {d}}x,t)-z(x,t)}{{\rm {d}}x}}\sim {\frac {\partial z}{\partial x}}(x,t)}
μ
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
=
T
0
∂
2
z
∂
x
2
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)}
Soit :
∂
2
z
∂
x
2
(
x
,
t
)
−
μ
T
0
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)-{\frac {\mu }{T_{0}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=0}
Cette équation est appelée équation de d'Alembert.
Que l’on note aussi:
c
2
∂
2
z
∂
x
2
(
x
,
t
)
−
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
=
0
{\displaystyle {c^{2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)-{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=0}
c
2
∂
2
z
∂
x
2
(
x
,
t
)
=
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
{\displaystyle {c^{2}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)}
Où c est la célérité de l'onde.
Et donc
c
=
T
0
μ
{\displaystyle c={\sqrt {\frac {T_{0}}{\mu }}}}
On suppose que la corde est tendue à l'extrémité gauche, ce qui correspond à
z
(
0
,
t
)
=
0
{\displaystyle z(0,t)=0}
l
{\displaystyle l}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
z
(
x
,
0
)
=
0
{\displaystyle z(x,0)=0}
Un mouvement ponctuel à l'extrémité droite de la corde. Dans ce cas, on peut supposer
z
(
l
,
t
)
=
z
0
(
t
)
≠
0
{\displaystyle z(l,t)=z_{0}(t)\neq 0}
t
{\displaystyle t}
μ
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
=
T
0
∂
2
z
∂
x
2
(
x
,
t
)
,
0
⩽
x
⩽
l
{\displaystyle \mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t),\quad 0\leqslant x\leqslant l}
avec les conditions initiales
z
(
0
,
t
)
=
0
{\displaystyle z(0,t)=0}
z
(
l
,
t
)
=
z
0
(
t
)
{\displaystyle z(l,t)=z_{0}(t)}
z
(
x
,
t
)
=
z
0
(
t
−
x
c
)
{\displaystyle z(x,t)=z_{0}(t-{\frac {x}{c}})}
Un mouvement ponctuel au milieu de la corde. Dans ce cas, on peut supposer
z
(
l
2
,
t
)
=
z
0
(
t
)
≠
0
{\displaystyle z\left({\frac {l}{2}},t\right)=z_{0}(t)\neq 0}
t
{\displaystyle t}
μ
∂
2
z
∂
t
2
(
x
,
t
)
=
T
0
∂
2
z
∂
x
2
(
x
,
t
)
,
0
⩽
x
⩽
l
{\displaystyle \mu {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}(x,t)=T_{0}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}(x,t),\quad 0\leqslant x\leqslant l}
avec les conditions initiales
z
(
l
2
,
t
)
=
z
0
(
t
)
{\displaystyle z\left({\frac {l}{2}},t\right)=z_{0}(t)}
z
(
0
,
t
)
=
z
(
l
,
t
)
=
0
{\displaystyle z(0,t)=z(l,t)=0}
z
(
x
,
t
)
=
z
0
(
t
−
|
x
−
l
2
|
c
)
2
{\displaystyle z(x,t)={\frac {z_{0}(t-{\frac {|x-{\frac {l}{2}}|}{c}})}{2}}}
