Ondes électromagnétiques/Rayonnement dipolaire

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Introduction

Moment dipolaire d'une distribution

On considère une distribution globalement nulle de charges définie par la densité $\rho (P,t)$ au point P et à l'instant t, confinée dans un volume V fini de l'espace.

$\iiint _{V}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V=0$

Définition

On appelle moment dipolaire de cette distribution la quantité :

${\vec {p}}=\iiint _{V}{\overrightarrow {\rm {OP}}}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V$

Cette grandeur peut se réécrire, en séparant les charges positives des charges négatives :

${\vec {p}}=\iiint _{P\in V,\rho (P)>0}{\overrightarrow {\rm {OP}}}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V+\iiint _{P\in V,\rho (P)<0}{\overrightarrow {\rm {OP}}}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V$

Posons Q la charge positive totale contenue dans V. L'ensemble étant globalement neutre :

$Q=\iiint _{P\in V,\rho (P)>0}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V=-\iiint _{P\in V,\rho (P)<0}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V$

On note respectivement G₊ et G_- les barycentres des charges positives et négatives :

${\begin{aligned}Q{\overrightarrow {\rm {OG_{+}}}}=\iiint _{P\in V,\rho (P)>0}{\overrightarrow {\rm {OP}}}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V\\(-Q){\overrightarrow {\rm {OG_{-}}}}=\iiint _{P\in V,\rho (P)<0}{\overrightarrow {\rm {OP}}}\rho (P,t)\,{\rm {d}}V\end{aligned}}$

d'où ${\vec {p}}=Q({\overrightarrow {\rm {OG_{+}}}}-{\overrightarrow {\rm {OG_{-}}}})=Q\,{\overrightarrow {\rm {G_{-}G_{+}}}}$

Expression du moment dipolaire à partir des barycentres des charges positives et négatives

${\vec {p}}=Q\,{\overrightarrow {\rm {G_{-}G_{+}}}}$

Dipôle oscillant

On suppose alors que les charges étudiées sont mobiles dans le volume V. On fait les hypothèses de travail suivantes :

• On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire, c'est-à-dire qu'on étudie le système depuis un point M situé à une distance r du volume V très grande devant les dimensions caractéristiques du volume V.
• Les charges sont considérées dans l'approximation non-relativiste, c'est-à-dire que $v\ll c$
• On fait l'hypothèse des petits déplacements (l'ordre de grandeur a de l'amplitude maximale du déplacement des charges vérifie $a\ll r$

Le moment dipolaire varie alors avec le temps, on parle de dipôle oscillant.

Potentiels retardés

Ces oscillations sont alors la cause d'un rayonnement électromagnétique. Ce rayonnement arrive au point M d'observation avec un retard τ dû au temps de propagation de l'onde électromagnétique. Les champs et potentiels observés à l'instant t en M sont la conséquence du comportement des charges à l'instant t - τ

Début d’un principe

Équations des potentiels retardés

${\vec {A}}({\rm {M}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {1}{\rm {PM}}}{\vec {j}}\left({\rm {P}},t-{\frac {\rm {PM}}{c}}\right)\,\mathrm {d} V$

$V({\rm {M}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iiint _{V}{\frac {1}{\rm {PM}}}\rho \left({\rm {P}},t-{\frac {\rm {PM}}{c}}\right)\,\mathrm {d} V$

Fin du principe

On applique alors l'approximation dipolaire pour aboutir aux équations simplifiées suivantes :

Début d’un théorème

Équations des potentiels retardés dans le cadre de l'approximation dipolaire

${\vec {A}}({\rm {M}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r}}\iiint _{V}{\vec {j}}\left({\rm {P}},t-{\frac {r}{c}}\right)\,\mathrm {d} V$

$V({\rm {M}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}\iiint _{V}\rho \left({\rm {P}},t-{\frac {r}{c}}\right)\,\mathrm {d} V$

Fin du théorème

Dans notre cas, on suppose que le vecteur densité de courant est engendré par le mouvement des charges (c'est-à-dire qu’il n'y a pas de « courant permanent » au sens de la magnétostatique).

$\iiint _{V}{\vec {j}}({\rm {P}},t)\,{\rm {d}}V=\sum _{i}q_{i}{\vec {v}}_{i}(t)$

Or, on peut remarquer que : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {p}}(t)=\sum _{i}q_{i}{\vec {v}}_{i}(t)$

Le potentiel vecteur s'exprime alors simplement en fonction du moment dipolaire associé au système.

Début d’un théorème

Potentiel vecteur en fonction du moment dipolaire

${\vec {A}}(M)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r}}\left[{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]$

Fin du théorème

Champ électromagnétique émis par un dipôle oscillant

Calcul du champ magnétique

Exprimons le champ magnétique ${\vec {B}}$ à partir de l’expression du potentiel vecteur.

Début d’un théorème

Champ magnétique émis par un dipôle oscillant

On pose $\xi =t-{\frac {r}{c}}$.

Alors ${\vec {B}}({\rm {M}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi rc}}{\vec {u}}_{r}\wedge {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \xi ^{2}}}\left[{\vec {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]$

Fin du théorème

Calcul du champ magnétique à partir de l’expression du potentiel vecteur

Cette section est difficile à comprendre. Même si elle ne fait intervenir que des notions du niveau indiqué, il est conseillé d'avoir du recul sur les notions présentées pour bien assimiler ce qui suit. Cependant, ce contenu n'est pas fondamental et peut être sauté en première lecture.

${\begin{aligned}{\vec {B}}({\rm {M}},t)&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}({\rm {M}},t))\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\right)\\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {1}{r}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\right)+{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{r}}\right)\wedge {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\right)\\\end{aligned}}$

Or, ${\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{r}}\right)={\frac {1}{r^{2}}}$, donc le terme ${\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{r}}\right)\wedge {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]$ est d'ordre 2 et sera négligé.

On arrive alors à ${\vec {B}}({\rm {M}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\vec {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\right)$

Le rotationnel en coordonnées sphériques d'une fonction vectorielle ${\vec {W}}(r,\theta ,\varphi )$ s'écrit

$\operatorname {rot} ({\vec {W}})={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta W_{\varphi })-{\frac {\partial W_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\vec {u}}_{r}+\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial W_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\varphi })\right){\vec {u}}_{\theta }+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\theta })-{\frac {\partial W_{r}}{\partial \theta }}\right){\vec {u}}_{\varphi }$

Dans le cas d'un vecteur qui ne dépend que de la coordonnée d'espace r, le rotationnel se réduit à :

${\begin{aligned}\operatorname {rot} ({\vec {W}})&=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\varphi }){\vec {u}}_{\theta }+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rW_{\theta }){\vec {u}}_{\varphi }\\&=-{\frac {1}{r}}\left(W_{\varphi }+r{\frac {\partial }{\partial r}}W_{\varphi }\right){\vec {u_{\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left(W_{\theta }+r{\frac {\partial }{\partial r}}W_{\theta }\right){\vec {u_{\varphi }}}\\\end{aligned}}$

Rappelons qu'on cherche à calculer ${\vec {B}}({\rm {M}},t)$ à l’ordre 1. Notre expression est à présent sous la forme ${\vec {B}}({\rm {M}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {W}})$. Comme on ne souhaite garder que les termes du premier ordre pour le résultat ${\vec {B}}$, on peut encore réduire le rotationnel à :

${\begin{aligned}\operatorname {rot} ({\vec {W}})&=-{\frac {\partial W_{\varphi }}{\partial r}}{\vec {u}}_{\theta }+{\frac {\partial W_{\theta }}{\partial r}}{\vec {u}}_{\varphi }\\&={\begin{array}{|c}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\\0\\0\\\end{array}}\wedge {\vec {W}}\end{aligned}}$

Posons $\xi =t-{\frac {r}{c}}$. On a :

• ${\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\xi }}$
• ${\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial r}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\xi }}{\vec {u}}_{r}$

Donc :

• $\operatorname {rot} ({\vec {W}})=-{\frac {1}{c}}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\xi }}{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {W}}$
• ${\vec {A}}({\rm {M}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \xi }}\left[{\vec {p}}(\xi )\right]$
• ${\vec {B}}({\rm {M}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \xi }}\left[{\vec {p}}(\xi )\right]\right)$

 

Bremsstrahlung

Il faut remarquer que ${\vec {B}}$ est lié à ${\frac {{\rm {d}}^{2}{\vec {p}}}{{\rm {d}}t^{2}}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {\gamma }}_{i}$, c'est-à-dire que le champ magnétique qui apparaît est fonction de l'accélération des charges.

Ce résultat a de nombreuses conséquences en physique, dont par exemple le Bremsstrahlung (rayonnement de freinage en allemand). Lorsqu'on dirige un faisceau d'électrons vers un obstacle, les électrons sont déviés de leur trajectoire. Ce faisant, ils sont soumis à une accélération, et donc émettent un rayonnement électromagnétique qui leur fait perdre de l'énergie.

Ce principe est utilisé pour générer des rayons X dans des dispositifs à rayonnement synchrotron. Ces sources synchrotron sont utiles par exemple en médecine et en radioastronomie.

L'existence du rayonnement synchrotron est également un phénomène qui montre l'insuffisance du modèle de Bohr pour décrire l'atome. Si les électrons tournaient autour de l'atome en permanence, comme ils sont continuellement soumis à une accélération, ils devraient rayonner de l'énergie et peu à peu se rapprocher de l'atome jusqu'à entrer en collision avec lui.

Approximation de l'onde quasi-plane

De l’expression $\operatorname {rot} ({\vec {B}})=\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$, on tire la conclusion suivante.

Début d’un théorème

Champ électrique émis par un dipôle oscillant

${\vec {E}}=-c{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {B}}$

L'onde électromagnétique émise par un dipôle oscillant a localement la structure d'une onde plane.

Fin du théorème

Puissance rayonnée

Supposons dans ce paragraphe que ${\vec {p}}(t)=p(t){\vec {u}}_{z}$. Les équations de Maxwell étant linéaires, cette hypothèse n'influe pas sur la généralité du problème.

Anisotropie du rayonnement

Dans le système de coordonnées sphériques, l’expression du champ magnétique devient, en norme :

$||{\vec {B}}({\rm {M}},t)||={\frac {\mu _{0}\sin(\theta )}{4\pi rc}}{\ddot {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

On remarque alors que le champ magnétique est anisotrope, c'est-à-dire qu’il n'a pas la même intensité dans toutes les directions de l'espace.

Puissance

Localement, on utilise le vecteur de Poynting :

${\begin{aligned}{\vec {\Pi }}&={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}={\frac {cB^{2}}{\mu _{0}}}{\vec {u}}_{r}\\&={\frac {\mu _{0}\sin ^{2}(\theta )}{16\pi ^{2}r^{2}c}}{\ddot {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)^{2}{\vec {u}}_{r}\end{aligned}}$

Globalement, notons ${\mathcal {S}}$ une sphère centrée en O, englobant le volume V, de rayon R très grand devant les dimensions caractéristiques de V. La puissance traversant ${\mathcal {S}}$ vaut :

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}&=\oint _{\mathcal {S}}{\vec {\Pi }}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\\&=\int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\int _{\varphi =0}^{\varphi =2\pi }{\frac {\mu _{0}\sin ^{2}(\theta )}{16\pi ^{2}R^{2}c}}\left[{\ddot {p}}\left(t-{\frac {R}{c}}\right)\right]^{2}\,R^{2}\sin(\theta )\,{\rm {d}}\theta \,{\rm {d}}\varphi \\&=\left(\int _{\theta =0}^{\theta =\pi }\sin ^{2}(\theta )\sin(\theta )\,{\rm {d}}\theta \right)\left(\int _{\varphi =0}^{\varphi =2\pi }\,{\rm {d}}\varphi \right){\frac {\mu _{0}}{16\pi ^{2}c}}\left[{\ddot {p}}\left(t-{\frac {R}{c}}\right)\right]^{2}\\&={\frac {4}{3}}\,2\pi \,{\frac {\mu _{0}}{16\pi ^{2}c}}\left[{\ddot {p}}\left(t-{\frac {R}{c}}\right)\right]^{2}\\&={\frac {\mu _{0}}{6\pi c}}\left[{\ddot {p}}\left(t-{\frac {R}{c}}\right)\right]^{2}\\\end{aligned}}$

Soit une puissance moyenne de $\langle {\mathcal {P}}\rangle ={\frac {\mu _{0}}{6\pi c}}\left\langle {\ddot {p}}\left(t-{\frac {R}{c}}\right)^{2}\right\rangle$, qui est bien indépendante de R conformément à la conservation de l'énergie.