Ondes électromagnétiques guidées/Annexe/Fonctions génératrices

Cette annexe établit l’expression des champs électrique et magnétique transversaux en fonction des champs électrique et magnétique longitudinaux E_z et B_z indépendamment de la base choisie.

L'équation de Maxwell ${\rm {div}}({\vec {E}})=0$ permettent également d'exprimer des liens entre ${\rm {div}}({\vec {E}}_{t})$ et E_z.

On a ${\rm {div}}({\vec {E}}_{t})={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}(x,y)+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}(x,y)$

On exploite l'équation de Maxwell :

${\rm {div}}({\vec {E}})=0\Leftrightarrow e^{j(kz-\omega t)}\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}(x,y)+{\frac {\partial E_{y}}{\partial y}}(x,y)+jkE_{z}(x,y)\right)=0$

${\rm {div}}({\vec {E}}_{t})=-jkE_{z}$

• De même, ${\rm {div}}({\vec {B}})=0$ implique :

${\rm {div}}({\vec {B}}_{t})=-jkB_{z}$

• Exploitons maintenant l'équation ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}&={\begin{array}{|l}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\\\end{array}}\wedge {\begin{array}{|l}E_{x}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\E_{y}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\E_{z}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\\end{array}}&={\begin{array}{|l}\displaystyle {e^{j(kz-\omega t)}\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}(x,y)-E_{y}(x,y)jk\right)}\\\displaystyle {e^{j(kz-\omega t)}\left(E_{x}(x,y)jk-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}(x,y)\right)}\\\displaystyle {e^{j(kz-\omega t)}\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}(x,y)\right)}\\\end{array}}\end{aligned}}$

Le rotationnel de ${\vec {E}}_{t}$ vaut :

${\begin{aligned}{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}_{t}&={\begin{array}{|l}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\\\end{array}}\wedge {\begin{array}{|l}E_{x}(x,y)\\E_{y}(x,y)\\0\\\end{array}}\\&=\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}(x,y)\right){\vec {u}}_{z}\end{aligned}}$

et ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\begin{array}{|l}j\omega B_{x}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\j\omega B_{y}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\j\omega B_{z}(x,y)e^{j(kz-\omega t)}\\\end{array}}$

${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}}_{t})=j\omega B_{z}{\vec {u}}_{z}$

Par ailleurs, en remarquant que

${\vec {\nabla }}E_{z}\wedge {\vec {u}}_{z}={\begin{array}{|l}\displaystyle {{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}(x,y)}\\\displaystyle {{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}(x,y)}\\0\end{array}}\wedge {\begin{array}{|l}0\\0\\1\end{array}}={\begin{array}{|l}\displaystyle {{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}(x,y)}\\\displaystyle {-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}(x,y)}\\0\end{array}}$ et que ${\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{t}={\begin{array}{|l}-E_{y}(x,y)\\E_{x}(x,y)\\0\end{array}}$, on aboutit au résultat suivant :

$j\omega {\vec {B}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge (jk{\vec {E}}_{t}-{\vec {\nabla }}E_{z})$

• De manière analogue, l'exploitation de l'équation ${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ donne

${\begin{cases}{\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t})=\displaystyle {-{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{z}{\vec {u}}_{z}}\\\displaystyle {-{\frac {j\omega }{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge (ik{\vec {B}}_{t}-{\vec {\nabla }}B_{z})}\\\end{cases}}$

• Combinons les équations :

${\begin{aligned}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge \left({\vec {u}}_{z}\wedge (jk{\vec {E}}_{t}-{\vec {\nabla }}E_{z}){\frac {k}{\omega }}-{\vec {\nabla }}B_{z}\right)&\Leftrightarrow -{\frac {j\omega ^{2}}{\omega c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge \left({\vec {u}}_{z}\wedge \left(i{\frac {k^{2}}{\omega }}{\vec {E}}_{t}-{\frac {k}{\omega }}{\vec {\nabla }}E_{z}\right)\right)+{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\&\Leftrightarrow -{\frac {j\omega ^{2}}{\omega c^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge \left({\vec {u}}_{z}\wedge i{\frac {k^{2}}{\omega }}{\vec {E}}_{t}\right)+{\frac {k}{\omega }}{\vec {u}}_{z}\wedge ({\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}E_{z})+{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\&\Leftrightarrow -{\frac {j\omega ^{2}}{\omega c^{2}}}{\vec {E}}_{t}=-{\frac {ik^{2}}{\omega }}{\vec {E}}_{t}-{\frac {k}{\omega }}{\vec {\nabla }}E_{z}+{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\&\Leftrightarrow {\frac {j}{\omega }}\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-k^{2}\right){\vec {E}}_{t}={\frac {k}{\omega }}{\vec {\nabla }}E_{z}-{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z}\\\end{aligned}}$

${\vec {E}}_{t}=-{\frac {j}{k_{\perp }^{2}}}(k{\vec {\nabla }}E_{z}-\omega {\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {\nabla }}B_{z})$

Propriété

La connaissance complète de E_z et B_z permet de remonter à la structure complète de ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$.