Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent

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L'espace physique considéré dans ce chapitre étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite » .

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

Gradient du champ scalaire $U(M)$

     Le gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire » est égale à « la différentielle de la fonction scalaire $\;U(M)\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» .

Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{x}(M),\,A_{y}(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cartésiennes de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{x}(M)\,dx+A_{y}(M)\,dy+A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\,dz\;$»,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;dx$, $\;dy\;$ et $\;dz$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\\A_{y}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\end{array}}\right.\;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ en cartésien

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{\rho }(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cylindro-polaires de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{\rho }(M)\,d\rho +A_{\theta }(M)\,\rho \,d\theta +A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\;$»,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;d\rho$, $\;d\theta \;$ et $\;dz$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{\rho }(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\\A_{\theta }(M)\,\rho =\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right.\;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{r}(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{\varphi }(M)\;$ les composantes sphériques de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{r}(M)\,dr+A_{\theta }(M)\,r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi =dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\,d\varphi \;$»,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;dr$, $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\\A_{\theta }(M)\,r=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\\A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right.\!\!$»   d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $U(M)$ en sphérique

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» .

Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient

     «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ traduit comment varie la grandeur $\;U\;$ dans l'espace », par exemple :

• « si $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est un champ uniforme $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ et de même sens », c.-à-d. si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ s'écrit selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=A\;{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}A=cste>0\end{array}}\right.\;$», cela signifiera
  $\;\succ \;$ que «$\;U\;$ ne varie pas avec $\;x\;$ et $\;y\;$» ${\big [}$ou « ne varie pas avec $\;\rho \;$ et $\;\theta \;$» ${\big ]}$, et
  $\;\succ \;$ que «$\;U\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$», cette croissance étant uniforme ;
• variation de la température${\underline {\;T\;}}$de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
  variation de la température$\color {transparent}{\;T}$ il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical ascendant choisi comme axe $\;Oz$, nous en déduisons que $\;T\;$ ne dépend pas de $\;\theta$,
  variation de la température$\color {transparent}{\;T}$ l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, $\;T\searrow \;$ quand $\;r\nearrow \;$ et
  variation de la température$\color {transparent}{\;T}$ il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude » $\;z\;$ ;
  variation de la température$\color {transparent}{\;T}$ nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite, gradient « radial plus précisément “axipète” $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)={\dfrac {dT}{dr}}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\{\text{avec }}{\dfrac {dT}{dr}}(M)<0\end{array}}\right.\;$» ;
• variation de la pression${\underline {\;p\;}}$d'un lac :
  variation de la pression$\color {transparent}{\;p}$ d'une part il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}$, nous en déduisons que $\;p\;$ ne dépend pas de $\;x\;$ et de $\;y$, et
  variation de la pression$\color {transparent}{\;p}$ d'autre part $\;p\nearrow \;$ quand la profondeur $\;z\nearrow \;$ ${\big [}$l'axe vertical étant orienté dans le sens descendant et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac${\big ]}$ ;
  variation de la pression$\color {transparent}{\;p}$ nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac, gradient « vertical plus précisément descendant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\dfrac {dp}{dz}}(M)\,{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}{\dfrac {dp}{dz}}(M)>0\\{\vec {u}}_{z}\;\downarrow \;\;{\text{et }}z{\text{ profondeur}}\end{array}}\right.\;$».

Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U

     « Une surface iso-U est une surface où $\;U=cste\;$» ; elle est caractérisée par $\;dU=0\;$ lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir d'un point $\;M\;$ de cette surface en restant sur celle-ci  ;
     « Une surface iso-U de «$\;dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» en choisissant un déplacement élémentaire tel que $\;dU=0\;$ on en déduit «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0,\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;{\text{de la surface}}\;$» ou
     « Une surface iso-U «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est $\;\perp$ à tous les ${\overrightarrow {dM}}\;$ de la surface construits à partir de $\;M\;$» soit finalement

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est $\;\perp$ à la surface $U=cste\;$ passant par $\;M\;$»  ;

     dans les exemples considérés au paragraphe précédent :

• «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)\;$ est radial plus précisément “axipète” » et « les isothermes sont des tuyaux cylindriques de révolution » d'où « la perpendicularité » ;
• «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ est vertical plus précisément descendant » et « les isobares sont des plans horizontaux » d'où « la perpendicularité ».

Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”

Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” noté «$\;{\vec {\nabla }}\;$» est, en repérage cartésien, construit à partir des vecteurs de base cartésienne et des opérateurs scalaires du 1^er ordre “dérivations partielles relativement à chacune des coordonnées cartésiennes” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, sa définition s'écrivant

«$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$».

Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire

     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ on obtient l'image «$\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=$ ${\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$» identifiable à «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» ;

     en conclusion on peut écrire l'application suivante

«$\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$» où
«$\;U\;$ est une fonction scalaire différentiable de l'espace ».

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”

     Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$» à savoir

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» et

     y substituant l'expression équivalente «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]={\vec {\nabla }}\left[U\right]\;$» utilisant l'opérateur “nabla” on obtient

«$\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» ou,

     la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative ,

«$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=dU(M)\;$» soit encore,

     en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$» à savoir «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ et $\;d\left[\;\right]\;$» selon

«$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)=\left\lbrace d\right\rbrace \left[U\right](M)\;$» ;

     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut proposer, comme définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” :

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”, noté $\;{\vec {\nabla }}$, est un opérateur vectoriel linéaire tel que l'opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» est identique à l'opérateur scalaire “différenciation” «$\;d\left[\;\right]\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$» .

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire

     Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” « opérateur linéaire » tel que «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$» et,
     en l'appliquant à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$», puis,
     en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire,

«$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» ou
         «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \,\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace \rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +dz\,\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$»,

           ainsi que la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage cylindro-polaire,

«$\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;dz\;$» ou
«$\;dU=d\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$»

     dont on déduit l'opérateur différenciation «$\;d\left[\;\right]\;$» en repérage cylindro-polaire

«$\;d\left[\;\right]=d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\;$» soit,

     en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;d\rho$, $\;d\theta \;$ et $\;dz$, on obtient

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\\rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

     la définition $\;{\big (}$équivalente${\big )}\;$ suivante de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire

«$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» .

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique

     Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” « opérateur linéaire » tel que «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$» et,
     en l'appliquant à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$», puis,
     en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique,

«$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\Rightarrow$ $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\;{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» ou
         «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\varphi \,\left\lbrace r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$»,

           ainsi que la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage sphérique,

«$\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;d\varphi \;$» ou
«$\;dU=dr\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;$»

     dont on déduit l'opérateur différenciation «$\;d\left[\;\right]\;$» en repérage sphérique

«$\;d\left[\;\right]=dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\;$» soit,

     en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;dr$, $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi$, on obtient

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

     la définition $\;{\big (}$équivalente${\big )}\;$ suivante de l'opérateur “nabla” en sphérique

«$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» .

En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...”

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” noté «$\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$» est construit à partir

• de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” et
• de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » ,

     avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «$\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$» agit sur une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ dans le cas d'une représentation locale , on se place en repérage « cylindro-polaire » dans lequel
     pour préciser la façon dont l'opérateur «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» agit sur une fonction vectorielle «$\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$» est composé des trois composantes et des deux 1^ers vecteurs de base dépendant des coordonnées de $\;M$, dépendance qui entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” ;
     pour préciser la façon dont l'opérateur «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» agit sur une fonction vectorielle l'image de $\;{\vec {A}}(M)\;$ par $\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$ est alors défini comme le scalaire

«$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$» où,
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle on trouve, après développement,
neuf termes de l'un des trois types suivants «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}T_{\theta ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]\\T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]\\T_{\theta ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»
que l'on évalue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire selon
«${\Bigg \{}T_{\theta ,\,\rho }={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\;$» ,
«$\;T_{\theta ,\,\theta }={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;$» ou
«$\;T_{\theta ,\,z}={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{z}\,{\vec {u}}_{z}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}}}=0\;$${\Bigg \}}\;$» .

     Finalement on trouve, pour l'image de $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur du 1^er ordre «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \;$» dans le repérage cylindro-polaire,

«$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}\right\rbrace (M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$» .

Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle

     Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” à la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ on obtient l'« image $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant « le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$» noté «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$»  ;

     en conclusion le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » résulte de l'application suivante

«$\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}=\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\;$» où
$\;{\vec {A}}\;$ est une fonction vectorielle différentiable de l'espace.

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien

     En cartésien «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \cdot \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$», ce qui donne,
     En cartésien en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles et
     En cartésien en utilisant, d'une part que les vecteurs de base cartésienne sont constants, d'autre part qu'ils forment une base orthonormée :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cartésien

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$».

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire

     En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$»
ou
«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» .

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique

     En sphérique «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;+\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$», soit,
     En sphérique en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, puis
     En sphérique en utilisant les expressions des dérivées $\;{\big (}$partielles${\big )}\;$ des vecteurs de base sphérique déterminées au paragraphe « complément : différentielle des vecteurs de base sphérique » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(M)={\vec {u}}_{\theta }(M)\\\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(M)=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\end{array}}\right.$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]_{\varphi }(M)=-{\vec {u}}_{r}(M)\\\left[{\dfrac {\partial \left({\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]_{\theta }(M)=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\end{array}}\right.$, $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=-\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ et
     En sphérique en utilisant le caractère orthonormé de la base sphérique,

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)=T_{r,\,r}+T_{r,\,\theta }+T_{r,\,\varphi }+T_{\theta ,\,r}+T_{\theta ,\,\theta }+T_{\theta ,\,\varphi }+T_{\varphi ,\,r}+T_{\varphi ,\,\theta }+T_{\varphi ,\,\varphi }\;$» avec :

$\left.{\begin{aligned}\bullet \;\;&T_{r,\,r}={\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }={\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }{\vec {u}}_{r}&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\\bullet \;\;&T_{r,\,\theta }={\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }={\cancel {{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }{\vec {u}}_{\theta }}}&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&0\\\bullet \;\;&T_{r,\,\varphi }={\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }={\cancel {{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }{\vec {u}}_{\varphi }}}&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&0\\\bullet \;\;&T_{\theta ,\,r}={\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }{\vec {u}}_{r}}}+{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {A_{r}}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&{\dfrac {1}{r}}\,A_{r}\\\bullet \;\;&T_{\theta ,\,\theta }={\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }{\vec {u}}_{\theta }+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }}}&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\\bullet \;\;&T_{\theta ,\,\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }{\vec {u}}_{\varphi }}}&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&0\\\bullet \;\;&T_{\varphi ,\,r}={\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\vec {u}}_{r}}}+{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&{\dfrac {1}{r}}\,A_{r}\\\bullet \;\;&T_{\varphi ,\,\theta }={\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\vec {u}}_{\theta }}}+{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}A_{\theta }\\\bullet \;\;&T_{\varphi ,\,\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }={\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\vec {u}}_{\varphi }+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}}}&\!\!\!\!\!\!\!\!\!=\;\;\;&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{aligned}}\right\rbrace \;$.

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en sphérique

          «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)$
            $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)}\color {black}=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$»

ou, après regroupement,
«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$» .

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

     La divergence du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ noté «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$» est le « champ scalaire défini en $\;M\;$» égal « au quotient du flux élémentaire de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers une surface élémentaire fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$ sur le volume élémentaire mesurant l'intérieur de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$» soit

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$»     ou     «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\color {transparent}{\bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint _{(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$»
où «$\;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}\;$ est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$»
                                                                 et orienté vers l'extérieur, l'intérieur de cette surface étant de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}$.

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...”

     Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» dans tous les « repérages précédemment introduits » , il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de $\;{\vec {A}}(M)\;$» .

Justification en repérage cartésien

     Pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$», en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées du parallélépipède , soit «$\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$», avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» , «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z+dz)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

$\left.{\begin{aligned}\bullet \;\;&\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})=-A_{x}(x,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz+A_{x}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dy\,dz\\\bullet \;\;&\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})=-A_{y}(x_{i},\,y,\,z_{i})\;dx\,dz+A_{y}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\;dx\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dx\,dz\\\bullet \;\;&\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})=-A_{y}(x_{i},\,y,\,z_{i})\;dx\,dz+A_{y}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\;dx\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dx\,dz\end{aligned}}\right\rbrace \;$ soit

     en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «$\;dx\,dy\,dz=d{\mathcal {V}}\;$» puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;$» dans lequel
                                                  «$\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$»
                    d'où «$\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant toutes deux «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$»
                          « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$» C.Q.F.D. .

Justification en repérage cylindro-polaire

     On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ dans ce repérage ;

     « on considère donc à partir du point $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'un tuyau cylindrique d'axe $\;z'z\;$ d'épaisseur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;

     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$», en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$, soit «$\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$», avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\rho \,d\theta \,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz\right]\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» , «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z_{i})\cdot \left[d\rho \,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\cdot \left[d\rho \,dz\right]\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z)\cdot \left[d\rho \,\rho \,d\theta \right]\left[-{\vec {u}}_{z})\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z+dz)\cdot \left[d\rho \,\rho \,d\theta \right]\left[{\vec {u}}_{z})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :

$\left.{\begin{aligned}\bullet \;\;&\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})\qquad \quad \;=-A_{\rho }(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\;\rho \,d\theta \,dz+A_{\rho }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\;\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho \right\rbrace d\theta \,dz\\\bullet \;\;&\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=-A_{\theta }(\rho _{i},\,\theta ,\,z_{i})\;d\rho \,dz+A_{\theta }(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\;d\rho \,dz\qquad \qquad \;\;\;=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta \right]d\rho \,dz\\\bullet \;\;&\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\qquad =-A_{z}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z)\;d\rho \,\rho \,d\theta +A_{z}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z+dz)\;d\rho \,\rho \,d\theta \qquad \quad \;\;=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\right]d\rho \,\rho \,d\theta \end{aligned}}\right\rbrace \;$ soit

     en ajoutant tous les termes, en faisant apparaître l'élément de volume commun «$\;d\rho \,\rho \,d\theta \,dz=d{\mathcal {V}}\;$» dans les deux 1^ers termes et en le mettant en facteur dans la somme puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;$» dans lequel
                                                  «$\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$»
                    d'où «$\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant toutes deux «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$»
                          « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$» C.Q.F.D. .

Justification en repérage sphérique

     La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante $\;{\big (}$mais aussi plus délicate${\big )}\;$ de déterminer l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ dans ce repérage, elle est surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux «$\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\,{\vec {u}}_{r}\;$» ; nous allons donc chercher à retrouver l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ pour un champ vectoriel radial en utilisant la définition intrinsèque du champ scalaire divergence ;

     « on considère ici à partir du point $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une couche sphérique de centre $\;O\;$ d'épaisseur $\;dr\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}$, d'ouverture de colatitude $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et d'ouverture de longitude $\;d\varphi \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;

     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel radial $\;A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\,{\vec {u}}_{r}$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$», en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ et en constatant que

• les deux flux à travers les portions de méridiens de longitudes $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi \;$ sont nuls $\;{\big \{}$vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement $\;\left[-{\vec {u}}_{\varphi }\right]\;$ et $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ et champ vectoriel suivant $\;{\vec {u}}_{r}{\big \}}\;$ et
  les deux flux à travers les portions tronconiques de colatitudes $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ le sont aussi $\;{\big \{}$vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement $\;\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et champ vectoriel $\;{\vec {u}}_{r}{\big \}}$,
• seuls les flux à travers les portions de sphère de rayons $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ ne l'étant pas,

     d'où le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel radial