Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent

**Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 19
Chap. préc. :	Intégrales généralisées (ou impropres)
Chap. suiv. :	Vecteurs polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'espace physique considéré dans ce chapitre étant

\;{\big (}

sauf avis contraire

{\big )}\;

« orienté à droite » ^[1].

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace modifier

Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace modifier

Introduction : nous avons étudié la caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace dans le paragraphe « caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace » du chap. $13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
Introduction ; nous avons indiqué dans le paragraphe « commentaire final » du même chap. $13$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'il existe une méthode plus compacte pour faire cette caractérisation utilisant la notion de gradient de fonction scalaire.

Gradient du champ scalaire

U(M)

Le gradient du champ scalaire

\;U(M)\;

noté «

\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;

» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire » ^[2] est égale à « la différentielle de la fonction scalaire

\;U(M)\;

» ^[3] soit

«

\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;

» ^[4].

     Remarque : la définition du gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ donnée ci-dessus est essentiellement utilisée pour déterminer les composantes
     Remarque : du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ dans les différents repérages cartésien, cylindro-polaire $\;{\big (}$ ou cylindrique ${\big )}\;$ ou sphérique,
     Remarque : explicitation exposée dans les trois paragraphes suivants.

Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace modifier

Appelons « $\;A_{x}(M),\,A_{y}(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cartésiennes de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ »,

d'une part sa définition « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$ » se réécrit « $\;A_{x}(M)\,dx+A_{y}(M)\,dy+A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$ » ^[5] et
d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon « $\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\,dz\;$ » ^[3],

des deux formes de $\;dU(M)$ , vraies quels que soient $\;dx$ , $\;dy\;$ et $\;dz$ , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\\A_{y}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'où :

À retenir

\;\rightsquigarrow \;

Gradient du champ scalaire

\;U(M)\;

en cartésien

«

\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;

» ^[6].

Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace modifier

Appelons « $\;A_{\rho }(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ ou cylindriques ${\big )}\;$ de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ »,

d'une part sa définition « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$ » se réécrit « $\;A_{\rho }(M)\,d\rho +A_{\theta }(M)\,\rho \,d\theta +A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$ » ^[7] et
d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon « $\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\;$ » ^[3],

des deux formes de $\;dU(M)$ , vraies quels que soient $\;d\rho$ , $\;d\theta \;$ et $\;dz$ , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{\rho }(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\\A_{\theta }(M)\,\rho =\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'où :

À retenir

\;\rightsquigarrow \;

Gradient du champ scalaire

\;U(M)\;

en cylindro-polaire

«

\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;

» ^[8]^, ^[9].

Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace modifier

Appelons « $\;A_{r}(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{\varphi }(M)\;$ les composantes sphériques de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ »,

d'une part sa définition « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$ » se réécrit « $\;A_{r}(M)\,dr+A_{\theta }(M)\,r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi =dU(M)\;$ » ^[10] et
d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon « $\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\,d\varphi \;$ » ^[3],

des deux formes de $\;dU(M)$ , vraies quels que soient $\;dr$ , $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi$ , on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\\A_{\theta }(M)\,r=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\\A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$ » d'où :

À retenir

\;\rightsquigarrow \;

Gradient du champ scalaire

U(M)

en sphérique

«

\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;

» ^[11]^, ^[12].

Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient modifier

     « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ traduit la variation de la grandeur $\;U\;$ dans l'espace », par exemple
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$ « si $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est un champ uniforme $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ et de même sens », c.-à-d.
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ « si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ s'écrit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=A\;{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}A=cste>0\end{array}}\right\rbrace \;$ », cela signifiera que
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ « si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ est un champ uniforme $\;\color {transparent}{\parallel }$ à $\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ et de même sens » « $\;U\;$ ne varie pas avec $\;x\;$ et $\;y\;$ » ^[13] ${\big [}$ ou « ne varie pas avec $\;\rho \;$ et $\;\theta \;$ » ^[13] ${\big ]}\;$ et
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ « si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ est un champ uniforme $\;\color {transparent}{\parallel }$ à $\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ et de même sens » « $\;U\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ », cette $\;\nearrow \;$ étant uniforme ;
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$ variation de la température $\;T\;$ de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la température $\;\color {transparent}{T}\;$ il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical $\;\uparrow \;$ choisi comme axe $\;Oz$ ,
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la température $\;\color {transparent}{T}\;$ il y a invarianceavec choix du repérage cylindro-polaire d'axe $\;Oz\;$ $\Rightarrow$ $\;T\;$ ne dépend pas de $\;\theta$ ,
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la température $\;\color {transparent}{T}\;$ l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, $\;T\searrow \;$ quand $\;\rho \nearrow \;$ et
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la température $\;\color {transparent}{T}\;$ il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude $\;z\;$ » ^[14] ;
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la température $\;\color {transparent}{T}\;$ nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la température $\;\color {transparent}{T}\;$ nous résumons tout ceci par gradient « radial plus précisément “axipète” ^[15] $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)={\dfrac {dT}{dr}}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\{\text{avec }}{\dfrac {dT}{dr}}(M)<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » ;
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$ variation de la pression $\;p\;$ d'un lac : il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}$ , $\Rightarrow$ $\;p\;$ ne dépend, ni $\;x$ , ni de $\;y$ , et
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la pression $\;\color {transparent}{p}\;$ d'un lac : $\;p\nearrow \;$ quand la profondeur $\;z\nearrow \;$ ${\big [}$ l'axe vertical étant orienté dans le sens $\;\downarrow \;$ et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac ${\big ]}$ ;
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la pression $\;\color {transparent}{p}\;$ d'un lac : nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac,
     « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$ variation de la pression $\;\color {transparent}{p}\;$ d'un lac : nous résumons tout ceci par gradient « vertical plus précisément $\;\downarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\dfrac {dp}{dz}}(M)\,{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}{\dfrac {dp}{dz}}(M)>0\\{\vec {u}}_{z}\;\downarrow \;\;{\text{et }}z{\text{ profondeur}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».

Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U modifier

     « Une surface iso-U est une surface où $\;U=cste\;$ » ; elle est caractérisée par $\;dU=0\;$ lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir d'un point $\;M\;$ de cette surface en y restant ^[16] ;
     « Une surface iso-U à partir de « $\;dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ » avec un déplacement élémentaire tel que $\;dU=0\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0,\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;{\text{de la surface}}\;$ » ou
     « Une surface iso-U à partir de « $\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ » avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à tous les ${\overrightarrow {dM}}\;$ de la surface construits à partir de $\;M\;$ »
     « Une surface iso-U à partir de « $\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ » avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp }\;$ à tous les $\Downarrow$
     « Une surface iso-U à partir de « $\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ » avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à la surface $U=cste\;$ passant par $\;M\;$ » ou
     « Une surface iso-U à partir de « $\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$ » avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à la surface iso-U passant par $\;M\;$ » ;

     dans les exemples considérés au paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient » plus haut dans ce chapitre :
     dans les exemples $\bullet \;$ « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)\;$ est radial plus précisément “axipète” ^[15] » et « les isothermes ^[17] sont des tuyaux cylindriques de révolution » ^[18] d'où « la perpendicularité » ;
     dans les exemples $\bullet \;$ « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ est vertical plus précisément $\;\downarrow \;$ » et « les isobares ^[19] sont des plans horizontaux » ^[20] d'où « la perpendicularité ».

Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” modifier

Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien modifier

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ » est, en repérage cartésien, construit sur les vecteurs de base cartésienne et
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” « $\;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;$ » est, en repérage cartésien, construit sur les opérateurs scalaires du 1^er ordre “dérivations partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes” ^[21]
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, soit
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ ».

Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire modifier

Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)={\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ »
Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espaceidentifiable à « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ » ;

en conclusion on peut écrire l'application suivante « $\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$ » ^[22] où « $\;U\;$ est une fonction scalaire différentiable de l'espace »,
en conclusion l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace « $\;U\;$ » par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ » est le champ vectoriel “gradient de $\;U$ ” « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ ».

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” modifier

Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ » à savoir
Partant de la définition intrinsèque du « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$ » ^[23] et

     y substituant l'expression équivalente « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]={\vec {\nabla }}\left[U\right]\;$ » ^[22] utilisant l'opérateur “nabla”
                                                on obtient « $\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$ » ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative ^[24],
                                                                « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=dU(M)\;$ » ou, en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ »
                                                                « $\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)=\left\lbrace d\right\rbrace \left[U\right](M)\;$ », les opérateurs scalaires étant « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ et $\;d\left[\;\right]\;$ » ;

cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut donner la définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” exposée ci-dessous :

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”

L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”, noté

\;{\vec {\nabla }}

, est un opérateur vectoriel linéaire tel que l'opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «

\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;

» est identique à l'opérateur scalaire “différenciation” «

\;d\left[\;\right]\;

» soit

«

\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;

» ^[25].

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire modifier

     Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” ^[26] « $\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ », « opérateur linéaire tel que $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$ » ^[27]
          Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$ »,
     on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire « $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[7],
     on obtient « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ » ^[28] ou
     on obtient « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \,\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace \rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +dz\,\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ » ;
     parallèlement la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant « $\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;dz\;$ » ^[3] ou
     parallèlement la différentielle de $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant « $\;dU=d\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$ »,
     on en déduit l'opérateur différenciation « $\;d\left[\;\right]\;$ » en repérage cylindro-polaire « $\;d\left[\;\right]=d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\;$ » soit,
     on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;d\rho$ , $\;d\theta \;$ et $\;dz\;$ de « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$ »,

«

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\\rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;

»

\Rightarrow

«

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;

» d'où

la définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire « $\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » ^[29].

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique modifier

     Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” ^[26] « $\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ », « opérateur linéaire tel que $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$ » ^[27]
          Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$ »,
     on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique « $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » ^[10],
     on obtient « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\;{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ » ^[28] ou
     on obtient « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\varphi \,\left\lbrace r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$ » ;
     parallèlement la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage sphérique s'écrivant « $\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;d\varphi \;$ » ^[3] ou
     parallèlement la différentielle de $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ dans le même repérage sphérique s'écrivant « $\;dU=dr\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;$ »,
     on en déduit l'opérateur différenciation « $\;d\left[\;\right]\;$ » en repérage sphérique « $\;d\left[\;\right]=dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\;$ » soit,
     on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;dr$ , $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ de « $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$ »,

«

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;

»

\Rightarrow

«

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;

» d'où

la définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ de l'opérateur “nabla” en sphérique « $\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » ^[30].

En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla” modifier

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace modifier

Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...” modifier

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$ » est construit à partir $\bullet \;$ de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ » et
      L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$ » est construit à partir $\bullet \;$ de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » ^[31] « $\;\cdot \;$ »,
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » en repérage cartésien ^[32], ou
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » en repérage cylindro-polaire ^[33] ou encore
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » en repérage sphérique ^[34] ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cartésienne $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ » ^[35] ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cylindro-polaire $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$ » ^[36] ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ en représentation sphérique $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$ » ^[37].

Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle modifier

Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” ^[38] au champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ on obtient l'« image $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$ » définissant
Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” au champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ on obtientle « champ scalaire divergence du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ » « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ » ^[39] ;

en conclusion le « champ scalaire $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ divergence de la fonction vectorielle différentiable de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ » résulte de l'application suivante « $\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}=\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\;$ ».

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien modifier

En cartésien « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \cdot \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$ », ce qui donne ^[40] :

Divergence d'un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

en cartésien

«

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;

».

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire modifier

En cylindro-polaire « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$ », ce qui donne ^[41] :

Divergence d'un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

en cylindro-polaire

«

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;

»
ou
«

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;

» ^[42].

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique modifier

En sphérique « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;+\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$ », ce qui donne ^[43] :

Divergence d'un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

en sphérique

«

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)

\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)}\color {black}=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;

»

ou, après regroupement,
«

\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;

» ^[44].

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace modifier

     La « divergence $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ »
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ scalaire défini en $\;M\;$ » par le « quotient du flux élémentaire $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]\;$ de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers une surface élémentaire fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ scalaire défini en $\;\color {transparent}{M}\;$ » par le « quotient du flux élémentaire $\;\color {transparent}{\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]}\;$ sur le volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ mesurant l'intérieur de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ » ^[45] soit
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}={\dfrac {\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$ » ^[45]^, ^[46] avec « $\;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')\;$ vecteur surface élémentaire en $\;M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$ »,
                                      La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est « $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$ » avec « $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$ vecteur surface orienté vers l'extérieur,
                                      La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est « $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$ » l'intérieur de cette surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ étant de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}$ .

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...” modifier

Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » dans tous les « repérages précédemment introduits » ^[47]^, ^[48], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de $\;{\vec {A}}(M)\;$ » ^[49].

Justification en repérage cartésien modifier

     Pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$ , l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$ , $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ », « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{x}(M')\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M')\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M')\,{\vec {u}}_{z}$ , noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$ »,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées du parallélépipède ^[50], soit
     on évalue alors le « $\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$ », avec
     on évalue alors le « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[51], « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[52] et
     on évalue alors le « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z+dz)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[53] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})=-A_{x}(x,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz+A_{x}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dy\,dz\;$ » ^[54],
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})=-A_{y}(x_{i},\,y,\,z_{i})\;dx\,dz+A_{y}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\;dx\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dx\,dz\;$ » ^[54] et
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})=-A_{z}(x_{i},\,y_{i},\,z)\;dx\,dy+A_{z}(x_{i},\,y_{i},\,z+dz)\;dx\,dy=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\right]dx\,dy\;$ » ^[54] soit
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun « $\;dx\,dy\,dz=d{\mathcal {V}}\;$ » puis,
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque ^[55]
     on évalue alors le « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;$ » dans lequel
                                                  on évalue alors le « $\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$ » ^[56] d'où
                                on évalue alors le « $\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$ » définissant toutes deux « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ », « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$ » C.Q.F.D. ^[57].

Justification en repérage cylindro-polaire modifier

     On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ dans ce repérage ;
     pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$ , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z$ , d'épaisseur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$ , d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ », « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{\rho }(M')\,{\vec {u}}_{\rho }(M')+A_{\theta }(M')\,{\vec {u}}_{\theta }(M')+A_{z}(M')\,{\vec {u}}_{z}$ , noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$ »,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ ^[50], soit
     on évalue alors le « $\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$ », avec
     on évalue alors le « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\rho \,d\theta \,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz\right]\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[58], « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z_{i})\cdot \left[d\rho \,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\cdot \left[d\rho \,dz\right]\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[59] et
     on évalue alors le « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z)\cdot \left[d\rho \,\rho \,d\theta \right]\left[-{\vec {u}}_{z})\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z+dz)\cdot \left[d\rho \,\rho \,d\theta \right]\left[{\vec {u}}_{z})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[60] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})=-A_{\rho }(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\;\rho \,d\theta \,dz+A_{\rho }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\;\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho \right\rbrace d\theta \,dz\;$ » ^[61]
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=-A_{\theta }(\rho _{i},\,\theta ,\,z_{i})\;d\rho \,dz+A_{\theta }(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\;d\rho \,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta \right]d\rho \,dz\;$ » ^[54] et
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})=-A_{z}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z)\;d\rho \,\rho \,d\theta +A_{z}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z+dz)\;d\rho \,\rho \,d\theta =\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\right]d\rho \,\rho \,d\theta \;$ » ^[54] soit
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun « $\;d\rho \,\rho \,d\theta \,dz=d{\mathcal {V}}\;$ » puis,
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque ^[55]
     on évalue alors le « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\;$ » dans lequel
                                                  on évalue alors le « $\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$ » ^[62] d'où
                                on évalue alors le « $\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$ » définissant toutes deux « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ », « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$ » C.Q.F.D. ^[57].

Justification en repérage sphérique modifier

     La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante $\;{\big (}$ mais aussi plus délicate ${\big )}\;$ de déterminer l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ ^[63] ;
     pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$ , l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion de boule de centre $\;O$ , d'épaisseur $\;dr\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}$ , d'ouverture de colatitude $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et d'ouverture de longitude $\;d\varphi \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ », « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{r}(M')\,{\vec {u}}_{r}(M')+A_{\theta }(M')\,{\vec {u}}_{\theta }(M')+A_{\varphi }(M')\,{\vec {u}}_{\varphi }(M')$ , noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$ »,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ ^[50], soit
     on évalue alors le « $\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphér.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})\;$ »,
on évalue alors avec « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\cdot \left[r^{2}\,d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \right]\left[-{\vec {u}}_{r}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\cdot \left[\left(r+dr\right)^{2}d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \right]\left[{\vec {u}}_{r}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[64],
     on évalue alors le « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot \left[r\,dr\,\sin(\theta )\,d\varphi \right]\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\cdot \left[r\,dr\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi \right]\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[65] et
     on évalue alors le « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot \left[dr\,r\,d\theta \right]\left[-{\vec {u}}_{\varphi })\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\cdot \left[dr\,r\,d\theta \right]\left[{\vec {u}}_{\varphi })\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[66] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})=-A_{r}(r,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\;r^{2}\,d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{r}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\;\left(r+dr\right)^{2}d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi$
     on évalue alors le $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,dr\right\rbrace d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ » ^[67]
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=-A_{\theta }(r_{i},\,\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,dr\,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{\theta }(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,dr\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi$
     on évalue alors le $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta \right\rbrace r\,dr\,d\varphi \;$ » ^[68] et
     on évalue alors le $\bullet \;$ « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}(\varphi )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}(\varphi +d\varphi )}}({\vec {A}})=-A_{\varphi }(r_{i},\,\theta _{i},\,\varphi )\;dr\,r\,d\theta +A_{\varphi }(\rho _{i},\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\;dr\,r\,d\theta =\left[\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \right]\,dr\,r\,d\theta \;$ » ^[54] soit
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun « $\;dr\,r^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi =d{\mathcal {V}}\;$ » puis,
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque ^[55]
     on évalue alors le « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$ » dans lequel
                                                  on évalue alors le « $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$ » ^[69] d'où
                                on évalue alors le « $\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$ » définissant toutes deux « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ », « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$ » C.Q.F.D. ^[57].

Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace modifier

Construction de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla vectoriel ...” modifier

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;{\vec {\nabla }}\wedge \;$ » est construit à partir $\bullet \;$ de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ » et
      L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” « $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;$ » est construit à partir $\bullet \;$ de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication vectorielle » ^[70] « $\;\wedge \;$ »,
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » en repérage cartésien ^[32], ou
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » en repérage cylindro-polaire ^[33] ou encore
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » en repérage sphérique ^[34] ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cartésienne $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\,{\vec {u}}_{x}+\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;\cdots$
                                                                             L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[71] ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cylindro-polaire $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\;\cdots$
                                                                                L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left[\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;A_{\theta }(M)-{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[72] ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ en représentation sphérique $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;\cdots \right.$
                                                                                                                                                                                                             L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” $\left.\cdots \;+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left\lbrace {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;A_{\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\;\cdots$
                                          L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)-{\dfrac {1}{r}}\;A_{\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\;\cdots$
                                                            L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {1}{r}}\;A_{\theta }(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » ^[73].

Définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel ...” de cette fonction vectorielle modifier

Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” ^[74] au champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ on obtient l'« image $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}(M)\;$ » définissant
Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” au champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ on obtientle « champ vectoriel rotationnel du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ » « $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ » ^[75] ;

en conclusion le « champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ rotationnel de la fonction vectorielle différentiable de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ » résulte de l'application suivante « $\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\wedge }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\;$ ».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien modifier

En cartésien « $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \wedge \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$ », ce qui donne ^[76]^, ^[77] :

Rotationnel d'un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

en cartésien

«

\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;

».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire modifier

En cylindro-polaire « $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$ », ce qui donne ^[78]^, ^[79] :

Rotationnel d'un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

en cylindro-polaire

«

\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[A_{\theta }(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;

»
ou encore, en compactant partiellement la dernière composante,

\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;

».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique modifier

En sphérique « $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$ », $\Rightarrow \;$ ^[80]^, ^[81] :

Rotationnel d'un champ vectoriel

\;{\vec {A}}(M)\;

en sphérique

«

\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {A_{\varphi }\,\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\\left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\\left[\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {A_{\theta }}{r}}-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;

»
ou, après regroupement,
«

\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;

» ^[82].

Définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace modifier

     Le « rotationnel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ »
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ vectoriel défini en $\;M\;$ » dont le « flux élémentaire $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)\;$ à travers une surface élémentaire ouverte $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ ^[83] entourant $\;M\;$
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ vectoriel défini en $\;\color {transparent}{M}\;$ » dont le « flux élémentaire $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)}\;$ est égal à la circulation du champ $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long du contour fermé $\;(\delta \Gamma )\;$ ^[84]
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ vectoriel défini en $\;\color {transparent}{M}\;$ » dont le « flux élémentaire $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)}\;$ est égal à la circulation du champ $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ limitant la surface élémentaire $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ » soit,
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que « $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )}\![{\vec {A}}(M)]\;$ » ou
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que « $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oint \limits _{M'\,\in \,(\delta \Gamma )}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M'}}\;$ » ^[83]^, ^[84] avec « $\;{\overrightarrow {dS}}\;$ vecteur surface élémentaire de la surface ouverte $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ en $\;M\;$ », « le contour fermé
                                                                                                              Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que $\;(\delta \Gamma )\;$ limitant la surface ouverte $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ orienté en accord avec l'orientation de la surface
                                                                                                              Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que $\;\color {transparent}{(\delta \Gamma )}\;$ limitant la surface ouverte $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ orienté en accord avec l'orient ouverte $\;(\delta S)\;$ » ^[85].

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla vectoriel ...” modifier

Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$ » dans tous les « repérages précédemment introduits » ^[47]^, ^[86], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de $\;{\vec {A}}(M)\;$ » ^[87] ;

la méthode la plus simple, dans un repérage donné, consiste à choisir une surface élémentaire ouverte $\;(\delta S)$ $\;\perp \;$ à un des trois vecteurs de base du repérage, le flux élémentaire du vecteur $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ à travers cette surface ne faisant intervenir que la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur le vecteur de base choisi, le calcul de la circulation de $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long du contour $\;(\Gamma )\;$ limitant la surface $\;(\delta S)$ , ne permet de vérifier que la composante $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur ce vecteur de base et par suite

la méthode la plus simple, dans un repérage donné, il faut recommencer la vérification sur deux autres surfaces élémentaires ouvertes $\;(\delta S)$ $\;\perp \;$ aux deux autres des trois vecteurs de base du repérage $\;\ldots$

Justification en repérage cartésien modifier

      $\succ \;$ Pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$ , l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{z}\;$ de longueur $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}$ , orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Pour cela « on considère, à partir du point $\;\color {transparent}{M\,\left(x,\,y,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ limitant $\;(\delta S)_{z}\;$ étant orienté de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{y}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{z}\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x)}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z)\cdot dx\,\left[{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y+dy)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y+dy,\,z)\cdot dx\,\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[88] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x+dx)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x+dx,\,y_{i},\,z)\cdot dy\,\left[{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z)\cdot dy\,\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[89] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y+dy)}({\vec {A}})=A_{x}(x_{i},\,y,\,z)\;dx-A_{x}(x_{i},\,y+dy,\,z)\;dx=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dx\;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x)}({\vec {A}})=A_{y}(x+dx,\,y_{i},\,z)\;dy-A_{y}(x,\,y_{i},\,z)\;dy=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dy\;$ » ^[54] soit, en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\,dx\;dy=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{z}\;$ »
                                                                                                                                            $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}$ $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{z}=dx\;dy\;$ aire de $\;(\delta S)_{z}{\big \}}\;$ ^[90] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{z}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{z}$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{z}=dS_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{z}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{z}={\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{z}\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\;$ » ^[91] C.Q.F.D. ^[57].

      $\succ \;$ Puis « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$ , l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{x}\;$ de longueur $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}$ , orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Puis « on considère, à partir du point $\;\color {transparent}{M\,\left(x,\,y,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{x}\;$ limitant $\;(\delta S)_{x}\;$ étant orienté de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{z}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{x}\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{x}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y)}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z)\cdot dy\,\left[{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z+dz)\cdot dy\,\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[92] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y+dy)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y+dy,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[93] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z+dz)}({\vec {A}})=A_{y}(x,\,y_{i},\,z)\;dy-A_{y}(x,\,y_{i},\,z+dz)\;dy=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\right]dy\;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y)}({\vec {A}})=A_{z}(x,\,y+dy,\,z_{i})\;dz-A_{z}(x,\,y,\,z_{i})\;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dz\;$ » ^[54] soit, en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\,dy\;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\,dS_{x}\;$ »
                                                                                                                                            $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}$ $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{x}=dy\;dz\;$ aire de $\;(\delta S)_{x}{\big \}}\;$ ^[90] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{x}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{x}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{x}$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{x}=dS_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{x}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{x}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{x}={\overline {\mathrm {rot} }}_{x}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{x}\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{x}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{x}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{x}=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\,dS_{x}\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{x}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{x}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\;$ » ^[91].

      $\succ \;$ Enfin « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$ , l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{y}\;$ de longueur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$ , orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Puis « on considère, à partir du point $\;\color {transparent}{M\,\left(x,\,y,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{y}\;$ limitant $\;(\delta S)_{y}\;$ étant orienté de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{x}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{y}\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{y}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z)}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x+dx)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x+dx,\,y,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[94] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z+dz)\cdot dx\,\left[{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z)\cdot dx\,\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[95] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x+dx)}({\vec {A}})=A_{z}(x,\,y,\,z_{i})\;dz-A_{z}(x+dx,\,y,\,z_{i})\;dz=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dz\;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z)}({\vec {A}})=A_{x}(x_{i},\,y,\,z+dz)\;dx-A_{x}(x_{i},\,y,\,z)\;dx=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\right]dx\;$ » ^[54] soit, en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\,dz\;dx=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{y}\;$ »
                                                                                                                                            $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}$ $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{y}=dz\;dx\;$ aire de $\;(\delta S)_{y}{\big \}}\;$ ^[90] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{y}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{y}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{y}$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{y}=dS_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{y}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{y}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{y}={\overline {\mathrm {rot} }}_{y}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{y}\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{y}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{y}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{y}=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{y}\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{y}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{y}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\;$ » ^[91].

$\succ \;$ En conclusion « $\;{\dfrac {\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{s}}({\vec {A}})}{dS_{s}}}={\overline {{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}}}_{s}(M)\;$ avec $\;s\,\in \,\left\lbrace x,\,y,\,z\right\rbrace \;$ » définissant toutes deux « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{s}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ » « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \;$ » C.Q.F.D. ^[57].

Justification en repérage cylindro-polaire modifier

      $\succ \;$ Pour cela « on considère, à partir de $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$ , l'expansion surfacique élémentaire cylindrique $\;(\delta S)_{\rho }\;$ de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et d'arc $\;\rho \,d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$ , orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\rho }\;$ étant orienté sur l'arc de cercle de cote $\;z\;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;\color {transparent}{(\delta \Gamma )_{\rho }}\;$ limitant $\;\color {transparent}{(\delta S)_{\rho }}\;$ étant orienté en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\rho }\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$ ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta )}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\cdot \rho \,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z+dz)\cdot \rho \,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[96] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[97] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z+dz)}({\vec {A}})=A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\;\rho \,d\theta -A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z+dz)\;\rho \,d\theta =\left[-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\right]\rho \,d\theta \;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta )}({\vec {A}})=A_{z}(\rho ,\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\;dz-A_{z}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta \right]dz\;$ » ^[54] soit, en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\,\rho \,d\theta \;dz=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\,dS_{\rho }\;$ »
                                                                                                                                                                              $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{\rho }=\rho \,d\theta \;dz\;$ aire de $\;(\delta S)_{\rho }{\big \}}\;$ ^[98] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire cylindrique $\;(\delta S)_{\rho }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\rho }$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{\rho }=dS_{\rho }\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\rho }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\rho }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\rho }\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\rho }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\rho }=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\,dS_{\rho }\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\rho }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\;$ » ^[99] C.Q.F.D. ^[57].

      $\succ \;$ Puis « on considère, à partir de $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$ , l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{\theta }\;$ de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et de largeur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$ , orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Puis « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\theta }\;$ étant orienté sur le rayon de cote $\;z\;$ dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\theta }\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho )}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\cdot d\rho \,\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z+dz)\cdot d\rho \,\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[100] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[101] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z+dz)}({\vec {A}})=-A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\;d\rho +A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta ,\,z+dz)\;d\rho =\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\right]\,d\rho \;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho )}({\vec {A}})=-A_{z}(\rho +d\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\;dz+A_{z}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\;dz=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho \right]dz\;$ » ^[54] $\Rightarrow$ par somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\,d\rho \;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$ »
                                                                                                                                                                  $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{\theta }=d\rho \;dz\;$ aire de $\;(\delta S)_{\theta }{\big \}}\;$ ^[98] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{\theta }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{\theta }=dS_{\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\theta }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\;$ » ^[99] C.Q.F.D. ^[57].

      $\succ \;$ Enfin « on considère, à partir de $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$ , l'expansion surfacique élémentaire sectorielle $\;(\delta S)_{z}\;$ de largeur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$ , d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$ , orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Enfin « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ limitant $\;(\delta S)_{z}\;$ étant orienté sur l'arc de rayon $\;\rho +d\rho \;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\cdot d\rho \,\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z)\cdot d\rho \,\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[102] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z)\cdot (\rho +d\rho )\,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\cdot \rho \,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[103] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\;d\rho -A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z)\;d\rho =\left[-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta \right]\,d\rho \;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})=A_{\theta }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z)\,(\rho +d\rho )\,d\theta -A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\;\rho \,d\theta =\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho \right\rbrace \,d\theta \;$ » ^[54] soit,
                                    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})=A_{\theta }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z)\,(\rho +d\rho )\,d\theta -A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\;\rho \,d\theta =}$ en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \,d\rho \;d\theta ={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{z}\;$ » $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{z}=\rho \;d\theta \;d\rho \;$
                                                                                                                                                                                                                   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire aire de $\;(\delta S)_{z}{\big \}}\;$ ^[98] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire sectorielle $\;(\delta S)_{z}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{z}$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{z}=dS_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{z}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{z}={\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{z}\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \;$ » ^[99] C.Q.F.D. ^[57].

$\succ \;$ En conclusion « $\;{\dfrac {\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{s}}({\vec {A}})}{dS_{s}}}={\overline {{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}}}_{s}(M)\;$ avec $\;s\,\in \,\left\lbrace \rho ,\,\theta ,\,z\right\rbrace \;$ » définissant toutes deux « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{s}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ » « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \;$ » C.Q.F.D. ^[57].

Justification en repérage sphérique modifier

      $\succ \;$ Pour cela « on considère, à partir de $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$ , l'expansion surfacique élémentaire sphérique $\;(\delta S)_{r}\;$ de rayon $\;r$ , d'ouvertures angulaires $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$ , $\;d\varphi \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$ , l'expansion surfacique élémentaire sphérique $\;\color {transparent}{(\delta S)_{r}}\;$ orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ »
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$ limitant $\;(\delta S)_{r}\;$ étant orienté sur l'arc de cercle de colatitude $\;\theta \;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$ , « le contour fermé $\;\color {transparent}{(\delta \Gamma )_{r}}\;$ limitant $\;\color {transparent}{(\delta S)_{r}}\;$ étant orienté en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{r}\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)={\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$ ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta )}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot r\,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\cdot r\,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[104] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\cdot r\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi \,\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot r\,\sin(\theta )\,d\varphi \,\left[-{\vec {u}}_{\varphi }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[105] ; en regroupant les termes deux à deux $\Rightarrow$
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})=A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\;r\,d\theta -A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\;r\,d\theta =\left[-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \right]r\,d\theta \;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta )}({\vec {A}})=A_{\varphi }(r,\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi -A_{\varphi }(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi$
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta )}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta \right\rbrace r\,d\varphi \;$ » ^[54] soit, en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \,r\,d\theta \;d\varphi ={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{r}\;$ »
                                                                                                                                                                 $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{r}=r^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$ aire de $\;(\delta S)_{r}{\big \}}\;$ ^[106] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire sphérique $\;(\delta S)_{r}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{r}$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{r}=dS_{r}\;{\vec {u}}_{r}\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{r}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{r}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{r}={\overline {\mathrm {rot} }}_{r}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{r}\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{r}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{r}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{r}={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{r}\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{r}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{r}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \;$ » ^[107] C.Q.F.D. ^[57].

      $\succ \;$ Puis « on considère, à partir de $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$ , l'expansion surfacique élémentaire tronconique $\;(\delta S)_{\theta }\;$ d'apothème ^[108] $\;dr\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et d'ouverture angulaire $\;d\varphi \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Puis « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$ , l'expansion surfacique élémentaire tronconique $\;\color {transparent}{(\delta S)_{\theta }}\;$ orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Puis « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\theta }\;$ étant orienté sur le rayon de longitude $\;\varphi \;$ dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{r}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\theta }\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\cdot dr\,\left[-{\vec {u}}_{r}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi +d\varphi )\cdot dr\,\left[{\vec {u}}_{r}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[109] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r+dr,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot (r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi \left[-{\vec {u}}_{\varphi }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot r\,\sin(\theta )\,d\varphi \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[110] ; regroupant les termes deux à deux
                                                     $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\color {transparent}{\left\lbrace \delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})={\vec {A}}(r+dr,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot (r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi \left[-{\vec {u}}_{\varphi }\right]\right\rbrace }\;$ » nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi +\varphi )}({\vec {A}})=-A_{r}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\;dr+A_{r}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi +d\varphi )\;dr=\left[\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \right]\,dr\;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})=-A_{\varphi }(r+dr,\,\theta ,\,\varphi _{i})\,(r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{\varphi }(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi$
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace -\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr\right\rbrace \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ » ^[54] soit, en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-\sin(\theta )\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\,dr\;d\varphi =\left[{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$ »
                                                                                                                                                                  $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{\theta }=r\;dr\;\sin(\theta )\;d\varphi \;$ aire de $\;(\delta S)_{\theta }{\big \}}\;$ ^[106] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire tronconique $\;(\delta S)_{\theta }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{\theta }=dS_{\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\theta }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }=\left[{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\;$ » ^[107] C.Q.F.D. ^[57].

      $\succ \;$ Enfin « on considère, à partir de $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$ , l'expansion surfacique élémentaire méridienne $\;(\delta S)_{\varphi }\;$ de hauteur $\;dr\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$ ,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Enfin « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$ , l'expansion surfacique élémentaire méridienne $\;\color {transparent}{(\delta S)_{\varphi }}\;$ orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ »,
      $\color {transparent}{\succ }\;$ Enfin « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$ , « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\varphi }\;$ étant orienté sur le rayon de colatitude $\;\theta \;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\varphi }\;$ » ^[85] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » ^[84],
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$ ^[28], soit
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})\;$ », avec
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\cdot dr\,\left[{\vec {u}}_{r}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi )\cdot dr\,\left[-{\vec {u}}_{r}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[111] et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot (r+dr)\,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot r\,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[84]^, ^[112] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=A_{r}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\;dr-A_{r}(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi )\;dr=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta \right]\,dr\;$ » ^[54] et
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})=A_{\theta }(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi )\,(r+dr)\,d\theta -A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\;r\,d\theta =\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr\right\rbrace \,d\theta \;$ » ^[54] soit,
                                    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})=A_{\theta }(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi )\,(r+dr)\,d\theta -A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\;r\,d\theta =}$ en faisant la somme :
   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \,dr\;d\theta ={\dfrac {1}{r}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{\varphi }\;$ » $\;{\big \{}$ avec $\;dS_{\varphi }=r\;d\theta \;dr\;$
                                                                                                                                                                                                                   $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors la « circulation élémentaire aire de $\;(\delta S)_{\varphi }{\big \}}\;$ ^[106] ;

      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire méridienne $\;(\delta S)_{\varphi }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ , son vecteur surface élémentaire s'écrit « $\;{\overrightarrow {dS}}_{\varphi }=dS_{\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » et
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\varphi }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\varphi }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\varphi }\;$ » ^[83] ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\varphi }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\varphi }={\dfrac {1}{r}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{\varphi }\;$ on en déduit
    $\color {transparent}{\succ }\;$ on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ ou « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\varphi }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \;$ » ^[107] C.Q.F.D. ^[57].

$\succ \;$ En conclusion « $\;{\dfrac {\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{s}}({\vec {A}})}{dS_{s}}}={\overline {{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}}}_{s}(M)\;$ avec $\;s\,\in \,\left\lbrace r,\,\theta ,\,\varphi \right\rbrace \;$ » définissant toutes deux « $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{s}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ » « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \;$ » C.Q.F.D. ^[57].

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace modifier

Construction de l'opérateur linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla” modifier

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}\;$ » est construit à partir $\bullet \;$ de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ » et
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;$ » est construit à partir $\bullet \;$ de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » ^[31] « $\;\cdot \;$ »,
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” avec pour domaine d'application, les fonctions scalaires deux fois différentiables de l'espace soit
                                                        en repérage cartésien « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ ^[32]
                                                        en repérage cartésien « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » ^[35]^, ^[113], ou
                                              en repérage cylindro-polaire « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » ^[33]
                                              en repérage cylindro-polaire « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » ^[114] ou
                                                      en repérage sphérique « $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdots \right.$
                                                                                                                                  en repérage sphérique « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace \right.}$ $\left.\cdot \,{\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\right\rbrace \left[\;\right]\;$ ^[34]
                                                      en repérage sphérique « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$ » ^[115],

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction scalaire $\;U(M)=U(x,\,y,\,z)\;$ en représentation cartésienne $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)={\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M){\Bigg ]}\;$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ » ;

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction scalaire $\;U(M)=U(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ en représentation cylindro-polaire $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)={\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M){\Bigg ]}\;$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$ » ;

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction scalaire $\;U(M)=U(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ en représentation sphérique $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdots \right.$
                                                                 L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)=\left\lbrace \right.}$ $\left.\cdot \,{\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M){\Bigg ]}\right\rbrace \;$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” « $\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;$ ».

Définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire modifier

Appliquant l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ on obtient l'« image scalaire $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$ » définissant
Appliquant l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ on obtientle « champ scalaire laplacien ^[116] du champ scalaire $\;U(M)\;$ » ^[117] « $\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$ » ;

en conclusion « le champ scalaire laplacien ^[116] de la fonction scalaire deux fois différentiable de l'espace $\;U(M)\;$ » résulte de l'application suivante « $\;U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\!U=\Delta \!\left[U\right]\;$ ».

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien modifier

En cartésien « $\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\vec {u}}_{y}\,{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\right\rbrace \cdot \left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,{\dfrac {\partial U}{\partial x}}+{\vec {u}}_{y}\,{\dfrac {\partial U}{\partial y}}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right\rbrace (M)\;$ » ^[118], ce qui donne ^[35]^, ^[113] :

Laplacien d'un champ scalaire

\;U(M)\;

en cartésien

«

\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;

» ^[119].

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire modifier

En cylindro-polaire « $\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,{\dfrac {\partial }{\partial \rho }}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\right\rbrace \cdot \left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,{\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right\rbrace (M)\;$ » ^[118], ce qui donne ^[114] :

Laplacien d'un champ scalaire

\;U(M)\;

en cylindro-polaire

«

\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;

» ^[120] ou
«

\;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;

» ^[121].

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique modifier

En sphérique « $\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,{\dfrac {\partial }{\partial r}}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right\rbrace \cdot \left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,{\dfrac {\partial U}{\partial r}}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right\rbrace (M)\;$ » ^[118], ce qui donne ^[115] :

Laplacien d'un champ scalaire

\;U(M)\;

en sphérique

« $\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+\cdots$ $\cdots \;{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;$ » ^[122] ou
« $\;\Delta \!\left[U\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;$ » ^[118]^, ^[123].

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace modifier

     À la fonction scalaire $\;U\;$ on associe par l'opérateur vectoriel “nabla”
     À la fonction scalaire $\;\color {transparent}{U}\;$ on associe le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $\;U\;$ selon « $\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$ » ^[124], puis
     à la fonction vectorielle $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$ on associe par l'opérateur “nabla scalaire ...”
     à la fonction vectorielle $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]}\;$ on associe le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$ selon « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \;$ » ^[125] ;
     en composant les deux opérateurs on a donc « $\;U\;\;{\overset {\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {\nabla }}\right]}{\longrightarrow }}\;\;\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \;$ » ou
     en composant les deux opérateurs on a donc « $\;U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \;$ s'identifiant à $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right]=\Delta \!\left[U\right]\;$ » d'où
     en composant les deux opérateurs on a donc la définition intrinsèque $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ du champ scalaire laplacien ^[116] d'une fonction scalaire de l'espace :

Laplacien du champ scalaire

\;U(M)\;

« Le laplacien ^[116]

\;\Delta \!\left[U\right](M)\;

de la fonction scalaire

\;U(M)\;

»
« Le laplacien

\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}\;

est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire

\;U(M)\;

» soit

«

\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)\;

».

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque modifier

La façon la plus simple de déterminer l'expression du laplacien ^[116] de la fonction scalaire $\;U\;$ dans n'importe quel repérage
La façon la plus simple est d'« utiliser sa définition intrinsèque » avec les « expressions de la divergence et du gradient dans le repérage considéré ».

Expression cartésienne du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque modifier

Nous allons donc appliquer l'expression de la divergence en représentation cartésienne à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable $\;U(M)\;$ dans la même représentation soit :

expression cartésienne de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)$ : « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[126] et
expression cartésienne de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)$ : « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left({\dfrac {\partial \left[A_{x}\right]}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial \left[A_{y}\right]}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial \left[A_{z}\right]}{\partial z}}\right)_{\!x,\,\theta }\!(M)\;$ » ^[127] d'où
expression cartésienne de $\;\Delta \!\left[U\right](M)$ : « $\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\right]}{\partial x}}\right\rbrace _{\!y,\,z}\!(M)+\left\lbrace ({\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\right]}{\partial y}}\right\rbrace _{\!x,\,z}\!(M)+\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!x,\,\theta }\!(M)\;$
expression cartésienne de $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : « $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ » ^[119] C.Q.F.D. ^[57].

Expression cylindro-polaire du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque modifier

Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation cylindro-polaire à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable $\;U(M)\;$ dans la même représentation soit :

expression cylindro-polaire de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)$ : « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ » ^[128] et
expression cylindro-polaire de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)$ : « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$ » ^[129] d'où
expression cylindro-polaire de $\;\Delta \!\left[U\right](M)$ : « $\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right\rbrace _{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$
expression cylindro-polaire de $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : « $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)}$ $={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right\rbrace _{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$ » ^[130] C.Q.F.D. ^[57].

Expression sphérique du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque modifier

Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation sphérique à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable $\;U(M)\;$ dans la même représentation soit :

expression sphérique de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)$ : « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » ^[131] et
expression sphérique de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)$ : « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$ » ^[132] d'où
expression sphérique de $\;\Delta \!\left[U\right](M)$ : « $\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)$
expression sphérique de $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : « $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ $={\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r^{2}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)\right]}{\partial r}}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)\right]}{\partial \varphi }}\right\rbrace (M)\;$ ^[118]
expression sphérique de $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : « $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ $={\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r^{2}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)\right]}{\partial r}}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left[{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}\right]\,(M)\;$ » ^[118]^, ^[133] C.Q.F.D. ^[57].

Notes et références modifier

↑ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La circulation élémentaire d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est $\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {A}})={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ $\rightsquigarrow \;$ voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 et ^3,5 Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », définition généralisée à une fonction scalaire de trois variables indépendantes.
↑ Ou, de façon plus concise « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU\;$ » $\rightsquigarrow$ définition à connaître sans hésitation.
↑ Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Peut servir de définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cartésien mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
↑ ^7,0 et ^7,1 Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Peut servir de définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cylindro-polaire mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
↑ Les composantes de gradient de $\;U\;$ s'exprimant en $\;\left[U\right]\!\cdot \!m^{-1}\;$ avec $\;\left[U\right]\;$ désignant l'unité de $\;U\;$ et la dérivée partielle de $\;U\;$ relativement à un angle s'exprimant en $\;\left[U\right]$ , un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de $\;U\;$ relativement à $\;\theta \;$ est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ; le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à $\;\theta \;$ ${\bigg [}$ en l'occurrence $\;{\dfrac {1}{\rho }}{\bigg ]}\;$ est l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel $\;d\theta \;$ ${\big [}$ en l'occurrence $\;\rho {\big ]}\;$ dans le vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire $\;{\overrightarrow {dM}}=$ $d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\color {red}\rho \,\color {black}d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+dz\,{\vec {u}}_{z}$ .
↑ ^10,0 et ^10,1 Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Peut servir de définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage sphérique mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
↑ Les composantes de gradient de $\;U\;$ s'exprimant en $\;\left[U\right]\!\cdot \!m^{-1}\;$ avec $\;\left[U\right]\;$ désignant l'unité de $\;U\;$ et les dérivées partielles de $\;U\;$ relativement à un angle s'exprimant en $\;\left[U\right]$ , un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de $\;U\;$ relativement à $\;\theta \;$ et celle de $\;U\;$ relativement à $\;\varphi \;$ est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ;
le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à $\;\theta \;$ ${\bigg [}$ en l'occurrence $\;{\dfrac {1}{r}}{\bigg ]}\;$ et celui précédant la dérivée partielle relativement à $\;\varphi \;$ ${\bigg [}$ en l'occurrence $\;{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}{\bigg ]}\;$ sont respectivement l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel $\;d\theta \;$ ${\big [}$ en l'occurrence $\;r{\big ]}\;$ et de celui qui précède l'élément différentiel $\;d\varphi \;$ ${\big [}$ en l'occurrence $\;r\,\sin(\theta ){\big ]}\;$ dans le vecteur déplacement élémentaire en sphérique $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\,{\vec {u}}_{r}+\color {red}r\,\color {black}d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+\color {red}r\,\sin(\theta )\,\color {black}d\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }$ .
↑ ^13,0 et ^13,1 $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ n'ayant pas de composantes sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ${\big [}$ ou n'ayant pas de composantes sur $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{\theta }{\big ]}$ .
↑ Si le débit de l'eau dans la conduite n'est pas trop lent.
↑ ^15,0 et ^15,1 Lacune $\;{\big (}$ actuelle ${\big )}\;$ de la langue française, le seul terme existant étant « centripète » utilisé dans le repérage sphérique pour un « champ radial et dirigé vers le pôle », mais aucun terme équivalent en cylindro-polaire pour un “champ radial et dirigé vers l'axe” $\;{\big [}$ l'usage est alors de qualifier ce champ de “ centripète ”, mais ce n'est pas correct étymologiquement d'où le remplacement par “axipète” $\;\ldots \;$ Attention cet adjectif ne figure pas $\;{\big (}$ encore ${\big )}\;$ dans la langue française ${\big ]}$ .
↑ C.-à-d. en se déplaçant dans le plan tangent à la surface en $\;M$ .
↑ C.-à-d. les surfaces iso- $T$ .
↑ D'équation $\;\rho =cste$ .
↑ C.-à-d. les surfaces iso- $p$ .
↑ D'équation $\;z=cste$ .
↑ Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^22,0 et ^22,1 Pour l'instant ce n'est vérifié qu'en repérage cartésien, mais cela reste valable dans tous les repérages.
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 1^ère propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Pour l'instant le domaine d'application de cet opérateur scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.
↑ ^26,0 et ^26,1 Admettre cette définition revient à dire qu'elle est valable quel que soit le repérage.
↑ ^27,0 et ^27,1 Voir le paragraphe « proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^28,00 ^28,01 ^28,02 ^28,03 ^28,04 ^28,05 ^28,06 ^28,07 ^28,08 ^28,09 et ^28,10 La multiplication scalaire étant distributive relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Pour établir les composantes cylindro-polaires de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en cylindro-polaire $\ldots$
↑ Pour établir les composantes sphériques de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en sphérique $\ldots$
↑ ^31,0 et ^31,1 On admet l'applicabilité de la notion de multiplication scalaire avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ », la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^32,0 ^32,1 et ^32,2 Voir le paragraphe « définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cartésien » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^33,0 ^33,1 et ^33,2 Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^34,0 ^34,1 et ^34,2 Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage sphérique » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^35,0 ^35,1 et ^35,2 Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ,
Expression obtenue en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants et qu'ils forment une base orthonormée.
↑
Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
   Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable,
   Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de $\;\theta$ $\;\theta$ , le 3^ème étant constant et qu'ils forment une base orthonormée ;
   compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- « $\;T_{\rho ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;$ »,
- « $\;T_{\rho ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)}}=0\;$ »,
- « $\;T_{\rho ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}}}=0\;$ »,
- « $\;T_{\theta ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}}}=0\;$ »,
- « $\;T_{z,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)}}=0\;$ »,
- « $\;T_{z,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)}}=0\;$ » et
- « $\;T_{z,\,z}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}}}=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$ ».
↑
Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
   Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
   Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de $\;\theta \;$ $\;\theta \;$ et $\;\varphi$ $\;\varphi$ , le 3^ème ne dépendant que de $\;\varphi \;$ $\;\varphi \;$ et qu'ils forment une base orthonormée ;
   compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- « $\;T_{r,\,r}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;$ »,
- « $\;T_{r,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}=0\;$ »,
- « $\;T_{r,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}=0\;$ »,
- « $\;T_{\theta ,\,r}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {A_{r}}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)={\dfrac {1}{r}}\,A_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)}}={\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}=0\;$ »,
- « $\;T_{\varphi ,\,r}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)={\dfrac {1}{r}}\,A_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\varphi ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)={\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}A_{\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et
- « $\;T_{\varphi ,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}(M)\,{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)}}={\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla scalaire ...” » plus haut dans ce chapitre.
↑ Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir « ici » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ » et
   Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” $\;{\big \{}$ voir « là » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ »,
   Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla scalaire ...” $\;{\big \{}$ énoncée ici ${\big \}}\;$ » mais aussi
   Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « définition (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre ${\big \}}\;$ ».
↑ Voir l'explication à la note « ³⁵ » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir l'explication à la note « ³⁶ » plus haut dans ce chapitre.
↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\left[A_{\rho }(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\right]\;$ » $\ldots$
↑ Voir l'explication à la note « ³⁷ » plus haut dans ce chapitre.
↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'une part « $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left[2\,r\,A_{r}(M)+r^{2}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\right]\;$ » et
On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'autre part « $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)={\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left[\cos(\theta )\,A_{\theta }(M)+\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\right]\;$ » $\ldots$
↑ ^45,0 et ^45,1 Le flux élémentaire d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers une surface ouverte est défini par « $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}\;$ » $\rightsquigarrow$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap. $29$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
Ici la surface élémentaire $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ étant fermée, il faut la décomposer en éléments de surface $\;(\delta ^{2}{\mathcal {S}})\;$ infiniment petits relativement à $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ et le flux élémentaire de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ est défini par « $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')\;$ » avec « $\;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')\;$ vecteur surface élémentaire en $\;M'\;$ de la surface élémentaire fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$ », vecteur orienté vers l'extérieur $\Rightarrow$ le flux est alors qualifié de « sortant » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermé » du chap. $29$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Ou, de façon plus concise « $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}=\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^47,0 et ^47,1 Parmi les repérages introduits ceux qui sont valables pour tous les points de l'espace c.-à-d. « cartésien », « cylindro-polaire » et « sphérique » ${\big [}$ le repérage de Frenet nécessitant de connaître la courbe n'est donc valable que localement sur cette courbe ${\big ]}\;$ mais il existe d'autres repérages non introduits valables pour tous les points de l'espace comme
Parmi le « repérage bifocale » substituant les coordonnées $\;(r,\,\theta )\;$ du repérage sphérique d'un point dans le demi-plan méridien $\;\varphi =cste\;$ par $\;(r_{1},\,r_{2})\;$ distance respective du point à deux points fixes de l'axe $\;z'z\;$ symétriques par rapport à $\;O$ , notés $\;A_{1}\;$ pour $\;(z_{1}=a>0)$ , $\;A_{2}\;$ pour $\;(z_{2}=-a<0)\;$ et appelés « foyers du repérage » $\ldots$
↑ Comme, par exemple, dans le repérage cartésien « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ ».
↑ Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages $\ldots$
↑ ^50,0 ^50,1 et ^50,2 L'orientation de chaque face pointant vers l'extérieur de l'expansion tridimensionnelle élémentaire.
↑ La face $\;\parallel \;$ à $\;yOz$ , d'abscisse $\;x\;$ est d'aire $\;dy\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{x}$ ;
la face $\;\parallel \;$ à $\;yOz$ , d'abscisse $\;x+dx\;$ est d'aire $\;dy\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{x}$ ;
l'ordonnée et la cote du point générique de chaque face sont notées $\;y_{i}\;$ et $\;z_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy\;$ pour l'ordonnée et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote.
↑ La face $\;\parallel \;$ à $\;xOz$ , d'ordonnée $\;y\;$ est d'aire $\;dx\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{y}$ ;
la face $\;\parallel \;$ à $\;xOz$ , d'ordonnée $\;y+dy\;$ est d'aire $\;dx\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{y}$ ;
l'abscisse et la cote du point générique de chaque face sont notées $\;x_{i}\;$ et $\;z_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx\;$ pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote.
↑ La face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z\;$ est d'aire $\;dx\,dy$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{z}$ ;
la face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z+dz\;$ est d'aire $\;dx\,dy$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
l'abscisse et l'ordonnée du point générique de chaque face sont notées $\;x_{i}\;$ et $\;y_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx\;$ pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy\;$ pour l'ordonnée.
↑ ^54,00 ^54,01 ^54,02 ^54,03 ^54,04 ^54,05 ^54,06 ^54,07 ^54,08 ^54,09 ^54,10 ^54,11 ^54,12 ^54,13 ^54,14 ^54,15 ^54,16 ^54,17 ^54,18 ^54,19 ^54,20 ^54,21 ^54,22 et ^54,23 Par généralisation de l'« approximation linéaire d'une fonction scalaire d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » vue au chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes, la dérivée droite étant remplacée par la dérivée partielle relativement à la variable dont on cherche l'approximation au voisinage d'une de ses valeurs, les autres variables étant figées.
↑ ^55,0 ^55,1 et ^55,2 En fait la définition intrinsèque de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ nécessite que l'expansion tridimensionnelle de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ soit limitée par une surface fermée $\;(\delta S)\;$ entourant $\;M$ ,
ici le point $\;M\,\in \,(\delta S)$ , ce n'est donc qu'une approximation de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ mais le centre de $\;(\delta S)\;$ étant infiniment proche de $\;M$ , la définition intrinsèque reste applicable en $\;M\;$ à des infiniment petits d'ordre supérieur près.
↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^57,00 ^57,01 ^57,02 ^57,03 ^57,04 ^57,05 ^57,06 ^57,07 ^57,08 ^57,09 ^57,10 ^57,11 ^57,12 ^57,13 ^57,14 et ^57,15 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ La face cylindrique de rayon $\;\rho \;$ est d'aire $\;\rho \,d\theta \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
   la face cylindrique de rayon $\;\rho +d\rho \;$ est d'aire $\;\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\rho }$ ;
   l'abscisse angulaire et la cote du point générique de chaque face sont notées $\;\theta _{i}\;$ et $\;z_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour l'abscisse angulaire et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote ;
   attention les aires des deux portions de faces cylindriques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des tuyaux cylindriques n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à $\;d\theta \;$ sur chaque tuyau ne sont pas de même longueur.
↑ La face $\;\parallel \;$ au méridien, d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ est d'aire $\;d\rho \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\theta }$
la face $\;\parallel \;$ au méridien, d'abscisse angulaire $\;\theta +d\theta \;$ est d'aire $\;d\rho \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
le rayon polaire et la cote du point générique de chaque face sont notés $\;\rho _{i}\;$ et $\;z_{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho \;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote.
↑ La face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z\;$ est d'aire $\;d\rho \,\rho \,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{z}$
la face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z+dz\;$ est d'aire $\;d\rho \,\rho \,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
le rayon polaire et l'abscisse angulaire du point générique de chaque face sont notés $\;\rho _{i}\;$ et $\;\theta _{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho \;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour l'abscisse angulaire.
↑ Observant une différence de valeurs de la fonction $\;\rho \,A_{\rho }(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ entre celle pour $\;\rho +d\rho \;$ et celle pour $\;\rho$ , on peut réécrire
Observant la somme des deux termes, « après factorisation par $\;d\theta \,dz\;$ », selon « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})=\left[-\rho \,A_{\rho }(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})+\left(\rho +d\rho \right)A_{\rho }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\right]d\theta \,dz\;$ »,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction $\;\rho \,A_{\rho }(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ Surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux « $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\,{\vec {u}}_{r}\;$ ».
↑ La face sphérique de rayon $\;r\;$ est d'aire $\;r^{2}\,d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{r}$ ;
   la face sphérique de rayon $\;r+dr\;$ est d'aire $\;\left(r+dr\right)^{2}d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{r}$ ;
   la colatitude et la longitude du point générique de chaque face sont notées $\;\theta _{i}\;$ et $\;\varphi _{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour la colatitude et n'importe quelle valeur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi \;$ pour la longitude ;
   attention les aires des deux portions de faces sphériques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des sphères n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à $\;d\theta \;$ et à $\;d\varphi \;$ ne sont pas de même longueur.
↑ La face $\;\parallel \;$ au parallèle, de colatitude $\;\theta \;$ est d'aire $\;r\,dr\,\sin(\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\theta }$
   la face $\;\parallel \;$ au parallèle, de colatitude $\;\theta +d\theta \;$ est d'aire $\;r\,dr\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
   le rayon polaire et la longitude du point générique de chaque face sont notés $\;r_{i}\;$ et $\;\varphi _{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi \;$ pour la longitude ;
   attention les aires des deux portions de faces en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les colatitudes n'étant pas les mêmes, les rayons des parallèles sont différents et les arcs correspondant à $\;d\varphi \;$ ne sont pas de même longueur.
↑ La face $\;\parallel \;$ au méridien, de longitude $\;\varphi \;$ est d'aire $\;dr\,r\,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\varphi }$
la face $\;\parallel \;$ au méridien, de longitude $\;\varphi +d\varphi \;$ est d'aire $\;dr\,r\,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
le rayon polaire et la colatitude du point générique de chaque face sont notés $\;r_{i}\;$ et $\;\theta _{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour la colatitude.
↑ Observant une différence de valeurs de la fonction $\;r^{2}\,A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ entre celle pour $\;r+dr\;$ et celle pour $\;r$ , on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par $\;d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ »,
Observant selon « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})=\left[-r^{2}\,A_{r}(r,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})+\left(r+dr\right)^{2}\,A_{r}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\right]d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ »,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction $\;r^{2}\,A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ Observant une différence de valeurs de la fonction $\;\sin(\theta )\,A_{\theta }(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ entre celle pour $\;\theta +d\theta \;$ et celle pour $\;\theta$ , on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par $\;r\,dr\,d\varphi \;$ »,
Observant selon « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}}({\vec {A}})=\left[-\sin(\theta )\,A_{\theta }(r_{i},\,\theta ,\,\varphi _{i})+\sin \!\left(\theta +d\theta \right)\,A_{\theta }(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\right]\,r\,dr\,d\varphi \;$ »,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction $\;\sin(\theta )\,A_{\theta }(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.
↑ On admet l'applicabilité de la notion de multiplication vectorielle avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ », la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ,
Expression obtenue en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants, qu'ils forment une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite $\;{\big \{}$ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » et le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cette dernière définition utilisant la règle de la main droite $\;{\big [}$ voir la description de celle-ci et d'autres règles identiques dans la note « ¹⁷ » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}$ , $\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\;$ et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑
Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
   Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable,
   Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de $\;\theta$ $\;\theta$ , le 3^ème étant constant, qu'ils forment une base orthonormée $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\rho }\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}$ $\;{\vec {u}}_{\rho }\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}$ , $\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{\rho }\;$ $\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$ $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$ et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ${\big ]}$ ;
   compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- « $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)}}={\vec {0}}\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}}}=-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)}}=-{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)$ $={\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{z,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{z,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)}}=-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ » et
- « $\;{\overrightarrow {S_{z,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}}}={\vec {0}}\;$ ».
↑
Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
   Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
   Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de $\;\theta \;$ $\;\theta \;$ et $\;\varphi$ $\;\varphi$ , le 3^ème ne dépendant que de $\;\varphi$ $\;\varphi$ , qu'ils forment une base orthonormée $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\varphi }$ $\;{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\varphi }$ , $\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\;$ $\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{\theta }\;$ $\;{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{\theta }\;$ et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ${\big ]}$ ; ;
   compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- « $\;{\overrightarrow {S_{r,\,r}}}={\vec {u}}_{r}\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }={\cancel {{\vec {u}}_{r}\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}\wedge A_{r}(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}={\vec {0}}\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{r,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\wedge A_{\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}=\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{r,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\wedge A_{\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}=-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,r}}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)}}=-{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)={\dfrac {1}{r}}\;A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)}}={\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ »,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,r}}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{r}(M)}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)}}=$ ${\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)}}=$ $-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et
- « $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ ${\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left[-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” » plus haut dans ce chapitre.
↑ Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir « ici » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ » et
   Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” $\;{\big \{}$ voir « là » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ »,
   Comme pour le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla vectoriel ...” $\;{\big \{}$ énoncée ici ${\big \}}\;$ » mais aussi
   Comme pour le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre ${\big \}}\;$ ».
↑ Voir l'explication à la note « ⁷¹ » plus haut dans ce chapitre.
↑ Cette méthode est applicable en cartésien car les vecteurs de bases dont fixes, elle consiste à appliquer la règle dite du $\;\gamma \;$ exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” :
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&&A_{x}&&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\\{\vec {u}}_{y}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{y}&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&_{-}{\nearrow }&A_{z}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant $\;{\big (}$ pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur ${\big )}$ : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\left[A_{y}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ » comme 1^ère composante du produit vectoriel ${\bigg ]}$ ,
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&&A_{x}&&\\{\vec {u}}_{y}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&&A_{y}&&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&^{+}{\searrow }&A_{z}&&\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{x}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;\left[A_{x}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;$ » comme 2^ème composante du produit vectoriel ${\bigg ]}\;$ et
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{x}&&\\{\vec {u}}_{y}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{y}&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&&A_{z}&&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;\left[A_{y}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;\left[A_{x}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;$ » comme 3^ème composante du produit vectoriel ${\bigg ]}$ ;
    $\bullet \;$ une fois obtenue la 1^ère composante, on peut obtenir les deux autres par permutation circulaire $\;(x\rightsquigarrow y\rightsquigarrow z\rightsquigarrow x)\;$ ce qui donne « $\;\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\rightsquigarrow \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\rightsquigarrow \left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!z,\,x}(M)\;$ ».
↑ Voir l'explication à la note « ⁷² » plus haut dans ce chapitre.
↑ Bien que les vecteurs de base ne soient pas tous fixes, on peut appliquer la règle dite du $\;\gamma \;$ exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées cylindro-polaires du point :
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&&A_{\rho }&&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&_{-}{\nearrow }&A_{z}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant $\;{\big (}$ pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur ${\big )}$ : suivant la flèche descendante, le terme $\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$ » comme 1^ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ,
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&&A_{\rho }&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&&A_{\theta }&&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&^{+}{\searrow }&A_{z}&&\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{\rho }&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;\left[A_{\rho }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;$ » comme 2^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}\;$ et
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{\rho }&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&&A_{z}&&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}-{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\end{array}}\right\rbrace$ » $\;{\bigg [}$ pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;\left[A_{\rho }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;$ » comme 3^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ;
    $\bullet \;$ puis on tient compte de la dépendance relativement à $\;\theta \;$ des deux vecteurs de base cylindro-polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ $\Rightarrow$
    $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {0}}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ la dépendance de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ avec $\;\theta \;$ n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du $\;\gamma$ ;
    $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\left(-{\vec {u}}_{\rho }\right)={\dfrac {1}{\rho }}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;A_{\theta }\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\dfrac {A_{\theta }}{\rho }}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » d'où une rectification de la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nécessitant l'« ajout de $\;{\dfrac {A_{\theta }}{\rho }}\;$ », c'est donc la seule rectification des résultats obtenus par la règle du $\;\gamma$ .
↑ Voir l'explication à la note « ⁷³ » plus haut dans ce chapitre.
↑ Bien que les vecteurs de base ne soient pas fixes, on peut appliquer la règle dite du $\;\gamma \;$ exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées sphériques du point :
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&&A_{r}&&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&^{+}{\searrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{\varphi }&|&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&_{-}{\nearrow }&A_{\varphi }&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant $\;{\big (}$ pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur ${\big )}$ : suivant la flèche descendante, le terme $\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;\left[A_{\varphi }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$ » comme 1^ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ,
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&&A_{r}&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&&A_{\theta }&&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\varphi }&|&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&^{+}{\searrow }&A_{\varphi }&&\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&_{-}{\nearrow }&A_{r}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;\left[A_{r}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;\left[A_{\varphi }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\;$ » comme 2^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}\;$ et
    $\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&^{+}{\searrow }&A_{r}&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&_{-}{\nearrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{\varphi }&|&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&&A_{\varphi }&&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;\left[A_{r}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)-{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;$ » comme 3^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ;
    $\bullet \;$ puis on tient compte de la dépendance relativement à $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ des deux vecteurs de base sphérique $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et de celle relativement à $\;\varphi \;$ du 3^ème vecteur de base sphérique $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\Rightarrow$
    $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{r}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge {\vec {u}}_{r}={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }}}={\vec {0}}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ la dépendance de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du $\;\gamma$ ;
    $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }}}={\dfrac {1}{r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;A_{\theta }\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » d'où une rectification de la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ nécessitant l'« ajout de $\;{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;$ »,
    $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}={\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {1}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;A_{\varphi }\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\dfrac {A_{\varphi }\;\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » d'où une rectification de la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ nécessitant l'« ajout de $\;{\dfrac {A_{\varphi }\;\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;$ » et la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ nécessitant l'« ajout de $\;-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\;$ » ;
    $\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ finalement l'expression sphérique de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ doit être rectifiée relativement aux résultats obtenus par la règle du $\;\gamma \;$ en « ajoutant $\;{\dfrac {A_{\varphi }\;\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ ».
↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }={\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left[\cos(\theta )\,A_{\varphi }+\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\;$ », « $\;{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }=$ ${\dfrac {1}{r}}\left[A_{\varphi }+r\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\;$ » et « $\;{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }$ $={\dfrac {1}{r}}\left[A_{\theta }+r\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\;$ » $\;\ldots$
↑ ^83,00 ^83,01 ^83,02 ^83,03 ^83,04 ^83,05 ^83,06 ^83,07 ^83,08 ^83,09 et ^83,10 Le flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ est « $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}\;$ » $\rightsquigarrow$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap. $29$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^84,00 ^84,01 ^84,02 ^84,03 ^84,04 ^84,05 ^84,06 ^84,07 ^84,08 ^84,09 ^84,10 ^84,11 ^84,12 ^84,13 ^84,14 ^84,15 ^84,16 ^84,17 ^84,18 ^84,19 ^84,20 ^84,21 ^84,22 ^84,23 ^84,24 ^84,25 ^84,26 ^84,27 et ^84,28 La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long d'un contour $\;(\Gamma )\;$ est défini par « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ , la circulation du champ vectoriel le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ se calculant par « $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du même chap. $15$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ et, dans le cas où la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est fermée, la circulation du champ vectoriel s'écrivant « $\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oint \limits _{M'\,\in \,(\Gamma )}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {dM'}}\;$ ».
Ici le contour fermé $\;(\delta \Gamma )\;$ limitant la surface élémentaire $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ étant fermé, il faut le décomposer en élément de courbe $\;(\delta ^{2}\Gamma )\;$ infiniment petits relativement à $\;(\delta \Gamma )\;$ et la circulation élémentaire de $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long du contour fermé $\;(\delta \Gamma )\;$ est défini par « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )}\![{\vec {A}}(M)]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oint \limits _{M'\,\in \,(\delta \Gamma )}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M'}}\;$ » avec « $\;{\overrightarrow {d^{2}M'}}\;$ vecteur déplacement élémentaire en $\;M'\;$ du contour élémentaire fermé $\;(\delta \Gamma )\;$ entourant $\;M\;$ ».
↑ ^85,00 ^85,01 ^85,02 ^85,03 ^85,04 ^85,05 ^85,06 ^85,07 ^85,08 et ^85,09 Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite $\;{\big \{}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ avec choix d'une base orthonormée directe $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ , on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la courbe fermée $\;(\delta \Gamma )\;$ limitant la surface ouverte $\;(\delta S)\;$ à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point $\;P\;$ de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ et effectuant une translation dans le sens choisi sur $\;(\delta {\mathcal {S}})$ , le sens défini sur $\;(\delta \Gamma )\;$ correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».
↑ Comme, par exemple, dans le repérage cartésien « $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».
↑ Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages $\ldots$
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , d'ordonnée $\;y\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{x}$ , la cote étant $\;z$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , d'ordonnée $\;y+dy\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{x}$ , la cote étant $\;z$ ;
l'abscisse du point générique de chaque côté est notée $\;x_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx$ .
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , d'abscisse $\;x+dx\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{y}$ , la cote étant $\;z$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , d'abscisse $\;x\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{y}$ , la cote étant $\;z$ ;
l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée $\;y_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy$ .
↑ ^90,0 ^90,1 et ^90,2 Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cartésien (à retenir) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^91,0 ^91,1 et ^91,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , de cote $\;z\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{y}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , de cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{y}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée $\;y_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy$ .
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'ordonnée $\;y+dy\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'ordonnée $\;y\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse $\;x\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse $\;x+dx\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , de cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{x}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , de cote $\;z\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{x}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
l'abscisse du point générique de chaque côté est notée $\;x_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx$ .
↑ L'arc de cercle de rayon $\;\rho \;$ et cote $\;z\;$ est de longueur $\;\rho \,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;<math>\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'arc de cercle de rayon $\;\rho \;$ et cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;\rho \,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc de cercle est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse angulaire $\;\theta +d\theta \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .
↑ ^98,0 ^98,1 et ^98,2 Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^99,0 ^99,1 et ^99,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le rayon élémentaire d'abscisse angulaire $\;\theta$ , de cote $\;z\;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon élémentaire d'abscisse angulaire $\;\theta$ , de cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est noté $\;\rho _{i}$ , il peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho$ .
↑ Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , de rayon polaire $\;\rho +d\rho \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , de rayon polaire $\;\rho \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .
↑ Le rayon élémentaire de cote $\;z$ , d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon élémentaire de cote $\;z$ , d'abscisse angulaire $\;\theta +d\theta \;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est notée $\;\rho _{i}$ , il peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho$ .
↑ L'arc de cercle de cote $\;z$ , de rayon $\;\rho +d\rho \;$ est de longueur $\;(\rho +d\rho )\,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ ;
l'arc de cercle de cote $\;z$ , de rayon $\;\rho \;$ est de longueur $\;\rho \;d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .
↑ L'arc de méridien de rayon $\;r\;$ et longitude $\;\varphi \;$ est de longueur $\;r\,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;<math>\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'arc de méridien de rayon $\;r\;$ et longitude $\;\varphi +d\varphi \;$ est de longueur $\;r\,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
la colatitude du point générique de chaque arc est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .
↑ L'arc de parallèle à la distance $\;r\;$ de $\;O\;$ de colatitude $\;\theta +d\theta$ est de longueur $\;r\;\sin(\theta +d\theta )\;d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
l'arc de parallèle à la distance $\;r\;$ de $\;O\;$ de colatitude $\;\theta \;$ est de longueur $\;r\;\sin(\theta )\;d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
la longitude du point générique de chaque arc est notée $\;\varphi _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi$ .
↑ ^106,0 ^106,1 et ^106,2 Voir le paragraphe « expressions en paramétrage sphérique (à retenir) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^107,0 ^107,1 et ^107,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.
↑ On appelle apothème d'un cône de révolution, la distance le long d'une génératrice quelconque entre le sommet du cône et un point de sa base $\;{\big (}$ respectivement entre les deux bases le long d'une génératrice quelconque ${\big )}$ et
On appelle apothème d'un tronc de cône de révolution, la distance entre les deux bases le long d'une génératrice quelconque.
↑ L'apothème élémentaire de longitude $\;\varphi \;$ est de longueur $\;dr>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{r}$ ;
l'apothème élémentaire de longitude $\;\varphi +d\varphi \;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{r}$ ;
la distance au pôle $\;O\;$ du point générique de chaque segment élémentaire est notée $\;r_{i}$ , il peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr$ .
↑ L'arc de parallèle à la distance $\;r+dr\;$ de $\;O\;$ est de longueur $\;(r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
l'arc de parallèle à la distance $\;r\;$ de $\;O\;$ est de longueur $\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
la longitude du point générique de chaque côté est notée $\;\varphi _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle va leur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi$ .
↑ Le rayon élémentaire de longitude $\;\varphi$ , de colatitude $\;\theta \;$ est de longueur $\;dr>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{r}$ ;
le rayon élémentaire de longitude $\;\varphi$ , de colatitude $\;\theta +d\theta \;$ est de longueur $\;dr>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{r}$ ;
la distance entre le pôle $\;O\;$ et le point générique de chaque segment élémentaire est notée $\;r_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr$ .
↑ L'arc de cercle de longitude $\;\varphi$ , de rayon $\;r+dr\;$ est de longueur $\;(r+dr)\,d\theta >0\;$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ ;
l'arc de cercle de longitude $\;\varphi$ , de rayon $\;r\;$ est de longueur $\;r\;d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
la colatitude du point générique de chaque arc est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .
↑ ^113,0 et ^113,1 En effet $\bullet \;$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \,\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\left[\;\right]$ ,
En effet $\bullet \;$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \,\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\left[\;\right]\;$ et
En effet $\bullet \;$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \,\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\left[\;\right]$ .
↑ ^114,0 et ^114,1
Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre opérateurs linéaires vectoriels,
                       Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation d'un couple “fonction - opérateur linéaire” dont la fonction est vectorielle ne dépendant que d'une variable,
   Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de $\;\theta$ $\;\theta$ , le 3^ème étant constant et qu'ils forment une base orthonormée ;
   compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes $\;{\big \{}$ $\;{\big \{}$ l'opérateur nul étant noté « $\;{\hat {0}}\;$ $\;{\hat {0}}\;$ » ${\big \}}$ ${\big \}}$ :
- « $\;T_{\rho ,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{\rho ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\;{\dfrac {-1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho \,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{\rho ,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\;\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho \,\partial z}}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{\theta ,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\,\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial \rho }}\right)\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\,\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial z}}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{z,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z\,\partial \rho }}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{z,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z\,\partial \theta }}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ » et
- « $\;T_{z,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\;$ ».
↑ ^115,0 et ^115,1
Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre opérateurs linéaires vectoriels,
                       Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation d'un couple “fonction - opérateur linéaire” dont la fonction est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
                       Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de $\;\theta \;$ $\;\theta \;$ et $\;\varphi$ $\;\varphi$ , le 3^ème ne dépendant que de $\;\varphi \;$ $\;\varphi \;$ et qu'ils forment une base orthonormée ;
   compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- « $\;T_{r,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{r,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {-1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r\,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{r,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {-1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+\cdots$
  « $\;\color {transparent}{T_{r,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]=}$ ${\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r\,\partial \varphi }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{\theta ,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{r}(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial r}}\right)\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial \varphi }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\left[\;\right]\;$ »,
- « $\;T_{\varphi ,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\vec {u}}_{r}(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \,\partial r}}\right)\,\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,
- « $\;T_{\varphi ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}$
  « $\;\color {transparent}{T_{\varphi ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]}$ $={\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et
- « $\;T_{\varphi ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\,\left[\;\right]={\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\,\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .
↑ ^116,0 ^116,1 ^116,2 ^116,3 et ^116,4 Nom donné pour rendre hommage à Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités $\;{\big \{}$ dans cette dernière il utilise la transformation de Laplace $\;{\big (}$ portant son nom pour lui rendre hommage ${\big )}\;$ découverte par Leonhard Euler ${\big \}}$ ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire $\;{\big (}$ expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ${\big )}\;$ ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
   Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier en analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
   Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ${\big )}$ ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
   Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ calcul différentiel et calcul intégral ${\big )}\;$ dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
↑ Comme pour « le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » $\;{\big (}$ ou « le champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » ou encore « le champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle » ${\big )}\;$ qui a « une définition intrinsèque » et « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” » $\;{\big (}$ ou « l'opérateur “nabla scalaire” » ou encore « l'opérateur “nabla vectoriel” » ${\big )}$ ,
Comme pour « le champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla scalaire nabla” » $\;{\big [}$ énoncée ici ${\big ]}\;$ mais aussi « une définition intrinsèque » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » plus loin dans ce chapitre ${\big ]}$ .
↑ ^118,0 ^118,1 ^118,2 ^118,3 ^118,4 et ^118,5 Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis $\;{\big (}$ à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté ${\big )}$ .
↑ ^119,0 et ^119,1 Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” (en repérage cartésien) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” (en repérage cylindro-polaire) » plus haut dans ce chapitre.
↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” (en repérage sphérique) » plus haut dans ce chapitre.
↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[r^{2}\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]}{\partial r}}\right\rbrace _{\!\theta ,\,\varphi }(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left[2\,r\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+r^{2}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\right]={\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;$ » et
On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}\left[\cos(\theta )\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\right]$
$={\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Intégrales généralisées (ou impropres)

Vect. polaires ou axiaux, invariance par principe de Curie

[orienté_à_droite-1] Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[2] La circulation élémentaire d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ est $\;\delta {\mathcal {C}}({\vec {A}})={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ $\rightsquigarrow \;$ voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[différentielle_d'une_fonction_de_plusieurs_variables-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 et ^3,5 Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », définition généralisée à une fonction scalaire de trois variables indépendantes.

[4] Ou, de façon plus concise « $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU\;$ » $\rightsquigarrow$ définition à connaître sans hésitation.

[dM_en_cartésien-5] Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[6] Peut servir de définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cartésien mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.

[dM_en_cylindro-polaire-7] 7,0 et ^7,1 Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[8] Peut servir de définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cylindro-polaire mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.

[9] Les composantes de gradient de $\;U\;$ s'exprimant en $\;\left[U\right]\!\cdot \!m^{-1}\;$ avec $\;\left[U\right]\;$ désignant l'unité de $\;U\;$ et la dérivée partielle de $\;U\;$ relativement à un angle s'exprimant en $\;\left[U\right]$ , un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de $\;U\;$ relativement à $\;\theta \;$ est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ; le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à $\;\theta \;$ ${\bigg [}$ en l'occurrence $\;{\dfrac {1}{\rho }}{\bigg ]}\;$ est l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel $\;d\theta \;$ ${\big [}$ en l'occurrence $\;\rho {\big ]}\;$ dans le vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire $\;{\overrightarrow {dM}}=$ $d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\color {red}\rho \,\color {black}d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+dz\,{\vec {u}}_{z}$ .

[dM_en_sphérique-10] 10,0 et ^10,1 Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[11] Peut servir de définition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage sphérique mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.

[12] Les composantes de gradient de $\;U\;$ s'exprimant en $\;\left[U\right]\!\cdot \!m^{-1}\;$ avec $\;\left[U\right]\;$ désignant l'unité de $\;U\;$ et les dérivées partielles de $\;U\;$ relativement à un angle s'exprimant en $\;\left[U\right]$ , un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de $\;U\;$ relativement à $\;\theta \;$ et celle de $\;U\;$ relativement à $\;\varphi \;$ est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ;
le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à $\;\theta \;$ ${\bigg [}$ en l'occurrence $\;{\dfrac {1}{r}}{\bigg ]}\;$ et celui précédant la dérivée partielle relativement à $\;\varphi \;$ ${\bigg [}$ en l'occurrence $\;{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}{\bigg ]}\;$ sont respectivement l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel $\;d\theta \;$ ${\big [}$ en l'occurrence $\;r{\big ]}\;$ et de celui qui précède l'élément différentiel $\;d\varphi \;$ ${\big [}$ en l'occurrence $\;r\,\sin(\theta ){\big ]}\;$ dans le vecteur déplacement élémentaire en sphérique $\;{\overrightarrow {dM}}=dr\,{\vec {u}}_{r}+\color {red}r\,\color {black}d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+\color {red}r\,\sin(\theta )\,\color {black}d\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }$ .

[Pas_de_composantes-13] 13,0 et ^13,1 $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ n'ayant pas de composantes sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{y}\;$ ${\big [}$ ou n'ayant pas de composantes sur $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et sur $\;{\vec {u}}_{\theta }{\big ]}$ .

[14] Si le débit de l'eau dans la conduite n'est pas trop lent.

[axipète-15] 15,0 et ^15,1 Lacune $\;{\big (}$ actuelle ${\big )}\;$ de la langue française, le seul terme existant étant « centripète » utilisé dans le repérage sphérique pour un « champ radial et dirigé vers le pôle », mais aucun terme équivalent en cylindro-polaire pour un “champ radial et dirigé vers l'axe” $\;{\big [}$ l'usage est alors de qualifier ce champ de “ centripète ”, mais ce n'est pas correct étymologiquement d'où le remplacement par “axipète” $\;\ldots \;$ Attention cet adjectif ne figure pas $\;{\big (}$ encore ${\big )}\;$ dans la langue française ${\big ]}$ .

[16] C.-à-d. en se déplaçant dans le plan tangent à la surface en $\;M$ .

[isotherme-17] C.-à-d. les surfaces iso- $T$ .

[18] D'équation $\;\rho =cste$ .

[isobare-19] C.-à-d. les surfaces iso- $p$ .

[20] D'équation $\;z=cste$ .

[dérivées_partielles-21] Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap. $6$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[cartésien-22] 22,0 et ^22,1 Pour l'instant ce n'est vérifié qu'en repérage cartésien, mais cela reste valable dans tous les repérages.

[définition_intrinsèque_du_gradient-23] Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.

[commutativité_de_la_multiplication_scalaire-24] Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 1^ère propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[25] Pour l'instant le domaine d'application de cet opérateur scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.

[signification_intrinsèque-26] 26,0 et ^26,1 Admettre cette définition revient à dire qu'elle est valable quel que soit le repérage.

[définition_intrinsèque_de_l'opérateur_nabla-27] 27,0 et ^27,1 Voir le paragraphe « proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” » plus haut dans ce chapitre.

[distributivité_de_la_multiplication_scalaire_par_rapport_à_l'addition_vectorielle-28] 28,00 ^28,01 ^28,02 ^28,03 ^28,04 ^28,05 ^28,06 ^28,07 ^28,08 ^28,09 et ^28,10 La multiplication scalaire étant distributive relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[29] Pour établir les composantes cylindro-polaires de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en cylindro-polaire $\ldots$

[30] Pour établir les composantes sphériques de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en sphérique $\ldots$

[prolongement_de_la_multiplication_scalaire-31] 31,0 et ^31,1 On admet l'applicabilité de la notion de multiplication scalaire avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ », la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[opérateur_nabla_en_cartésien-32] 32,0 ^32,1 et ^32,2 Voir le paragraphe « définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cartésien » plus haut dans ce chapitre.

[opérateur_nabla_en_cylindro-polaire-33] 33,0 ^33,1 et ^33,2 Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.

[opérateur_nabla_en_sphérique-34] 34,0 ^34,1 et ^34,2 Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” en repérage sphérique » plus haut dans ce chapitre.

[justification_de_la_divergence_ou_du_laplacien_en_cartésien-35] 35,0 ^35,1 et ^35,2 Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ,
Expression obtenue en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants et qu'ils forment une base orthonormée.

[justification_de_la_divergence_en_cylindro-polaire-36] Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable,
Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de $\;\theta$ , le 3^ème étant constant et qu'ils forment une base orthonormée ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
« $\;T_{\rho ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;$ »,

« $\;T_{\rho ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)}}=0\;$ »,

« $\;T_{\rho ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}}}=0\;$ »,

« $\;T_{\theta ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}}}=0\;$ »,

« $\;T_{z,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)}}=0\;$ »,

« $\;T_{z,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)}}=0\;$ » et

« $\;T_{z,\,z}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}}}=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$ ».

[37] « $\;T_{\rho ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;$ »,

[38] « $\;T_{\rho ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)}}=0\;$ »,

[39] « $\;T_{\rho ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}}}=0\;$ »,

[40] « $\;T_{\theta ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[41] « $\;T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[42] « $\;T_{\theta ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}}}=0\;$ »,

[43] « $\;T_{z,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)}}=0\;$ »,

[44] « $\;T_{z,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)}}=0\;$ » et

[45] « $\;T_{z,\,z}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}}}=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$ ».

[justification_de_la_divergence_en_sphérique-37] Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de $\;\theta \;$ et $\;\varphi$ , le 3^ème ne dépendant que de $\;\varphi \;$ et qu'ils forment une base orthonormée ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
« $\;T_{r,\,r}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;$ »,

« $\;T_{r,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}=0\;$ »,

« $\;T_{r,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}=0\;$ »,

« $\;T_{\theta ,\,r}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {A_{r}}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)={\dfrac {1}{r}}\,A_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)}}={\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}=0\;$ »,

« $\;T_{\varphi ,\,r}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)={\dfrac {1}{r}}\,A_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\varphi ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)={\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}A_{\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et

« $\;T_{\varphi ,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}(M)\,{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)}}={\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .

[47] « $\;T_{r,\,r}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;$ »,

[48] « $\;T_{r,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}=0\;$ »,

[49] « $\;T_{r,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}=0\;$ »,

[50] « $\;T_{\theta ,\,r}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {A_{r}}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)={\dfrac {1}{r}}\,A_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[51] « $\;T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)}}={\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[52] « $\;T_{\theta ,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}=0\;$ »,

[53] « $\;T_{\varphi ,\,r}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)={\dfrac {1}{r}}\,A_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[54] « $\;T_{\varphi ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)={\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}A_{\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et

[55] « $\;T_{\varphi ,\,\varphi }=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}(M)\,{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)}}={\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .

[opérateur_nabla_scalaire-38] Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla scalaire ...” » plus haut dans ce chapitre.

[39] Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir « ici » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ » et
Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” $\;{\big \{}$ voir « là » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ »,
Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla scalaire ...” $\;{\big \{}$ énoncée ici ${\big \}}\;$ » mais aussi
Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « définition (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre ${\big \}}\;$ ».

[40] Voir l'explication à la note « ³⁵ » plus haut dans ce chapitre.

[41] Voir l'explication à la note « ³⁶ » plus haut dans ce chapitre.

[42] On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\left[A_{\rho }(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\right]\;$ » $\ldots$

[43] Voir l'explication à la note « ³⁷ » plus haut dans ce chapitre.

[44] On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'une part « $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left[2\,r\,A_{r}(M)+r^{2}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\right]\;$ » et
On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'autre part « $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)={\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left[\cos(\theta )\,A_{\theta }(M)+\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\right]\;$ » $\ldots$

[flux_élémentaire_d'un_champ_vectoriel-45] 45,0 et ^45,1 Le flux élémentaire d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers une surface ouverte est défini par « $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}\;$ » $\rightsquigarrow$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap. $29$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
Ici la surface élémentaire $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ étant fermée, il faut la décomposer en éléments de surface $\;(\delta ^{2}{\mathcal {S}})\;$ infiniment petits relativement à $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ et le flux élémentaire de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ est défini par « $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')\;$ » avec « $\;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')\;$ vecteur surface élémentaire en $\;M'\;$ de la surface élémentaire fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$ », vecteur orienté vers l'extérieur $\Rightarrow$ le flux est alors qualifié de « sortant » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermé » du chap. $29$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[46] Ou, de façon plus concise « $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}=\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[repérages_précédemment_introduits-47] 47,0 et ^47,1 Parmi les repérages introduits ceux qui sont valables pour tous les points de l'espace c.-à-d. « cartésien », « cylindro-polaire » et « sphérique » ${\big [}$ le repérage de Frenet nécessitant de connaître la courbe n'est donc valable que localement sur cette courbe ${\big ]}\;$ mais il existe d'autres repérages non introduits valables pour tous les points de l'espace comme
Parmi le « repérage bifocale » substituant les coordonnées $\;(r,\,\theta )\;$ du repérage sphérique d'un point dans le demi-plan méridien $\;\varphi =cste\;$ par $\;(r_{1},\,r_{2})\;$ distance respective du point à deux points fixes de l'axe $\;z'z\;$ symétriques par rapport à $\;O$ , notés $\;A_{1}\;$ pour $\;(z_{1}=a>0)$ , $\;A_{2}\;$ pour $\;(z_{2}=-a<0)\;$ et appelés « foyers du repérage » $\ldots$

[48] Comme, par exemple, dans le repérage cartésien « $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ ».

[49] Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages $\ldots$

[orienté_vers_l'extérieur-50] 50,0 ^50,1 et ^50,2 L'orientation de chaque face pointant vers l'extérieur de l'expansion tridimensionnelle élémentaire.

[51] La face $\;\parallel \;$ à $\;yOz$ , d'abscisse $\;x\;$ est d'aire $\;dy\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{x}$ ;
la face $\;\parallel \;$ à $\;yOz$ , d'abscisse $\;x+dx\;$ est d'aire $\;dy\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{x}$ ;
l'ordonnée et la cote du point générique de chaque face sont notées $\;y_{i}\;$ et $\;z_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy\;$ pour l'ordonnée et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote.

[52] La face $\;\parallel \;$ à $\;xOz$ , d'ordonnée $\;y\;$ est d'aire $\;dx\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{y}$ ;
la face $\;\parallel \;$ à $\;xOz$ , d'ordonnée $\;y+dy\;$ est d'aire $\;dx\,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{y}$ ;
l'abscisse et la cote du point générique de chaque face sont notées $\;x_{i}\;$ et $\;z_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx\;$ pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote.

[53] La face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z\;$ est d'aire $\;dx\,dy$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{z}$ ;
la face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z+dz\;$ est d'aire $\;dx\,dy$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
l'abscisse et l'ordonnée du point générique de chaque face sont notées $\;x_{i}\;$ et $\;y_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx\;$ pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy\;$ pour l'ordonnée.

[approximation_linéaire-54] 54,00 ^54,01 ^54,02 ^54,03 ^54,04 ^54,05 ^54,06 ^54,07 ^54,08 ^54,09 ^54,10 ^54,11 ^54,12 ^54,13 ^54,14 ^54,15 ^54,16 ^54,17 ^54,18 ^54,19 ^54,20 ^54,21 ^54,22 et ^54,23 Par généralisation de l'« approximation linéaire d'une fonction scalaire d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » vue au chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes, la dérivée droite étant remplacée par la dérivée partielle relativement à la variable dont on cherche l'approximation au voisinage d'une de ses valeurs, les autres variables étant figées.

[abus_de_définition_de_M-55] 55,0 ^55,1 et ^55,2 En fait la définition intrinsèque de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ nécessite que l'expansion tridimensionnelle de volume $\;d{\mathcal {V}}\;$ soit limitée par une surface fermée $\;(\delta S)\;$ entourant $\;M$ ,
ici le point $\;M\,\in \,(\delta S)$ , ce n'est donc qu'une approximation de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ mais le centre de $\;(\delta S)\;$ étant infiniment proche de $\;M$ , la définition intrinsèque reste applicable en $\;M\;$ à des infiniment petits d'ordre supérieur près.

[56] Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.

[C.Q.F.D.-57] 57,00 ^57,01 ^57,02 ^57,03 ^57,04 ^57,05 ^57,06 ^57,07 ^57,08 ^57,09 ^57,10 ^57,11 ^57,12 ^57,13 ^57,14 et ^57,15 Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[58] La face cylindrique de rayon $\;\rho \;$ est d'aire $\;\rho \,d\theta \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
la face cylindrique de rayon $\;\rho +d\rho \;$ est d'aire $\;\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\rho }$ ;
l'abscisse angulaire et la cote du point générique de chaque face sont notées $\;\theta _{i}\;$ et $\;z_{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour l'abscisse angulaire et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote ;
attention les aires des deux portions de faces cylindriques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des tuyaux cylindriques n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à $\;d\theta \;$ sur chaque tuyau ne sont pas de même longueur.

[59] La face $\;\parallel \;$ au méridien, d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ est d'aire $\;d\rho \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\theta }$
la face $\;\parallel \;$ au méridien, d'abscisse angulaire $\;\theta +d\theta \;$ est d'aire $\;d\rho \,dz$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
le rayon polaire et la cote du point générique de chaque face sont notés $\;\rho _{i}\;$ et $\;z_{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho \;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz\;$ pour la cote.

[60] La face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z\;$ est d'aire $\;d\rho \,\rho \,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{z}$
la face $\;\parallel \;$ à $\;xOy$ , de cote $\;z+dz\;$ est d'aire $\;d\rho \,\rho \,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
le rayon polaire et l'abscisse angulaire du point générique de chaque face sont notés $\;\rho _{i}\;$ et $\;\theta _{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho \;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour l'abscisse angulaire.

[61] Observant une différence de valeurs de la fonction $\;\rho \,A_{\rho }(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ entre celle pour $\;\rho +d\rho \;$ et celle pour $\;\rho$ , on peut réécrire
Observant la somme des deux termes, « après factorisation par $\;d\theta \,dz\;$ », selon « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})=\left[-\rho \,A_{\rho }(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})+\left(\rho +d\rho \right)A_{\rho }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\right]d\theta \,dz\;$ »,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction $\;\rho \,A_{\rho }(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .

[62] Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.

[63] Surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux « $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\,{\vec {u}}_{r}\;$ ».

[64] La face sphérique de rayon $\;r\;$ est d'aire $\;r^{2}\,d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{r}$ ;
la face sphérique de rayon $\;r+dr\;$ est d'aire $\;\left(r+dr\right)^{2}d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{r}$ ;
la colatitude et la longitude du point générique de chaque face sont notées $\;\theta _{i}\;$ et $\;\varphi _{i}$ , elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour la colatitude et n'importe quelle valeur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi \;$ pour la longitude ;
attention les aires des deux portions de faces sphériques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des sphères n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à $\;d\theta \;$ et à $\;d\varphi \;$ ne sont pas de même longueur.

[65] La face $\;\parallel \;$ au parallèle, de colatitude $\;\theta \;$ est d'aire $\;r\,dr\,\sin(\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\theta }$
la face $\;\parallel \;$ au parallèle, de colatitude $\;\theta +d\theta \;$ est d'aire $\;r\,dr\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
le rayon polaire et la longitude du point générique de chaque face sont notés $\;r_{i}\;$ et $\;\varphi _{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi \;$ pour la longitude ;
attention les aires des deux portions de faces en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les colatitudes n'étant pas les mêmes, les rayons des parallèles sont différents et les arcs correspondant à $\;d\varphi \;$ ne sont pas de même longueur.

[66] La face $\;\parallel \;$ au méridien, de longitude $\;\varphi \;$ est d'aire $\;dr\,r\,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;-{\vec {u}}_{\varphi }$
la face $\;\parallel \;$ au méridien, de longitude $\;\varphi +d\varphi \;$ est d'aire $\;dr\,r\,d\theta$ , le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
le rayon polaire et la colatitude du point générique de chaque face sont notés $\;r_{i}\;$ et $\;\theta _{i}$ , ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr\;$ pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta \;$ pour la colatitude.

[67] Observant une différence de valeurs de la fonction $\;r^{2}\,A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ entre celle pour $\;r+dr\;$ et celle pour $\;r$ , on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par $\;d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ »,
Observant selon « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})=\left[-r^{2}\,A_{r}(r,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})+\left(r+dr\right)^{2}\,A_{r}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\right]d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$ »,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction $\;r^{2}\,A_{r}(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .

[68] Observant une différence de valeurs de la fonction $\;\sin(\theta )\,A_{\theta }(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ entre celle pour $\;\theta +d\theta \;$ et celle pour $\;\theta$ , on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par $\;r\,dr\,d\varphi \;$ »,
Observant selon « $\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}}({\vec {A}})=\left[-\sin(\theta )\,A_{\theta }(r_{i},\,\theta ,\,\varphi _{i})+\sin \!\left(\theta +d\theta \right)\,A_{\theta }(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\right]\,r\,dr\,d\varphi \;$ »,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction $\;\sin(\theta )\,A_{\theta }(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁵⁴ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}$ .

[69] Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.

[prolongement_de_la_multiplication_vectorielle-70] On admet l'applicabilité de la notion de multiplication vectorielle avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” « $\;{\vec {\nabla }}\;$ », la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[justification_du_rotationnel_en_cartésien-71] Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ,
Expression obtenue en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants, qu'ils forment une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite $\;{\big \{}$ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » et le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cette dernière définition utilisant la règle de la main droite $\;{\big [}$ voir la description de celle-ci et d'autres règles identiques dans la note « ¹⁷ » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{y}={\vec {u}}_{z}$ , $\;{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{x}={\vec {u}}_{y}\;$ et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[justification_du_rotationnel_en_cylindro-polaire-72] Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable,
Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de $\;\theta$ , le 3^ème étant constant, qu'ils forment une base orthonormée $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{\rho }\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{z}$ , $\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\vec {u}}_{z}={\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;$ et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
« $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)}}={\vec {0}}\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}}}=-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)}}=-{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)$ $={\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{z,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{z,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)}}=-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ » et

« $\;{\overrightarrow {S_{z,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}}}={\vec {0}}\;$ ».

[91] « $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)}}={\vec {0}}\;$ »,

[92] « $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$ »,

[93] « $\;{\overrightarrow {S_{\rho ,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\wedge {\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\wedge A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}}}=-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,

[94] « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)}}=-{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)$ $={\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[95] « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[96] « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\;$ »,

[97] « $\;{\overrightarrow {S_{z,\,\rho }}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{\rho }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)}}=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ »,

[98] « $\;{\overrightarrow {S_{z,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)}}=-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ » et

[99] « $\;{\overrightarrow {S_{z,\,z}}}=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\wedge {\vec {u}}_{z}}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\wedge A_{z}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}}}={\vec {0}}\;$ ».

[justification_du_rotationnel_en_sphérique-73] Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de $\;\theta \;$ et $\;\varphi$ , le 3^ème ne dépendant que de $\;\varphi$ , qu'ils forment une base orthonormée $\Rightarrow$ $\;{\vec {u}}_{r}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\varphi }$ , $\;{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{r}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\vec {u}}_{r}={\vec {u}}_{\theta }\;$ et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1^ère propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ; ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
« $\;{\overrightarrow {S_{r,\,r}}}={\vec {u}}_{r}\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }={\cancel {{\vec {u}}_{r}\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}\wedge A_{r}(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}={\vec {0}}\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{r,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\wedge A_{\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}=\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{r,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\wedge A_{\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}=-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,r}}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)}}=-{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)={\dfrac {1}{r}}\;A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)}}={\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ »,

« $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,r}}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{r}(M)}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)}}=$ ${\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)}}=$ $-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et

« $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ ${\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left[-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .

[101] « $\;{\overrightarrow {S_{r,\,r}}}={\vec {u}}_{r}\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }={\cancel {{\vec {u}}_{r}\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}\wedge A_{r}(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}={\vec {0}}\;$ »,

[102] « $\;{\overrightarrow {S_{r,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\wedge A_{\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}=\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ »,

[103] « $\;{\overrightarrow {S_{r,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{r}(M)\wedge \left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\wedge A_{\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)}}=-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ »,

[104] « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,r}}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)}}=-{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[105] « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)={\dfrac {1}{r}}\;A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[106] « $\;{\overrightarrow {S_{\theta ,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\wedge {\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)}}={\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ »,

[107] « $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,r}}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{r}(M)}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)}}=$ ${\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[108] « $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,\theta }}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)}}=$ $-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et

[109] « $\;{\overrightarrow {S_{\varphi ,\,\varphi }}}=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge \left[A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)}}+{\vec {u}}_{\varphi }(M)\wedge {\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ ${\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left[-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .

[opérateur_nabla_vectoriel-74] Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” » plus haut dans ce chapitre.

[75] Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir « ici » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ » et
Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” $\;{\big \{}$ voir « là » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ »,
Comme pour le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla vectoriel ...” $\;{\big \{}$ énoncée ici ${\big \}}\;$ » mais aussi
Comme pour le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition intrinsèque $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre ${\big \}}\;$ ».

[76] Voir l'explication à la note « ⁷¹ » plus haut dans ce chapitre.

[autre_méthode_de_détermination_des_composantes_cartésiennes_du_rotationnel_d'un_champ_vectoriel-77] Cette méthode est applicable en cartésien car les vecteurs de bases dont fixes, elle consiste à appliquer la règle dite du $\;\gamma \;$ exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” :
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&&A_{x}&&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\\{\vec {u}}_{y}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{y}&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&_{-}{\nearrow }&A_{z}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant $\;{\big (}$ pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur ${\big )}$ : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\left[A_{y}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$ » comme 1^ère composante du produit vectoriel ${\bigg ]}$ ,
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&&A_{x}&&\\{\vec {u}}_{y}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&&A_{y}&&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&^{+}{\searrow }&A_{z}&&\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{x}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;\left[A_{x}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;$ » comme 2^ème composante du produit vectoriel ${\bigg ]}\;$ et
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{x}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{x}&&\\{\vec {u}}_{y}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{y}&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&&A_{z}&&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;\left[A_{y}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;\left[A_{x}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;$ » comme 3^ème composante du produit vectoriel ${\bigg ]}$ ;
$\bullet \;$ une fois obtenue la 1^ère composante, on peut obtenir les deux autres par permutation circulaire $\;(x\rightsquigarrow y\rightsquigarrow z\rightsquigarrow x)\;$ ce qui donne « $\;\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\rightsquigarrow \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\rightsquigarrow \left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!z,\,x}(M)\;$ ».

[78] Voir l'explication à la note « ⁷² » plus haut dans ce chapitre.

[autre_méthode_de_détermination_des_composantes_cylindro-polaires_du_rotationnel_d'un_champ_vectoriel-79] Bien que les vecteurs de base ne soient pas tous fixes, on peut appliquer la règle dite du $\;\gamma \;$ exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées cylindro-polaires du point :
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&&A_{\rho }&&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&_{-}{\nearrow }&A_{z}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant $\;{\big (}$ pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur ${\big )}$ : suivant la flèche descendante, le terme $\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$ » comme 1^ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ,
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&&A_{\rho }&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&&A_{\theta }&&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&^{+}{\searrow }&A_{z}&&\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{\rho }&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;\left[A_{\rho }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;\left[A_{z}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;$ » comme 2^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}\;$ et
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{\rho }&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&^{+}{\searrow }&A_{\rho }&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&_{-}{\nearrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{z}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&&A_{z}&&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}-{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\end{array}}\right\rbrace$ » $\;{\bigg [}$ pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;\left[A_{\rho }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;$ » comme 3^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ;
$\bullet \;$ puis on tient compte de la dépendance relativement à $\;\theta \;$ des deux vecteurs de base cylindro-polaire $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ $\Rightarrow$
$\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\wedge {\vec {u}}_{\rho }={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {0}}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ la dépendance de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ avec $\;\theta \;$ n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du $\;\gamma$ ;
$\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{\rho }}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\left(-{\vec {u}}_{\rho }\right)={\dfrac {1}{\rho }}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;A_{\theta }\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\dfrac {A_{\theta }}{\rho }}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » d'où une rectification de la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{z}\;$ nécessitant l'« ajout de $\;{\dfrac {A_{\theta }}{\rho }}\;$ », c'est donc la seule rectification des résultats obtenus par la règle du $\;\gamma$ .

[80] Voir l'explication à la note « ⁷³ » plus haut dans ce chapitre.

[autre_méthode_de_détermination_des_composantes_sphériques_du_rotationnel_d'un_champ_vectoriel-81] Bien que les vecteurs de base ne soient pas fixes, on peut appliquer la règle dite du $\;\gamma \;$ exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1^er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées sphériques du point :
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&&A_{r}&&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&^{+}{\searrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{\varphi }&|&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&_{-}{\nearrow }&A_{\varphi }&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant $\;{\big (}$ pour la 1^ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2^èmes et 3^èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur ${\big )}$ : suivant la flèche descendante, le terme $\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;\left[A_{\varphi }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$ » comme 1^ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ,
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&&A_{r}&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&&A_{\theta }&&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\varphi }&|&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&^{+}{\searrow }&A_{\varphi }&&\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&_{-}{\nearrow }&A_{r}&&\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 2^ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3^èmes et 1^ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1^ère ligne en 4^ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3^ème et 4^ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;\left[A_{r}\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;\left[A_{\varphi }\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\;$ » comme 2^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}\;$ et
$\bullet \;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c c c c}{\text{si fixes}}&&{\vec {\nabla }}&\wedge &{\vec {A}}&=&{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\\{\vec {u}}_{r}&|&\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&^{+}{\searrow }&A_{r}&&\\{\vec {u}}_{\theta }&|&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&_{-}{\nearrow }&A_{\theta }&&\\{\vec {u}}_{\varphi }&|&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&&A_{\varphi }&&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$ » $\;{\bigg [}$ pour la 3^ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1^ère ligne et 2^ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme $\;\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;\left[A_{\theta }\right]\;$ avec signe « $\;+\;$ » auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme $\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;\left[A_{r}\right]\;$ avec signe « $\;-\;$ » soit « $\;\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)-{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;$ » comme 3^ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier ${\bigg ]}$ ;
$\bullet \;$ puis on tient compte de la dépendance relativement à $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ des deux vecteurs de base sphérique $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et de celle relativement à $\;\varphi \;$ du 3^ème vecteur de base sphérique $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ $\Rightarrow$
$\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{r}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge {\vec {u}}_{r}={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }}}={\vec {0}}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ la dépendance de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;\theta \;$ et $\;\varphi \;$ n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du $\;\gamma$ ;
$\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\;{\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }}}={\dfrac {1}{r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}\;$ et $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;A_{\theta }\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\theta }={\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ » d'où une rectification de la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ nécessitant l'« ajout de $\;{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;$ »,
$\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ « $\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}={\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {1}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;A_{\varphi }\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {u}}_{\varphi }={\dfrac {A_{\varphi }\;\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » d'où une rectification de la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ nécessitant l'« ajout de $\;{\dfrac {A_{\varphi }\;\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;$ » et la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ nécessitant l'« ajout de $\;-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\;$ » ;
$\color {transparent}{\bullet }\;$ $\succ \;$ finalement l'expression sphérique de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ doit être rectifiée relativement aux résultats obtenus par la règle du $\;\gamma \;$ en « ajoutant $\;{\dfrac {A_{\varphi }\;\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$ ».

[82] On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }={\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left[\cos(\theta )\,A_{\varphi }+\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\;$ », « $\;{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }=$ ${\dfrac {1}{r}}\left[A_{\varphi }+r\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\;$ » et « $\;{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }$ $={\dfrac {1}{r}}\left[A_{\theta }+r\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\;$ » $\;\ldots$

[flux_élémentaire_du_champ_vectoriel_rotationnel-83] 83,00 ^83,01 ^83,02 ^83,03 ^83,04 ^83,05 ^83,06 ^83,07 ^83,08 ^83,09 et ^83,10 Le flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ est « $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}\;$ » $\rightsquigarrow$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap. $29$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[circulation_d'un_champ_vectoriel_le_long_d'un_contour-84] 84,00 ^84,01 ^84,02 ^84,03 ^84,04 ^84,05 ^84,06 ^84,07 ^84,08 ^84,09 ^84,10 ^84,11 ^84,12 ^84,13 ^84,14 ^84,15 ^84,16 ^84,17 ^84,18 ^84,19 ^84,20 ^84,21 ^84,22 ^84,23 ^84,24 ^84,25 ^84,26 ^84,27 et ^84,28 La circulation élémentaire du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long d'un contour $\;(\Gamma )\;$ est défini par « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ , la circulation du champ vectoriel le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ se calculant par « $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ » $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du même chap. $15$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ et, dans le cas où la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est fermée, la circulation du champ vectoriel s'écrivant « $\;{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oint \limits _{M'\,\in \,(\Gamma )}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {dM'}}\;$ ».
Ici le contour fermé $\;(\delta \Gamma )\;$ limitant la surface élémentaire $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ étant fermé, il faut le décomposer en élément de courbe $\;(\delta ^{2}\Gamma )\;$ infiniment petits relativement à $\;(\delta \Gamma )\;$ et la circulation élémentaire de $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long du contour fermé $\;(\delta \Gamma )\;$ est défini par « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )}\![{\vec {A}}(M)]=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oint \limits _{M'\,\in \,(\delta \Gamma )}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M'}}\;$ » avec « $\;{\overrightarrow {d^{2}M'}}\;$ vecteur déplacement élémentaire en $\;M'\;$ du contour élémentaire fermé $\;(\delta \Gamma )\;$ entourant $\;M\;$ ».

[orientations_conjuguées_de_surface_ouverte_et_de_courbe_fermée_la_limitant-85] 85,00 ^85,01 ^85,02 ^85,03 ^85,04 ^85,05 ^85,06 ^85,07 ^85,08 et ^85,09 Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite $\;{\big \{}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ avec choix d'une base orthonormée directe $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}$ , on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la courbe fermée $\;(\delta \Gamma )\;$ limitant la surface ouverte $\;(\delta S)\;$ à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point $\;P\;$ de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ et effectuant une translation dans le sens choisi sur $\;(\delta {\mathcal {S}})$ , le sens défini sur $\;(\delta \Gamma )\;$ correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».

[86] Comme, par exemple, dans le repérage cartésien « $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$ ».

[87] Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages $\ldots$

[88] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , d'ordonnée $\;y\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{x}$ , la cote étant $\;z$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , d'ordonnée $\;y+dy\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{x}$ , la cote étant $\;z$ ;
l'abscisse du point générique de chaque côté est notée $\;x_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx$ .

[89] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , d'abscisse $\;x+dx\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{y}$ , la cote étant $\;z$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , d'abscisse $\;x\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{y}$ , la cote étant $\;z$ ;
l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée $\;y_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy$ .

[dS_en_cartésien-90] 90,0 ^90,1 et ^90,2 Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cartésien (à retenir) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[expression_du_rotationnel_en_cartésien-91] 91,0 ^91,1 et ^91,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.

[92] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , de cote $\;z\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{y}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oy$ , de cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;dy>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{y}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée $\;y_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;y\;$ et $\;y+dy$ .

[93] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'ordonnée $\;y+dy\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'ordonnée $\;y\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ , l'abscisse étant $\;x$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .

[94] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse $\;x\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse $\;x+dx\;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .

[95] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , de cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{x}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Ox$ , de cote $\;z\;$ est de longueur $\;dx>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{x}$ , l'ordonnée étant $\;y$ ;
l'abscisse du point générique de chaque côté est notée $\;x_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;x\;$ et $\;x+dx$ .

[96] L'arc de cercle de rayon $\;\rho \;$ et cote $\;z\;$ est de longueur $\;\rho \,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;<math>\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'arc de cercle de rayon $\;\rho \;$ et cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;\rho \,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc de cercle est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .

[97] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse angulaire $\;\theta +d\theta \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .

[dS_en_cylindro-polaire-98] 98,0 ^98,1 et ^98,2 Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[expression_du_rotationnel_en_cylindro-polaire-99] 99,0 ^99,1 et ^99,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.

[100] Le rayon élémentaire d'abscisse angulaire $\;\theta$ , de cote $\;z\;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon élémentaire d'abscisse angulaire $\;\theta$ , de cote $\;z+dz\;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est noté $\;\rho _{i}$ , il peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho$ .

[101] Le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , de rayon polaire $\;\rho +d\rho \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{z}$ ;
le côté $\;\parallel \;$ à $\;Oz$ , de rayon polaire $\;\rho \;$ est de longueur $\;dz>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{z}$ ;
la cote du point générique de chaque côté est notée $\;z_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;z\;$ et $\;z+dz$ .

[102] Le rayon élémentaire de cote $\;z$ , d'abscisse angulaire $\;\theta \;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon élémentaire de cote $\;z$ , d'abscisse angulaire $\;\theta +d\theta \;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\rho }$ ;
le rayon polaire du point générique de chaque segment élémentaire est notée $\;\rho _{i}$ , il peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\rho \;$ et $\;\rho +d\rho$ .

[103] L'arc de cercle de cote $\;z$ , de rayon $\;\rho +d\rho \;$ est de longueur $\;(\rho +d\rho )\,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ ;
l'arc de cercle de cote $\;z$ , de rayon $\;\rho \;$ est de longueur $\;\rho \;d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'abscisse angulaire du point générique de chaque arc est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .

[104] L'arc de méridien de rayon $\;r\;$ et longitude $\;\varphi \;$ est de longueur $\;r\,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;<math>\;{\vec {u}}_{\theta }$ ;
l'arc de méridien de rayon $\;r\;$ et longitude $\;\varphi +d\varphi \;$ est de longueur $\;r\,d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
la colatitude du point générique de chaque arc est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .

[105] L'arc de parallèle à la distance $\;r\;$ de $\;O\;$ de colatitude $\;\theta +d\theta$ est de longueur $\;r\;\sin(\theta +d\theta )\;d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
l'arc de parallèle à la distance $\;r\;$ de $\;O\;$ de colatitude $\;\theta \;$ est de longueur $\;r\;\sin(\theta )\;d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
la longitude du point générique de chaque arc est notée $\;\varphi _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi$ .

[dS_en_sphérique-106] 106,0 ^106,1 et ^106,2 Voir le paragraphe « expressions en paramétrage sphérique (à retenir) » du chap. $17$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[expression_du_rotationnel_en_sphérique-107] 107,0 ^107,1 et ^107,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.

[apothème_d'un_tronc_de_cône-108] On appelle apothème d'un cône de révolution, la distance le long d'une génératrice quelconque entre le sommet du cône et un point de sa base $\;{\big (}$ respectivement entre les deux bases le long d'une génératrice quelconque ${\big )}$ et
On appelle apothème d'un tronc de cône de révolution, la distance entre les deux bases le long d'une génératrice quelconque.

[109] L'apothème élémentaire de longitude $\;\varphi \;$ est de longueur $\;dr>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{r}$ ;
l'apothème élémentaire de longitude $\;\varphi +d\varphi \;$ est de longueur $\;d\rho >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{r}$ ;
la distance au pôle $\;O\;$ du point générique de chaque segment élémentaire est notée $\;r_{i}$ , il peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr$ .

[110] L'arc de parallèle à la distance $\;r+dr\;$ de $\;O\;$ est de longueur $\;(r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
l'arc de parallèle à la distance $\;r\;$ de $\;O\;$ est de longueur $\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$ ;
la longitude du point générique de chaque côté est notée $\;\varphi _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle va leur entre $\;\varphi \;$ et $\;\varphi +d\varphi$ .

[111] Le rayon élémentaire de longitude $\;\varphi$ , de colatitude $\;\theta \;$ est de longueur $\;dr>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{r}$ ;
le rayon élémentaire de longitude $\;\varphi$ , de colatitude $\;\theta +d\theta \;$ est de longueur $\;dr>0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{r}$ ;
la distance entre le pôle $\;O\;$ et le point générique de chaque segment élémentaire est notée $\;r_{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;r\;$ et $\;r+dr$ .

[112] L'arc de cercle de longitude $\;\varphi$ , de rayon $\;r+dr\;$ est de longueur $\;(r+dr)\,d\theta >0\;$ , le vecteur l'orientant étant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ ;
l'arc de cercle de longitude $\;\varphi$ , de rayon $\;r\;$ est de longueur $\;r\;d\theta >0$ , le vecteur l'orientant étant $\;-{\vec {u}}_{\theta }$ ;
la colatitude du point générique de chaque arc est notée $\;\theta _{i}$ , elle peut prendre n'importe quelle valeur entre $\;\theta \;$ et $\;\theta +d\theta$ .

[justification_du_laplacien_en_cartésien-113] 113,0 et ^113,1 En effet $\bullet \;$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \,\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\left[\;\right]$ ,
En effet $\bullet \;$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \,\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\left[\;\right]\;$ et
En effet $\bullet \;$ $\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \,\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\left[\;\right]$ .

[justification_du_laplacien_en_cylindro-polaire-114] 114,0 et ^114,1 Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre opérateurs linéaires vectoriels,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation d'un couple “fonction - opérateur linéaire” dont la fonction est vectorielle ne dépendant que d'une variable,
Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de $\;\theta$ , le 3^ème étant constant et qu'ils forment une base orthonormée ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes $\;{\big \{}$ l'opérateur nul étant noté « $\;{\hat {0}}\;$ » ${\big \}}$ :
« $\;T_{\rho ,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{\rho ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\;{\dfrac {-1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho \,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{\rho ,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\;\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho \,\partial z}}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{\theta ,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\,\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial \rho }}\right)\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\,\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial z}}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{z,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z\,\partial \rho }}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{z,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z\,\partial \theta }}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ » et

« $\;T_{z,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\;$ ».

[151] « $\;T_{\rho ,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\rho }}(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\;$ »,

[152] « $\;T_{\rho ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\rho }}(M)\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\;{\dfrac {-1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho \,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

[153] « $\;T_{\rho ,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\rho }}(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\rho }(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\;\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho \,\partial z}}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

[154] « $\;T_{\theta ,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\,\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial \rho }}\right)\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\,\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[155] « $\;T_{\theta ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)=$ $-{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » $\;\{$ voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[156] « $\;T_{\theta ,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{d\theta }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial z}}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

[157] « $\;T_{z,\,\rho }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{dz}}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {u}}_{\rho }(M)\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z\,\partial \rho }}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

[158] « $\;T_{z,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\,\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{dz}}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z\,\partial \theta }}\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ » et

[159] « $\;T_{z,\,z}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{z}\cdot {\dfrac {d{\vec {u}}_{z}}{dz}}\;\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\;$ ».

[justification_du_laplacien_en_sphérique-115] 115,0 et ^115,1 Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre opérateurs linéaires vectoriels,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation d'un couple “fonction - opérateur linéaire” dont la fonction est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
Expression obtenue sachant que les deux 1^ers vecteurs de base sphérique dépendent de $\;\theta \;$ et $\;\varphi$ , le 3^ème ne dépendant que de $\;\varphi \;$ et qu'ils forment une base orthonormée ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle $\;{\big [}$ voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2^ème propriété) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
« $\;T_{r,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{r,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {-1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r\,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{r,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {-1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+\cdots$
« $\;\color {transparent}{T_{r,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]=}$ ${\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r\,\partial \varphi }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{\theta ,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{r}(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial r}}\right)\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial \varphi }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\left[\;\right]\;$ »,

« $\;T_{\varphi ,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\vec {u}}_{r}(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \,\partial r}}\right)\,\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

« $\;T_{\varphi ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}$
« $\;\color {transparent}{T_{\varphi ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]}$ $={\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et

« $\;T_{\varphi ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\,\left[\;\right]={\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\,\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .

[161] « $\;T_{r,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]}}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ »,

[162] « $\;T_{r,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {-1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r\,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

[163] « $\;T_{r,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot \left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {-1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+\cdots$
« $\;\color {transparent}{T_{r,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]=}$ ${\cancel {{\vec {u}}_{r}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r\,\partial \varphi }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\,\left[\;\right]\;$ »,

[164] « $\;T_{\theta ,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{r}(M)\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial r}}\right)\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)=$ ${\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[165] « $\;T_{\theta ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }(M)$ $=-{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[166] « $\;T_{\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }(M)\,{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta \,\partial \varphi }}\right)\left[\;\right]}}={\hat {0}}\left[\;\right]\;$ »,

[167] « $\;T_{\varphi ,\,r}\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\vec {u}}_{r}(M)\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \,\partial r}}\right)\,\left[\;\right]}}={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1^er vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}$ ,

[168] « $\;T_{\varphi ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]={\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]+{\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }(M)\,{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi \,\partial \theta }}\right)\left[\;\right]}}$
« $\;\color {transparent}{T_{\varphi ,\,\theta }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\left[\;\right]}$ $={\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;\left({\dfrac {\partial \left[{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }(M)=$ $\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2^nd vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » ${\big \}}{\bigg ]}\;$ et

[169] « $\;T_{\varphi ,\,\varphi }\left[\;\right]=\left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\cdot \left[{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\left[\;\right]={\cancel {{\vec {u}}_{\varphi }(M)\cdot {\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\,\left[\;\right]={\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\,\left[\;\right]\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet on utilise $\;{\dfrac {d\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]}{d\varphi }}(M)=$ $-\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}(M)-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }(M)\;$ $\{$ voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3^ème vecteur de base sphérique » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement $\;\perp \;$ au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de $\;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;$ dans la base sphérique ${\big \}}{\bigg ]}$ .

[Laplace-116] 116,0 ^116,1 ^116,2 ^116,3 et ^116,4 Nom donné pour rendre hommage à Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités $\;{\big \{}$ dans cette dernière il utilise la transformation de Laplace $\;{\big (}$ portant son nom pour lui rendre hommage ${\big )}\;$ découverte par Leonhard Euler ${\big \}}$ ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire $\;{\big (}$ expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ${\big )}\;$ ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier en analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ${\big )}$ ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ calcul différentiel et calcul intégral ${\big )}\;$ dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.

[117] Comme pour « le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » $\;{\big (}$ ou « le champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » ou encore « le champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle » ${\big )}\;$ qui a « une définition intrinsèque » et « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla” » $\;{\big (}$ ou « l'opérateur “nabla scalaire” » ou encore « l'opérateur “nabla vectoriel” » ${\big )}$ ,
Comme pour « le champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla scalaire nabla” » $\;{\big [}$ énoncée ici ${\big ]}\;$ mais aussi « une définition intrinsèque » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » plus loin dans ce chapitre ${\big ]}$ .

[notations_simplifiées_dérivées_partielles-118] 118,0 ^118,1 ^118,2 ^118,3 ^118,4 et ^118,5 Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis $\;{\big (}$ à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté ${\big )}$ .

[laplacien_en_cartésien-119] 119,0 et ^119,1 Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” (en repérage cartésien) » plus haut dans ce chapitre.

[laplacien_en_cylindro-polaire-120] Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” (en repérage cylindro-polaire) » plus haut dans ce chapitre.

[121] On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;$ ».

[laplacien_en_sphérique-122] Voir le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” (en repérage sphérique) » plus haut dans ce chapitre.

[123] On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[r^{2}\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right]}{\partial r}}\right\rbrace _{\!\theta ,\,\varphi }(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left[2\,r\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+r^{2}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\right]={\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;$ » et
On vérifie l'identité de ces deux expressions car « $\;{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}\left[\cos(\theta )\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\right]$
$={\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;$ ».

[124] Voir le paragraphe « lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire » plus haut dans ce chapitre.

[125] Voir le paragraphe « définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle » plus haut dans ce chapitre.

[expression_du_gradient_en_cartésien-126] Voir le paragraphe « composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.

[expression_du_la_divergence_en_cartésien-127] Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.

[expression_du_gradient_en_cylindro-polaire-128] Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.

[expression_du_la_divergence_en_cylindro-polaire-129] Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.

[laplacien_en_cylindro-polaire_-_bis-130] Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.

[expression_du_gradient_en_sphérique-131] Voir le paragraphe « composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace (à retenir) » plus haut dans ce chapitre.

[expression_du_la_divergence_en_sphérique-132] Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.

[laplacien_en_sphérique_-_bis-133] Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.

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