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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique considéré dans ce chapitre étant
sauf avis contraire
« orienté à droite » [1].
Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espaceModifier
Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espaceModifier
Gradient du champ scalaire

Le gradient du champ scalaire

noté «
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276391495f4e3dded93c8bd4fbee2d46072c4460)
» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire »
[2] est égale à « la différentielle de la fonction scalaire

» soit
«
\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7f5a406f9dd526fa124658b0c77be5a1765126)
»
[3].
Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espaceModifier
Appelons «
les composantes cartésiennes de
»,
- d'une part sa définition «
» se réécrit «
» et
- d'autre part la différentielle de
s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «
»,
des deux formes de
, vraies quels que soient
,
et
, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «
» d'où :
À retenir

Gradient du champ scalaire

en cartésien
«
=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a37e34d9d01f35b57928a32e08f98f586b1787)
»
[4].
Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espaceModifier
Appelons «
les composantes cylindro-polaires de
»,
- d'une part sa définition «
» se réécrit «
» et
- d'autre part la différentielle de
s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «
»,
des deux formes de
, vraies quels que soient
,
et
, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «
» d'où :
À retenir

Gradient du champ scalaire

en cylindro-polaire
«
=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5599aa70523118c5926aa13305f3c49266e0e0c9)
»
[5], [6].
Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espaceModifier
Appelons «
les composantes sphériques de
»,
- d'une part sa définition «
» se réécrit «
» et
- d'autre part la différentielle de
s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «
»,
des deux formes de
, vraies quels que soient
,
et
, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «
» d'où :
À retenir

Gradient du champ scalaire

en sphérique
«
=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16646ae712e4a8e2f0b1eb76ddfc106cb9c4eaf0)
»
[7],[8].
Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradientModifier
«
traduit comment varie la grandeur
dans l'espace », par exemple :
- « si
est un champ uniforme
à
et de même sens », c.-à-d. si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, «
s'écrit selon
», cela signifiera
que «
ne varie pas avec
et
» [9]
ou « ne varie pas avec
et
» [9]
, et
que «
quand
», cette croissance étant uniforme ;
- variation de la température
de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
variation de la température
il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical ascendant choisi comme axe
, nous en déduisons que
ne dépend pas de
,
variation de la température
l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant,
quand
et
variation de la température
il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude »
[10] ;
variation de la température
nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite, gradient « radial plus précisément “axipète” [11]
» ;
- variation de la pression
d'un lac :
variation de la pression
d'une part il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant
et
, nous en déduisons que
ne dépend pas de
et de
, et
variation de la pression
d'autre part
quand la profondeur
l'axe vertical étant orienté dans le sens descendant et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac
;
variation de la pression
nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac, gradient « vertical plus précisément descendant
».
Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-UModifier
« Une surface iso-U est une surface où
» ; elle est caractérisée par
lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de
à partir d'un point
de cette surface en restant sur celle-ci [12] ;
« Une surface iso-U de «
» en choisissant un déplacement élémentaire tel que
on en déduit «
» ou
« Une surface iso-U «
est
à tous les
de la surface construits à partir de
» soit finalement
«
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276391495f4e3dded93c8bd4fbee2d46072c4460)
est

à la surface

passant par

»
[13] ;
dans les exemples considérés au paragraphe précédent :
- «
est radial plus précisément “axipète” » et « les isothermes [14] sont des tuyaux cylindriques de révolution » [15] d'où « la perpendicularité » ;
- «
est vertical plus précisément descendant » et « les isobares [16] sont des plans horizontaux » [17] d'où « la perpendicularité ».
Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”Modifier
Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésienModifier
L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” noté «
» est, en repérage cartésien, construit à partir des vecteurs de base cartésienne et des opérateurs scalaires du 1er ordre “dérivations partielles relativement à chacune des coordonnées cartésiennes” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, sa définition s'écrivant
«
![{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a9f501392418978780e6a1ef3eebd883a810ff)
».
Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaireModifier
Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace
on obtient l'image «
» identifiable à «
» ;
en conclusion on peut écrire l'application suivante
«
![{\displaystyle \;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cefbed0001be8971accf65cfb933fb93c7a284)
»
[18] où
«

est une fonction scalaire différentiable de l'espace ».
Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”Modifier
Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace
» à savoir
«
» et y substituant l'expression équivalente «
» [18] utilisant l'opérateur “nabla” on obtient
«
» ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative [19],
«
» soit encore, en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace
» à savoir «
et
» selon
«
» ; cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut proposer, comme définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” :
Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”
L'
opérateur vectoriel linéaire du 1
er ordre “nabla”, noté

, est un
opérateur vectoriel
linéaire tel que l'
opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e55015b4cc423cfc8070b8354eb820d25be9bcb)
» est identique à l'
opérateur scalaire “différenciation” «
![{\displaystyle \;d\left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cac7331d4d1d633da38e62f2f13f1954d9b9dc5)
» soit
«
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6121b73ca38485e1034d0d3d7dda608302835c4)
»
[20].
Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaireModifier
Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” [21] « opérateur linéaire » tel que «
» et,
en l'appliquant à une fonction scalaire
de l'espace, «
», puis,
en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire,
«
» [22] ou
«
», ainsi que la différentielle de
dans le même repérage cylindro-polaire,
«
» ou
«
» dont on déduit l'opérateur différenciation «
» en repérage cylindro-polaire
«
» soit, en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels
,
et
, on obtient
«
»
«
» d'où la définition
équivalente
suivante de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire
«
![{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8baaec81b265a4332a498403bcfa319b4ac6d3)
»
[23].
Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphériqueModifier
Partant de la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla” [21] « opérateur linéaire » tel que «
» et,
en l'appliquant à une fonction scalaire
de l'espace, «
», puis,
en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique,
«
» [22] ou
«
», ainsi que la différentielle de
dans le même repérage sphérique,
«
» ou
«
» dont on déduit l'opérateur différenciation «
» en repérage sphérique
«
» soit, en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels
,
et
, on obtient
«
»
«
» d'où la définition
équivalente
suivante de l'opérateur “nabla” en sphérique
«
![{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29e51c21a41177da58a854df6b1032935653473)
»
[24].
En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”Modifier
Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espaceModifier
Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...”Modifier
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «
» est construit à partir
avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
pour préciser la façon dont l'opérateur «
» agit sur une fonction vectorielle
dans le cas d'une représentation locale [26], on se place en repérage « cylindro-polaire » [27] dans lequel
pour préciser la façon dont l'opérateur «
» agit sur une fonction vectorielle «
» est composé des trois composantes et des deux 1ers vecteurs de base dépendant des coordonnées de
, dépendance qui entraînera une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla” ;
pour préciser la façon dont l'opérateur «
» agit sur une fonction vectorielle l'image de
par
est alors défini comme le scalaire
«
=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b4d5accf1585bb06bd9bd8b5b76368077b208c)
» où,
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
[28] on trouve, après développement,
neuf termes de l'un des trois types suivants «
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}T_{\theta ,\,\rho }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)\right]\\T_{\theta ,\,\theta }=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\right]\\T_{\theta ,\,z}=\left[{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]\cdot \left[A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54dedbd9896897f553105593bd6709fd8b37eecb)
»
[29] que l'on évalue
en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire selon
«
![{\displaystyle {\Bigg \{}T_{\theta ,\,\rho }={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)={\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)}}+{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf5af708112c49b9927d03e4a40aef6d7e58fdc)
»
[30],
«
![{\displaystyle \;T_{\theta ,\,\theta }={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)={\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+{\cancel {{\vec {u}}_{\theta }(M)\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(M)}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de09f1d158b6ef17a4f36e5b3cee04a5cf452c1)
»
[30] ou
«
[31]
»
[32], [33].
Finalement on trouve, pour l'image de
par l'opérateur du 1er ordre «
» dans le repérage cylindro-polaire,
«

»
[34].
Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielleModifier
Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” à la fonction vectorielle de l'espace
on obtient l'« image
» définissant « le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle
» noté «
» [35] ;
en conclusion le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle » résulte de l'application suivante
«
![{\displaystyle \;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}=\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3f11b571d583c4e9200babcb282eda97b31d05)
» où

est une fonction vectorielle différentiable de l'espace.
Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésienModifier
En cartésien «
», ce qui donne,
En cartésien en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles et
En cartésien en utilisant, d'une part que les vecteurs de base cartésienne sont constants, d'autre part qu'ils forment une base orthonormée :
Divergence d'un champ vectoriel

en cartésien
«
={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d77c66500335e73f320537940a70020cfef0bc7)
».
Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaireModifier
En cylindro-polaire l'expression a déjà été établie dans le paragraphe « construction de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” » de ce chapitre pour exposer la méthode de calcul, on peut donc donner directement :
Divergence d'un champ vectoriel

en cylindro-polaire
«
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682b09b61851054c3e9559b41a98eec1c5b13f73)
»
ou
«
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b88d449018ff905cc7b06c3e5b4c4cdc0c36ee)
»
[36].
Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphériqueModifier
En sphérique «
», soit,
En sphérique en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles, puis
En sphérique en utilisant les expressions des dérivées
partielles
des vecteurs de base sphérique déterminées au paragraphe « complément : différentielle des vecteurs de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » c.-à-d.
,
,
et
En sphérique en utilisant le caractère orthonormé de la base sphérique,
«
=T_{r,\,r}+T_{r,\,\theta }+T_{r,\,\varphi }+T_{\theta ,\,r}+T_{\theta ,\,\theta }+T_{\theta ,\,\varphi }+T_{\varphi ,\,r}+T_{\varphi ,\,\theta }+T_{\varphi ,\,\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39acebea1510638c7e96bbe4581b49d6e9ccda6e)
» avec :
[37].
Divergence d'un champ vectoriel

en sphérique
«
}\color {black}=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa035fd13a12ce0e373ea63debc28cd72f17cd3)
»
ou, après regroupement,
«
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdfd4d37605c723b7409510634c70911d9b6e015)
»
[38].
Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espaceModifier
La divergence du champ vectoriel
noté «
» est le « champ scalaire défini en
» égal « au quotient du flux élémentaire de
à travers une surface élémentaire fermée
entourant
sur le volume élémentaire mesurant l'intérieur de
» [39] soit
«
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6f724fdb8322553219d1cd8b1c11fb51979c67)
» ou «
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\color {transparent}{\bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint _{(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f728c111ddc9414f2c4d910d3c41549baf7de8)
»
[40] où «

est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée

entourant

»
et orienté vers l'extérieur, l'intérieur de cette surface étant de volume

.
Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...”Modifier
Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle
par l'opérateur linéaire du 1er ordre
» dans tous les « repérages précédemment introduits » [41], [42], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de
» [43].
Justification en repérage cartésienModifier
Pour cela « on considère, à partir du point
, l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur
suivant
,
suivant
et
suivant
», « la surface fermée
limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
du champ vectoriel
, noté
», en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées du parallélépipède [44], soit «
», avec «
» [45], «
» [46] et «
» [47] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
[48] soit
en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «
» puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de
par définition intrinsèque
«
» dans lequel
«
»
d'où «
» définissant toutes deux «
»
« la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D. [49].
Justification en repérage cylindro-polaireModifier
On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de
dans ce repérage ;
« on considère donc à partir du point
, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'un tuyau cylindrique d'axe
d'épaisseur
suivant
, d'ouverture angulaire
suivant
et de hauteur
suivant
», « la surface fermée
limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
du champ vectoriel
, noté
», en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de
[50], soit «
», avec «
» [51], «
» [52] et «
» [53] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
[54] soit
en ajoutant tous les termes, en faisant apparaître l'élément de volume commun «
» dans les deux 1ers termes et en le mettant en facteur dans la somme puis, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de
par définition intrinsèque
«
» dans lequel
«
»
d'où «
» définissant toutes deux «
»
« la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D. [49].
Justification en repérage sphériqueModifier
La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante
mais aussi plus délicate
de déterminer l'expression de
dans ce repérage, elle est surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux «
» ; nous allons donc chercher à retrouver l'expression de
pour un champ vectoriel radial [55] en utilisant la définition intrinsèque du champ scalaire divergence ;
« on considère ici à partir du point
, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une couche sphérique de centre
d'épaisseur
suivant
, d'ouverture de colatitude
suivant
et d'ouverture de longitude
suivant
», « la surface fermée
limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
du champ vectoriel radial
, noté
», en faisant la somme des flux à travers les six faces orientées de
[56] et en constatant que
- les deux flux à travers les portions de méridiens de longitudes
et
sont nuls
vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement
et
et champ vectoriel suivant
et
les deux flux à travers les portions tronconiques de colatitudes
et
le sont aussi
vecteurs surfaces élémentaires suivant respectivement
et
et champ vectoriel
,
- seuls les flux à travers les portions de sphère de rayons
et
ne l'étant pas,
d'où le « flux élémentaire à travers
du champ vectoriel radial