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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique considéré dans ce chapitre étant
sauf avis contraire
« orienté à droite » [1].
Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace
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Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace
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Introduction : nous avons étudié la caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace dans le paragraphe « caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
Introduction ; nous avons indiqué dans le paragraphe « commentaire final » du même chap.
de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'il existe une méthode plus compacte pour faire cette caractérisation utilisant la notion de gradient de fonction scalaire.
Gradient du champ scalaire

Le
gradient du champ scalaire

noté «
\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276391495f4e3dded93c8bd4fbee2d46072c4460)
» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire »
[2] est égale à « la différentielle de la fonction scalaire

»
[3] soit
«
\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7f5a406f9dd526fa124658b0c77be5a1765126)
»
[4].
Remarque : la définition du gradient du champ scalaire
donnée ci-dessus est essentiellement utilisée pour déterminer les composantes
Remarque : du champ vectoriel
dans les différents repérages cartésien, cylindro-polaire
ou cylindrique
ou sphérique,
Remarque : explicitation exposée dans les trois paragraphes suivants.
Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace
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Appelons «
les composantes cartésiennes de
»,
- d'une part sa définition «
» se réécrit «
» [5] et
- d'autre part la différentielle de
s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «
»[3],
des deux formes de
, vraies quels que soient
,
et
, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «
» d'où :
À retenir

Gradient du champ scalaire

en cartésien
«
=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a37e34d9d01f35b57928a32e08f98f586b1787)
»
[6].
Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace
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Appelons «
les composantes cylindro-polaires
ou cylindriques
de
»,
- d'une part sa définition «
» se réécrit «
» [7] et
- d'autre part la différentielle de
s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «
»[3],
des deux formes de
, vraies quels que soient
,
et
, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «
» d'où :
À retenir

Gradient du champ scalaire

en cylindro-polaire
«
=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5599aa70523118c5926aa13305f3c49266e0e0c9)
»
[8], [9].
Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace
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Appelons «
les composantes sphériques de
»,
- d'une part sa définition «
» se réécrit «
» [10] et
- d'autre part la différentielle de
s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «
»[3],
des deux formes de
, vraies quels que soient
,
et
, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «
» d'où :
À retenir

Gradient du champ scalaire

en sphérique
«
=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16646ae712e4a8e2f0b1eb76ddfc106cb9c4eaf0)
»
[11], [12].
Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient
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«
traduit la variation de la grandeur
dans l'espace », par exemple
«
traduit la variation
« si
est un champ uniforme
à
et de même sens », c.-à-d.
«
traduit la variation
« si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, «
s'écrit
», cela signifiera que
«
traduit la variation
« si
est un champ uniforme
à
et de même sens » «
ne varie pas avec
et
» [13]
ou « ne varie pas avec
et
»[13]
et
«
traduit la variation
« si
est un champ uniforme
à
et de même sens » «
quand
», cette
étant uniforme ;
«
traduit la variation
variation de la température
de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
«
traduit la variation
variation de la température
il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical
choisi comme axe
,
«
traduit la variation
variation de la température
il y a invarianceavec choix du repérage cylindro-polaire d'axe
ne dépend pas de
,
«
traduit la variation
variation de la température
l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant,
quand
et
«
traduit la variation
variation de la température
il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude
»[14] ;
«
traduit la variation
variation de la température
nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite
«
traduit la variation
variation de la température
nous résumons tout ceci par gradient « radial plus précisément “axipète” [15]
» ;
«
traduit la variation
variation de la pression
d'un lac : il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant
et
,
ne dépend, ni
, ni de
, et
«
traduit la variation
variation de la pression
d'un lac :
quand la profondeur
l'axe vertical étant orienté dans le sens
et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac
;
«
traduit la variation
variation de la pression
d'un lac : nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac,
«
traduit la variation
variation de la pression
d'un lac : nous résumons tout ceci par gradient « vertical plus précisément
».
Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U
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« Une surface iso-U est une surface où
» ; elle est caractérisée par
lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de
à partir d'un point
de cette surface en y restant [16] ;
« Une surface iso-U à partir de «
» avec un déplacement élémentaire tel que
«
» ou
« Une surface iso-U à partir de «
» avec un déplacement élémentaire tel que
«
à tous les
de la surface construits à partir de
»
« Une surface iso-U à partir de «
» avec un déplacement élémentaire tel que
«
à tous les
« Une surface iso-U à partir de «
» avec un déplacement élémentaire tel que
«
à la surface
passant par
» ou
« Une surface iso-U à partir de «
» avec un déplacement élémentaire tel que
«
à la surface iso-U passant par
» ;
dans les exemples considérés au paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient » plus haut dans ce chapitre :
dans les exemples
«
est radial plus précisément “axipète”[15] » et « les isothermes [17] sont des tuyaux cylindriques de révolution » [18] d'où « la perpendicularité » ;
dans les exemples
«
est vertical plus précisément
» et « les isobares [19] sont des plans horizontaux » [20] d'où « la perpendicularité ».
Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”
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Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien
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L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
» est, en repérage cartésien, construit sur les vecteurs de base cartésienne et
L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
» est, en repérage cartésien, construit sur les opérateurs scalaires du 1er ordre “dérivations partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes” [21]
L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, soit
L'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
».
Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire
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Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace
«
»
Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espaceidentifiable à «
» ;
en conclusion on peut écrire l'application suivante «
»[22] où «
est une fonction scalaire différentiable de l'espace »,
en conclusion l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace «
» par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
» est le champ vectoriel “gradient de
” «
».
Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”
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Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace
» à savoir
Partant de la définition intrinsèque du «
»[23] et
y substituant l'expression équivalente «
»[22] utilisant l'opérateur “nabla”
on obtient «
» ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative [24],
«
» ou, en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace
»
«
», les opérateurs scalaires étant «
et
» ;
cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut donner la définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” exposée ci-dessous :
Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”
L'
opérateur vectoriel linéaire du 1
er ordre “nabla”, noté

, est un
opérateur vectoriel
linéaire tel que l'
opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e55015b4cc423cfc8070b8354eb820d25be9bcb)
» est identique à l'
opérateur scalaire “différenciation” «
![{\displaystyle \;d\left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cac7331d4d1d633da38e62f2f13f1954d9b9dc5)
» soit
«
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6121b73ca38485e1034d0d3d7dda608302835c4)
»
[25].
Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire
modifier
Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla”[26] «
», « opérateur linéaire tel que
» [27]
Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire
de l'espace, «
»,
on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire «
»[7],
on obtient «
» [28] ou
on obtient «
» ;
parallèlement la différentielle de
dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant «
»[3] ou
parallèlement la différentielle de
dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant «
»,
on en déduit l'opérateur différenciation «
» en repérage cylindro-polaire «
» soit,
on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels
,
et
de «
»,
«
»
«
» d'où la définition
équivalente
de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire «
» [29].
Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique
modifier
Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla”[26] «
», « opérateur linéaire tel que
»[27]
Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire
de l'espace, «
»,
on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique «
»[10],
on obtient «
»[28] ou
on obtient «
» ;
parallèlement la différentielle de
dans le même repérage sphérique s'écrivant «
»[3] ou
parallèlement la différentielle de
dans le même repérage sphérique s'écrivant «
»,
on en déduit l'opérateur différenciation «
» en repérage sphérique «
» soit,
on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels
,
et
de «
»,
«
»
«
» d'où la définition
équivalente
de l'opérateur “nabla” en sphérique «
» [30].
En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”
modifier
Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace
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Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...”
modifier
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» est construit à partir
de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
» et
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» est construit à partir
de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » [31] «
»,
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» en repérage cartésien [32], ou
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» en repérage cylindro-polaire [33] ou encore
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» en repérage sphérique [34] ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
appliqué à la fonction vectorielle
en représentation cartésienne
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» [35] ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
appliqué à la fonction vectorielle
en représentation cylindro-polaire
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» [36] ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
appliqué à la fonction vectorielle
en représentation sphérique
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» [37].
Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle
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Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” [38] au champ vectoriel de l'espace
on obtient l'« image
» définissant
Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” au champ vectoriel de l'espace
on obtientle « champ scalaire divergence du champ vectoriel
» «
» [39] ;
en conclusion le « champ scalaire
divergence de la fonction vectorielle différentiable de l'espace
» résulte de l'application suivante «
».
Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien
modifier
En cartésien «
», ce qui donne [40] :
Divergence d'un champ vectoriel

en cartésien
«
={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d77c66500335e73f320537940a70020cfef0bc7)
».
Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire
modifier
En cylindro-polaire «
», ce qui donne [41] :
Divergence d'un champ vectoriel

en cylindro-polaire
«
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682b09b61851054c3e9559b41a98eec1c5b13f73)
»
ou
«
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b88d449018ff905cc7b06c3e5b4c4cdc0c36ee)
»
[42].
Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique
modifier
En sphérique «
», ce qui donne [43] :
Divergence d'un champ vectoriel

en sphérique
«
}\color {black}=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa035fd13a12ce0e373ea63debc28cd72f17cd3)
»
ou, après regroupement,
«
![{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdfd4d37605c723b7409510634c70911d9b6e015)
»
[44].
Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
La « divergence
du champ vectoriel
»
La « divergence
est le « champ scalaire défini en
» par le « quotient du flux élémentaire
de
à travers une surface élémentaire fermée
entourant
La « divergence
est le « champ scalaire défini en
» par le « quotient du flux élémentaire
sur le volume élémentaire
mesurant l'intérieur de
» [45] soit
La « divergence
est «
»[45], [46] avec «
vecteur surface élémentaire en
entourant
»,
La « divergence
est «
» avec «
vecteur surface orienté vers l'extérieur,
La « divergence
est «
» l'intérieur de cette surface fermée
étant de volume
.
Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...”
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Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle
par l'opérateur linéaire du 1er ordre
» dans tous les « repérages précédemment introduits » [47], [48], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de
» [49].
Justification en repérage cartésien
modifier
Pour cela « on considère, à partir du point
, l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur
suivant
,
suivant
et
suivant
», « la surface fermée
limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
du champ vectoriel
, noté
»,
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées du parallélépipède[50], soit
on évalue alors le «
», avec
on évalue alors le «
» [51], «
» [52] et
on évalue alors le «
» [53] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on évalue alors le
«
» [54],
on évalue alors le
«
»[54] et
on évalue alors le
«
»[54] soit
on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «
» puis,
on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de
par définition intrinsèque [55]
on évalue alors le «
» dans lequel
on évalue alors le «
»[56] d'où
on évalue alors le «
» définissant toutes deux «
», « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D[57]..
Justification en repérage cylindro-polaire
modifier
On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de
dans ce repérage ;
pour cela « on considère, à partir du point
, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe
, d'épaisseur
suivant
, d'ouverture angulaire
suivant
et de hauteur
suivant
», « la surface fermée
limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
du champ vectoriel
, noté
»,
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées de
[50], soit
on évalue alors le «
», avec
on évalue alors le «
» [58], «
» [59] et
on évalue alors le «
» [60] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on évalue alors le
«
» [61]
on évalue alors le
«
»[54] et
on évalue alors le
«
»[54] soit
on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «
» puis,
on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de
par définition intrinsèque[55]
on évalue alors le «
» dans lequel
on évalue
alors le «
»[62] d'où
on évalue alors le «
» définissant toutes deux «
», « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D[57]..
Justification en repérage sphérique
modifier
La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante
mais aussi plus délicate
de déterminer l'expression de
[63] ;
pour cela « on considère, à partir du point
, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion de boule de centre
, d'épaisseur
suivant
, d'ouverture de colatitude
suivant
et d'ouverture de longitude
suivant
», « la surface fermée
limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
du champ vectoriel
, noté
»,
on évalue alors le « flux élémentaire à travers
en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées de
[50], soit
on évalue alors le «
»,
on évalue alors avec «
» [64],
on évalue alors le «
» [65] et
on évalue alors le «
» [66] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on évalue alors le
«
on évalue alors le
«
» [67]
on évalue alors le
«
on évalue alors le
«
» [68] et
on évalue alors le
«
»[54] soit
on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «
» puis,
on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de
par définition intrinsèque[55]
on évalue alors le «
» dans lequel
on évalue alors le «
»[69] d'où
on évalue alors le «
» définissant toutes deux «
», « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D[57]..
Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace
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Construction de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla vectoriel ...”
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L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
» est construit à partir
de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
» et
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
» est construit à partir
de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication vectorielle » [70] «
»,
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
» en repérage cartésien[32], ou
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
» en repérage cylindro-polaire[33] ou encore
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
» en repérage sphérique[34] ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
appliqué à la fonction vectorielle
en représentation cartésienne
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
» [71] ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
appliqué à la fonction vectorielle
en représentation cylindro-polaire
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
» [72] ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
appliqué à la fonction vectorielle
en représentation sphérique
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
» [73].
Définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel ...” de cette fonction vectorielle
modifier
Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” [74] au champ vectoriel de l'espace
on obtient l'« image
» définissant
Appliquant l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” au champ vectoriel de l'espace
on obtientle « champ vectoriel rotationnel du champ vectoriel
» «
» [75] ;
en conclusion le « champ vectoriel
rotationnel de la fonction vectorielle différentiable de l'espace
» résulte de l'application suivante «
».
Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien
modifier
En cartésien «
», ce qui donne [76], [77] :
Rotationnel d'un champ vectoriel

en cartésien
«
={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59176a9fe563546d68b15dd1dce5d21b25238f0a)
».
Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire
modifier
En cylindro-polaire «
», ce qui donne [78], [79] :
Rotationnel d'un champ vectoriel

en cylindro-polaire
«
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[A_{\theta }(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b625bec493b44448c9424f460209671834b2f60)
»
ou encore, en compactant partiellement la dernière composante,
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33dfcb5dae01a2119f32c135f12a29d27e58fee7)
».
Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique
modifier
En sphérique «
»,
[80], [81] :
Rotationnel d'un champ vectoriel

en sphérique
«
={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {A_{\varphi }\,\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\\left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\\left[\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {A_{\theta }}{r}}-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78678cf1705346c7450ea8fad5c87fa679823e45)
»
ou, après regroupement,
«
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d53d786b34f2ede45f1b0e9b7a2acab41af4a295)
»
[82].
Définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
Le « rotationnel
du champ vectoriel
»
Le « rotationnel
est le « champ vectoriel défini en
» dont le « flux élémentaire
à travers une surface élémentaire ouverte
[83] entourant
Le « rotationnel
est le « champ vectoriel défini en
» dont le « flux élémentaire
est égal à la circulation du champ
le long du contour fermé
[84]
Le « rotationnel
est le « champ vectoriel défini en
» dont le « flux élémentaire
est égal à la circulation du champ
limitant la surface élémentaire
» soit,
Le « rotationnel
est tel que «
» ou
Le « rotationnel
est tel que «
»[83],[84] avec «
vecteur surface élémentaire de la surface ouverte
en
», « le contour fermé
Le « rotationnel
est tel que
limitant la surface ouverte
orienté en accord avec l'orientation de la surface
Le « rotationnel
est tel que
limitant la surface ouverte
orienté en accord avec l'orient ouverte
» [85].
Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla vectoriel ...”
modifier
Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle
par l'opérateur linéaire du 1er ordre
» dans tous les « repérages précédemment introduits »[47], [86], il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de
» [87] ;
la méthode la plus simple, dans un repérage donné, consiste à choisir une surface élémentaire ouverte
à un des trois vecteurs de base du repérage, le flux élémentaire du vecteur
à travers cette surface ne faisant intervenir que la composante de
sur le vecteur de base choisi, le calcul de la circulation de
le long du contour
limitant la surface
, ne permet de vérifier que la composante
sur ce vecteur de base et par suite
la méthode la plus simple, dans un repérage donné, il faut recommencer la vérification sur deux autres surfaces élémentaires ouvertes
aux deux autres des trois vecteurs de base du repérage
Justification en repérage cartésien
modifier
Pour cela « on considère, à partir du point
, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
de longueur
suivant
et
suivant
, orientée dans le sens de
»,
Pour cela « on considère, à partir du point
, « le contour fermé
limitant
étant orienté de
vers
en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [88] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [89] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit, en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
on exprime alors la « circulation élémentaire «
avec
aire de
[90] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[91] C.Q.F.D[57]..
Puis « on considère, à partir du point
, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
de longueur
suivant
et
suivant
, orientée dans le sens de
»,
Puis « on considère, à partir du point
, « le contour fermé
limitant
étant orienté de
vers
en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [92] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [93] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit, en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
on exprime alors la « circulation élémentaire «
avec
aire de
[90] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[91].
Enfin « on considère, à partir du point
, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
de longueur
suivant
et
suivant
, orientée dans le sens de
»,
Puis « on considère, à partir du point
, « le contour fermé
limitant
étant orienté de
vers
en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [94] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [95] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit, en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
on exprime alors la « circulation élémentaire «
avec
aire de
[90] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[91].
En conclusion «
avec
» définissant toutes deux «
» « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D[57]..
Justification en repérage cylindro-polaire
modifier
Pour cela « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire cylindrique
de hauteur
suivant
et d'arc
suivant
, orientée dans le sens de
»,
Pour cela « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté sur l'arc de cercle de cote
dans le sens de
Pour cela « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de
[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [96] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [97] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit, en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
on exprime alors la « circulation élémentaire
avec
aire de
[98] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire cylindrique
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[99] C.Q.F.D[57]..
Puis « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
de hauteur
suivant
et de largeur
suivant
, orientée dans le sens de
»,
Puis « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté sur le rayon de cote
dans le sens de
en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de
[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [100] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [101] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54]
par somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
on exprime alors la « circulation élémentaire
avec
aire de
[98] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[99] C.Q.F.D[57]..
Enfin « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire sectorielle
de largeur
suivant
, d'ouverture angulaire
suivant
, orientée dans le sens de
»,
Enfin « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté sur l'arc de rayon
dans le sens de
en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de
[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [102] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [103] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit,
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
avec
on exprime alors la « circulation élémentaire aire de
[98] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire sectorielle
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[99] C.Q.F.D[57]..
En conclusion «
avec
» définissant toutes deux «
» « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D[57]..
Justification en repérage sphérique
modifier
Pour cela « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire sphérique
de rayon
, d'ouvertures angulaires
suivant
,
suivant
,
Pour cela « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire sphérique
orientée dans le sens de
»
Pour cela « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté sur l'arc de cercle de colatitude
dans le sens de
Pour cela « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de
[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [104] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [105] ; en regroupant les termes deux à deux
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit, en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
on exprime alors la « circulation élémentaire
avec
aire de
[106] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire sphérique
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[107] C.Q.F.D[57]..
Puis « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire tronconique
d'apothème [108]
suivant
et d'ouverture angulaire
suivant
,
Puis « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire tronconique
orientée dans le sens de
»,
Puis « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté sur le rayon de longitude
dans le sens de
en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de
[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [109] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [110] ; regroupant les termes deux à deux
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
» nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit, en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
on exprime alors la « circulation élémentaire
avec
aire de
[106] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire tronconique
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[107] C.Q.F.D[57]..
Enfin « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire méridienne
de hauteur
suivant
et d'ouverture angulaire
suivant
,
Enfin « on considère, à partir de
, l'expansion surfacique élémentaire méridienne
orientée dans le sens de
»,
Enfin « on considère, à partir de
, « le contour fermé
limitant
étant orienté sur le rayon de colatitude
dans le sens de
en accord avec l'orientation de
»[85] ;
on exprime alors la « circulation élémentaire
le long de
du champ vectoriel
»[84],
on exprime alors la « circulation élémentaire
en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de
[28], soit
on exprime alors la « circulation élémentaire «
», avec
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [111] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[84], [112] ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] et
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
»[54] soit,
on exprime alors la « circulation élémentaire
«
en faisant la somme :
on exprime alors la « circulation élémentaire «
»
avec
on exprime alors la « circulation élémentaire aire de
[106] ;
on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire méridienne
limitée par
étant orientée par
, son vecteur surface élémentaire s'écrit «
» et
on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel
à travers
s'écrit
»[83] ;
on exprime alors de
ou
on en déduit
on exprime alors de
ou «
»[107] C.Q.F.D[57]..
En conclusion «
avec
» définissant toutes deux «
» « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur
» C.Q.F.D[57]..
Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace
modifier
Construction de l'opérateur linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla”
modifier
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
» est construit à partir
de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
» et
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
» est construit à partir
de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire »[31] «
»,
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” avec pour domaine d'application, les fonctions scalaires deux fois différentiables de l'espace soit
en repérage cartésien «
[32]
en repérage cartésien «
»[35], [113], ou
en repérage cylindro-polaire «
»[33]
en repérage cylindro-polaire «
» [114] ou
en repérage sphérique «
en repérage sphérique «
[34]
en repérage sphérique «
» [115],
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
appliqué à la fonction scalaire
en représentation cartésienne
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
» ;
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
appliqué à la fonction scalaire
en représentation cylindro-polaire
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
» ;
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
appliqué à la fonction scalaire
en représentation sphérique
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
».
Définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire
modifier
Appliquant l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace
on obtient l'« image scalaire
» définissant
Appliquant l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace
on obtientle « champ scalaire laplacien [116] du champ scalaire
» [117] «
» ;
en conclusion « le champ scalaire laplacien[116] de la fonction scalaire deux fois différentiable de l'espace
» résulte de l'application suivante «
».
Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien
modifier
En cartésien «
» [118], ce qui donne[35],[113] :
Laplacien d'un champ scalaire

en cartésien
«
={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0847581e84cb9079a5af5b4a3f78b6af33d00eac)
»
[119].
Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire
modifier
En cylindro-polaire «
»[118], ce qui donne[114] :
Laplacien d'un champ scalaire

en cylindro-polaire
«
={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881bd2cd61b66a5e85e13930a70c4922c4c4417e)
»
[120] ou
«
={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1888aa11ba31ba4aeed09c5bcda07d7655d52359)
»
[121].
Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique
modifier
En sphérique «
»[118], ce qui donne[115] :
Laplacien d'un champ scalaire

en sphérique
«

»
[122] ou
«
![{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba8c1ca5e8e810a52a9e2bde05a122ee580af12)
»
[118], [123].
Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace
modifier
À la fonction scalaire
on associe par l'opérateur vectoriel “nabla”
À la fonction scalaire
on associe le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire
selon «
»[124], puis
à la fonction vectorielle
on associe par l'opérateur “nabla scalaire ...”
à la fonction vectorielle
on associe le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle
selon «
»[125] ;
en composant les deux opérateurs on a donc «
» ou
en composant les deux opérateurs on a donc «
s'identifiant à
» d'où
en composant les deux opérateurs on a donc la définition intrinsèque
équivalente
du champ scalaire laplacien[116] d'une fonction scalaire de l'espace :
Laplacien du champ scalaire

« Le laplacien
[116] \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd14a436d67012e9096efe6d7468f0c51d73a31)
de la fonction scalaire

»
« Le laplacien
est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel
gradient de la fonction scalaire

» soit
«
=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c48a422f469905055d8e15f0309c7b933b885fc)
».
Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque
modifier
La façon la plus simple de déterminer l'expression du laplacien[116] de la fonction scalaire
dans n'importe quel repérage
La façon la plus simple est d'« utiliser sa définition intrinsèque » avec les « expressions de la divergence et du gradient dans le repérage considéré ».
Expression cartésienne du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque
modifier
Nous allons donc appliquer l'expression de la divergence en représentation cartésienne à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable
dans la même représentation soit :
- expression cartésienne de
: «
»[126] et
- expression cartésienne de
: «
»[127] d'où
- expression cartésienne de
: «
expression cartésienne de
: «
»[119] C.Q.F.D[57]..
Expression cylindro-polaire du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque
modifier
Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation cylindro-polaire à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable
dans la même représentation soit :
- expression cylindro-polaire de
: «
»[128] et
- expression cylindro-polaire de
: «
»[129] d'où
- expression cylindro-polaire de
: «
expression cylindro-polaire de
: «
»[130] C.Q.F.D[57]..
Expression sphérique du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque
modifier
Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation sphérique à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable
dans la même représentation soit :
- expression sphérique de
: «
»[131] et
- expression sphérique de
: «
»[132] d'où
- expression sphérique de
: «
expression sphérique de
: «
[118]
expression sphérique de
: «
»[118],[133] C.Q.F.D[57]..
- ↑ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ La circulation élémentaire d'un champ vectoriel
est
voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 et 3,5 Voir le paragraphe « définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », définition généralisée à une fonction scalaire de trois variables indépendantes.
- ↑ Ou, de façon plus concise «
»
définition à connaître sans hésitation.
- ↑ Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Peut servir de définition
équivalente
du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cartésien mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
- ↑ 7,0 et 7,1 Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Peut servir de définition
équivalente
du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage cylindro-polaire mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
- ↑ Les composantes de gradient de
s'exprimant en
avec
désignant l'unité de
et la dérivée partielle de
relativement à un angle s'exprimant en
, un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de
relativement à
est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ; le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à
en l'occurrence
est l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel
en l'occurrence
dans le vecteur déplacement élémentaire en cylindro-polaire
.
- ↑ 10,0 et 10,1 Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Peut servir de définition
équivalente
du gradient d'une fonction scalaire de l'espace en repérage sphérique mais ne dispense pas de retenir la définition intrinsèque.
- ↑ Les composantes de gradient de
s'exprimant en
avec
désignant l'unité de
et les dérivées partielles de
relativement à un angle s'exprimant en
, un facteur homogène à l'inverse d'une longueur précédant la dérivée partielle de
relativement à
et celle de
relativement à
est nécessaire pour des raisons dimensionnelles ;
le cœfficient précédant la dérivée partielle relativement à
en l'occurrence
et celui précédant la dérivée partielle relativement à
en l'occurrence
sont respectivement l'inverse de celui qui précède l'élément différentiel
en l'occurrence
et de celui qui précède l'élément différentiel
en l'occurrence
dans le vecteur déplacement élémentaire en sphérique
.
- ↑ 13,0 et 13,1
n'ayant pas de composantes sur
et sur
ou n'ayant pas de composantes sur
et sur
.
- ↑ Si le débit de l'eau dans la conduite n'est pas trop lent.
- ↑ 15,0 et 15,1 Lacune
actuelle
de la langue française, le seul terme existant étant « centripète » utilisé dans le repérage sphérique pour un « champ radial et dirigé vers le pôle », mais aucun terme équivalent en cylindro-polaire pour un “champ radial et dirigé vers l'axe”
l'usage est alors de qualifier ce champ de “ centripète ”, mais ce n'est pas correct étymologiquement d'où le remplacement par “axipète”
Attention cet adjectif ne figure pas
encore
dans la langue française
.
- ↑ C.-à-d. en se déplaçant dans le plan tangent à la surface en
.
- ↑ C.-à-d. les surfaces iso-
.
- ↑ D'équation
.
- ↑ C.-à-d. les surfaces iso-
.
- ↑ D'équation
.
- ↑ Voir le paragraphe « définition des dérivées partielles » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 22,0 et 22,1 Pour l'instant ce n'est vérifié qu'en repérage cartésien, mais cela reste valable dans tous les repérages.
- ↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 1ère propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Pour l'instant le domaine d'application de cet opérateur scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.
- ↑ 26,0 et 26,1 Admettre cette définition revient à dire qu'elle est valable quel que soit le repérage.
- ↑ 27,0 et 27,1 Voir le paragraphe « proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 28,00 28,01 28,02 28,03 28,04 28,05 28,06 28,07 28,08 28,09 et 28,10 La multiplication scalaire étant distributive relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Pour établir les composantes cylindro-polaires de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en cylindro-polaire
- ↑ Pour établir les composantes sphériques de l'opérateur “nabla” on peut aussi utiliser le lien, établi en cartésien, entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire en admettant qu'il reste valide en sphérique
- ↑ 31,0 et 31,1 On admet l'applicabilité de la notion de multiplication scalaire avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «
», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 32,0 32,1 et 32,2 Voir le paragraphe « définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage cartésien » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 33,0 33,1 et 33,2 Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 34,0 34,1 et 34,2 Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage sphérique » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 35,0 35,1 et 35,2 Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
,
Expression obtenue en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants et qu'ils forment une base orthonormée.
- ↑ Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable,
Expression obtenue sachant que les deux 1ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de
, le 3ème étant constant et qu'ils forment une base orthonormée ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- «
»,
- «
»,
- «
»,
- «
»
en effet on utilise
correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
,
- «
»
en effet on utilise
correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
,
- «
»,
- «
»,
- «
» et
- «
».
- ↑ Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication scalaire entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
Expression obtenue sachant que les deux 1ers vecteurs de base sphérique dépendent de
et
, le 3ème ne dépendant que de
et qu'ils forment une base orthonormée ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle
voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- «
»,
- «
»,
- «
»,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
,
- «
»,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de
dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de
dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
et
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de
dans la base sphérique
.
- ↑ Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1er ordre “nabla scalaire ...” » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque
voir « ici » plus haut dans ce chapitre
» et
Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla”
voir « là » plus haut dans ce chapitre
»,
Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla scalaire ...”
énoncée ici
» mais aussi
Comme pour le « champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition intrinsèque
voir le paragraphe « définition (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre
».
- ↑ Voir l'explication à la note « 35 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Voir l'explication à la note « 36 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car «
»
- ↑ Voir l'explication à la note « 37 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'une part «
» et
On vérifie l'identité de ces deux expressions car d'autre part «
»
- ↑ 45,0 et 45,1 Le flux élémentaire d'un champ vectoriel
à travers une surface ouverte est défini par «
»
voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap.
de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
Ici la surface élémentaire
étant fermée, il faut la décomposer en éléments de surface
infiniment petits relativement à
et le flux élémentaire de
à travers la surface fermée
est défini par «
» avec «
vecteur surface élémentaire en
de la surface élémentaire fermée
entourant
», vecteur orienté vers l'extérieur
le flux est alors qualifié de « sortant »
voir le paragraphe « définition du flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermé » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ Ou, de façon plus concise «
»
voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ 47,0 et 47,1 Parmi les repérages introduits ceux qui sont valables pour tous les points de l'espace c.-à-d. « cartésien », « cylindro-polaire » et « sphérique »
le repérage de Frenet nécessitant de connaître la courbe n'est donc valable que localement sur cette courbe
mais il existe d'autres repérages non introduits valables pour tous les points de l'espace comme
Parmi le « repérage bifocale » substituant les coordonnées
du repérage sphérique d'un point dans le demi-plan méridien
par
distance respective du point à deux points fixes de l'axe
symétriques par rapport à
, notés
pour
,
pour
et appelés « foyers du repérage »
- ↑ Comme, par exemple, dans le repérage cartésien «
».
- ↑ Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages
- ↑ 50,0 50,1 et 50,2 L'orientation de chaque face pointant vers l'extérieur de l'expansion tridimensionnelle élémentaire.
- ↑ La face
à
, d'abscisse
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
la face
à
, d'abscisse
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
l'ordonnée et la cote du point générique de chaque face sont notées
et
, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour l'ordonnée et n'importe quelle valeur entre
et
pour la cote.
- ↑ La face
à
, d'ordonnée
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
la face
à
, d'ordonnée
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
l'abscisse et la cote du point générique de chaque face sont notées
et
, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre
et
pour la cote.
- ↑ La face
à
, de cote
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
la face
à
, de cote
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
l'abscisse et l'ordonnée du point générique de chaque face sont notées
et
, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour l'abscisse et n'importe quelle valeur entre
et
pour l'ordonnée.
- ↑ 54,00 54,01 54,02 54,03 54,04 54,05 54,06 54,07 54,08 54,09 54,10 54,11 54,12 54,13 54,14 54,15 54,16 54,17 54,18 54,19 54,20 54,21 54,22 et 54,23 Par généralisation de l'« approximation linéaire d'une fonction scalaire d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » vue au chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » à une fonction scalaire de plusieurs variables indépendantes, la dérivée droite étant remplacée par la dérivée partielle relativement à la variable dont on cherche l'approximation au voisinage d'une de ses valeurs, les autres variables étant figées.
- ↑ 55,0 55,1 et 55,2 En fait la définition intrinsèque de
nécessite que l'expansion tridimensionnelle de volume
soit limitée par une surface fermée
entourant
,
ici le point
, ce n'est donc qu'une approximation de
mais le centre de
étant infiniment proche de
, la définition intrinsèque reste applicable en
à des infiniment petits d'ordre supérieur près.
- ↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 57,00 57,01 57,02 57,03 57,04 57,05 57,06 57,07 57,08 57,09 57,10 57,11 57,12 57,13 57,14 et 57,15 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ La face cylindrique de rayon
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
la face cylindrique de rayon
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
l'abscisse angulaire et la cote du point générique de chaque face sont notées
et
, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour l'abscisse angulaire et n'importe quelle valeur entre
et
pour la cote ;
attention les aires des deux portions de faces cylindriques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des tuyaux cylindriques n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à
sur chaque tuyau ne sont pas de même longueur.
- ↑ La face
au méridien, d'abscisse angulaire
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
la face
au méridien, d'abscisse angulaire
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
le rayon polaire et la cote du point générique de chaque face sont notés
et
, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre
et
pour la cote.
- ↑ La face
à
, de cote
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
la face
à
, de cote
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
le rayon polaire et l'abscisse angulaire du point générique de chaque face sont notés
et
, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre
et
pour l'abscisse angulaire.
- ↑ Observant une différence de valeurs de la fonction
entre celle pour
et celle pour
, on peut réécrire
Observant la somme des deux termes, « après factorisation par
», selon «
»,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction
voir la note « 54 » plus haut dans ce chapitre
.
- ↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Surtout intéressante dans le cas de champs vectoriels particuliers pour lesquels il ne reste qu'une seule composante sphérique comme les champs vectoriels radiaux «
».
- ↑ La face sphérique de rayon
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
la face sphérique de rayon
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
la colatitude et la longitude du point générique de chaque face sont notées
et
, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour la colatitude et n'importe quelle valeur entre
et
pour la longitude ;
attention les aires des deux portions de faces sphériques en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les rayons des sphères n'étant pas les mêmes, les arcs correspondant à
et à
ne sont pas de même longueur.
- ↑ La face
au parallèle, de colatitude
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
la face
au parallèle, de colatitude
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
le rayon polaire et la longitude du point générique de chaque face sont notés
et
, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre
et
pour la longitude ;
attention les aires des deux portions de faces en regard ne sont pas égales, la différence provient du fait que les colatitudes n'étant pas les mêmes, les rayons des parallèles sont différents et les arcs correspondant à
ne sont pas de même longueur.
- ↑ La face
au méridien, de longitude
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
la face
au méridien, de longitude
est d'aire
, le vecteur surface étant orienté vers l'extérieur, son vecteur normal est
;
le rayon polaire et la colatitude du point générique de chaque face sont notés
et
, ils peuvent prendre n'importe quelle valeur entre
et
pour le rayon polaire et n'importe quelle valeur entre
et
pour la colatitude.
- ↑ Observant une différence de valeurs de la fonction
entre celle pour
et celle pour
, on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par
»,
Observant selon «
»,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction
voir la note « 54 » plus haut dans ce chapitre
.
- ↑ Observant
une différence de valeurs de la fonction
entre celle pour
et celle pour
, on peut réécrire la somme des deux termes, « après factorisation par
»,
Observant selon «
»,
puis, on peut utiliser l'approximation linéaire à la fonction
voir la note « 54 » plus haut dans ce chapitre
.
- ↑ Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ On admet l'applicabilité de la notion de multiplication vectorielle avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «
», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle
voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
,
Expression obtenue en sachant que les vecteurs de base cartésienne sont constants, qu'ils forment une base orthonormée directe d'un espace orienté à droite
Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » et le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », cette dernière définition utilisant la règle de la main droite
voir la description de celle-ci et d'autres règles identiques dans la note « 17 » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
,
et
et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1ère propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière ne dépendant que d'une variable,
Expression obtenue sachant que les deux 1ers vecteurs de base cylindro-polaire dépendent de
, le 3ème étant constant, qu'ils forment une base orthonormée
,
et
et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1ère propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
;
compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle
voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- «
»,
- «
»,
- «
»,
- «
»
en effet on utilise
correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
,
- «
»
en effet on utilise
correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
,
- «
»,
- «
»,
- «
» et
- «
».
- ↑ Expression obtenue en permutant dérivation partielle et multiplication vectorielle entre grandeurs vectorielles,
Expression obtenue en utilisant la formule de dérivation de deux fonctions dont l'une est vectorielle, cette dernière pouvant dépendre de deux variables,
Expression obtenue sachant que les deux 1ers vecteurs de base sphérique dépendent de
et
, le 3ème ne dépendant que de
, qu'ils forment une base orthonormée
,
et
et en utilisant la propriété d'anticommutativité de la multiplication vectorielle
voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 1ère propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
; ;
compte tenu de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle
voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
on trouve, après développement, une somme de neuf termes :
- «
»,
- «
»,
- «
»,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
,
- «
»,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de
dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
,
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de
dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
et
- «
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de
dans la base sphérique
.
- ↑ Voir le paragraphe « construction de l'opérateur du 1er ordre “nabla vectoriel ...” » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition intrinsèque
voir « ici » plus haut dans ce chapitre
» et
Comme pour le « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire » qui a « une définition utilisant l'opérateur vectoriel “nabla”
voir « là » plus haut dans ce chapitre
»,
Comme pour le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition utilisant l'opérateur “nabla vectoriel ...”
énoncée ici
» mais aussi
Comme pour le « champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » a « une définition intrinsèque
voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre
».
- ↑ Voir l'explication à la note « 71 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Cette méthode est applicable en cartésien car les vecteurs de bases dont fixes, elle consiste à appliquer la règle dite du
exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1er vecteur par l'opérateur “nabla” :
«
»
disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant
pour la 1ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2èmes et 3èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur
: suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 1ère composante du produit vectoriel
,
«
»
pour la 2ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3èmes et 1ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1ère ligne en 4ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3ème et 4ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 2ème composante du produit vectoriel
et
«
»
pour la 3ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1ère ligne et 2ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 3ème composante du produit vectoriel
;
une fois obtenue la 1ère composante, on peut obtenir les deux autres par permutation circulaire
ce qui donne «
».
- ↑ Voir l'explication à la note « 72 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Bien que les vecteurs de base ne soient pas tous fixes, on peut appliquer la règle dite du
exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées cylindro-polaires du point :
«
»
disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant
pour la 1ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2èmes et 3èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur
: suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 1ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier
,
«
»
pour la 2ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3èmes et 1ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1ère ligne en 4ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3ème et 4ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 2ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier
et
«
»
pour la 3ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1ère ligne et 2ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 3ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier
;
puis on tient compte de la dépendance relativement à
des deux vecteurs de base cylindro-polaire
et

«
»
en effet on utilise
correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
la dépendance de
avec
n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du
;

«
»
en effet on utilise
correspondant à la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire (à retenir) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
«
» d'où une rectification de la composante de
sur
nécessitant l'« ajout de
», c'est donc la seule rectification des résultats obtenus par la règle du
.
- ↑ Voir l'explication à la note « 73 » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Bien que les vecteurs de base ne soient pas fixes, on peut appliquer la règle dite du
exposée dans le paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » en remplaçant le 1er vecteur par l'opérateur “nabla” et en faisant l'hypothèse que les vecteurs de base sont fixes, puis il convient de faire les rectifications tenant compte de la dépendance de ces vecteurs de base relativement aux coordonnées sphériques du point :
«
»
disposant verticalement les trois composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur on forme la somme des termes « opérateur de dérivation - composante » en suivant les flèches avec le signe les précédant
pour la 1ère composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre les lignes des 2èmes et 3èmes composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur
: suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 1ère composante du produit vectoriel, éventuellement à rectifier
,
«
»
pour la 2ème composante du produit vectoriel les flèches devant être positionnées entre les lignes des 3èmes et 1ères composantes de l'opérateur vectoriel et du vecteur, on recopie la 1ère ligne en 4ème ligne pour pouvoir suivre la même règle de calcul et on positionne les flèches entre la 3ème et 4ème ligne : suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 2ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier
et
«
»
pour la 3ème composante du produit vectoriel les flèches sont mises entre la 1ère ligne et 2ème et on suit la règle de calcul exposée précédemment : suivant la flèche descendante, le terme
avec signe «
» auquel on ajoute, suivant la flèche montante, le terme
avec signe «
» soit «
» comme 3ème composante du produit vectoriel éventuellement à rectifier
;
puis on tient compte de la dépendance relativement à
et
des deux vecteurs de base sphérique
et
et de celle relativement à
du 3ème vecteur de base sphérique

«
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
et
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de
dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
la dépendance de
avec
et
n'entraîne aucune rectification des résultats obtenus par la règle du
;

«
»
en effet on utilise en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan figé relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
et
voir le paragraphe « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la décomposition de
dans la base polaire du plan méridien et la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive »
«
» d'où une rectification de la composante de
sur
nécessitant l'« ajout de
»,

«
»
en effet on utilise
voir le paragraphe « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » dans laquelle on utilise la propriété « quand on dérive un vecteur unitaire d'un plan relativement à l'angle qu'il fait avec une direction fixe du plan, on obtient le vecteur unitaire du plan directement
au vecteur que l'on dérive » puis la décomposition de
dans la base sphérique
«
» d'où une rectification de la composante de
sur
nécessitant l'« ajout de
» et la composante de
sur
nécessitant l'« ajout de
» ;

finalement l'expression sphérique de
doit être rectifiée relativement aux résultats obtenus par la règle du
en « ajoutant
».
- ↑ On vérifie l'identité de ces deux expressions car «
», «
» et «
»
- ↑ 83,00 83,01 83,02 83,03 83,04 83,05 83,06 83,07 83,08 83,09 et 83,10 Le flux élémentaire du champ vectoriel
est «
»
voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou le paragraphe « définition du flux élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel » du chap.
de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 84,00 84,01 84,02 84,03 84,04 84,05 84,06 84,07 84,08 84,09 84,10 84,11 84,12 84,13 84,14 84,15 84,16 84,17 84,18 84,19 84,20 84,21 84,22 84,23 84,24 84,25 84,26 84,27 et 84,28 La circulation élémentaire du champ vectoriel
le long d'un contour
est défini par «
»
voir le paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
, la circulation du champ vectoriel le long de
de
à
se calculant par «
»
voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du même chap.
de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
et, dans le cas où la courbe continue
est fermée, la circulation du champ vectoriel s'écrivant «
».
Ici le contour fermé
limitant la surface élémentaire
étant fermé, il faut le décomposer en élément de courbe
infiniment petits relativement à
et la circulation élémentaire de
le long du contour fermé
est défini par «
» avec «
vecteur déplacement élémentaire en
du contour élémentaire fermé
entourant
».
- ↑ 85,00 85,01 85,02 85,03 85,04 85,05 85,06 85,07 85,08 et 85,09 Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite
voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
avec choix d'une base orthonormée directe
voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
, on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la courbe fermée
limitant la surface ouverte
à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point
de
et effectuant une translation dans le sens choisi sur
, le sens défini sur
correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».
- ↑ Comme, par exemple, dans le repérage cartésien «
».
- ↑ Et il faudrait faire de même dans les deux autres repérages
- ↑ Le côté
à
, d'ordonnée
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, la cote étant
;
le côté
à
, d'ordonnée
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, la cote étant
;
l'abscisse du point générique de chaque côté est notée
, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre
et
.
- ↑ Le côté
à
, d'abscisse
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, la cote étant
;
le côté
à
, d'abscisse
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, la cote étant
;
l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée
, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre
et
.
- ↑ 90,0 90,1 et 90,2 Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cartésien (à retenir) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 91,0 91,1 et 91,2 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Le côté
à
, de cote
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, l'abscisse étant
;
le côté
à
, de cote
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, l'abscisse étant
;
l'ordonnée du point générique de chaque côté est notée
, elle peut prendre n'importe quelle valeur entre
et
.
- ↑ Le côté
à
, d'ordonnée
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, l'abscisse étant
;
le côté
à
, d'ordonnée
est de longueur
, le vecteur l'orientant étant
, l'abscisse étant
;
la cote du point générique de chaque côté est notée 