Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du premier ordre “nabla” et autres champs qui en découlent

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L'espace physique considéré dans ce chapitre étant $\;{\big (}$sauf avis contraire${\big )}\;$ « orienté à droite » .

Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace

Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Introduction  : nous avons étudié la caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace dans le paragraphe « caractérisation de la variation du champ (ou de la fonction) scalaire de l'espace » du chap.$13$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et
     Introduction ; nous avons indiqué dans le paragraphe « commentaire final » du même chap.$13$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'il existe une méthode plus compacte pour faire cette caractérisation utilisant la notion de gradient de fonction scalaire.

Gradient du champ scalaire $U(M)$

     Le gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ noté «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire » est égale à « la différentielle de la fonction scalaire $\;U(M)\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» .

     Remarque : la définition du gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ donnée ci-dessus est essentiellement utilisée pour déterminer les composantes
     Remarque : du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ dans les différents repérages cartésien, cylindro-polaire $\;{\big (}$ou cylindrique${\big )}\;$ ou sphérique,
     Remarque : explicitation exposée dans les trois paragraphes suivants.

Composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{x}(M),\,A_{y}(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cartésiennes de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{x}(M)\,dx+A_{y}(M)\,dy+A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\,dx+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\,dy+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\,dz\;$»,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;dx$, $\;dy\;$ et $\;dz$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{x}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\\A_{y}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ en cartésien

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{\rho }(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{z}(M)\;$ les composantes cylindro-polaires $\;{\big (}$ou cylindriques${\big )}\;$ de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{\rho }(M)\,d\rho +A_{\theta }(M)\,\rho \,d\theta +A_{z}(M)\,dz=dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\;$»,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;d\rho$, $\;d\theta \;$ et $\;dz$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{\rho }(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\\A_{\theta }(M)\,\rho =\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\\A_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $\;U(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» .

Composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace

     Appelons «$\;A_{r}(M),\,A_{\theta }(M),\,A_{\varphi }(M)\;$ les composantes sphériques de $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$»,

• d'une part sa définition «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» se réécrit «$\;A_{r}(M)\,dr+A_{\theta }(M)\,r\,d\theta +A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi =dU(M)\;$» et
• d'autre part la différentielle de $\;U\;$ s'exprime en fonction de ses dérivées partielles selon «$\;dU(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\,d\varphi \;$»,

     des deux formes de $\;dU(M)$, vraies quels que soient $\;dr$, $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi$, on tire, par identification deux à deux de leurs coefficients, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\\A_{\theta }(M)\,r=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\\A_{\varphi }(M)\,r\,\sin(\theta )=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où :

À retenir $\;\rightsquigarrow \;$ Gradient du champ scalaire $U(M)$ en sphérique

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» .

Caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient

     «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ traduit la variation de la grandeur $\;U\;$ dans l'espace », par exemple 
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$« si $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ est un champ uniforme $\;\parallel$ à ${\vec {u}}_{z}\;$ et de même sens », c.-à-d.
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$« si, en repérage cartésien ou cylindro-polaire, «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$ s'écrit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=A\;{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}A=cste>0\end{array}}\right\rbrace \;$», cela signifiera que
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ est un champ uniforme $\;\color {transparent}{\parallel }$ à $\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ et de même sens » «$\;U\;$ ne varie pas avec $\;x\;$ et $\;y\;$» ${\big [}$ou « ne varie pas avec $\;\rho \;$ et $\;\theta \;$»${\big ]}\;$ et
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$« si $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ est un champ uniforme $\;\color {transparent}{\parallel }$ à $\color {transparent}{{\vec {u}}_{z}}\;$ et de même sens » «$\;U\nearrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$», cette $\;\nearrow \;$ étant uniforme ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$variation de la température$\;T\;$de l’espace autour d'une conduite cylindrique verticale d'eau chaude :
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$il y a invariance de la répartition de température par rotation autour de l'axe vertical $\;\uparrow \;$ choisi comme axe $\;Oz$,
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$ il y a invarianceavec choix du repérage cylindro-polaire d'axe $\;Oz\;$ $\Rightarrow$ $\;T\;$ ne dépend pas de $\;\theta$,
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$l'eau étant à une température supérieure à celle de l'air ambiant, $\;T\searrow \;$ quand $\;\rho \nearrow \;$ et
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$il est raisonnable de supposer que la « température de l'eau ne dépende pas de l'altitude $\;z\;$» ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$nous résumons tout ceci dans le gradient de la température au voisinage de la conduite
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la température$\;\color {transparent}{T}\;$nous résumons tout ceci par gradient « radial plus précisément “axipète” $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)={\dfrac {dT}{dr}}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\{\text{avec }}{\dfrac {dT}{dr}}(M)<0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\bullet \;$variation de la pression$\;p\;$d'un lac : il y a invariance de la répartition de pression par translation horizontale suivant $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;{\vec {u}}_{y}$, $\Rightarrow$ $\;p\;$ ne dépend, ni $\;x$, ni de $\;y$, et
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la pression$\;\color {transparent}{p}\;$d'un lac :$\;p\nearrow \;$ quand la profondeur $\;z\nearrow \;$ ${\big [}$l'axe vertical étant orienté dans le sens $\;\downarrow \;$ et l'origine de l'axe choisi à la surface du lac${\big ]}$ ;
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la pression$\;\color {transparent}{p}\;$d'un lac : nous résumons tout ceci dans le gradient de la pression dans le lac,
     «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)}\;$ traduit la variation $\color {transparent}{\bullet }\;$variation de la pression$\;\color {transparent}{p}\;$d'un lac : nous résumons tout ceci par gradient « vertical plus précisément $\;\downarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)={\dfrac {dp}{dz}}(M)\,{\vec {u}}_{z}\\{\text{avec }}{\dfrac {dp}{dz}}(M)>0\\{\vec {u}}_{z}\;\downarrow \;\;{\text{et }}z{\text{ profondeur}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

Propriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U

     « Une surface iso-U est une surface où $\;U=cste\;$» ; elle est caractérisée par $\;dU=0\;$ lorsqu'on se déplace de façon élémentaire de $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ à partir d'un point $\;M\;$ de cette surface en y restant  ;
     « Une surface iso-U à partir de «$\;dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;dU=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=0,\;\;\forall \;{\overrightarrow {dM}}\;{\text{de la surface}}\;$» ou
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à tous les ${\overrightarrow {dM}}\;$ de la surface construits à partir de $\;M\;$»
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp }\;$ à tous les$\Downarrow$
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à la surface $U=cste\;$ passant par $\;M\;$» ou
     « Une surface iso-U à partir de «$\;\color {transparent}{dU(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}}\;$» avec un déplacement élémentaire tel que $\;\color {transparent}{dU=0}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\perp \;$ à la surface iso-U passant par $\;M\;$» ;

     dans les exemples considérés au paragraphe « caractérisation de la variation d'une fonction scalaire de l'espace à l'aide de son gradient » plus haut dans ce chapitre :
     dans les exemples $\bullet \;$«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[T\right](M)\;$ est radial plus précisément “axipète” » et « les isothermes sont des tuyaux cylindriques de révolution » d'où « la perpendicularité » ;
     dans les exemples $\bullet \;$«$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[p\right](M)\;$ est vertical plus précisément $\;\downarrow \;$» et « les isobares sont des plans horizontaux » d'où « la perpendicularité ».

Introduction de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”

Définition de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cartésien

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» est, en repérage cartésien, construit sur les vecteurs de base cartésienne et
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;$» est, en repérage cartésien, construit sur les opérateurs scalaires du 1^er ordre “dérivations partielles par rapport aux coordonnées cartésiennes”
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” avec, pour domaine d'application, les fonctions scalaires différentiables de l'espace, soit
     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$».

Lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire

     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)={\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$»
     Appliquant l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espaceidentifiable à «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$» ;

     en conclusion on peut écrire l'application suivante «$\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$» où «$\;U\;$ est une fonction scalaire différentiable de l'espace »,
     en conclusion l'image de la fonction scalaire différentiable de l'espace «$\;U\;$» par l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» est le champ vectoriel “gradient de $\;U$” «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;$».

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla”

     Partant de la définition intrinsèque du « champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$» à savoir
     Partant de la définition intrinsèque du «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» et

     y substituant l'expression équivalente «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]={\vec {\nabla }}\left[U\right]\;$» utilisant l'opérateur “nabla”
                                                on obtient «$\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;$» ou, la multiplication scalaire entre vecteurs étant commutative ,
                                                                «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=dU(M)\;$» ou, en mettant en évidence, dans chaque membre, un « opérateur scalaire agissant sur la fonction scalaire de l'espace $\;U(M)\;$»
                                                                «$\;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)=\left\lbrace d\right\rbrace \left[U\right](M)\;$», les opérateurs scalaires étant «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$ et $\;d\left[\;\right]\;$» ;

     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut identifier les deux opérateurs scalaires et
     cette relation étant valable pour toute fonction scalaire différentiable de l'espace, on peut donner la définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” exposée ci-dessous :

Proposition de définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”

     L'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla”, noté $\;{\vec {\nabla }}$, est un opérateur vectoriel linéaire tel que l'opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» est identique à l'opérateur scalaire “différenciation” «$\;d\left[\;\right]\;$» soit

«$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$».

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire

     Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$», « opérateur linéaire tel que $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»
          Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$»,
     on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage cylindro-polaire «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+dz\;{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \;{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+\rho \;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+dz\;{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» ou
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\rho \,\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace \rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +dz\,\left\lbrace {\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$» ;
     parallèlement la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant «$\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;d\rho +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;dz\;$» ou
     parallèlement la différentielle de $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ dans le même repérage cylindro-polaire s'écrivant «$\;dU=d\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;$»,
     on en déduit l'opérateur différenciation «$\;d\left[\;\right]\;$» en repérage cylindro-polaire «$\;d\left[\;\right]=d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\;$» soit,
     on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;d\rho$, $\;d\theta \;$ et $\;dz\;$ de «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»,

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\\rho \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

     la définition $\;{\big (}$équivalente${\big )}\;$ de l'opérateur “nabla” en cylindro-polaire «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» .

Définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du premier ordre “nabla” en repérage sphérique

     Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$», « opérateur linéaire tel que $\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»
          Selon la proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire “nabla” appliquée à une fonction scalaire $\;U(M)\;$ de l'espace, «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[U\right](M)=d\left[U\right](M)\;$»,
     on obtient, en explicitant le vecteur déplacement élémentaire en repérage sphérique «$\;{\overrightarrow {dM}}=dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\;$»,
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace dr\;{\vec {u}}_{r}+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\;{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]+r\;\sin(\theta )\;d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;$» ou
     on obtient «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=dr\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\theta \,\left\lbrace r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace +d\varphi \,\left\lbrace r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\right\rbrace \;$» ;
     parallèlement la différentielle de $\;U(M)\;$ dans le même repérage sphérique s'écrivant «$\;dU=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;dr+\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;d\theta +\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;d\varphi \;$» ou
     parallèlement la différentielle de $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ dans le même repérage sphérique s'écrivant «$\;dU=dr\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;$»,
     on en déduit l'opérateur différenciation «$\;d\left[\;\right]\;$» en repérage sphérique «$\;d\left[\;\right]=dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\;$» soit,
     on en déduit en identifiant membre à membre les cœfficients des éléments différentiels $\;dr$, $\;d\theta \;$ et $\;d\varphi \;$ de «$\;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;$»,

«$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\r\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\left[\;\right]\\{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\left[\;\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où

     la définition $\;{\big (}$équivalente${\big )}\;$ de l'opérateur “nabla” en sphérique «$\;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» .

En compléments : Autres champs scalaire ou vectoriel d'une fonction vectorielle ou scalaire de l'espace définis à l'aide de l'opérateur “nabla”

Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

Construction de l'opérateur du premier ordre “nabla scalaire ...”

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;{\vec {\nabla }}\cdot \;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» et
      L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » «$\;\cdot \;$»,
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage cartésien , ou
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage cylindro-polaire ou encore
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage sphérique  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cartésienne $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$»  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cylindro-polaire $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$»  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ en représentation sphérique $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdot \right\rbrace \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$» .

Définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire ...” de cette fonction vectorielle

     Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” au champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ on obtient l'« image $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant
         Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” au champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ on obtientle « champ scalaire divergence du champ vectoriel$\;{\vec {A}}(M)\;$» «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$»  ;

     en conclusion le « champ scalaire $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ divergence de la fonction vectorielle différentiable de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$» résulte de l'application suivante «$\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}=\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\;$».

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien

     En cartésien «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \cdot \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$», ce qui donne  :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cartésien

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$».

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire

     En cylindro-polaire «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$», ce qui donne  :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,A_{\rho }(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$»
ou
                 «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» .

Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique

     En sphérique «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \cdot \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;+\;A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$», ce qui donne  :

Divergence d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en sphérique

          «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)$
            $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)}\color {black}=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {2}{r}}\,A_{r}(M)+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;$»

ou, après regroupement,
«$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$» .           

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace

     La « divergence $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$»
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ scalaire défini en $\;M\;$» par le « quotient du flux élémentaire $\;\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]\;$ de $\;{\vec {A}}(M)\;$ à travers une surface élémentaire fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ scalaire défini en $\;\color {transparent}{M}\;$» par le « quotient du flux élémentaire $\;\color {transparent}{\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]}\;$ sur le volume élémentaire $\;d{\mathcal {V}}_{M}\;$ mesurant l'intérieur de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$» soit
     La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]}{d{\mathcal {V}}_{M}}}={\dfrac {\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint \limits _{M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')\;$ vecteur surface élémentaire en $\;M'\,\in \,(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$»,
                                      La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est «$\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$ vecteur surface orienté vers l'extérieur,
                                      La « divergence $\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est «$\;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\delta \Phi [{\vec {A}}(M)]={\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}(M')}\;$» l'intérieur de cette surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ étant de volume $\;d{\mathcal {V}}_{M}$.

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla scalaire ...”

     Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[\;\right]\;$» dans tous les « repérages précédemment introduits » , il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ scalaire divergence de $\;{\vec {A}}(M)\;$» .

Justification en repérage cartésien

     Pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire parallélépipédique de longueur $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{x}(M')\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M')\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M')\,{\vec {u}}_{z}$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$»,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées du parallélépipède, soit
     on évalue alors le «$\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$», avec
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\cdot \left[dy\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» , «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\cdot \left[dx\,dz\right]\left[{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})={\vec {A}}(x_{i},\,y_{i},\,z+dz)\cdot \left[dx\,dy\right]\left[{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,yOz}(x+dx)}({\vec {A}})=-A_{x}(x,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz+A_{x}(x+dx,\,y_{i},\,z_{i})\;dy\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dy\,dz\;$» ,
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOz}(y+dy)}({\vec {A}})=-A_{y}(x_{i},\,y,\,z_{i})\;dx\,dz+A_{y}(x_{i},\,y+dy,\,z_{i})\;dx\,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dx\,dz\;$» et
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})=-A_{z}(x_{i},\,y_{i},\,z)\;dx\,dy+A_{z}(x_{i},\,y_{i},\,z+dz)\;dx\,dy=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\right]dx\,dy\;$» soit
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «$\;dx\,dy\,dz=d{\mathcal {V}}\;$» puis,
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque
     on évalue alors le «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\;$» dans lequel
                                                  on évalue alors le «$\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» d'où
                                on évalue alors le «$\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant toutes deux «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$», « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur

$\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$» C.Q.F.D..

Justification en repérage cylindro-polaire

     On se propose de refaire la justification en repérage cylindro-polaire, essentiellement dans le but de trouver une façon plus élégante de déterminer l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ dans ce repérage ;
     pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion d'un tuyau cylindrique de révolution d'axe $\;z'z$, d'épaisseur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{\rho }(M')\,{\vec {u}}_{\rho }(M')+A_{\theta }(M')\,{\vec {u}}_{\theta }(M')+A_{z}(M')\,{\vec {u}}_{z}$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$»,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$, soit
     on évalue alors le «$\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\;$», avec
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\rho \,d\theta \,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\cdot \left[\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz\right]\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» , «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z_{i})\cdot \left[d\rho \,dz\right]\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\cdot \left[d\rho \,dz\right]\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z)\cdot \left[d\rho \,\rho \,d\theta \right]\left[-{\vec {u}}_{z})\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z+dz)\cdot \left[d\rho \,\rho \,d\theta \right]\left[{\vec {u}}_{z})\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{cylind.}}(\rho +d\rho )}}({\vec {A}})=-A_{\rho }(\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\;\rho \,d\theta \,dz+A_{\rho }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z_{i})\;\left(\rho +d\rho \right)d\theta \,dz=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho \right\rbrace d\theta \,dz\;$»
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=-A_{\theta }(\rho _{i},\,\theta ,\,z_{i})\;d\rho \,dz+A_{\theta }(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\;d\rho \,dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta \right]d\rho \,dz\;$» et
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z)}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{à}}\,xOy}(z+dz)}({\vec {A}})=-A_{z}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z)\;d\rho \,\rho \,d\theta +A_{z}(\rho _{i},\,\theta _{i},\,z+dz)\;d\rho \,\rho \,d\theta =\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\right]d\rho \,\rho \,d\theta \;$» soit
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «$\;d\rho \,\rho \,d\theta \,dz=d{\mathcal {V}}\;$» puis,
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque
     on évalue alors le «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\;$» dans lequel
                                                  on évalue

alors le «$\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» d'où 
                                on évalue alors le «$\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant toutes deux «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$», « la 1ère de façon intrinsèque » et « la 2nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$» C.Q.F.D..

Justification en repérage sphérique

     La justification en repérage sphérique est plus laborieuse, elle constitue néanmoins une façon plus élégante $\;{\big (}$mais aussi plus délicate${\big )}\;$ de déterminer l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ ;
     pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$, l'expansion tridimensionnelle élémentaire d'une portion de boule de centre $\;O$, d'épaisseur $\;dr\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}$, d'ouverture de colatitude $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ et d'ouverture de longitude $\;d\varphi \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$», « la surface fermée $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ limitant cette expansion tridimensionnelle élémentaire étant orientée vers l'extérieur » ;
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M')=A_{r}(M')\,{\vec {u}}_{r}(M')+A_{\theta }(M')\,{\vec {u}}_{\theta }(M')+A_{\varphi }(M')\,{\vec {u}}_{\varphi }(M')$, noté $\;\delta \Phi ({\vec {A}})\;$»,
     on évalue alors le « flux élémentaire à travers $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ en faisant la somme des flux élémentaires à travers les six faces orientées de $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$, soit
     on évalue alors le «$\;\delta \Phi ({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{6}\delta \Phi _{{\text{face}}_{k}}({\vec {A}})=\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphér.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})\;$»,
on évalue alors avec «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\cdot \left[r^{2}\,d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \right]\left[-{\vec {u}}_{r}\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\cdot \left[\left(r+dr\right)^{2}d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \right]\left[{\vec {u}}_{r}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» ,
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot \left[r\,dr\,\sin(\theta )\,d\varphi \right]\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\cdot \left[r\,dr\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi \right]\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     on évalue alors le «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot \left[dr\,r\,d\theta \right]\left[-{\vec {u}}_{\varphi })\right]\\\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\cdot \left[dr\,r\,d\theta \right]\left[{\vec {u}}_{\varphi })\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})=-A_{r}(r,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\;r^{2}\,d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{r}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi _{i})\;\left(r+dr\right)^{2}d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi$
     on évalue alors le $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r)}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{{\text{sphèr.}}(r+dr)}}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,dr\right\rbrace d\theta \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$»
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=-A_{\theta }(r_{i},\,\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,dr\,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{\theta }(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,dr\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi$
     on évalue alors le $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au paral.}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta \right\rbrace r\,dr\,d\varphi \;$» et
     on évalue alors le $\bullet \;$«$\;\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}(\varphi )}}({\vec {A}})+\delta \Phi _{d^{2}S_{\parallel \,{\text{au mérid.}}(\varphi +d\varphi )}}({\vec {A}})=-A_{\varphi }(r_{i},\,\theta _{i},\,\varphi )\;dr\,r\,d\theta +A_{\varphi }(\rho _{i},\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\;dr\,r\,d\theta =\left[\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \right]\,dr\,r\,d\theta \;$» soit
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en mettant en facteur l'élément de volume commun «$\;dr\,r^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi =d{\mathcal {V}}\;$» puis,
     on évalue alors le en ajoutant tous les termes, en divisant par ce dernier, pour obtenir l'expression de $\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ par définition intrinsèque
     on évalue alors le «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$» dans lequel
                                                  on évalue alors le «$\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» d'où
                                on évalue alors le «$\;{\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}}}={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant toutes deux «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$», « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \;$» C.Q.F.D..

Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

Construction de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla vectoriel ...”

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;{\vec {\nabla }}\wedge \;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» et
      L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication vectorielle » «$\;\wedge \;$»,
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla scalaire ...” avec pour domaine d'application, les fonctions vectorielles différentiables de l'espace soit
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage cartésien, ou
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage cylindro-polaire ou encore
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$» en repérage sphérique ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cartésienne $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\,{\vec {u}}_{x}+\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{y}\;\cdots$
                                                                             L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$»  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$ en représentation cylindro-polaire $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\;\cdots$
                                                                                L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left[\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;A_{\theta }(M)-{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;$»  ;

     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;$ en représentation sphérique $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)\;\cdots \right.$
                                                                                                                                                                                                             L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” $\left.\cdots \;+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$
     L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $=\left\lbrace {\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}\;A_{\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\;\cdots$
                                          L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)-{\dfrac {1}{r}}\;A_{\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\;\cdots$
                                                            L'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)}$ $\cdots \;+\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\dfrac {1}{r}}\;A_{\theta }(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\;$» .

Définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel ...” de cette fonction vectorielle

     Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” au champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ on obtient l'« image $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}(M)\;$» définissant
         Appliquant l'opérateur linéaire du 1^er ordre “nabla vectoriel ...” au champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ on obtientle « champ vectoriel rotationnel du champ vectoriel$\;{\vec {A}}(M)\;$» «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$»  ;

     en conclusion le « champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ rotationnel de la fonction vectorielle différentiable de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$» résulte de l'application suivante «$\;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\wedge }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\;$».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien

     En cartésien «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \wedge \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$», ce qui donne  :

Rotationnel d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cartésien

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire

     En cylindro-polaire «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\;\wedge \right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;$», ce qui donne  :

Rotationnel d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[A_{\theta }(M)+\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$»
ou encore, en compactant partiellement la dernière composante,
$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;$».

Expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique

     En sphérique «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \wedge \left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)\;+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\right]\;$», $\Rightarrow \;$  :

Rotationnel d'un champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ en sphérique

«$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {A_{\varphi }\,\cos(\theta )}{r\,\sin(\theta )}}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\\left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\\left[\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {A_{\theta }}{r}}-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$»
ou, après regroupement,
«$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;$» .

Définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace

     Le « rotationnel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$»
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ vectoriel défini en $\;M\;$» dont le « flux élémentaire $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)\;$ à travers une surface élémentaire ouverte $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ entourant $\;M\;$
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ vectoriel défini en $\;\color {transparent}{M}\;$» dont le « flux élémentaire $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)}\;$ est égal à la circulation du champ $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long du contour fermé $\;(\delta \Gamma )\;$
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est le « champ vectoriel défini en $\;\color {transparent}{M}\;$» dont le « flux élémentaire $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)}\;$ est égal à la circulation du champ $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ limitant la surface élémentaire $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$» soit,
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que «$\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )}\![{\vec {A}}(M)]\;$» ou
     Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que «$\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oint \limits _{M'\,\in \,(\delta \Gamma )}{\vec {A}}(M')\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M'}}\;$» avec «$\;{\overrightarrow {dS}}\;$ vecteur surface élémentaire de la surface ouverte $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ en $\;M\;$», « le contour fermé
                                                                                                              Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que $\;(\delta \Gamma )\;$ limitant la surface ouverte $\;(\delta {\mathcal {S}})\;$ orienté en accord avec l'orientation de la surface
                                                                                                              Le « rotationnel $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)}\;$ est tel que $\;\color {transparent}{(\delta \Gamma )}\;$ limitant la surface ouverte $\;\color {transparent}{(\delta {\mathcal {S}})}\;$ orienté en accord avec l'orient ouverte $\;(\delta S)\;$» .

Justification de l'équivalence entre la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace et celle de l'image de cette fonction vectorielle par l'opérateur “nabla vectoriel ...”

     Ayant obtenu l'« image de la fonction vectorielle $\;{\vec {A}}(M)\;$ par l'opérateur linéaire du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\wedge \right\rbrace \left[\;\right]\;$» dans tous les « repérages précédemment introduits » , il nous suffit de « retrouver l'expression de l'image dans le repérage choisi à partir de la définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de $\;{\vec {A}}(M)\;$»  ;

     la méthode la plus simple, dans un repérage donné, consiste à choisir une surface élémentaire ouverte $\;(\delta S)$ $\;\perp \;$ à un des trois vecteurs de base du repérage, le flux élémentaire du vecteur $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ à travers cette surface ne faisant intervenir que la composante de $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur le vecteur de base choisi, le calcul de la circulation de $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long du contour $\;(\Gamma )\;$ limitant la surface $\;(\delta S)$, ne permet de vérifier que la composante $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;$ sur ce vecteur de base et par suite

     la méthode la plus simple, dans un repérage donné, il faut recommencer la vérification sur deux autres surfaces élémentaires ouvertes $\;(\delta S)$ $\;\perp \;$ aux deux autres des trois vecteurs de base du repérage $\;\ldots$

Justification en repérage cartésien

     $\succ \;$Pour cela « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{z}\;$ de longueur $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}$, orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour cela « on considère, à partir du point $\;\color {transparent}{M\,\left(x,\,y,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ limitant $\;(\delta S)_{z}\;$ étant orienté de $\;{\vec {u}}_{x}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{y}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{z}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x)}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z)\cdot dx\,\left[{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y+dy)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y+dy,\,z)\cdot dx\,\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x+dx)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x+dx,\,y_{i},\,z)\cdot dy\,\left[{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z)\cdot dy\,\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(y+dy)}({\vec {A}})=A_{x}(x_{i},\,y,\,z)\;dx-A_{x}(x_{i},\,y+dy,\,z)\;dx=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dx\;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(x)}({\vec {A}})=A_{y}(x+dx,\,y_{i},\,z)\;dy-A_{y}(x,\,y_{i},\,z)\;dy=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dy\;$» soit, en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\,dx\;dy=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{z}\;$»
                                                                                                                                           $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}$ $\;{\big \{}$avec $\;dS_{z}=dx\;dy\;$ aire de $\;(\delta S)_{z}{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{z}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{z}$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{z}=dS_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{z}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{z}={\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{z}\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\right]\;$» C.Q.F.D..

     $\succ \;$Puis « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{x}\;$ de longueur $\;dy\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{y}\;$ et $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}$, orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{x}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Puis « on considère, à partir du point $\;\color {transparent}{M\,\left(x,\,y,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{x}\;$ limitant $\;(\delta S)_{x}\;$ étant orienté de $\;{\vec {u}}_{y}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{z}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{x}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{x}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y)}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z)\cdot dy\,\left[{\vec {u}}_{y}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y_{i},\,z+dz)\cdot dy\,\left[-{\vec {u}}_{y}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y+dy)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y+dy,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oy}(z+dz)}({\vec {A}})=A_{y}(x,\,y_{i},\,z)\;dy-A_{y}(x,\,y_{i},\,z+dz)\;dy=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\right]dy\;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y+dy)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(y)}({\vec {A}})=A_{z}(x,\,y+dy,\,z_{i})\;dz-A_{z}(x,\,y,\,z_{i})\;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)\,dy\right]dz\;$» soit, en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\,dy\;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\,dS_{x}\;$»
                                                                                                                                           $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}$ $\;{\big \{}$avec $\;dS_{x}=dy\;dz\;$ aire de $\;(\delta S)_{x}{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{x}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{x}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{x}$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{x}=dS_{x}\;{\vec {u}}_{x}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{x}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{x}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{x}={\overline {\mathrm {rot} }}_{x}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{x}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{x}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{x}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{x}=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\,dS_{x}\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{x}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{x}}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{x}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\right]\;$».

     $\succ \;$Enfin « on considère, à partir du point $\;M\,\left(x,\,y,\,z\right)$, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{y}\;$ de longueur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et $\;dx\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{x}$, orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{y}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Puis « on considère, à partir du point $\;\color {transparent}{M\,\left(x,\,y,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{y}\;$ limitant $\;(\delta S)_{y}\;$ étant orienté de $\;{\vec {u}}_{z}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{x}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{y}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{y}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés du rectangle, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x+dx)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z)}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x,\,y,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x+dx)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x+dx,\,y,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z+dz)\cdot dx\,\left[{\vec {u}}_{x}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(x_{i},\,y,\,z)\cdot dx\,\left[-{\vec {u}}_{x}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(x+dx)}({\vec {A}})=A_{z}(x,\,y,\,z_{i})\;dz-A_{z}(x+dx,\,y,\,z_{i})\;dz=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\,dx\right]dz\;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Ox}(z)}({\vec {A}})=A_{x}(x_{i},\,y,\,z+dz)\;dx-A_{x}(x_{i},\,y,\,z)\;dx=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)\,dz\right]dx\;$» soit, en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\,dz\;dx=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{y}\;$»
                                                                                                                                           $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}$ $\;{\big \{}$avec $\;dS_{y}=dz\;dx\;$ aire de $\;(\delta S)_{y}{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{y}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{y}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{y}$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{y}=dS_{y}\;{\vec {u}}_{y}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{y}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{y}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{y}={\overline {\mathrm {rot} }}_{y}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{y}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{y}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{y}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{y}=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{y}\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{y}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{y}}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{y}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!\!(M)\right]\;$».

     $\succ \;$En conclusion «$\;{\dfrac {\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{s}}({\vec {A}})}{dS_{s}}}={\overline {{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}}}_{s}(M)\;$ avec $\;s\,\in \,\left\lbrace x,\,y,\,z\right\rbrace \;$» définissant toutes deux «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{s}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$» « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \;$» C.Q.F.D..

Justification en repérage cylindro-polaire

     $\succ \;$Pour cela « on considère, à partir de $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$, l'expansion surfacique élémentaire cylindrique $\;(\delta S)_{\rho }\;$ de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et d'arc $\;\rho \,d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\rho }\;$ étant orienté sur l'arc de cercle de cote $\;z\;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;\color {transparent}{(\delta \Gamma )_{\rho }}\;$ limitant $\;\color {transparent}{(\delta S)_{\rho }}\;$ étant orienté en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\rho }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta )}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\cdot \rho \,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z+dz)\cdot \rho \,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(z+dz)}({\vec {A}})=A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\;\rho \,d\theta -A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z+dz)\;\rho \,d\theta =\left[-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\right]\rho \,d\theta \;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\theta )}({\vec {A}})=A_{z}(\rho ,\,\theta +d\theta ,\,z_{i})\;dz-A_{z}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta \right]dz\;$» soit, en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\,\rho \,d\theta \;dz=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\,dS_{\rho }\;$»
                                                                                                                                                                             $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$avec $\;dS_{\rho }=\rho \,d\theta \;dz\;$ aire de $\;(\delta S)_{\rho }{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire cylindrique $\;(\delta S)_{\rho }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\rho }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\rho }$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{\rho }=dS_{\rho }\;{\vec {u}}_{\rho }\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\rho }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\rho }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\rho }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\rho }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\rho }=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\,dS_{\rho }\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\rho }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\rho }}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\rho }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\right]\;$» C.Q.F.D..

     $\succ \;$Puis « on considère, à partir de $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$, l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{\theta }\;$ de hauteur $\;dz\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{z}\;$ et de largeur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Puis « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\theta }\;$ étant orienté sur le rayon de cote $\;z\;$ dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{\rho }\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\theta }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z+dz)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho )}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\cdot d\rho \,\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z+dz)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z+dz)\cdot d\rho \,\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[-{\vec {u}}_{z}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\cdot dz\,\left[{\vec {u}}_{z}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(z+dz)}({\vec {A}})=-A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\;d\rho +A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta ,\,z+dz)\;d\rho =\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)\,dz\right]\,d\rho \;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,\parallel \,{\text{à}}\,Oz}(\rho )}({\vec {A}})=-A_{z}(\rho +d\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\;dz+A_{z}(\rho ,\,\theta ,\,z_{i})\;dz=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho \right]dz\;$» $\Rightarrow$ par somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\,d\rho \;dz=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$»
                                                                                                                                                                 $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$avec $\;dS_{\theta }=d\rho \;dz\;$ aire de $\;(\delta S)_{\theta }{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire rectangulaire $\;(\delta S)_{\theta }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{\theta }=dS_{\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\theta }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\right]\;$» C.Q.F.D..

     $\succ \;$Enfin « on considère, à partir de $\;M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)$, l'expansion surfacique élémentaire sectorielle $\;(\delta S)_{z}\;$ de largeur $\;d\rho \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\rho }$, d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Enfin « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ limitant $\;(\delta S)_{z}\;$ étant orienté sur l'arc de rayon $\;\rho +d\rho \;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\cdot d\rho \,\left[{\vec {u}}_{\rho }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z)\cdot d\rho \,\left[-{\vec {u}}_{\rho }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z)\cdot (\rho +d\rho )\,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\cdot \rho \,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta ,\,z)\;d\rho -A_{\rho }(\rho _{i},\,\theta +d\theta ,\,z)\;d\rho =\left[-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\,d\theta \right]\,d\rho \;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})=A_{\theta }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z)\,(\rho +d\rho )\,d\theta -A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\;\rho \,d\theta =\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)\,d\rho \right\rbrace \,d\theta \;$» soit,
                                   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho +d\rho )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(\rho )}({\vec {A}})=A_{\theta }(\rho +d\rho ,\,\theta _{i},\,z)\,(\rho +d\rho )\,d\theta -A_{\theta }(\rho ,\,\theta _{i},\,z)\;\rho \,d\theta =}$ en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \,d\rho \;d\theta ={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{z}\;$» $\;{\big \{}$avec $\;dS_{z}=\rho \;d\theta \;d\rho \;$
                                                                                                                                                                                                                  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire aire de $\;(\delta S)_{z}{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire sectorielle $\;(\delta S)_{z}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{z}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{z}$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{z}=dS_{z}\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{z}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{z}={\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{z}={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{z}\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{z}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{z}}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{z}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(\rho \;A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}\right]_{\!\theta ,\,z}\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!\!(M)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D..

     $\succ \;$En conclusion «$\;{\dfrac {\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{s}}({\vec {A}})}{dS_{s}}}={\overline {{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}}}_{s}(M)\;$ avec $\;s\,\in \,\left\lbrace \rho ,\,\theta ,\,z\right\rbrace \;$» définissant toutes deux «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{s}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$» « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \;$» C.Q.F.D..

Justification en repérage sphérique

     $\succ \;$Pour cela « on considère, à partir de $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$, l'expansion surfacique élémentaire sphérique $\;(\delta S)_{r}\;$ de rayon $\;r$, d'ouvertures angulaires $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$, $\;d\varphi \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$, l'expansion surfacique élémentaire sphérique $\;\color {transparent}{(\delta S)_{r}}\;$ orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{r}\;$»
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$ limitant $\;(\delta S)_{r}\;$ étant orienté sur l'arc de cercle de colatitude $\;\theta \;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$
     $\color {transparent}{\succ }\;$Pour cela « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$, « le contour fermé $\;\color {transparent}{(\delta \Gamma )_{r}}\;$ limitant $\;\color {transparent}{(\delta S)_{r}}\;$ étant orienté en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{r}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)={\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta )}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot r\,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\cdot r\,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\cdot r\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi \,\left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot r\,\sin(\theta )\,d\varphi \,\left[-{\vec {u}}_{\varphi }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; en regroupant les termes deux à deux $\Rightarrow$
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de méridien}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})=A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\;r\,d\theta -A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi +d\varphi )\;r\,d\theta =\left[-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \right]r\,d\theta \;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta )}({\vec {A}})=A_{\varphi }(r,\,\theta +d\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,\sin(\theta +d\theta )\,d\varphi -A_{\varphi }(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi$
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(\theta )}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta \right\rbrace r\,d\varphi \;$» soit, en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \,r\,d\theta \;d\varphi ={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{r}\;$»
                                                                                                                                                                $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$avec $\;dS_{r}=r^{2}\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\varphi \;$ aire de $\;(\delta S)_{r}{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire sphérique $\;(\delta S)_{r}\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{r}\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{r}$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{r}=dS_{r}\;{\vec {u}}_{r}\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{r}\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{r}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{r}={\overline {\mathrm {rot} }}_{r}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{r}\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{r}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{r}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{r}={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{r}\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{r}}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{r}}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{r}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right]_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D..

     $\succ \;$Puis « on considère, à partir de $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$, l'expansion surfacique élémentaire tronconique $\;(\delta S)_{\theta }\;$ d'apothème $\;dr\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et d'ouverture angulaire $\;d\varphi \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\varphi }$,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Puis « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$, l'expansion surfacique élémentaire tronconique $\;\color {transparent}{(\delta S)_{\theta }}\;$ orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Puis « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(\rho ,\,\theta ,\,z\right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\theta }\;$ étant orienté sur le rayon de longitude $\;\varphi \;$ dans le sens de $\;-{\vec {u}}_{r}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\theta }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}{\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\cdot dr\,\left[-{\vec {u}}_{r}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi +d\varphi )}({\vec {A}})({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi +d\varphi )\cdot dr\,\left[{\vec {u}}_{r}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r+dr,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot (r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi \left[-{\vec {u}}_{\varphi }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot r\,\sin(\theta )\,d\varphi \left[{\vec {u}}_{\varphi }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux
                                                    $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\color {transparent}{\left\lbrace \delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})={\vec {A}}(r+dr,\,\theta ,\,\varphi _{i})\cdot (r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi \left[-{\vec {u}}_{\varphi }\right]\right\rbrace }\;$» nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\varphi +\varphi )}({\vec {A}})=-A_{r}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\;dr+A_{r}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi +d\varphi )\;dr=\left[\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\,d\varphi \right]\,dr\;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})=-A_{\varphi }(r+dr,\,\theta ,\,\varphi _{i})\,(r+dr)\,\sin(\theta )\,d\varphi +A_{\varphi }(r,\,\theta ,\,\varphi _{i})\,r\,\sin(\theta )\,d\varphi$
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de parallèle}}}(r)}({\vec {A}})}$ $=\left\lbrace -\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr\right\rbrace \,\sin(\theta )\,d\varphi \;$» soit, en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})=\left[\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-\sin(\theta )\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\,dr\;d\varphi =\left[{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$»
                                                                                                                                                                 $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;{\big \{}$avec $\;dS_{\theta }=r\;dr\;\sin(\theta )\;d\varphi \;$ aire de $\;(\delta S)_{\theta }{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire tronconique $\;(\delta S)_{\theta }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\theta }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\theta }$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{\theta }=dS_{\theta }\;{\vec {u}}_{\theta }\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\theta }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\theta }=\left[{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\,dS_{\theta }\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\theta }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\theta }}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\theta }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left[{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\,\left[{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\right]\;$» C.Q.F.D..

     $\succ \;$Enfin « on considère, à partir de $\;M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$, l'expansion surfacique élémentaire méridienne $\;(\delta S)_{\varphi }\;$ de hauteur $\;dr\;$ suivant $\;{\vec {u}}_{r}\;$ et d'ouverture angulaire $\;d\theta \;$ suivant $\;{\vec {u}}_{\theta }$,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Enfin « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$, l'expansion surfacique élémentaire méridienne $\;\color {transparent}{(\delta S)_{\varphi }}\;$ orientée dans le sens de $\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Enfin « on considère, à partir de $\;\color {transparent}{M\,\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)}$, « le contour fermé $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$ limitant $\;(\delta S)_{\varphi }\;$ étant orienté sur le rayon de colatitude $\;\theta \;$ dans le sens de $\;{\vec {u}}_{r}\;$ en accord avec l'orientation de $\;(\delta S)_{\varphi }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})\;$ le long de $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$ du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\;$»,
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ en faisant la somme des circulations le long des quatre côtés orientés de $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$, soit
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})=\sum \limits _{k=1}^{4}\delta {\mathcal {C}}_{{\text{côté}}_{k}}({\vec {A}})=\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})\;$», avec
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\cdot dr\,\left[{\vec {u}}_{r}\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi )\cdot dr\,\left[-{\vec {u}}_{r}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot (r+dr)\,d\theta \,\left[{\vec {u}}_{\theta }\right]\\\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})\!\!&=&\!\!{\vec {A}}(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\cdot r\,d\theta \,\left[-{\vec {u}}_{\theta }\right]\end{array}}\right\rbrace \;$»  ; regroupant les termes deux à deux nous obtenons :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta )}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{rayon}}}(\theta +d\theta )}({\vec {A}})=A_{r}(r_{i},\,\theta ,\,\varphi )\;dr-A_{r}(r_{i},\,\theta +d\theta ,\,\varphi )\;dr=\left[-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\,d\theta \right]\,dr\;$» et
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\bullet \;$«$\;\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})=A_{\theta }(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi )\,(r+dr)\,d\theta -A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\;r\,d\theta =\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)\,dr\right\rbrace \,d\theta \;$» soit,
                                   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r+dr)}({\vec {A}})+\delta {\mathcal {C}}_{d^{2}{\mathit {l}}_{\,{\text{arc de cercle}}}(r)}({\vec {A}})=A_{\theta }(r+dr,\,\theta _{i},\,\varphi )\,(r+dr)\,d\theta -A_{\theta }(r,\,\theta _{i},\,\varphi )\;r\,d\theta =}$ en faisant la somme :
  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})=\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \,dr\;d\theta ={\dfrac {1}{r}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{\varphi }\;$» $\;{\big \{}$avec $\;dS_{\varphi }=r\;d\theta \;dr\;$
                                                                                                                                                                                                                  $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors la « circulation élémentaire aire de $\;(\delta S)_{\varphi }{\big \}}\;$ ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors l'expansion surfacique élémentaire méridienne $\;(\delta S)_{\varphi }\;$ limitée par $\;(\delta \Gamma )_{\varphi }\;$ étant orientée par $\;{\vec {u}}_{\varphi }$, son vecteur surface élémentaire s'écrit «$\;{\overrightarrow {dS}}_{\varphi }=dS_{\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» et
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors le « flux élémentaire du champ vectoriel $\;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$ à travers $\;(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }\;$ s'écrit $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}_{\varphi }={\overline {\mathrm {rot} }}_{\varphi }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\varphi }\;$» ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})\;$ ou $\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\varphi }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\,dS_{\varphi }={\dfrac {1}{r}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \,dS_{\varphi }\;$ on en déduit
   $\color {transparent}{\succ }\;$on exprime alors de $\;\color {transparent}{\delta \Phi _{(\delta {\mathcal {S}})_{\varphi }}\!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{\varphi }}({\vec {A}})}\;$ ou «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{\varphi }\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r}}\,\left\lbrace \left[{\dfrac {\partial \left(r\;A_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)-\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!\!(M)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D..

     $\succ \;$En conclusion «$\;{\dfrac {\delta {\mathcal {C}}_{(\delta \Gamma )_{s}}({\vec {A}})}{dS_{s}}}={\overline {{\vec {\nabla }}\!\wedge \!{\vec {A}}}}_{s}(M)\;$ avec $\;s\,\in \,\left\lbrace r,\,\theta ,\,\varphi \right\rbrace \;$» définissant toutes deux «$\;{\overline {\mathrm {rot} }}_{s}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;$» « la 1^ère de façon intrinsèque » et « la 2^nde par opérateur $\;{\vec {\nabla }}\!\wedge \;$» C.Q.F.D..

Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

Construction de l'opérateur linéaire du second ordre “nabla scalaire nabla”

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}\;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur vectoriel linéaire du 1^er ordre “nabla” «$\;{\vec {\nabla }}\;$» et
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;$» est construit à partir $\bullet \;$de l'opérateur linéaire entre grandeurs vectorielles « multiplication scalaire » «$\;\cdot \;$»,
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” avec pour domaine d'application, les fonctions scalaires deux fois différentiables de l'espace soit
                                                        en repérage cartésien «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\right\rbrace \left[\;\right]\;$
                                                        en repérage cartésien «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;$» , ou
                                              en repérage cylindro-polaire «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\right\rbrace \left[\;\right]\;$»
                                              en repérage cylindro-polaire «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» ou
                                                      en repérage sphérique «$\;\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdots \right.$
                                                                                                                                  en repérage sphérique «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=\left\lbrace \right.}$ $\left.\cdot \,{\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\right\rbrace \left[\;\right]\;$
                                                      en repérage sphérique «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]}$ $=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;$» ,

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction scalaire $\;U(M)=U(x,\,y,\,z)\;$ en représentation cartésienne $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)={\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M){\Bigg ]}\;$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$» ;

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction scalaire $\;U(M)=U(\rho ,\,\theta ,\,z)\;$ en représentation cylindro-polaire $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)={\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }{\Bigg ]}\cdot {\Bigg [}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M){\Bigg ]}\;$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$» ;

     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]=}$ appliqué à la fonction scalaire $\;U(M)=U(r,\,\theta ,\,\varphi )\;$ en représentation sphérique $\Rightarrow$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)=\left\lbrace {\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }{\Bigg ]}\;\cdots \right.$
                                                                 L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)=\left\lbrace \right.}$ $\left.\cdot \,{\Bigg [}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M){\Bigg ]}\right\rbrace \;$
     L'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” «$\;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;$».

Définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire

     Appliquant l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace $\;U(M)\;$ on obtient l'« image scalaire $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;$» définissant
   Appliquant l'opérateur linéaire du 2^nd ordre “nabla scalaire nabla” au champ scalaire de l'espace $\;\color {transparent}{U(M)}\;$ on obtientle « champ scalaire laplacien du champ scalaire $\;U(M)\;$» «$\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$» ;

     en conclusion « le champ scalaire laplacien de la fonction scalaire deux fois différentiable de l'espace $\;U(M)\;$» résulte de l'application suivante «$\;U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\!U=\Delta \!\left[U\right]\;$».

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien

     En cartésien «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\vec {u}}_{y}\,{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\right\rbrace \cdot \left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,{\dfrac {\partial U}{\partial x}}+{\vec {u}}_{y}\,{\dfrac {\partial U}{\partial y}}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right\rbrace (M)\;$» , ce qui donne :

Laplacien d'un champ scalaire $\;U(M)\;$ en cartésien

«$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$» .

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire

     En cylindro-polaire «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,{\dfrac {\partial }{\partial \rho }}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial }{\partial z}}\right\rbrace \cdot \left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,{\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{z}\,{\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right\rbrace (M)\;$», ce qui donne :

Laplacien d'un champ scalaire $\;U(M)\;$ en cylindro-polaire

«$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \rho ^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$» ou
         «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;$» .

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique

     En sphérique «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,{\dfrac {\partial }{\partial r}}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial }{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right\rbrace \cdot \left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,{\dfrac {\partial U}{\partial r}}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right\rbrace (M)\;$», ce qui donne :

Laplacien d'un champ scalaire $\;U(M)\;$ en sphérique

     «$\;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!U(M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {2}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+\cdots$                                                                                                                                                         $\cdots \;{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;$» ou
                            «$\;\Delta \!\left[U\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;$» .

Définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace

     À la fonction scalaire $\;U\;$ on associe par l'opérateur vectoriel “nabla”
     À la fonction scalaire $\;\color {transparent}{U}\;$ on associe le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $\;U\;$ selon «$\;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$», puis
     à la fonction vectorielle $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$ on associe par l'opérateur “nabla scalaire ...”
     à la fonction vectorielle $\;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]}\;$ on associe le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle $\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;$ selon «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \;$» ;
     en composant les deux opérateurs on a donc «$\;U\;\;{\overset {\left\lbrace {\vec {\nabla }}\cdot \right\rbrace \left[{\vec {\nabla }}\right]}{\longrightarrow }}\;\;\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \;$» ou
     en composant les deux opérateurs on a donc «$\;U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \;$ s'identifiant à $\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right]=\Delta \!\left[U\right]\;$» d'où
     en composant les deux opérateurs on a donc la définition intrinsèque $\;{\big (}$équivalente${\big )}\;$ du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace :

Laplacien du champ scalaire $\;U(M)\;$

     « Le laplacien $\;\Delta \!\left[U\right](M)\;$ de la fonction scalaire $\;U(M)\;$»
            « Le laplacien $\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}\;$ est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire $\;U(M)\;$» soit

«$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)\;$».

Expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque

     La façon la plus simple de déterminer l'expression du laplacien de la fonction scalaire $\;U\;$ dans n'importe quel repérage
     La façon la plus simple est d'« utiliser sa définition intrinsèque » avec les « expressions de la divergence et du gradient dans le repérage considéré ».

Expression cartésienne du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque

     Nous allons donc appliquer l'expression de la divergence en représentation cartésienne à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable $\;U(M)\;$ dans la même représentation soit :

• expression cartésienne de$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)$ : «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• expression cartésienne de$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)$ : «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)=\left({\dfrac {\partial \left[A_{x}\right]}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial \left[A_{y}\right]}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial \left[A_{z}\right]}{\partial z}}\right)_{\!x,\,\theta }\!(M)\;$» d'où
• expression cartésienne de$\;\Delta \!\left[U\right](M)$ : «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)=\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\right]}{\partial x}}\right\rbrace _{\!y,\,z}\!(M)+\left\lbrace ({\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\right]}{\partial y}}\right\rbrace _{\!x,\,z}\!(M)+\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!x,\,\theta }\!(M)\;$
  expression cartésienne de$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : «$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)}$ $=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;$» C.Q.F.D..

Expression cylindro-polaire du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque

     Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation cylindro-polaire à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable $\;U(M)\;$ dans la même représentation soit :

• expression cylindro-polaire de$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)$ : «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;$» et
• expression cylindro-polaire de$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)$ : «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» d'où
• expression cylindro-polaire de$\;\Delta \!\left[U\right](M)$ : «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right\rbrace _{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]}{\partial z}}\right\rbrace _{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$
  expression cylindro-polaire de$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : «$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)}$ $={\dfrac {1}{\rho }}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right\rbrace _{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;$» C.Q.F.D..

Expression sphérique du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par définition intrinsèque

     Nous appliquons l'expression de la divergence en représentation sphérique à celle du gradient de la fonction scalaire deux fois différentiable $\;U(M)\;$ dans la même représentation soit :

• expression sphérique de$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)$ : «$\;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;$» et
• expression sphérique de$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)$ : «$\;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!\!(M)\;$» d'où
• expression sphérique de$\;\Delta \!\left[U\right](M)$ : «$\;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace (M)$
  expression sphérique de$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : «$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ $={\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r^{2}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)\right]}{\partial r}}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)\right]}{\partial \varphi }}\right\rbrace (M)\;$
  expression sphérique de$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ : «$\;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)}$ $={\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[r^{2}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)\right]}{\partial r}}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace (M)+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,\left[{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}\right]\,(M)\;$» C.Q.F.D..