Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des intégrales sur un intervalle, du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et des intégrales curvilignes

Exercice 15-1

On considère les champs de vecteurs ${\bf {F}}(x,y)=(x,y+2)$, ${\bf {G}}(x,y)=(0,-{\text{mg}})$ et ${\bf {H}}(x,y)=(y,-x)$.

1. Calculer les intégrales curvilignes de ${\bf {F}}$, ${\bf {G}}$ et ${\bf {H}}$
   sur un arc de cycloïde : $x=t-\sin t,\;y=1-\cos t,\;0\leq t\leq 2\pi$.
2. Calculer l'intégrale, le long du même arc, de la fonction $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\,(x,y)\mapsto {\sqrt {|y|}}$.

Solution

1. $\int _{0}^{2\pi }\left((t-\sin t)(1-\cos t)+(3-\cos t)\sin t\right)\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }\left(t-t\cos t+2\sin t\right)\;\mathrm {d} t=2\pi ^{2}-\left[t\sin t+3\cos t\right]_{0}^{2\pi }=2\pi ^{2}$.

$-{\text{mg}}\int _{0}^{2\pi }\sin t\;\mathrm {d} t=0$.

$\int _{0}^{2\pi }\left((1-\cos t)^{2}-(t-\sin t)\sin t\right)\;\mathrm {d} t=\int _{0}^{2\pi }\left(2-2\cos t-t\sin t\right)\;\mathrm {d} t=4\pi -0+\left[t\cos t-\sin t\right]_{0}^{2\pi }=6\pi$.

Mais l'énoncé est ambigu : peut-être ne signifie-t-il pas circulation, mais intégrale curviligne composante par composante, auquel cas on trouve (cf. Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs#Exercice 2-4 pour l'élément de longueur) :

• $\int _{0}^{2\pi }{\begin{pmatrix}t-\sin t\\3-\cos t\end{pmatrix}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t=2{\begin{pmatrix}4\pi -0\\3\times 4+{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\pi \\{\frac {80}{3}}\end{pmatrix}}$ ;
• $\int _{0}^{2\pi }{\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t={\begin{pmatrix}0\\-8mg\end{pmatrix}}$ (ou directement : ${\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix}}\times {\text{longueur de la courbe}}={\begin{pmatrix}0\\-mg\end{pmatrix}}\times 8$).
• $\int _{0}^{2\pi }{\begin{pmatrix}1-\cos t\\\sin t-t\end{pmatrix}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t={\begin{pmatrix}{\frac {32}{3}}\\-8\pi \end{pmatrix}}$.

2. $\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {1-\cos t}}\;2\sin {\frac {t}{2}}\;\mathrm {d} t=2\pi {\sqrt {2}}$.

 

Exercice 15-2

Calculer le travail du champ vectoriel $V=(xy,yz,xz)$ le long de la courbe $x=t,\;y=t^{2},\;z=t^{3},\;0\leq t\leq 1$.

Solution

$\int _{0}^{1}\left(t.t^{2}.1+t^{2}.t^{3}.2t+t.t^{3}.3t^{2}\right)\;\mathrm {d} t\int _{0}^{1}\left(t^{3}+5t^{6}\right)\;\mathrm {d} t={\frac {1}{4}}+{\frac {5}{7}}={\frac {27}{28}}$.

 

Exercice 15-3

On considère la courbe $\Gamma$ paramétrée par $\gamma :\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]\to \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (\cos ^{3}t,\sin ^{3}t)$ (voir à ce propos : Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées#Exercice 1 et Intégration de Riemann/Exercices/Calculs de longueurs#Exercice 2-4).

1. Soit $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\;(x,y)\mapsto x$. Calculer $\int _{\Gamma }f\,\mathrm {d} \gamma$.
2. On considère le champ de vecteurs $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},\;(x,y)\mapsto (x,5y)$. Calculer $\int _{\Gamma }\langle F,{\overrightarrow {\mathrm {d} \gamma }}\rangle$.

Solution

1. $(x')^{2}+(y')^{2}=(-3\cos ^{2}t\sin t)^{2}+(3\sin ^{2}t\cos t)^{2}=(3\cos t\sin t)^{2}$ donc $\int _{\Gamma }f\,\mathrm {d} \gamma =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{3}t\left|3\cos t\sin t\right|\,\mathrm {d} t=3\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{4}t\sin t\,\mathrm {d} t=3\int _{1}^{0}u^{4}\,(-\mathrm {d} u)={\frac {3}{5}}$.
2. $\int _{\Gamma }\langle F,{\overrightarrow {\mathrm {d} \gamma }}\rangle =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\langle (\cos ^{3}t,5\sin ^{3}t),3\cos t\sin t(-\cos t,\sin t)\rangle \,\mathrm {d} t=3\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(-\cos ^{5}t\sin t+5\sin ^{5}t\cos t)\,\mathrm {d} t=3\int _{1}^{0}u^{5}\,\mathrm {d} u+15\int _{0}^{1}v^{5}\,\mathrm {d} v={\frac {15-3}{6}}=2$.