Dans cette page d'exercices, la convention adoptée pour la définition de la transformée de Fourier sera :
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Applications des transformées bilatérales de Laplace directes et inverses ainsi que des transformées de FourierOutils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des transformées bilatérales de Laplace directes et inverses ainsi que des transformées de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
f
^
(
y
)
=
1
2
π
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
)
e
−
i
x
y
d
x
{\displaystyle {\widehat {f}}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}\,\mathrm {d} x}
.
Soient
f
{\displaystyle f}
continue et intégrable sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
et
k
{\displaystyle k}
une constante
>
0
{\displaystyle >0}
. On se propose de résoudre l'équation de la chaleur :
∂
u
∂
t
(
x
,
t
)
=
k
∂
2
u
∂
x
2
(
x
,
t
)
,
u
(
x
,
0
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\partial u \over \partial t}(x,t)=k{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}(x,t),\quad u(x,0)=f(x)}
pour
(
x
,
t
)
∈
R
×
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle (x,t)\in \mathbb {R} \times \left]0,+\infty \right[}
.
Calculer les transformées de Fourier des fonctions
x
↦
∂
u
∂
t
(
x
,
t
)
{\displaystyle x\mapsto {\partial u \over \partial t}(x,t)}
et
x
↦
∂
2
u
∂
x
2
(
x
,
t
)
{\displaystyle x\mapsto {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}(x,t)}
en fonction de
u
^
(
y
,
t
)
=
1
2
π
∫
R
e
−
i
x
y
u
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle {\hat {u}}(y,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}u(x,t)dx}
, en précisant les hypothèses nécessaires.
Montrer que
u
^
{\displaystyle {\hat {u}}}
vérifie l'équation différentielle :
∂
u
^
∂
t
(
y
,
t
)
=
−
k
y
2
u
^
(
y
,
t
)
{\displaystyle {\partial {\hat {u}} \over \partial t}(y,t)=-ky^{2}{\hat {u}}(y,t)}
et la résoudre.
En déduire
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
en fonction de
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
.
Solution
∂
u
∂
t
^
(
y
,
t
)
=
1
2
π
∫
R
e
−
i
x
y
∂
u
∂
t
(
x
,
t
)
d
x
=
∂
∂
t
u
^
(
y
,
t
)
{\displaystyle {\widehat {\partial u \over \partial t}}(y,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}{\partial u \over \partial t}(x,t)\,\mathrm {d} x={\partial \over \partial t}{\hat {u}}(y,t)}
à condition que
|
∂
u
∂
t
(
x
,
t
)
|
≤
g
(
x
)
∈
L
1
{\displaystyle \left|{\partial u \over \partial t}(x,t)\right|\leq g(x)\in L^{1}}
.
∂
2
u
∂
x
2
^
(
y
,
t
)
=
−
y
2
u
^
(
y
,
t
)
{\displaystyle {\widehat {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}(y,t)=-y^{2}{\hat {u}}(y,t)}
si
u
{\displaystyle u}
est C2 par rapport à
x
{\displaystyle x}
et si
∂
u
∂
x
{\displaystyle {\partial u \over \partial x}}
et
∂
2
u
∂
x
2
{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}
sont intégrables.
D'après la question 1, l'équation de la chaleur devient par transformée de Fourier :
∂
u
^
∂
t
(
y
,
t
)
=
−
k
y
2
u
^
(
y
,
t
)
{\displaystyle {\partial {\hat {u}} \over \partial t}(y,t)=-ky^{2}{\hat {u}}(y,t)}
, d'où
u
^
(
y
,
t
)
=
C
(
y
)
e
−
k
y
2
t
{\displaystyle {\hat {u}}(y,t)=C(y)\operatorname {e} ^{-ky^{2}t}}
, avec
C
(
y
)
=
u
^
(
u
,
0
)
{\displaystyle C(y)={\hat {u}}(u,0)}
.
C
=
f
^
{\displaystyle C={\hat {f}}}
, donc
C
{\displaystyle C}
est bornée, donc (comme
k
>
0
{\displaystyle k>0}
)
y
↦
u
^
(
y
,
t
)
{\displaystyle y\mapsto {\hat {u}}(y,t)}
est intégrable, et par le théorème d'inversion,
u
(
x
,
t
)
=
1
2
π
∫
R
f
^
(
y
)
e
−
k
y
2
t
e
i
x
y
d
y
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\hat {f}}(y)\operatorname {e} ^{-ky^{2}t}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} xy}\,\mathrm {d} y}
p.p. On peut aussi remarquer que si l'on pose
g
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
2
{\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {e} ^{-{x^{2} \over 2}}}
et
g
s
(
x
)
=
1
s
g
(
x
/
s
)
{\displaystyle g_{s}(x)={1 \over s}g(x/s)}
alors
g
^
s
(
y
)
=
g
(
s
y
)
{\displaystyle {\hat {g}}_{s}(y)=g(sy)}
, donc
u
^
(
y
,
t
)
=
C
(
y
)
e
−
k
y
2
t
=
f
^
(
y
)
2
π
g
(
y
2
k
t
)
=
2
π
f
^
(
y
)
g
^
2
k
t
(
y
)
{\displaystyle {\hat {u}}(y,t)=C(y)\operatorname {e} ^{-ky^{2}t}={\hat {f}}(y){\sqrt {2\pi }}g(y{\sqrt {2kt}})={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(y){\hat {g}}_{\sqrt {2kt}}(y)}
d'où
u
(
x
,
t
)
=
(
f
⋆
g
2
k
t
)
(
x
)
=
1
2
π
k
t
∫
R
f
(
u
)
e
−
(
x
−
u
)
2
4
k
t
d
u
{\displaystyle u(x,t)=(f\star g_{\sqrt {2kt}})(x)={1 \over 2{\sqrt {\pi kt}}}\int _{\mathbb {R} }f(u)\operatorname {e} ^{-(x-u)^{2} \over 4kt}\,\mathrm {d} u}
.
Soit
f
∈
L
2
(
R
)
{\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )}
. Pour tout
h
∈
R
{\displaystyle h\in \mathbb {R} }
on pose
τ
h
(
f
)
(
x
)
=
f
(
x
−
h
)
{\displaystyle \tau _{h}(f)(x)=f(x-h)}
et si
h
≠
0
{\displaystyle h\neq 0}
,
Δ
h
(
f
)
=
τ
h
(
f
)
−
f
h
∈
L
2
(
R
)
{\displaystyle \Delta _{h}(f)={\tau _{h}(f)-f \over h}\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )}
.
Montrer que
F
τ
h
f
(
x
)
=
e
i
h
x
F
f
(
x
)
{\displaystyle {\cal {F}}{\tau _{h}f}(x)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} hx}{\cal {F}}f(x)}
(on pourra raisonner par densité) et en déduire
F
(
Δ
h
f
)
{\displaystyle {\cal {F}}(\Delta _{h}f)}
.
On suppose désormais qu'il existe une suite
(
h
n
)
{\displaystyle (h_{n})}
de réels non nuls, convergeant vers 0, et telle que la suite
(
Δ
h
n
f
)
{\displaystyle (\Delta _{h_{n}}f)}
soit bornée dans
L
2
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )}
:
∀
n
∈
N
‖
Δ
h
n
f
‖
2
≤
c
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \|\Delta _{h_{n}}f\|_{2}\leq c}
. En utilisant le lemme de Fatou , montrer que
(
∫
R
x
2
|
F
f
(
x
)
|
2
d
λ
(
x
)
)
1
/
2
≤
c
{\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} }x^{2}|{\cal {F}}f(x)|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)\right)^{1/2}\leq c}
.
Soit
g
∈
L
2
(
R
)
{\displaystyle g\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )}
telle que la fonction
x
↦
x
g
(
x
)
{\displaystyle x\mapsto xg(x)}
appartienne à
L
2
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )}
; montrer que
g
{\displaystyle g}
est intégrable (on pourra écrire
∫
|
g
|
d
λ
=
∫
|
x
|
≤
1
…
+
∫
|
x
|
>
1
…
{\displaystyle \int |g|\,\mathrm {d} \lambda =\int _{|x|\leq 1}\ldots +\int _{|x|>1}\dots }
, puis utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz).
Déduire de ce qui précède que
f
{\displaystyle f}
est égale presque partout à une fonction continue.
Solution
Si
f
∈
L
1
∩
L
2
{\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{1}\cap \mathrm {L} ^{2}}
,
F
τ
h
f
(
x
)
=
τ
h
f
^
(
x
)
=
1
2
π
∫
τ
h
f
(
y
)
e
−
i
x
y
d
λ
(
y
)
=
{\displaystyle {\cal {F}}{\tau _{h}f}(x)={\widehat {\tau _{h}f}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \tau _{h}f(y)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}\,\mathrm {d} \lambda (y)=}
(en posant
u
=
y
−
h
{\displaystyle u=y-h}
)
1
2
π
∫
f
(
u
)
e
−
i
x
(
u
+
h
)
d
λ
(
u
)
=
e
−
i
x
h
f
^
(
x
)
=
e
−
i
h
x
F
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int f(u)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x(u+h)}\,\mathrm {d} \lambda (u)=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh}{\hat {f}}(x)=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} hx}{\cal {F}}f(x)}
. Par continuité sur
L
2
{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}
des deux fonctionnelles qui coïncident sur
L
1
∩
L
2
{\displaystyle \mathrm {L} ^{1}\cap \mathrm {L} ^{2}}
(et par densité dans
L
2
{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}
de ce sous-espace), elles coïncident encore sur
L
2
{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}
. D'où
F
(
Δ
h
f
)
(
x
)
=
e
−
i
x
h
−
1
h
F
f
(
x
)
{\displaystyle {\cal {F}}(\Delta _{h}f)(x)={\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh}-1 \over h}{\cal {F}}f(x)}
.
∫
x
2
|
F
f
(
x
)
|
2
d
λ
(
x
)
=
∫
lim inf
|
e
−
i
x
h
n
−
1
h
n
F
f
(
x
)
|
2
d
λ
(
x
)
≤
lim inf
∫
|
e
−
i
x
h
n
−
1
h
n
F
f
(
x
)
|
2
d
λ
(
x
)
=
lim inf
‖
F
(
Δ
h
n
f
)
‖
2
2
=
lim inf
‖
Δ
h
n
f
‖
2
2
≤
c
2
{\displaystyle \int x^{2}|{\cal {F}}f(x)|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)=\int \liminf \left|{\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh_{n}}-1 \over h_{n}}{\cal {F}}f(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)\leq \liminf \int \left|{\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh_{n}}-1 \over h_{n}}{\cal {F}}f(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)=\liminf \|{\cal {F}}(\Delta _{h_{n}}f)\|_{2}^{2}=\liminf \|\Delta _{h_{n}}f\|_{2}^{2}\leq c^{2}}
.
∫
|
g
|
d
λ
=
⟨
|
g
|
,
1
[
−
1
,
1
]
⟩
+
⟨
x
2
|
g
|
(
x
)
,
1
x
1
|
x
|
>
1
⟩
{\displaystyle \int |g|\,\mathrm {d} \lambda =\langle |g|,\mathbf {1} _{[-1,1]}\rangle +\langle x^{2}|g|(x),{1 \over x}\mathbf {1} _{|x|>1}\rangle }
.
D'après les questions 2 et 3,
g
:=
F
f
∈
L
1
{\displaystyle g:={\cal {F}}f\in \mathrm {L} ^{1}}
donc
F
g
=
g
^
{\displaystyle {\cal {F}}g={\hat {g}}}
, or
f
=
F
g
~
{\displaystyle f={\tilde {{\cal {F}}g}}}
, donc
f
=
g
^
~
{\displaystyle f={\tilde {\hat {g}}}}
, continue.