Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

Début de la boite de navigation du chapitre
Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
Icône de la faculté
Chapitre no 30
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.

Notion de système d'équations différentielles coupléesModifier

     La méthode de résolution du système des   équations différentielles « couplées » aux   fonctions indépendantes de la même variable  avec   consiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent de   autres équations différentielles à   autres fonctions indépendantes de la même variable telles que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable [1] ;

     il est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres  c.-à-d. de trouver les   nouvelles fonctions de la même variable  puis

     il est alors possible d'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées »  c.-à-d. de trouver les   fonctions d'origine de la même variable .

Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondantModifier

Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variableModifier

     Soit  [2], [3] avec les quatre constantes   connues et les deux fonctions réelles   de la variable réelle   à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles   sont couplées car

  • la 1ère  , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en   sans terme du 1er ordre, présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de  , n'est pas connue en absence de résolution de la 2ème équation différentielle     l'impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle   avant la 2ème   et
  • la 2ème  , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en   sans terme du 1er ordre, présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de  , n'est pas connue en absence de résolution de la 1ère équation différentielle     l'impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle   avant la 1ère   d'où

     le couplage des deux équations différentielles.

Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variableModifier

GénéralitésModifier

     Du fait que les deux équations différentielles couplées   sont linéaires [3], il semble possible de les découpler en formant une C.L. [4] de ces deux équations différentielles de la forme   dans le but de définir une nouvelle fonction   telle que la nouvelle équation différentielle   ne dépende que de  , ceci nécessitant un choix de   pour être effectif  

     Ce découplage sera effectif si on trouve deux C.L. [4] distinctes des équations différentielles   permettant d'avoir un système d'équations différentielles découplées indépendantes en   équivalent au système d'équations différentielles couplées  

Mise en pratique du découplage par combinaison linéaireModifier

     Formant  , nous obtenons   dans laquelle la dérivée du 1er membre ne dépend que de la nouvelle fonction   soit   que l'on peut réécrire selon     ;

     pour que cette nouvelle équation différentielle soit une équation différentielle en  , il suffit que son 2nd membre soit proportionnel à   pour tout couple de fonctions   c.-à-d.  [5] ou   soit finalement

que   soit solution de l'équation algébrique du 2ème degré « » ;

     l'équation algébrique du 2ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant   est  [6], ce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans   :

      avec  [6], nous avons deux solutions réelles distinctes   et  , pour chacune, le 2nd membre de l'équation différentielle   s'écrit  [7]   d'où :

  • en posant   et  [8] comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et indépendante  , de même
  • en posant   et  [8] comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et indépendante  ,

      soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées   dans   si « [6] » ;

      avec  , nous avons une solution réelle double  , le 2nd membre de l'équation différentielle   s'écrit  [9]     d'où,

      en posant   et  [10] comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et indépendante   mais  

      cette nouvelle équation différentielle étant unique, il n'y a pas de système d'équations différentielles découplées par C.L. [4] équivalent au système initial d'équations différentielles couplées  [11] ;

      avec  , nous n'avons pas de solutions réelles et par suite un découplage par C.L. [4] dans   du système d'équations différentielles couplées   est impossible  il faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système .

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectifModifier

     Il s'agit du cas  [6], le système d'équations différentielles couplées   étant équivalent au système d'équations différentielles découplées   avec   et  [8] dans lesquelles   et   sont les deux solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2ème degré « » ;

     la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante suivant la méthode exposée au paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir respectivement   et   en fonction de   et, pour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires   et   ;

     il reste alors à revenir aux fonctions initiales   et   en résolvant  [8]

  • en formant      [8], [12] et
  • en formant      [8], [12].

     Exemple :  [2] c.-à-d.  ,  ,   et      ,   et   les deux solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2ème degré « » s'écrivent       conduisant, avec      [8], au découplage suivant   d'où  ,   étant des constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : on en déduit  .

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échouéModifier

     Il s'agit du cas  , du système d'équations différentielles couplées   on ne tire, par C.L. [4] réelle qu'une seule équation différentielle indépendante   avec   et  [10] dans laquelle     ;

     la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante suivant la méthode exposée au paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir   en fonction de   et de deux constantes réelles arbitraires   ;

     de cette relation   on peut tirer   en fonction de   et   par   que l'on reporte dans l'équation différentielle   soit   ou   soit finalement   ;

     la résolution de cette dernière équation différentielle suivant la méthode exposée au paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir   en fonction de  , d'une solution particulière associée à l'excitation  [13]  voir le paragraphe « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [14]  et de deux nouvelles constantes réelles arbitraires   puis

     nous en déduisons   par report de   dans  

     Exemple :  [2] c.-à-d.  ,  ,   et      ,   la solution réelle double de l'équation algébrique du 2ème degré « » s'écrit      [15] conduisant, avec        [10], à l'équation différentielle indépendante   d'où  , avec   des constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : de cette relation on exprime   en fonction de   selon   que l'on reporte dans l'équation   d'où   dans laquelle on vérifie que la pulsation de l'excitation  c.-à-d. de   étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme  [14]                     soit finalement la solution particulière     et par suite, la solution libre étant  , on en déduit la solution de l'équation  ,     avec   nouvelles constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : on en déduit  .

Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échouéModifier

     Il s'agit du cas  , du système d'équations différentielles couplées   on ne tire, par C.L. [4] réelle, aucune équation différentielle indépendante,

     il faut donc rechercher une autre méthode de résolution et celle qui vient à l'esprit, compte-tenu du fait que la fonction   n'apparaît qu'une fois dans l'équation différentielle    resp. la fonction   n'apparaît qu'une fois dans l'équation différentielle   est la méthode « par substitution » [16] :

     de l'équation différentielle  , on tire   que l'on reporte dans l'équation différentielle  , ce qui donne l'équation différentielle en   suivante   soit, après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène du 4ème ordre en   « » ;

     la résolution de cette équation différentielle   suivant la méthode exposée au paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er (ou 2ème) ordre homogène » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et « prolongée à la recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4ème ordre homogène » nous conduit à la résolution de l'équation caractéristique  , équation algébrique bicarrée du 4ème degré en  , de discriminant en tant qu'équation en  ,  , d'où

  • deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée pour   soit   conduisant à
  • quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique pour  , toutes de même module  [17] mais d'arguments distincts  [18] deux à deux opposés soit     ou   et par suite

     la fonction   s'écrit « » avec  ,  ,   et   des constantes arbitraires d'intégration ;

     la détermination de la fonction   se fait alors en reportant l'expression de   dans    

     Exemple :  [2] c.-à-d.  ,  ,   et      , on ne peut donc tirer, par C.L. [4] réelle, aucune équation différentielle indépendante et on adopte la méthode « par substitution » ;

     Exemple : de l'équation différentielle  , on tire   que l'on reporte dans l'équation différentielle  , ce qui donne l'équation différentielle en   suivante « » d'équation caractéristique   dont le discriminant en tant qu'équation algébrique du 2ème degré en   vaut   d'où

  • deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée pour   soit   conduisant à
  • quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique pour  , toutes de même module   mais d'arguments distincts, deux à deux opposés,   soit   ou  [19] et par suite

     Exemple : la fonction   s'écrit « » avec  ,  ,   et   des constantes arbitraires d'intégration ;

     Exemple : la détermination de la fonction   se fait alors en reportant l'expression de   dans    

Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas généralModifier

Présentation de l'exempleModifier

     Soit   avec les deux constantes   connues et les trois fonctions réelles   de la variable réelle   à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles   sont couplées car

  • la 1ère  , équation différentielle non linéaire du 1er ordre en  , fait intervenir les deux autres fonctions   et  , non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles   et     l'impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle   avant les 2ème et 3ème  ,
  • la 2ème  , équation différentielle non linéaire du 1er ordre en  , fait intervenir les deux autres fonctions   et  , non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles   et     l'impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle   avant les 1ère et 3ème   et
  • la 3ème  , équation différentielle non linéaire du 1er ordre en  , fait intervenir les deux autres fonctions   et  , non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles   et     l'impossibilité de résoudre la 3ème équation différentielle   avant les 1ère et 2ème   d'où

     le couplage des trois équations différentielles.

Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires coupléesModifier

     Nous admettrons que le découplage complet [20] du système d'équations différentielles non linéaires couplées précédemment introduit est impossible [21] ;

     toutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles   et  , il est possible de trouver une relation entre les fonctions   indépendante de  , c'est ce que nous proposons ci-dessous.

Établissement d'une relation entre f1(x) et f2(x) indépendante de f3(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires coupléesModifier

     Supposant qu'aucune des fonctions   n'est identiquement nulle [22], il en existe au moins une ne s'identifiant pas à la fonction nulle par exemple   ;

     à partir des deux équations différentielles semblables   et  , on forme       soit, en divisant les deux membres par   non identiquement nulle,       qui s'intègre aisément en    est une constante réelle d'intégration     ;

     les équations différentielles   et   se réécrivent alors selon   correspondant à une seule et même équation différentielle   ou, en introduisant la nouvelle fonction  , l'équation différentielle suivante  [23] ;

     l'équation différentielle   se réécrivant selon      , nous en déduisons que le système des trois équations différentielles non linéaires couplées   en les trois fonctions   est équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées   en les deux fonctions   à savoir

   avec  .

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F2(x) et f3(x)Modifier

     Nous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées   est impossible,
     en absence de découplage seule une résolution numérique est possible  voir le paragraphe « utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » .

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondantModifier

Présentation de l'exempleModifier

     Soit  [24], [3] avec les constantes  ,   connues et les deux fonctions réelles   de la variable réelle   à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles   sont couplées car

  • la 1ère  , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en  , présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de  , n'est pas connue en absence de résolution de la 2ème équation différentielle     l'impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle   avant la 2ème   et
  • la 2ème  , équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en  , présente un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de  , n'est pas connue en absence de résolution de la 1ère équation différentielle     l'impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle   avant la 1ère   d'où

     le couplage des deux équations différentielles ;

     la particularité de ce couplage se manifeste par le même opérateur linéaire « » s'appliquant sur l'une ou l'autre des fonctions   dans le 1er membre de chaque équation différentielle et par la dépendance de l'« excitation » de l'équation différentielle correspondante relativement à la fonction n'intervenant pas dans le 1er membre à savoir

  • l'« excitation » de l'équation différentielle   en   dépend de   selon « » et
  •                celle de l'équation différentielle   en   dépend de   selon « »,

     cette particularité pouvant résulter des deux 1ères composantes du produit vectoriel d'un vecteur   et d'un autre vecteur   soit     par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit encore     fournissant

  • une composante d'« excitation »   pour l'équation différentielle   résultant de la projection sur   et
  • une composante d'« excitation »   pour l'équation différentielle   résultant de la projection sur    

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre coupléesModifier

     Formant  , nous obtenons   dans laquelle la dérivée du 1er membre ne dépend que d'une nouvelle fonction   soit   que l'on peut réécrire selon     ;

     pour que cette nouvelle équation différentielle soit une équation différentielle en  , il suffit que la partie non constante de son 2nd membre soit proportionnelle à     pour tout couple de fonctions   c.-à-d.  [25] ou encore     soit finalement que   soit solution de l'équation algébrique du 2ème degré « », laquelle n'admet aucune solution réelle d'où

l'inapplicabilité de la méthode de découplage par combinaison linéaire réelle de ce type de système particulier  

     Remarque : Il serait alors possible de résoudre ce système particulier en procédant « par substitution » comme cela a été fait dans le paragraphe « recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué » plus haut dans le chapitre mais en fait, dans ce cas particulier d'équations différentielles couplées, il existe une méthode de découplage par combinaison linéaire complexe que nous présentons ci-dessous [26].

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre coupléesModifier

     Préliminaire : cette méthode ne s'applique a priori qu'à ce système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées  [24], [3] avec   et   quatre constantes connues, la seule C.N. [27] pour que la méthode de découplage par C.L. [4] complexe de ce système particulier soit applicable est