Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation

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     La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée, mais elle fut découverte par Leonhard Euler .

Transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle

     Soit une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ ayant les propriétés suivantes :

• « les valeurs de la fonction sont nulles pour $\;t<0\;$» ${\big (}$la fonction est alors qualifiée de « causale » ${\big )}$,
• « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$» ,
• « au voisinage de $\;t=0$, $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$» et
• « la fonction est “ d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$” avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$», $\Leftrightarrow$ «$\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha ,\;\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <M,\;\;\forall \,t>\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$» .

Définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) ci-dessus

Définition

     La transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;f(t)$ « causale » , continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$, intégrable au $\;{\mathcal {V}}(0)\;$ et « d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$» est la fonction $\;F\;$ de la variable complexe $\;p\;$ définie par «$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$»
définie pour «$\;p\in \mathbb {C} \;$ tel que $\;\Re (p)>\alpha \;$», $\;\alpha \;$ étant appelée l'« abscisse de convergence » ;
on dit encore que $\;F(p)\;$ est l'« image de $\;f(t)\;$» par transformation de Laplace .

     Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif à celles

         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c.-à-d. de support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ où $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est un voisinage ouvert à gauche de $\;0$, borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;$ dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable et

         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une distribution $\;{\big (}$la distribution devant être telle que l'intégrale de définition de sa transformée de Laplace converge ${\big )}$.

Premiers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles

• « Fonction de Heaviside $\;{\big (}$ou échelon unité${\big )}$ $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»
  en effet le calcul conduit à «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt=\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }={\dfrac {1}{p}}\;$» .
• « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>0\\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=0\\0\qquad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$»
  en effet, si $\;\Re (p)\;$ est $\;>0$, on a «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {Y}}(t)\;dt\;$» donnant «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace ={\cancel {\left[\exp(-p\,t)\;Y(t)\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\,\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt\;$ en intégrant par parties soit $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =p\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt\;$ $\;=p\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }=p\;{\dfrac {1}{p}}=1\;$» mais le résultat reste le même
  en effet si $\;\Re (p)\;$ est $\;\leqslant 0$, ce qui s'établit en utilisant une autre démonstration que l'intégration par parties .
• « Fonction rampe $\;f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»
  en effet le calcul conduit à «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f_{\text{rampe}}(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;a\;t\;dt\;$ donnant $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;t\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;dt\;$ en intégrant par parties soit $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p}}\;\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{-}}^{+\infty }={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ dès lors que $\;\Re (p)\;$ est $\;>0\;$».

Principales propriétés des transformées (monolatérales) de Laplace

Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) de Laplace

Début d’un théorème

Théorème d'unicité (admis)

     « Dans la mesure où elle existe, la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big (}$ou d'une distribution${\big )}\;$ est unique ».

Fin du théorème

Linéarité de la transformation (monolatérale) de Laplace

     Soient «$\;f_{1}(t)\;$ et $\;f_{2}(t)\;$ deux fonctions $\;{\big (}$ou distributions${\big )}\;$» admettant pour « transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace respectives $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;$ et $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$», avec
     Soient «$\;\color {transparent}{f_{1}(t)}\;$ et $\;\color {transparent}{f_{2}(t)}\;$«$\;\alpha =\max \left\lbrace \alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\rbrace \;$ la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace et
     Soient «$\;a\;$ un réel non nul quelconque »,
     on démontre les propriétés suivantes $\;{\big \{}$ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction $\;{\big (}$ou la distribution${\big )}\;$ à sa transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace ${\big \}}$ :

«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)+f_{2}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace +{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha \;$»
et
«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{1}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha _{1}\;$»      ou      «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{2}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha _{2}\;$».

Conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$»,
     Soit $\;{\dot {f}}(t)\;$ la dérivée de la fonction $\;{\big (}$ou dérivée de la distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha '\;$» avec «$\;\alpha '\;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dérivée de la dite fonction $\;{\big (}$ou de celle de la distribution ${\big )}\;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante

Influence de la dérivation sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution

     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ étant $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}\;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$» d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace \;$ celle de la dérivée de la fonction $\;{\big (}$ou de la dérivée de la distribution ${\big )}$ $\;{\dot {f}}(t)\;$» d'« abscisse de convergence $\;\alpha '\;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{-})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$» si «$\;{\dot {f}}(t)\;$ diverge en $\;t=0\;$ »
ou
«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{+})\;$ pour $\;\mathbb {R} (p)>\alpha \;$» si «$\;{\dot {f}}(t)\;$ converge en $\;t=0\;$ ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;{\dot {f}}(t)\;$ est la dérivée d'une distribution ou d'une fonction, dérivée divergeant en $\;t=0\;$», on procède en intégrant par parties et on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ $=-f(0^{-})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» alors que

     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;{\dot {f}}(t)\;$ est la dérivée d'une fonction, dérivée convergeant en $\;t=0\;$», on peut affirmer «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt=0\;$» dans la mesure où «$\;{\dot {f}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce ou continue en $\;t=0\;$» d'où «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;+}}\,\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$» que l'on intègre par parties selon «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{+}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=$ $-f(0^{+})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» .

Conséquence de l'intégration sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$»,
     Soit $\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$ la primitive de la fonction $\;{\big (}$ou primitive de la distribution ${\big )}\;$ s'annulant en $\;t=0\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =$ $\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha ''\;$» avec «$\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la primitive de la dite fonction $\;{\big (}$ou de celle de la distribution ${\big )}\;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante

Influence de l'intégration sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution

     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ étant $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}\;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$» d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$ celle de la primitive de la fonction $\;{\big (}$ou de la primitive de la distribution ${\big )}$ $\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$ s'annulant en $\;t=0\;$» d'« abscisse de convergence $\;\alpha ''\;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace ={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha ''\;$».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha ''\;$ avec $\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$»,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ on procède en intégrant par parties et on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;f(t)\;dt\;$ $={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;$» .

Conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$»,
     Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ résultant de la translation $\;t'=t-t_{0}\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;t_{0}>0\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(t'+t_{0})\right]\,f(t')\;dt'\;$ avec la même condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « théorème du retard »

Théorème du retard
[ou influence d'une translation en t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ étant $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}\;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$» d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ celle de la translatée de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f'(t)=f(t-t_{0})\;$ avec $\;t_{0}>0\;$» $\;{\Big [}{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =$ ${\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \!{\Big ]}\;$ de « même abscisse de convergence $\;\alpha \;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \;$ avec $\;t_{0}>0\;$
                                          $=\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$»,
                    le facteur $\;\exp(-p\;t_{0})$ étant appelé « facteur retard ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t-t_{0})\;dt=\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» ,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;>0\;$» on décompose l'intervalle d'intégration $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ sur la variable $\;u=t-t_{0}\;$ selon $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,0^{-}\right[\cup \left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ et on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$» dans laquelle la 1^ère intégrale entre crochets est nulle $\;{\big [}$la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ étant à support positif${\big ]}\;$ et la 2^nde égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ d'où «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$» ou
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;<0\;$» on étend l'intervalle d'intégration $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ sur la variable $\;u=t-t_{0}\;$ selon $\;\left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ en soustrayant $\;\left[0^{-}\,,\,-t_{0}^{-}\right[\;$ et on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{-t_{0}^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{t_{0}^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$» dans laquelle la 1^ère intégrale entre crochets est égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ et la 2^nde est non nulle $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \neq \exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ même pour $\;\Re (p)>\alpha \;$» d'où la nécessité d'exiger $\;t_{0}>0$.

Conséquence d'un changement d'échelle de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$»,
     Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ résultant du changement d'échelle $\;t'=k\;t\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;k>0\;$ $\;\neq 1\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt\;$ avec pour condition de convergence $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « règle de similitude »

Règle de similitude [ou influence d'un changement d'échelle de t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ étant $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}\;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$» d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ celle de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ résultant d'un changement d'échelle $\;f'(t)=f(k\;t)\;$ avec $\;k>0\;$» et $\;\neq 1$ $\;{\Big [}{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!{\Big ]}\;$ d'« abscisse de convergence $\;k\;\alpha \;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ avec $\;k>0\;$ et $\;\neq 1\;$
                             $={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[{\dfrac {p}{k}}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;k\;t\right]\,f(k\;t)\;{\dfrac {d(k\;t)}{k}}\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» , ou encore,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace }\;$ en remplaçant $\;k\;t\;$ par $\;t'$, on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;dt'\;$» dans laquelle l'intégrale généralisée égale à «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$ en posant $\;p'={\dfrac {p}{k}}\;$ s'identifie à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$» d'où
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace }\;$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]$ $={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'={\dfrac {p}{k}}\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$».

Conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$»,
     Soit $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ de $\;t\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$ avec pour condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha -a\;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom de « règle de translation en $\;p\;$»

Règle de translation en p [ou conséquence de la multiplication par une fonction exponentielle sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ étant $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}\;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$» d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ celle de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ résultant d'une multiplication par une fonction exponentielle $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» $\;{\Big [}{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!{\Big ]}\;$ d'« abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a\;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$
                                  $={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+a\right]\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha -a\;$ ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha -a\;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» , ou encore,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace }\;$ en remplaçant $\;p+a\;$ par $\;p'$, on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$» dans laquelle l'intégrale généralisée de variable complexe $\;p'\;$ s'identifie à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>\alpha -a\;$» d'où
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace }\;$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'=p+a\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>\alpha -a\;$».

     Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;>0\;$» la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;t\;$ traduisant un « amortissement exponentiel de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$» et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace s'élargit » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a<\alpha \;$» alors que
     Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;<0\;$» la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;t\;$ traduisant une « amplification exponentielle de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$» et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace s'amenuise » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a>\alpha \;$».

     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$ avec $\;{\underline {a}}=\Re ({\underline {a}})+i\,\Im ({\underline {a}})\;$ $\Rightarrow$ $\;\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)=\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\,\exp \!\left[-i\,\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;$ définissant une fonction complexe dont les parties réelle et imaginaire sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\\\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\end{array}}\right\rbrace$ ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)=\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\;$» ${\big \{}$résultat de la multiplication de la fonction ou $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ réelle $\;f(t)\;$ par l'exponentielle complexe${\big \}}\;$ a pour « parties réelle et imaginaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\\\Im \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\end{array}}\right\rbrace$» lesquelles admettent toutes deux une transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace sous la même « condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha '\;$ avec $\;\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$»  ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ de ce qui précède on peut déduire la « définition de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ d'une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)\;$» à partir de celle des parties réelle et imaginaire de cette dernière selon $\;{\Bigg \langle }{\begin{array}{c}{\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\\{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\end{array}}{\Bigg \rangle }\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace +i\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \;$» ou encore
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt+i\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;{\underline {f'}}(t)\;dt\;$» c.-à-d. la même définition que celle d'une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ réelle ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'établir «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \exp(-{\underline {a}}\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+{\underline {a}}\right]\;$ pour $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$», la « convergence de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace complexe de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ complexe $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ nécessitant $\;\Re (p)>\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$».

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace

Fonction holomorphe en une valeur du domaine de définition

     Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$» est dite « holomorphe en $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$»

• si, « pour $\;{\underline {z}}\in \Omega$, $\;\lim \limits _{{\underline {z}}\,\rightarrow \,{\underline {z_{0}}}}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{{\underline {z}}-{\underline {z_{0}}}}}\;$ existe en étant indépendant de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$», « cette limite définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$» et étant notée «$\;{\underline {F}}'({\underline {z_{0}}})\;$ ou $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$» ou
• en explicitant la direction d'approche, $\;{\big [}{\underline {h}}\;$ étant un complexe quelconque de module unité définissant une direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}{\big ]}$, si «$\;\lim \limits _{u\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z_{0}}}+u\,{\underline {h}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{u}}\;$ existe $\;\forall \,{\underline {h}}\;$ et est indépendant de $\;{\underline {h}}\;$», « cette limite indepndante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$ définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$» et étant simplement notée $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$» .

Fonction holomorphe sur un ouvert du domaine de définition

     Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$» est dite « holomorphe sur $\;\Omega \;$» si « elle est holomorphe en tout point de $\;\Omega \;$» ;
     on peut alors « définir la dérivée de $\;{\underline {F}}\;$ en tout $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$» .

     Remarques : Dans la mesure où la fonction complexe $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ est holomorphe sur l'ouvert $\;\Omega \;$ sur laquelle elle est définie, on peut
     Remarques : $\succ \;$définir la « fonction complexe dérivée $\;{\underline {F}}'({\underline {z}})=D{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d{\underline {F}}}{d{\underline {z}}}}({\underline {z}})\;$» et étudier son éventuelle holomorphie et si celle-ci est établie,
     Remarques : $\succ \;$définir la « fonction complexe dérivée seconde $\;{\underline {F}}''({\underline {z}})=D^{2}{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d^{2}{\underline {F}}}{d{\underline {z}}^{2}}}({\underline {z}})\;$» et étudier son éventuelle holomorphie
     Remarques : $\succ \;$ $\ldots$

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction (ou d'une distribution)

     On admet que « la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big (}$ou d'une distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ c'est-à-dire $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$» est
     « holomorphe sur tout son domaine de définition » $\;{\big (}$à l'exception de ses points singuliers ${\big )}\;$ tel que «$\;\Re (p)>\alpha \;$» $\;{\big \{}\alpha \;$ étant l'abscisse de convergence de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou de la distribution${\big )}{\big \}}\;$ et
     « holomorphe sur tout son domaine de définition> » ceci à n'importe quel ordre .

     On démontre ci-dessous le résultat suivant «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

     Démonstration : La transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big (}$ou d'une distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ s'écrivant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$» et « admettant l'holomorphie à n'importe quel ordre de cette fonction complexe sur tout ouvert satifaisant $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$», on vérifie d'abord la propriété pour $\;n=1\;$ puis on l'établit par récurrence soit

     Démonstration : $\succ \;$« pour $\;n=1\;$», $\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}={\dfrac {d\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$ $\;=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;f(t)\;dt\;$ après permutation de l'intégration sur $\;t\;$ et de la dérivation par rapport à $\;p$, d'où $\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$ et finalement «$\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D. ,

     Démonstration : $\succ \;$hypothèse de récurrence «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ quelconque », on forme $\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}={\dfrac {d\left[(-1)^{n}\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$ puis, on permute l'intégration sur $\;t\;$ et la dérivation par rapport à $\;p$, d'où $\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;t^{n}\;f(t)\;dt=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$ et finalement, en regroupant les facteurs, «$\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}$ $=(-1)^{(n+1)}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;f(t)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D. ,

     Démonstration : $\succ \;$la propriété $\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$» étant « vraie pour $\;n=1\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}_{(n+1)}\;$» est établie par récurrence pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée de Laplace de la dite fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$»,
     Soit $\;f'(t)=t^{n}\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction $\;t^{n}\;$ puissance n^ème de $\;t\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;f'(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$ avec pour condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$»  ;

     de la relation «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» établie au paragraphe « holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace » plus haut dans ce chapitre, nous en déduisons

«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}\;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit
« pour $\;n=1$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}\;$»,                                             
« pour $\;n=2$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;f(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{2}}}\;$» $\;\ldots$                                      

     Application : soit à « évaluer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace \;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;Y(t)\;$ la fonction de Heaviside connaissant $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ si $\;\Re e(p)>0\;$», l'application du résultat ci-dessus nous conduit à

«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}\;$ si $\;\Re e(p)>0\;$» soit successivement :

     Application : $\succ \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp}}={\dfrac {1}{p^{2}}}\;$»,

     Application : $\succ \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{2}}}={\dfrac {2}{p^{3}}}\;$» ,

     Application : $\succ \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{3}\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d^{3}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{3}}}={\dfrac {6}{p^{4}}}\;$» ,

     Application : $\succ \;$avec pour hypothèse de récurrence «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{n+1}}}\;$» ${\big (}$vérifiée pour $\;n=1{\big )}$, on en déduit «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t\,\left[t^{n}\;Y(t)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\right]}{dp}}=$ $(n+1)\;{\dfrac {n!}{p^{(n+2)}}}={\dfrac {(n+1)!}{p^{(n+2)}}}\;$» ce qui valide l'hypothèse de récurrence d'où

«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\;$ pour