Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) : Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)/Utilisation de l'opérateur linéaire du premier ordre “nabla” en représentation matricielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'espace physique considéré dans ce chapitre est
(
{\displaystyle \;{\big (}}
sauf avis contraire
)
{\displaystyle {\big )}\;}
« orienté à droite »[1] .
Introduction : Une 1ère notion de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et de quelques champs qui en découlent a été donnée au chap.
19
{\displaystyle 19}
intitulé « Champ vectoriel gradient de fonction scalaire de l'espace, opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” et autres champs qui en découlent » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; Introduction : après un rappel succinct de cet opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” noté «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
» ainsi que Introduction : après un rappel succinct des opérateurs construits à partir de lui “nabla scalaire ...” noté «
∇
→
⋅
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot \;}
», “nabla vectoriel ...” noté «
∇
→
∧
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\wedge \;}
» et “nabla scalaire nabla” noté «
∇
→
⋅
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\;}
ou
∇
→
2
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\;}
», puis Introduction : après un rappel succinct des champs vectoriel ou scalaire qui en découlent : Introduction : après un rappel succinct des champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
noté «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;}
», Introduction : après un rappel succinct des champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
noté «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\!\cdot \!{\vec {A}}(M)\;}
», Introduction : après un rappel succinct des champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
noté «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
∧
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)\;}
» et Introduction : après un rappel succinct des champ scalaire laplacien[2] d'une fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
noté «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;}
»,
Introduction : nous présenterons une représentation matricielle de ces champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle et Introduction : nous introduirons
(
{\displaystyle \;{\big (}}
dans la mesure du besoin
)
{\displaystyle {\big )}\;}
la notion de fonctions tensorielles
…
{\displaystyle \;\ldots }
Rappel succinct de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla”, des opérateurs qui en découlent et des principaux champs vectoriels ou scalaires appliqués à des fonctions scalaire ou vectorielle de l'espace
modifier
Opérateurs linéaires du 1er ordre “nabla”, “nabla scalaire ...”, “nabla vectoriel ...”, opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla”
modifier
Opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla”
modifier
Définition intrinsèque de l'opérateur “nabla”
L'
opérateur vectoriel
linéaire du 1
er ordre “nabla”, noté
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}}
, est un
opérateur vectoriel
linéaire tel que l'
opérateur scalaire “vecteur déplacement élémentaire scalaire nabla” «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]\;}
» est identique à l'
opérateur scalaire “différenciation” «
d
[
]
{\displaystyle \;d\left[\;\right]\;}
»
[3] soit
«
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
=
d
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\;\right]=d\left[\;\right]\;}
»
[4] .
Définition équivalente dans les principaux repérages :
≻
{\displaystyle \succ \;}
repérage cartésien[5] , «
∇
→
[
]
=
{
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
}
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[\;\right]\;}
» ;
Définition équivalente dans les principaux repérages :
≻
{\displaystyle \succ \;}
repérage cylindro-polaire[6] , «
∇
→
[
]
=
{
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
u
→
θ
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
}
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;}
» ;
Définition équivalente dans les principaux repérages :
≻
{\displaystyle \succ \;}
repérage sphérique[7] , «
∇
→
[
]
=
{
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
u
→
θ
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
u
→
φ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
}
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[\;\right]\;}
».
Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...”
modifier
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «
∇
→
⋅
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot \;}
» est construit à partir
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «
∇
→
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;}
» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «
∇
→
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cartésien «
∇
→
⋅
?
→
=
{
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
}
⋅
?
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {\text{?}}}\;}
» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «
∇
→
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cylindro-polaire «
∇
→
⋅
?
→
=
{
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
u
→
θ
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
}
⋅
?
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {\text{?}}}\;}
» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” noté «
∇
→
⋅
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot }\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage sphérique «
∇
→
⋅
?
→
=
{
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
u
→
θ
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
u
→
φ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
}
⋅
?
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \cdot {\overrightarrow {\text{?}}}\;}
».
Opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...”
modifier
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «
∇
→
∧
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\wedge \;}
» est construit à partir
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «
∇
→
∧
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;}
» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «
∇
→
∧
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cartésien «
∇
→
∧
?
→
=
{
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
}
∧
?
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \wedge {\overrightarrow {\text{?}}}\;}
» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «
∇
→
∧
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cylindro-polaire «
∇
→
∧
?
→
=
{
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
u
→
θ
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
}
∧
?
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \wedge {\overrightarrow {\text{?}}}\;}
» ;
L'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” noté «
∇
→
∧
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\wedge }\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage sphérique «
∇
→
∧
?
→
=
{
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
u
→
θ
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
u
→
φ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
}
∧
?
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {\text{?}}}=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \wedge {\overrightarrow {\text{?}}}\;}
».
Opérateur linéaire du 2ème ordre “nabla scalaire nabla”
modifier
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” noté «
∇
→
⋅
∇
→
=
∇
→
2
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}\;}
» est construit à partir
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «
∇
→
⋅
∇
→
=
∇
→
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;}
» il est défini suivant le repérage utilisé selon les expressions suivantes :
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «
∇
→
⋅
∇
→
=
∇
→
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cartésien «
∇
→
2
[
]
=
{
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
}
2
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;}
» ;
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «
∇
→
⋅
∇
→
=
∇
→
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cylindro-polaire «
∇
→
2
[
]
=
{
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
u
→
θ
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
}
2
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;}
» ;
L'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla vectoriel nabla” noté «
∇
→
⋅
∇
→
=
∇
→
2
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}={\vec {\nabla }}^{2}}\;}
» il est défini suivant
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage sphérique «
∇
→
2
[
]
=
{
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
u
→
θ
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
u
→
φ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
}
2
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\;\right]=\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\theta }\,{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\vec {u}}_{\varphi }\,{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace ^{2}\left[\;\right]\;}
».
Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire, champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle, champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle et champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire
modifier
Champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace
modifier
Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
on obtient «
U
→
∇
→
∇
→
[
U
]
{\displaystyle \;U\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right]\;}
» c'est-à-dire un champ vectoriel de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” à la fonction scalaire de l'espace
U
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{U(M)}\;}
on obtient «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;}
définissant le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
»,
soit «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;}
» avec «
U
{\displaystyle \;U\;}
fonction scalaire différentiable de l'espace »[10] ;
on obtient ainsi les composantes de «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;}
» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi les composantes de «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cartésien «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
(
∂
U
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
x
+
(
∂
U
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
y
+
(
∂
U
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{x}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{y}+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;}
»[11] ;
on obtient ainsi les composantes de «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cylindro-polaire «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
(
∂
U
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
+
1
ρ
(
∂
U
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
θ
+
(
∂
U
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\;}
»[12] ;
on obtient ainsi les composantes de «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage sphérique «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
(
∂
U
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
r
+
1
r
(
∂
U
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
θ
+
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
U
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
φ
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}
»[13] ;
ces composantes de «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;}
» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace »[14] rappelée ci-dessous :
Définition intrinsèque du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle U(M)}
Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
noté «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;}
» est le champ vectoriel tel que « sa circulation élémentaire »
[15] est égale à « la différentielle de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
» soit
«
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
⋅
d
M
→
=
d
U
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU(M)\;}
»
[16] .
Remarque : quand il y a transport d'une grandeur intensive
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
définie localement par la fonction scalaire
f
(
M
,
t
)
}
{\displaystyle \;f(M,\,t){\big \}}\;}
en raison du mouvement du milieu environnant
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
caractérisé par le vecteur vitesse
V
→
M
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;}
du point où le transport est considéré
}
{\displaystyle {\big \}}}
, Remarque : quand il y a transport on dit qu'il y a « advection de la grandeur scalaire
f
(
M
,
t
)
{\displaystyle \;f(M,\,t)\;}
» et Remarque : quand il y a transport on caractérise le transport de cette dernière par « son champ scalaire d'advection “
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
[
f
(
M
,
t
)
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[f(M,\,t)\right]\;}
” »
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
qui s'écrit encore «
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
f
(
M
,
t
)
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[f(M,\,t)\right]\;}
»
}
{\displaystyle {\Big \}}}
.
Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire...” à la fonction vectorielle de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
A
→
→
∇
→
⋅
∇
→
⋅
A
→
{\displaystyle \;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\;}
» c'est-à-dire un champ scalaire de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire...” à la fonction vectorielle de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
«
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
définissant le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»,
soit «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)\;}
» avec «
A
→
{\displaystyle \;{\vec {A}}\;}
fonction vectorielle différentiable de l'espace »[17] ;
on obtient ainsi l'expression de «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)\;}
» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi l'expression de «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cartésien «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)=\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;}
»[18] ;
on obtient ainsi l'expression de «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cylindro-polaire «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
1
ρ
(
∂
[
ρ
A
ρ
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}
»[19] ;
on obtient ainsi l'expression de «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage sphérique «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
1
r
2
(
∂
[
r
2
A
r
]
∂
r
)
θ
,
φ
+
1
r
sin
(
θ
)
{
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
}
r
,
φ
+
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;}
»[20] , [21] ;
ces expressions de «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace »[22] rappelée ci-dessous :
Définition intrinsèque du champ scalaire divergence de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle {\vec {A}}(M)}
Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
noté «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
» est le champ scalaire défini en
M
{\displaystyle \;M\;}
égal « au quotient du flux élémentaire de
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
à travers une surface élémentaire fermée
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta {\mathcal {S}})\;}
entourant
M
{\displaystyle \;M\;}
sur le volume élémentaire mesurant l'intérieur de
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta {\mathcal {S}})\;}
»
[23] soit
«
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
δ
Φ
(
A
→
)
d
V
M
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\delta \Phi ({\vec {A}})}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}
» ou «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
[
∯
(
δ
S
)
A
→
(
M
)
⋅
d
2
S
→
lat.
d
V
M
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)={\dfrac {\color {transparent}{\bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint _{(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}}{d{\mathcal {V}}_{M}}}\;}
»
[24] où «
d
2
S
→
lat.
{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}\;}
est le vecteur surface élémentaire générique de la surface élémentaire fermée
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta {\mathcal {S}})\;}
entourant
M
{\displaystyle \;M\;}
»
et orienté vers l'extérieur, l'intérieur de cette surface étant de volume
d
V
M
{\displaystyle \;d{\mathcal {V}}_{M}}
.
Champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel...” à la fonction vectorielle de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
A
→
→
∇
→
∧
∇
→
∧
A
→
{\displaystyle \;{\vec {A}}\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\wedge }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}\;}
» c'est-à-dire un champ vectoriel de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel...” à la fonction vectorielle de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
«
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
définissant le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»,
soit «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
∧
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)\;}
» avec «
A
→
{\displaystyle \;{\vec {A}}\;}
fonction vectorielle différentiable de l'espace »[25] ;
on obtient ainsi les composantes de «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
∧
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)\;}
» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi les composantes de «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
∧
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cartésien «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
{
[
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
]
sur
u
→
x
[
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
−
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
]
sur
u
→
y
[
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
]
sur
u
→
z
}
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}
»[26] ;
on obtient ainsi les composantes de «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
∧
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cylindro-polaire «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
{
[
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
sur
u
→
ρ
[
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
−
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
]
sur
u
→
θ
1
ρ
[
(
∂
[
ρ
A
θ
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
]
sur
u
→
z
}
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}\left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}
»[27] ;
on obtient ainsi les composantes de «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
∧
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage sphérique «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
{
1
r
sin
(
θ
)
{
(
∂
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
)
r
,
φ
−
(
∂
[
A
θ
]
∂
φ
)
r
,
θ
}
sur
u
→
r
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
[
A
r
]
∂
φ
)
r
,
θ
−
1
r
(
∂
[
r
A
φ
]
∂
r
)
θ
,
φ
sur
u
→
θ
1
r
{
(
∂
[
r
A
θ
]
∂
r
)
θ
,
φ
−
(
∂
[
A
r
]
∂
θ
)
r
,
φ
}
sur
u
→
φ
}
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{array}{l r}{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }-\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\right\rbrace \!\!&\!\!{\text{sur}}\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right\rbrace \;}
»[28] ;
ces composantes de «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace »[29] rappelée ci-dessous :
Définition intrinsèque du champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle {\vec {A}}(M)}
Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
noté «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
» est le champ vectoriel défini en
M
{\displaystyle \;M\;}
dont « le flux à travers une surface élémentaire ouverte
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta {\mathcal {S}})\;}
entourant
M
{\displaystyle \;M\;}
[30] est égal à la circulation du champ
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
le long du contour fermé
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
limitant la surface
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta {\mathcal {S}})\;}
»
[31] soit
«
δ
Φ
(
r
o
t
→
[
A
→
]
)
=
δ
C
(
A
→
)
{\displaystyle \;\delta \Phi \!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)=\delta {\mathcal {C}}({\vec {A}})\;}
» ou «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
⋅
d
S
→
=
∮
(
δ
Γ
)
A
→
(
M
)
⋅
d
2
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}=\displaystyle \oint _{(\delta \Gamma )}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M}}\;}
»,
«
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
étant le contour élémentaire fermé limitant la surface élémentaire ouverte centrée en
M
{\displaystyle \;M\;}
et de vecteur surface élémentaire
d
S
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dS}}\;}
»,
«
d
2
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}M}}\;}
étant le vecteur déplacement élémentaire générique du contour élémentaire fermé
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
»,
« l'orientation du contour fermé
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
étant définie en accord avec celle de la surface ouverte
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta S)\;}
»
[32] .
Champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace
modifier
Si on applique l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
U
→
∇
→
2
∇
→
2
[
U
]
{\displaystyle \;U\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right]\;}
» c'est-à-dire un champ scalaire de l'espace noté Si on applique l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à la fonction scalaire de l'espace
U
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{U(M)}\;}
⇒
{\displaystyle \color {transparent}{\Rightarrow }}
«
Δ
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)\;}
définissant le champ scalaire laplacien[2] de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
»,
soit «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;}
» avec «
U
{\displaystyle \;U\;}
fonction scalaire différentiable de l'espace »[33] , [34] ;
on obtient ainsi l'expression de «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;}
» suivant le type de repérage utilisé :
on obtient ainsi l'expression de «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cartésien «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
(
∂
2
U
∂
x
2
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
U
∂
y
2
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
U
∂
z
2
)
x
,
y
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)=\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;}
»[35] ;
on obtient ainsi l'expression de «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage cylindro-polaire «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
1
ρ
(
∂
[
ρ
(
∂
U
∂
ρ
)
θ
,
z
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
1
ρ
2
(
∂
2
U
∂
θ
2
)
ρ
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
U
∂
z
2
)
ρ
,
θ
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}
»[36] ;
on obtient ainsi l'expression de «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\color {transparent}{\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)}\;}
»
≻
{\displaystyle \succ \;}
en repérage sphérique «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
1
r
2
∂
[
r
2
∂
U
∂
r
]
∂
r
(
M
)
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
U
∂
θ
]
∂
θ
(
M
)
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
U
∂
φ
2
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)={\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;}
»[37] , [38] ;
ces expressions de «
Δ
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)\;}
» selon le type de repérage sont en accord avec la « définition intrinsèque du champ scalaire laplacien[2] d'une fonction scalaire de l'espace »[39] rappelée ci-dessous :
Définition intrinsèque du champ scalaire laplacien de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle U(M)}
Le champ scalaire laplacien
[2] de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
noté «
Δ
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)\;}
» est « le champ scalaire divergence du champ vectoriel gradient de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
soit
«
Δ
[
U
]
(
M
)
=
d
i
v
{
g
r
a
d
→
[
U
]
}
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)\;}
».
Représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien
modifier
Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs sont représentables par des matrices , nous distinguons Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre
0
{\displaystyle \;0\;}
pour les 1ers [40] « invariants »
[
{\displaystyle \;{\big [}}
donc représentables par une matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
[41]
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
et Introduction : Les scalaires et vecteurs étant des tenseurs d'ordre
1
{\displaystyle \;1\;}
pour les 2nds « contravariants »[42]
[
{\displaystyle \;{\big [}}
représentables, après choix d'une base du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-espace vectoriel les contenant, par une matrice colonne de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
1
)
{\displaystyle \;\left(3\times 1\right)}
, les éléments de la colonne étant les composantes du vecteur représenté sur la base choisie
]
{\displaystyle {\big ]}}
.
Introduction : Admettant que les opérateurs scalaires et vectoriels sont aussi des opérateurs tensoriels représentables par des matrices d'opérateurs , nous en déduisons Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
» en matrice colonne s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;}
» en cartésien «
[
∇
→
]
cart
=
[
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;}
», Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;}
» en cylindro-polaire «
[
∇
→
]
cyl
=
[
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
u
→
θ
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
» et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;\color {transparent}{\vec {\nabla }}\;}
» en sphérique «
[
∇
→
]
sph
=
[
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
u
→
θ
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
φ
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
» ;
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” «
∇
→
⋅
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\cdot \;}
» en matrice ligne s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «
[
∇
→
⋅
]
cart
=
[
u
→
x
⋅
(
∂
∂
x
)
y
,
z
,
u
→
y
⋅
(
∂
∂
y
)
x
,
z
,
u
→
z
⋅
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {u}}_{x}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{y}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]\;}
», Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «
[
∇
→
⋅
]
cyl
=
[
u
→
ρ
⋅
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
,
u
→
θ
⋅
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
,
u
→
z
⋅
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\;}
» et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
[
∇
→
⋅
]
sph
=
[
u
→
r
⋅
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
,
u
→
θ
⋅
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
,
u
→
φ
⋅
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\;}
» ;
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” «
∇
→
∧
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\wedge \;}
» en matrice carrée de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
3
)
{\displaystyle \;\left(3\times 3\right)\;}
s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «
[
∇
→
∧
]
cart
=
[
0
→
∧
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
x
,
y
u
→
y
∧
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
x
,
y
0
→
∧
u
→
x
∧
(
∂
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
∧
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
x
∧
(
∂
∂
x
)
y
,
z
0
→
∧
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\;}
»[43] , Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «
[
∇
→
∧
]
cyl
=
[
0
→
∧
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
u
→
θ
∧
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
0
→
∧
u
→
ρ
∧
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
u
→
θ
∧
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
ρ
ρ
∧
(
∂
{
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
0
→
∧
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\rho }\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&{\dfrac {{\vec {u}}_{\rho }}{\rho }}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace \rho \right.}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\;}
»[43] et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
[
∇
→
∧
]
sph
=
[
0
→
∧
u
→
φ
∧
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
u
→
θ
sin
(
θ
)
∧
1
r
(
∂
[
sin
(
θ
)
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
φ
∧
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
0
→
∧
u
→
r
r
∧
(
∂
{
r
∂
r
)
θ
,
φ
u
→
θ
∧
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
r
r
∧
(
∂
{
r
∂
r
)
θ
,
φ
0
→
∧
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\sin(\theta )}}\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\right.}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\;}
»[43] ;
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
∇
→
2
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\;}
» en matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
s'écrivant Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cartésien «
[
∇
→
2
]
cart
=
[
∇
→
⋅
]
cart
×
[
∇
→
]
cart
=
(
∂
2
∂
x
2
)
y
,
z
+
(
∂
2
∂
y
2
)
x
,
z
+
(
∂
2
∂
z
2
)
x
,
y
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\;}
», Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «
[
∇
→
2
]
cyl
=
[
∇
→
⋅
]
cyl
×
[
∇
→
]
cyl
=
[
u
→
ρ
⋅
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
,
u
→
θ
⋅
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
,
u
→
z
⋅
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
×
[
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
u
→
θ
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]}
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en cylindro-polaire «
[
∇
→
2
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}}}
=
…
1
ρ
(
∂
[
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
]
∂
ρ
)
θ
,
z
+
1
ρ
2
(
∂
2
∂
θ
2
)
ρ
,
z
+
(
∂
2
∂
z
2
)
ρ
,
θ
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;}
»[36] et Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
[
∇
→
2
]
sph
=
[
∇
→
⋅
]
sph
×
[
∇
→
]
sph
=
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=}
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
[
∇
→
2
]
sph
=
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}=}}
[
u
→
r
⋅
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
,
u
→
θ
⋅
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
,
u
→
φ
⋅
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
×
[
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
u
→
θ
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
φ
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \left[{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]}
Introduction : Admettant que la représentation de l'opérateur linéaire en sphérique «
[
∇
→
2
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}}}
=
…
1
r
2
∂
[
r
2
∂
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
∂
φ
2
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial }{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\;}
»[38] , [37] .
Représentation matricielle du champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace
modifier
Le champ vectoriel gradient de la fonction scalaire de l'espace
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla” c'est-à-dire «
U
(
M
)
→
∇
→
∇
→
[
U
]
(
M
)
=
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\left[U\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;}
» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en matrice colonne
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
, celle du champ vectoriel
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;}
en matrice colonne suivant le repérage choisi :
Le champ vectoriel gradient
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
g
r
a
d
→
{
U
}
(
M
)
]
cart
=
[
(
∂
U
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
x
(
∂
U
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
y
(
∂
U
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»,
Le champ vectoriel gradient
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
U
}
(
M
)
]
cyl
=
[
(
∂
U
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
1
ρ
(
∂
U
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
θ
(
∂
U
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial U}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
» et
Le champ vectoriel gradient
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
U
}
(
M
)
]
sph
=
[
(
∂
U
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
r
1
r
(
∂
U
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
θ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
U
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left\lbrace U\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
».
Représentation matricielle du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
Le champ scalaire divergence de la fonction vectorielle de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” c'est-à-dire «
A
→
(
M
)
→
∇
→
⋅
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
=
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\cdot }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)=}
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “nabla scalaire ...” en matrice ligne
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
, celle du champ scalaire
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
en matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
[41] , produit d'une matrice ligne et d'une matrice colonne suivant le repérage choisi :
Le champ scalaire divergence
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
]
cart
=
[
∇
→
⋅
]
cart
×
[
A
→
(
M
)
]
cart
=
[
u
→
x
⋅
(
∂
∂
x
)
y
,
z
,
u
→
y
⋅
(
∂
∂
y
)
x
,
z
,
u
→
z
⋅
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
×
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {u}}_{x}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{y}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]}
Le champ scalaire divergence
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cartésien «
[
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}}}
=
…
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;}
»,
Le champ scalaire divergence
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
]
cyl
=
[
∇
→
⋅
]
cyl
×
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
[
u
→
ρ
⋅
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
,
u
→
θ
⋅
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
,
u
→
z
⋅
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
×
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {u}}_{\rho }\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\;,\;{\vec {u}}_{z}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]}
Le champ scalaire divergence
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cylindro-polaire «
[
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}}}
=
…
1
ρ
(
∂
[
ρ
A
ρ
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}
»[19] et
Le champ scalaire divergence
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
]
sph
=
[
∇
→
⋅
]
sph
×
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
[
u
→
r
⋅
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
,
u
→
θ
⋅
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
,
u
→
φ
⋅
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
×
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {u}}_{r}\cdot \left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\theta }\cdot {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\;,\;{\vec {u}}_{\varphi }\cdot {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]}
Le champ scalaire divergence
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique «
[
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}}}
=
…
1
r
2
(
∂
[
r
2
A
r
]
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
+
1
r
sin
(
θ
)
{
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
}
r
,
φ
(
M
)
+
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\;}
»[20] .
Représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
Le champ vectoriel rotationnel de la fonction vectorielle de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” c'est-à-dire «
A
→
(
M
)
→
∇
→
∧
∇
→
∧
A
→
(
M
)
=
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}\wedge }{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)=}
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
3
)
{\displaystyle \;\left(3\times 3\right)}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
, celle du champ vectoriel
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
en matrice colonne suivant le repérage choisi :
Le champ vectoriel rotationnel
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
]
cart
=
[
∇
→
∧
]
cart
×
[
A
→
(
M
)
]
cart
=
[
0
→
∧
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
x
,
y
u
→
y
∧
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
x
,
y
0
→
∧
u
→
x
∧
(
∂
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
∧
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
x
∧
(
∂
∂
x
)
y
,
z
0
→
∧
]
×
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}&{\vec {u}}_{x}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]}
Le champ vectoriel rotationnel
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cartésien «
[
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cart}}}}
=
…
{
[
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
]
u
→
x
[
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
−
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
]
u
→
y
[
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
]
u
→
z
}
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\;{\vec {u}}_{x}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\;{\vec {u}}_{y}\\\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace \;}
»[26] ,
Le champ vectoriel rotationnel
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
]
cyl
=
[
∇
→
∧
]
cyl
×
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
[
0
→
∧
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
u
→
θ
∧
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
∧
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
0
→
∧
u
→
ρ
∧
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
u
→
θ
∧
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
ρ
ρ
∧
(
∂
{
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
0
→
∧
]
×
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\rho }\wedge \left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}&{\dfrac {{\vec {u}}_{\rho }}{\rho }}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace \rho \right.}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]}
Le champ vectoriel rotationnel
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cylindro-polaire «
[
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{cyl}}}}
=
…
[
{
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
}
u
→
ρ
{
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
−
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
}
u
→
θ
1
ρ
{
(
∂
[
ρ
A
θ
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{\rho }}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[27] et
Le champ vectoriel rotationnel
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
]
sph
=
[
∇
→
∧
]
sph
×
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=}
Le champ vectoriel rotationnel
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique «
[
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
]
sph
=
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}}=}
[
0
→
∧
u
→
φ
∧
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
u
→
θ
sin
(
θ
)
∧
1
r
(
∂
[
sin
(
θ
)
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
φ
∧
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
0
→
∧
u
→
r
r
∧
(
∂
{
r
∂
r
)
θ
,
φ
u
→
θ
∧
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
r
r
∧
(
∂
{
r
∂
r
)
θ
,
φ
0
→
∧
]
×
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}{\vec {0}}\;\wedge &{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\sin(\theta )}}\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\right.}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\varphi }\wedge {\dfrac {1}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }&{\vec {0}}\;\wedge &{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\vec {u}}_{\theta }\wedge {\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&{\dfrac {{\vec {u}}_{r}}{r}}\wedge \left({\dfrac {\partial \left\lbrace r\right.}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\vec {0}}\;\wedge \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]}
Le champ vectoriel rotationnel
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique «
[
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\right]_{\text{sph}}}}
=
…
[
1
r
sin
(
θ
)
{
(
∂
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
−
(
∂
[
A
θ
]
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
}
u
→
r
{
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
[
A
r
]
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
−
1
r
(
∂
[
r
A
φ
]
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
}
u
→
θ
1
r
{
(
∂
[
r
A
θ
]
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
−
(
∂
[
A
r
]
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
}
u
→
φ
]
{\displaystyle {\overset {\ldots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)-\left({\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)-{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)-\left({\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
»[28] .
Représentation matricielle du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace
modifier
Le champ scalaire laplacien[2] de la fonction scalaire de l'espace
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” c'est-à-dire «
U
(
M
)
→
∇
→
2
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
=
{\displaystyle \;U(M)\;\;{\overset {{\vec {\nabla }}^{2}}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}^{2}\left[U\right](M)=}
Δ
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \Delta \left[U\right](M)\;}
» nous en déduisons, en utilisant la représentation de l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” en matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir l'introduction ci-dessus du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
, celle du champ scalaire
Δ
{
U
}
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\;}
en matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
[41] suivant le repérage choisi :
Le champ scalaire laplacien
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
Δ
{
U
}
(
M
)
]
cart
=
[
∇
→
2
]
cart
{
U
(
M
)
}
=
(
∂
2
U
∂
x
2
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
U
∂
y
2
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
U
∂
z
2
)
x
,
y
(
M
)
{\displaystyle \;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\;}
»[35] ,
Le champ scalaire laplacien
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
Δ
{
U
}
(
M
)
]
cyl
=
[
∇
→
2
]
cyl
{
U
(
M
)
}
=
1
ρ
(
∂
[
ρ
(
∂
U
∂
ρ
)
θ
,
z
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
1
ρ
2
(
∂
2
U
∂
θ
2
)
ρ
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
U
∂
z
2
)
ρ
,
θ
(
M
)
{\displaystyle \;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace ={\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial U}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\;}
»[36] et
Le champ scalaire laplacien
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
Δ
{
U
}
(
M
)
]
sph
=
[
∇
→
2
]
sph
{
U
(
M
)
}
=
1
r
2
∂
[
r
2
∂
U
∂
r
]
∂
r
(
M
)
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
U
∂
θ
]
∂
θ
(
M
)
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
U
∂
φ
2
(
M
)
{\displaystyle \;\left[\Delta \left\lbrace U\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\!\left\lbrace U(M)\right\rbrace ={\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial U}{\partial r}}\right]}{\partial r}}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial U}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\;}
»[37] .
Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace et conséquences
modifier
Introduction : ayant vu la signification de l'application directe, aux fonctions scalaires de l'espace, de l'opérateur linéaire "nabla" «
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;}
» dans les exemples suivants Introduction :
≻
{\displaystyle \succ \;}
le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
de l'espace «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;}
»[44] ainsi que ses deux champs scalaires s'en déduisant Introduction :
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)}
«
d
[
U
]
(
M
)
=
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
U
]
(
M
)
=
d
M
→
⋅
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;d\left[U\right](M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)={\overrightarrow {dM}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;}
»[45] Introduction :
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
le champ scalaire d'advection de la grandeur scalaire intensive
f
(
M
,
t
)
}
{\displaystyle \;f(M,\,t){\big \}}\;}
«
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
[
f
(
M
,
t
)
]
=
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
f
(
M
,
t
)
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[f(M,\,t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[f(M,\,t)\right]\;}
» où
V
→
M
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;}
est le vecteur vitesse du point
M
{\displaystyle \;M\;}
du milieu environnant où le transport est considéré[46] et Introduction :
≻
{\displaystyle \succ \;}
le champ scalaire laplacien[2] de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
de l'espace «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;}
»[47] ,
Introduction : nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;}
» aux fonctions vectorielles de l'espace[48] .
Identification de l'opérateur scalaire linéaire du premier ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace
modifier
Nous nous proposons d'étendre le domaine d'application de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
» rappelé dans le paragraphe « prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire “nabla” aux fonction vectorielles de l'espace et conséquences (introduction) » plus haut dans ce chapitre, aux fonctions vectorielles différentiables de l'espace ;
pour préciser la façon dont l'opérateur scalaire «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
» agit sur la fonction vectorielle «
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
», on se place en repérage « cylindro-polaire »[49] dans lequel «
d
M
→
=
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}=}
d
ρ
u
→
ρ
+
ρ
d
θ
u
→
θ
+
d
z
u
→
z
{\displaystyle d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+dz\,{\vec {u}}_{z}\;}
» et «
A
→
(
M
)
=
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
(
M
)
+
A
θ
(
M
)
u
→
θ
(
M
)
+
A
z
(
M
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;}
»[50] ; « l'image de
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
par
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
» est alors défini comme le vecteur
«
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
=
{
d
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
ρ
d
θ
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
d
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
}
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
(
M
)
+
A
θ
(
M
)
u
→
θ
(
M
)
+
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+\rho \,d\theta \,{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;}
»
soit, en faisant agir l'opérateur “nabla” uniquement sur les composantes, une 1ère série de termes
«
δ
A
1
→
=
{
d
ρ
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
+
d
ρ
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
θ
+
d
ρ
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
z
+
⋯
⋯
d
θ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
+
d
θ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
θ
+
d
θ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
z
+
⋯
⋯
d
z
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
ρ
+
d
z
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
θ
+
d
z
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
z
+
⋯
}
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\delta A_{1}}}=\left\lbrace {\begin{aligned}\;\;\;d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\color {transparent}{+\cdots }\,\end{aligned}}\right\rbrace \;}
» ou, «
δ
A
1
→
=
d
A
ρ
u
→
ρ
+
d
A
θ
u
→
θ
+
d
A
z
u
→
z
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\delta A_{1}}}=dA_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\;}
»[51] puis
en faisant agir l'opérateur “nabla” sur les vecteurs de base cylindro-polaire, une 2ème série de termes
«
δ
A
2
→
=
d
ρ
A
ρ
(
∂
u
→
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
d
ρ
A
θ
(
∂
u
→
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
d
ρ
A
z
(
∂
u
→
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\delta A_{2}}}=d\rho \,A_{\rho }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}+d\rho \,A_{\theta }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}+d\rho \,A_{z}\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}={\vec {0}}\;}
»,
en faisant agir l'opérateur “nabla” sur les vecteurs de base cylindro-polaire, une 3ème série de termes
«
δ
A
3
→
=
d
θ
A
ρ
(
∂
u
→
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
d
θ
A
θ
(
∂
u
→
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
d
θ
A
z
(
∂
u
→
z
∂
θ
)
θ
,
z
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\delta A_{3}}}=d\theta \,A_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+d\theta \,A_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+d\theta \,A_{z}\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)}}}
=
A
ρ
d
u
→
ρ
+
A
θ
d
u
→
θ
{\displaystyle =A_{\rho }\,d{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\;}
»[52] et
en faisant agir l'opérateur “nabla” sur les vecteurs de base cylindro-polaire, une dernière série de termes
«
δ
A
4
→
=
d
z
A
ρ
(
∂
u
→
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
+
d
z
A
θ
(
∂
u
→
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
+
d
z
A
z
(
∂
u
→
z
∂
z
)
θ
,
θ
(
M
)
=
0
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\delta A_{4}}}=dz\,A_{\rho }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)}}+dz\,A_{\theta }\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)}}+dz\,A_{z}\,{\cancel {\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\theta ,\,\theta }(M)}}={\vec {0}}\;}
»,
soit finalement, en regroupant toutes les séries de termes
«
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
=
d
A
ρ
u
→
ρ
+
d
A
θ
u
→
θ
+
d
A
z
u
→
z
+
A
ρ
d
u
→
ρ
+
A
θ
d
u
→
θ
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=dA_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}+A_{\rho }\,d{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\;}
» ou,
soit finalement, en reconnaissant dans le membre de droite la différentielle de la fonction vectorielle
A
→
{\displaystyle \;{\vec {A}}}
, l'identification recherchée à savoir
«
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
=
d
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=d\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
».
En conclusion, nous avons vérifié l'identification de «
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)\;}
avec
d
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;d\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
» en repérage « cylindro-polaire », mais le résultat est valable quel que soit le repérage ;
En conclusion, la vérification ne présente aucune difficulté en repérage cartésien, les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point
M
{\displaystyle \;M}
, voir ci-dessous
«
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
=
{
d
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
d
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
d
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
}
[
A
x
(
M
)
u
→
x
+
A
y
(
M
)
u
→
y
+
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\;}
», soit en développant «
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
=
{
d
x
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
x
+
d
x
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
y
+
d
x
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
z
+
⋯
⋯
d
y
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
x
+
d
y
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
y
+
d
y
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
z
+
⋯
⋯
d
z
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
x
+
d
z
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
y
+
d
z
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
z
+
⋯
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\begin{aligned}\;\;\;dx\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}+dx\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}+dx\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,dy\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{x}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{y}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\,{\vec {u}}_{z}+\cdots \\\cdots \,dz\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{x}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\color {transparent}{+\cdots }\,\end{aligned}}\right\rbrace \;}
» ou encore «
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
=
d
A
x
u
→
x
+
d
A
y
u
→
y
+
d
A
z
u
→
z
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)=dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}+dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\;}
» s'identifiant à «
d
[
A
→
]
(
M
)
=
d
A
x
u
→
x
+
d
A
y
u
→
y
+
d
A
z
u
→
z
{\displaystyle \;d\!\left[{\vec {A}}\right](M)=dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}+dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\;}
» C.Q.F.V[53] . ;
En conclusion, la vérification est plus délicate en repérage sphérique car deux des vecteurs de base sphérique
u
→
r
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{r}\;}
et
u
→
θ
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\theta }\;}
dépendent des deux coordonnées sphériques
θ
{\displaystyle \;\theta \;}
et
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
du point
M
{\displaystyle \;M}
, le 3ème vecteur de base sphérique
u
→
φ
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\varphi }\;}
dépendant de la coordonnée sphérique
φ
{\displaystyle \;\varphi \;}
du point
M
{\displaystyle \;M}
; le lecteur qui le souhaite pourra utiliser la même méthode de vérification qu'en cylindro-polaire
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
on pourra utiliser à bon escient les informations établies dans les paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
Remarques :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
La représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
» se déduit de Remarques : La représentation matri
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
celle de la forme linéaire “dM scalaire ...” en matrice ligne s'écrivant respectivement Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
d
M
→
⋅
]
cart
=
[
d
x
u
→
x
⋅
,
d
y
u
→
y
⋅
,
d
z
u
→
z
⋅
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cart}}=\left[\;dx\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;dy\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;}
», Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
d
M
→
⋅
]
cyl
=
[
d
ρ
u
→
ρ
⋅
,
ρ
d
θ
u
→
θ
⋅
,
d
z
u
→
z
⋅
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cyl}}=\left[\;d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;}
», Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
d
M
→
⋅
]
sph
=
[
d
r
u
→
r
⋅
,
r
d
θ
u
→
θ
⋅
,
r
sin
(
θ
)
d
φ
u
→
φ
⋅
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{sph}}=\left[\;dr\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\;}
» et de Remarques : La représentation matri
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
celle de l'opérateur linéaire “nabla” en matrice colonne s'écrivant respectivement Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
∇
→
]
cart
=
[
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;}
», Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
∇
→
]
cyl
=
[
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
u
→
θ
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
», Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
∇
→
]
sph
=
[
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
u
→
θ
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
φ
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
» d'où Introduction : la représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
» en matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
[54] soit respectivement Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cart
=
[
d
M
→
⋅
]
cart
×
[
∇
→
]
cart
=
[
d
x
u
→
x
⋅
,
d
y
u
→
y
⋅
,
d
z
u
→
z
⋅
]
×
[
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[\;dx\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;dy\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]}
Remarque : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cartésien «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}}}
=
d
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
d
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
d
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
{\displaystyle =dx\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;}
», Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cyl
=
[
d
M
→
⋅
]
cyl
×
[
∇
→
]
cyl
=
[
d
ρ
u
→
ρ
⋅
,
ρ
d
θ
u
→
θ
⋅
,
d
z
u
→
z
⋅
]
×
[
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
1
ρ
u
→
θ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[\;d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;dz\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]}
Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cylindro-polaire «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}}}
=
d
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
d
θ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
d
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
{\displaystyle =d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;}
», Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
sph
=
[
d
M
→
⋅
]
sph
×
[
∇
→
]
sph
=
[
d
r
u
→
r
⋅
,
r
d
θ
u
→
θ
⋅
,
r
sin
(
θ
)
d
φ
u
→
φ
⋅
]
×
[
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
1
r
u
→
θ
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
1
r
sin
(
θ
)
u
→
φ
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[\;dr\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,d\varphi \;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\vec {u}}_{\varphi }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]}
Remarques : La représentation matricielle
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}}}
=
d
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
d
θ
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
d
φ
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
{\displaystyle =dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;}
».
Remarques :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
par l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
»
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
c'est-à-dire la représentation matricielle de « la différentielle
d
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;d{\vec {A}}(M)\;}
»
}
{\displaystyle {\big \}}}
, est « la matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
sur la matrice colonne représentant
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»[55] soit Remarques :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien, «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cart
[
A
→
(
M
)
]
cart
=
{
d
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
d
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
d
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
}
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
ou
d
{
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace }
[56] Remarques :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cartésien, «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cart
[
A
→
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}}}
=
[
{
d
x
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
+
d
y
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
+
d
z
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
}
u
→
x
{
d
x
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
+
d
y
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
+
d
z
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
}
u
→
y
{
d
x
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
+
d
y
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
+
d
z
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
}
u
→
z
]
=
[
d
A
x
u
→
x
d
A
y
u
→
y
d
A
z
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace dx\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+dy\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}\\\\dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}\\\\dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[21] ,
Remarques :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire, «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
{
d
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
d
θ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
d
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
}
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
ou
d
{
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace }
[56] Remarques :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cylindro-polaire, «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}}
=
[
{
d
ρ
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
+
d
θ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
+
d
z
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
}
u
→
ρ
+
d
θ
A
ρ
d
u
→
ρ
d
θ
{
d
ρ
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
+
d
θ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
+
d
z
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
}
u
→
θ
+
d
θ
A
θ
d
u
→
θ
d
θ
{
d
ρ
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
+
d
θ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
+
d
z
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
}
u
→
z
]
=
[
d
A
ρ
u
→
ρ
+
A
ρ
d
u
→
ρ
d
A
θ
u
→
θ
+
A
θ
d
u
→
θ
d
A
z
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+d\theta \,A_{\rho }\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\\\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+d\theta \,A_{\theta }\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\\\left\lbrace d\rho \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+dz\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{l}dA_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }\,d{\vec {u}}_{\rho }\\\\dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\\\\dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[21] , [57] ,
Remarques :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique, «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
{
d
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
d
θ
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
d
φ
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
}
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
ou
d
{
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
}
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace }
[56] Remarques :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique, «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}}
=
[
{
d
r
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
+
d
θ
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
+
d
φ
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
}
u
→
r
+
A
r
{
d
θ
(
∂
u
→
r
∂
θ
)
φ
+
d
φ
(
∂
u
→
r
∂
φ
)
θ
}
{
d
r
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
+
d
θ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
+
d
φ
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
}
u
→
θ
+
A
θ
{
d
θ
(
∂
u
→
θ
∂
θ
)
φ
+
d
φ
(
∂
u
→
θ
∂
φ
)
θ
}
{
d
r
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
+
d
θ
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
+
d
φ
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
}
u
→
φ
+
A
φ
d
φ
d
u
→
φ
d
φ
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\left\lbrace d\theta \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\left\lbrace d\theta \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace dr\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+d\theta \,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+d\varphi \,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }\,d\varphi \,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;}
[21] Remarques :
∙
{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique, «
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}}
=
[
d
A
r
u
→
r
+
A
r
d
u
→
r
d
A
θ
u
→
θ
+
A
θ
d
u
→
θ
d
A
φ
u
→
φ
+
A
φ
d
u
→
φ
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}dA_{r}\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\,d{\vec {u}}_{r}\\\\dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\,d{\vec {u}}_{\theta }\\\\dA_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }\,d{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
»[21] , [58] .
Champ d'advection d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
L'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «
V
→
M
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
»[59] étant lié à l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
» selon
«
V
→
M
⋅
∇
→
[
]
=
1
d
t
{
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
}
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]={\dfrac {1}{dt}}\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\right\rbrace \;}
» dans lequel
d
t
{\displaystyle \;dt\;}
est la durée du déplacement
d
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\;}
du point
M
{\displaystyle \;M\;}
du milieu environnant en mouvement,
il suffit de diviser par
d
t
{\displaystyle \;dt\;}
les expressions de «
d
M
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
» établis dans le paragraphe « identification de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre pour obtenir celles de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” d'où :
La représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «
V
→
M
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
»[59] se déduit de La représentation matri celle de la forme linéaire “vitesse scalaire ...” en matrice ligne s'écrivant respectivement La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
V
→
M
⋅
]
cart
=
[
x
˙
u
→
x
⋅
,
y
˙
u
→
y
⋅
,
z
˙
u
→
z
⋅
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{cart}}=\left[\;{\dot {x}}\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;{\dot {y}}\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;}
»[59] , La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
V
→
M
⋅
]
cyl
=
[
ρ
˙
u
→
ρ
⋅
,
ρ
θ
˙
u
→
θ
⋅
,
z
˙
u
→
z
⋅
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{cyl}}=\left[\;{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\;}
»[59] , La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
V
→
M
⋅
]
sph
=
[
r
˙
u
→
r
⋅
,
r
θ
˙
u
→
θ
⋅
,
r
sin
(
θ
)
φ
˙
u
→
φ
⋅
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{sph}}=\left[\;{\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,{\dot {\varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\;}
»[59] et de La représentation matri celle de l'opérateur linéaire “nabla” en matrice colonne s'écrivant respectivement La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
∇
→
]
cart
=
[
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;}
», La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
∇
→
]
cyl
=
[
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
u
→
θ
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
», La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
∇
→
]
sph
=
[
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
u
→
θ
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
u
→
φ
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\theta }}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {{\vec {u}}_{\varphi }}{r\;\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
» d'où la représentation matricielle de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «
V
→
M
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
»[59] en matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
[54] soit respectivement La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cart
=
[
V
→
M
⋅
]
cart
×
[
∇
→
]
cart
=
[
x
˙
u
→
x
⋅
,
y
˙
u
→
y
⋅
,
z
˙
u
→
z
⋅
]
×
[
u
→
x
(
∂
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
(
∂
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{cart}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}=\left[\;{\dot {x}}\,{\vec {u}}_{x}\,\cdot \;,\;{\dot {y}}\,{\vec {u}}_{y}\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{x}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\{\vec {u}}_{y}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;}
[59] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cartésien «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}}}
=
x
˙
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
y
˙
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
z
˙
(
∂
∂
z
)
x
,
y
{\displaystyle ={\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;}
»[59] , La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cyl
=
[
V
→
M
⋅
]
cyl
×
[
∇
→
]
cyl
=
[
ρ
˙
u
→
ρ
⋅
,
ρ
θ
˙
u
→
θ
⋅
,
z
˙
u
→
z
⋅
]
×
[
u
→
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
1
ρ
u
→
θ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
u
→
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\vec {V}}_{\!M}\cdot \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}=\left[\;{\dot {\rho }}\,{\vec {u}}_{\rho }\,\cdot \;,\;\rho \,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;{\dot {z}}\;{\vec {u}}_{z}\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{\rho }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\{\vec {u}}_{z}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
[59] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cylindro-polaire «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}}}
=
ρ
˙
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
θ
˙
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
z
˙
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
{\displaystyle ={\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\;}
»[59] , La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
sph
=
[
V
→
M
⋅
]
sph
×
[
∇
→
]
sph
=
[
r
˙
u
→
r
⋅
,
r
θ
˙
u
→
θ
⋅
,
r
sin
(
θ
)
φ
˙
u
→
φ
⋅
]
×
[
u
→
r
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
1
r
u
→
θ
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
1
r
sin
(
θ
)
u
→
φ
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}=\left[\;{\dot {r}}\,{\vec {u}}_{r}\,\cdot \;,\;r\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\cdot \;,\;r\,\sin(\theta )\,{\dot {\varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\,\cdot \;\right]\times \left[{\begin{array}{c}{\vec {u}}_{r}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,{\vec {u}}_{\theta }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\vec {u}}_{\varphi }\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
[59] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}}}
=
r
˙
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
θ
˙
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
φ
˙
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
{\displaystyle ={\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\;}
»[59] .
La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle
A
→
(
M
,
t
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M,\,t)\;}
par l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “vitesse scalaire nabla” «
V
→
M
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[\,\right]\;}
»[59]
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
c'est-à-dire la représentation matricielle du « champ d'advection
V
→
M
⋅
∇
→
[
A
→
(
M
)
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\left[{\vec {A}}(M)\right]\;}
» de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
[59]
}
{\displaystyle {\big \}}}
, est « la matrice colonne résultant de l'action de la matrice d'opérateurs de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
sur la matrice colonne représentant
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»[59] , [55] soit
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cart
[
A
→
(
M
)
]
cart
=
{
x
˙
(
∂
∂
x
)
y
,
z
+
y
˙
(
∂
∂
y
)
x
,
z
+
z
˙
(
∂
∂
z
)
x
,
y
}
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
=
[
{
x
˙
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
+
y
˙
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
+
z
˙
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
}
u
→
x
{
x
˙
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
+
y
˙
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
+
z
˙
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
}
u
→
y
{
x
˙
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
+
y
˙
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
+
z
˙
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dot {x}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+{\dot {y}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[59]
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cartésien, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cart
[
A
→
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
[
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
x
(
M
)
}
u
→
x
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
y
(
M
)
}
u
→
y
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
z
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{x}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{y}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[59] ,
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
{
ρ
˙
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
+
θ
˙
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
+
z
˙
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
}
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[59]
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cylindro-polaire, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
{
ρ
˙
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
θ
˙
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
z
˙
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
}
u
→
ρ
+
θ
˙
A
ρ
(
M
)
d
u
→
ρ
d
θ
{
ρ
˙
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
θ
˙
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
z
˙
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
}
u
→
θ
+
θ
˙
A
θ
(
M
)
d
u
→
θ
d
θ
{
ρ
˙
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
θ
˙
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
z
˙
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+{\dot {\theta }}\,A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\\\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+{\dot {\theta }}\,A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\\\left\lbrace {\dot {\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dot {z}}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[59]
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en cylindro-polaire, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
ρ
(
M
)
}
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
θ
˙
d
u
→
ρ
d
θ
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
θ
(
M
)
}
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
θ
˙
d
u
→
θ
d
θ
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
z
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\rho }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\dot {\theta }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,{\dot {\theta }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[59] , [60] ,
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
{
r
˙
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
+
θ
˙
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
+
φ
˙
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
}
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
[59]
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}}
=
[
{
r
˙
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
+
θ
˙
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
+
φ
˙
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
}
u
→
r
+
A
r
(
M
)
{
θ
˙
(
∂
u
→
r
∂
θ
)
φ
+
φ
˙
(
∂
u
→
r
∂
φ
)
θ
}
{
r
˙
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
+
θ
˙
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
+
φ
˙
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
}
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
{
θ
˙
(
∂
u
→
θ
∂
θ
)
φ
+
φ
˙
(
∂
u
→
θ
∂
φ
)
θ
}
{
r
˙
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
+
θ
˙
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
+
φ
˙
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
}
u
→
φ
+
A
φ
(
M
)
φ
˙
d
u
→
φ
d
φ
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dot {r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }(M)\,{\dot {\varphi }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;}
[59]
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique, «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}}
=
[
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
r
(
M
)
}
u
→
r
+
A
r
(
M
)
{
θ
˙
(
∂
u
→
r
∂
θ
)
φ
+
φ
˙
(
∂
u
→
r
∂
φ
)
θ
}
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
θ
(
M
)
}
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
{
θ
˙
(
∂
u
→
θ
∂
θ
)
φ
+
φ
˙
(
∂
u
→
θ
∂
φ
)
θ
}
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
φ
(
M
)
}
u
→
φ
+
A
φ
(
M
)
φ
˙
d
u
→
φ
d
φ
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{r}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\,\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,\left\lbrace {\dot {\theta }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\varphi }+{\dot {\varphi }}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\theta }\right\rbrace \\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }(M)\,{\dot {\varphi }}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;}
»[21] , [61] .
Exemple, champ d'advection du champ des vecteurs vitesse d'un milieu environnant mobile «
{
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
→
}
[
V
→
M
(
t
)
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]\;}
»[62] : suivant le repérage utilisé nous obtenons
Exemple,
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cartésien «
{
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
→
}
[
V
→
M
(
t
)
]
=
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
x
(
t
)
]
u
→
x
+
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
y
(
t
)
]
u
→
y
+
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
z
(
t
)
]
u
→
z
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,x}(t)\right]\,{\vec {u}}_{x}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,y}(t)\right]\,{\vec {u}}_{y}+{\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,z}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;}
»,
Exemple,
≻
{\displaystyle \succ \;}
en cylindro-polaire «
{
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
→
}
[
V
→
M
(
t
)
]
=
{
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
ρ
(
t
)
]
−
V
M
,
θ
(
t
)
θ
˙
(
t
)
}
u
→
ρ
+
{
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
θ
(
t
)
]
+
V
M
,
ρ
(
t
)
θ
˙
(
t
)
}
u
→
θ
+
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
z
(
t
)
]
u
→
z
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]=\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\rho }(t)\right]-V_{M,\,\theta }(t)\;{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\theta }(t)\right]+V_{M,\,\rho }(t)\;{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+{\vec {V}}_{\!M}(t)\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,z}(t)\right]\,{\vec {u}}_{z}\;}
»[63] et
Exemple,
≻
{\displaystyle \succ \;}
en sphérique «
{
V
→
M
⋅
∇
→
}
[
V
→
M
]
=
{
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
r
]
−
V
M
,
θ
θ
˙
−
V
M
,
φ
sin
(
θ
)
φ
˙
}
u
→
r
+
{
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
θ
]
+
V
M
,
r
θ
˙
−
V
M
,
φ
cos
(
θ
)
φ
˙
}
u
→
θ
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}\right]=\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,r}\right]-V_{M,\,\theta }\;{\dot {\theta }}-V_{M,\,\varphi }\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\theta }\right]+V_{M,\,r}\;{\dot {\theta }}-V_{M,\,\varphi }\;\cos(\theta )\;{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }}
Exemple,
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
en sphérique «
{
V
→
M
⋅
∇
→
}
[
V
→
M
]
=
{
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
r
]
−
V
M
,
θ
θ
˙
−
V
M
,
φ
sin
(
θ
)
φ
˙
}
u
→
r
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}\right]=\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,r}\right]-V_{M,\,\theta }\;{\dot {\theta }}-V_{M,\,\varphi }\;\sin(\theta )\;{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}}}
+
{
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
[
V
M
,
φ
]
+
[
V
M
,
r
sin
(
θ
)
+
V
M
,
θ
cos
(
θ
)
]
φ
˙
}
u
→
φ
{\displaystyle +\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left[V_{M,\,\varphi }\right]+\left[V_{M,\,r}\;\sin(\theta )+V_{M,\,\theta }\;\cos(\theta )\right]\,{\dot {\varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
»[59] , [64] .
Prolongement de l'application (directe) de l'opérateur linéaire "nabla scalaire nabla" aux fonctions vectorielles de l'espace
modifier
Ayant rappelé dans le paragraphe « champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace »[47] plus haut dans ce chapitre Ayant rappelé que « l'image de la fonction scalaire différentiable[33] de l'espace
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
par l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” » est Ayant rappelé que « le champ scalaire laplacien[2] de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
» défini de façon intrinsèque par «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
d
i
v
{
g
r
a
d
→
[
U
]
}
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)\;}
» c'est-à-dire
«
Δ
[
U
]
(
M
)
=
d
i
v
{
g
r
a
d
→
[
U
]
}
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)=\mathrm {div} \!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\right\rbrace \!(M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;}
»,
nous nous proposons d'appliquer l'opérateur linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” à une fonction vectorielle différentiable[65] de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
puis nous nous proposons de comparer le résultat obtenu au champ vectoriel laplacien vectoriel [2] défini de façon intrinsèque selon «
Δ
→
[
A
→
]
(
M
)
=
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
−
r
o
t
→
{
r
o
t
→
[
A
→
]
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;}
» et ceci nous nous proposons de comparer dans les trois repérages cartésien, cylindro-polaire et sphérique
…
{\displaystyle \;\ldots }
Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cartésien
modifier
La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
par l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
∇
→
2
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]\;}
» étant « la matrice colonne résultant de l'action de la “ matrice d'opérateurs de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
”[66] sur la matrice colonne représentant
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»[55] soit, en cartésien, La représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
cart
[
A
→
(
M
)
]
cart
=
{
(
∂
2
∂
x
2
)
y
,
z
+
(
∂
2
∂
y
2
)
x
,
z
+
(
∂
2
∂
z
2
)
x
,
y
}
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
=
[
{
(
∂
2
A
x
∂
x
2
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
A
x
∂
y
2
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
A
x
∂
z
2
)
x
,
y
(
M
)
}
u
→
x
{
(
∂
2
A
y
∂
x
2
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
A
y
∂
y
2
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
A
y
∂
z
2
)
x
,
y
(
M
)
}
u
→
y
{
(
∂
2
A
z
∂
x
2
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
A
z
∂
y
2
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
2
A
z
∂
z
2
)
x
,
y
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}\right)_{\!y,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}\right)_{\!x,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!x,\,y}\!(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
La représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
cart
[
A
→
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cart}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
[
Δ
{
A
x
}
(
M
)
u
→
x
Δ
{
A
y
}
(
M
)
u
→
y
Δ
{
A
z
}
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\Delta \!\left\lbrace A_{x}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\Delta \!\left\lbrace A_{y}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[35] et
La représentation matri celle du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
défini de façon intrinsèque selon «
Δ
→
[
A
→
]
(
M
)
=
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
−
r
o
t
→
{
r
o
t
→
[
A
→
]
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;}
» étant « la différence des matrices colonne “
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]\;}
” et “
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]\;}
” » soit, en cartésien,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cart
=
[
g
r
a
d
→
{
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
}
]
cart
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right\rbrace \right]_{\text{cart}}\;}
[18] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
[
g
r
a
d
→
{
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
}
(
M
)
]
cart
+
[
g
r
a
d
→
{
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
}
(
M
)
]
cart
+
[
g
r
a
d
→
{
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle =\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
[
∂
2
A
x
∂
x
2
(
M
)
u
→
x
∂
2
A
x
∂
y
∂
x
(
M
)
u
→
y
∂
2
A
x
∂
z
∂
x
(
M
)
u
→
z
]
+
[
∂
2
A
y
∂
x
∂
y
(
M
)
u
→
x
∂
2
A
y
∂
y
2
(
M
)
u
→
y
∂
2
A
y
∂
z
∂
y
(
M
)
u
→
z
]
+
[
∂
2
A
z
∂
x
∂
z
(
M
)
u
→
x
∂
2
A
z
∂
y
∂
z
(
M
)
u
→
y
∂
2
A
z
∂
z
2
(
M
)
u
→
z
]
=
[
{
∂
2
A
x
∂
x
2
(
M
)
+
∂
2
A
y
∂
x
∂
y
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
x
∂
z
(
M
)
}
u
→
x
{
∂
2
A
x
∂
y
∂
x
(
M
)
+
∂
2
A
y
∂
y
2
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
y
∂
z
(
M
)
}
u
→
y
{
∂
2
A
x
∂
z
∂
x
(
M
)
+
∂
2
A
y
∂
z
∂
y
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\,\partial x}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\,\partial x}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\,\partial y}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\,\partial y}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\,\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\,\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x\,\partial y}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x\,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y\,\partial x}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y\,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z\,\partial x}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z\,\partial y}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]}
»[67] ,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cart
=
[
r
o
t
→
{
[
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
]
u
→
x
+
[
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
−
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
]
u
→
y
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\,{\vec {u}}_{x}+\left[\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{y}\right.\right.}
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cart
=
[
r
o
t
→
{
[
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
]
u
→
x
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\right]\,{\vec {u}}_{x}\right.\right.}\;}
+
[
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
]
u
→
z
}
]
cart
{\displaystyle \left.\left.+\left[\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \right]_{\text{cart}}\;}
[26] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
[
{
(
∂
2
A
y
∂
y
∂
x
−
∂
2
A
x
∂
y
2
)
−
(
∂
2
A
x
∂
z
2
−
∂
2
A
z
∂
z
∂
x
)
}
u
→
x
{
(
∂
2
A
z
∂
z
∂
y
−
∂
2
A
y
∂
z
2
)
−
(
∂
2
A
y
∂
x
2
−
∂
2
A
x
∂
x
∂
y
)
}
u
→
y
{
(
∂
2
A
x
∂
x
∂
z
−
∂
2
A
z
∂
x
2
)
−
(
∂
2
A
z
∂
y
2
−
∂
2
A
y
∂
y
∂
z
)
}
u
→
z
]
cart
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial x}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial x}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial y}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial y}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial z}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}-{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial z}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]_{\text{cart}}\;}
[26] , [67] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
[
{
(
∂
2
A
y
∂
y
∂
x
+
∂
2
A
z
∂
z
∂
x
)
−
(
∂
2
A
x
∂
y
2
+
∂
2
A
x
∂
z
2
)
}
u
→
x
{
(
∂
2
A
z
∂
z
∂
y
+
∂
2
A
x
∂
x
∂
y
)
−
(
∂
2
A
y
∂
z
2
+
∂
2
A
y
∂
x
2
)
}
u
→
y
{
(
∂
2
A
x
∂
x
∂
z
+
∂
2
A
y
∂
y
∂
z
)
−
(
∂
2
A
z
∂
x
2
+
∂
2
A
z
∂
y
2
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial x}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial x}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial y}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial y}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x\,\partial z}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y\,\partial z}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[67] ,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
d'où, en faisant la différence,
[
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cart
=
⋯
[
{
∂
2
A
x
∂
x
2
(
M
)
+
∂
2
A
x
∂
y
2
(
M
)
+
∂
2
A
x
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
x
{
∂
2
A
y
∂
x
2
(
M
)
+
∂
2
A
y
∂
y
2
(
M
)
+
∂
2
A
y
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
y
{
∂
2
A
z
∂
x
2
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
y
2
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{x}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{y}\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[67]
=
[
Δ
{
A
x
}
(
M
)
u
→
x
Δ
{
A
y
}
(
M
)
u
→
y
Δ
{
A
z
}
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\Delta \!\left\lbrace A_{x}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\\\Delta \!\left\lbrace A_{y}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[68] , [35] ;
en conclusion, « les représentations matricielles de
∇
→
2
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
et de
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
en repérage cartésien étant les mêmes » on peut affirmer que
en cartésien «
∇
→
2
{
A
→
}
(
M
)
=
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
».
Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage cylindro-polaire
modifier
La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
par l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
∇
→
2
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]\;}
» étant « la matrice colonne résultant de l'action de la “ matrice d'opérateurs de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
”[66] sur la matrice colonne représentant
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»[55] soit, en cylindro-polaire, La représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
{
1
ρ
(
∂
[
ρ
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
]
∂
ρ
)
θ
,
z
+
1
ρ
2
(
∂
2
∂
θ
2
)
ρ
,
z
+
(
∂
2
∂
z
2
)
ρ
,
θ
}
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,z}+\left({\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]}
la représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
{
1
ρ
∂
(
ρ
∂
A
ρ
∂
ρ
)
∂
ρ
(
M
)
+
1
ρ
2
∂
2
A
ρ
∂
θ
2
(
M
)
+
∂
2
A
ρ
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
ρ
+
1
ρ
2
{
2
∂
A
ρ
∂
θ
(
M
)
d
u
→
ρ
d
θ
+
A
ρ
(
M
)
d
2
u
→
ρ
d
θ
2
}
{
1
ρ
∂
(
ρ
∂
A
θ
∂
ρ
)
∂
ρ
(
M
)
+
1
ρ
2
∂
2
A
θ
∂
θ
2
(
M
)
+
∂
2
A
θ
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
θ
+
1
ρ
2
{
2
∂
A
θ
∂
θ
(
M
)
d
u
→
θ
d
θ
+
A
θ
(
M
)
d
2
u
→
θ
d
θ
2
}
{
1
ρ
∂
(
ρ
∂
A
z
∂
ρ
)
∂
ρ
(
M
)
+
1
ρ
2
∂
2
A
z
∂
θ
2
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}+A_{\rho }(M)\,{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta ^{2}}}\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}+A_{\theta }(M)\,{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta ^{2}}}\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[67] la représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
{
Δ
(
A
ρ
)
(
M
)
−
A
ρ
(
M
)
ρ
2
}
u
→
ρ
+
2
ρ
2
∂
A
ρ
∂
θ
u
→
θ
{
Δ
(
A
θ
)
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
ρ
2
}
u
→
θ
−
2
ρ
2
∂
A
θ
∂
θ
u
→
ρ
Δ
{
A
z
}
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left(A_{\rho }\right)\!(M)-{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace \Delta \!\left(A_{\theta }\right)\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\rho }\\\Delta \!\left\lbrace A_{z}\right\rbrace \!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[36] , [69] , [67] et
La représentation matri celle du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
défini de façon intrinsèque selon «
Δ
→
[
A
→
]
(
M
)
=
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
−
r
o
t
→
{
r
o
t
→
[
A
→
]
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;}
» étant « la différence des matrices colonne “
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]\;}
” et “
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]\;}
” » soit, en cylindro-polaire,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
]
cyl
=
[
g
r
a
d
→
{
1
ρ
(
∂
[
ρ
A
ρ
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
+
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
}
]
cyl
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\right\rbrace \right]_{\text{cyl}}\;}
[19] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
g
r
a
d
→
{
1
ρ
(
∂
[
ρ
A
ρ
]
∂
ρ
)
θ
,
z
}
(
M
)
]
cyl
+
[
g
r
a
d
→
{
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
}
(
M
)
]
cyl
+
[
g
r
a
d
→
{
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle =\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\rho }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
∂
{
1
ρ
∂
(
ρ
A
ρ
)
∂
ρ
}
∂
ρ
(
M
)
u
→
ρ
1
ρ
∂
{
1
ρ
∂
(
ρ
A
ρ
)
∂
ρ
}
∂
θ
(
M
)
u
→
θ
∂
{
1
ρ
∂
(
ρ
A
ρ
)
∂
ρ
}
∂
z
(
M
)
u
→
z
]
+
[
∂
{
1
ρ
∂
A
θ
∂
θ
}
∂
ρ
(
M
)
u
→
ρ
1
ρ
∂
{
1
ρ
∂
A
θ
∂
θ
}
∂
θ
(
M
)
u
→
θ
∂
{
1
ρ
∂
A
θ
∂
θ
}
∂
z
(
M
)
u
→
z
]
+
[
∂
{
∂
A
z
∂
z
}
∂
ρ
(
M
)
u
→
ρ
1
ρ
∂
{
∂
A
z
∂
z
}
∂
θ
(
M
)
u
→
θ
∂
{
∂
A
z
∂
z
}
∂
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right\rbrace }{\partial \rho }}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right\rbrace }{\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \rho }}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right\rbrace }{\partial \rho }}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right\rbrace }{\partial z}}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[67] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
{
∂
(
1
ρ
∂
(
ρ
A
ρ
)
∂
ρ
)
∂
ρ
(
M
)
−
1
ρ
2
∂
A
θ
∂
θ
(
M
)
+
1
ρ
∂
2
A
θ
∂
ρ
∂
θ
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
ρ
∂
z
(
M
)
}
u
→
ρ
{
1
ρ
2
∂
2
(
ρ
A
ρ
)
∂
θ
∂
ρ
(
M
)
+
1
ρ
2
∂
2
A
θ
∂
θ
2
(
M
)
+
1
ρ
∂
2
A
z
∂
θ
∂
z
(
M
)
}
u
→
θ
{
1
ρ
∂
2
(
ρ
A
ρ
)
∂
z
∂
ρ
(
M
)
+
1
ρ
∂
2
A
θ
∂
z
∂
θ
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left({\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \rho }}\right)}{\partial \rho }}(M)-{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \rho \,\partial \theta }}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \rho \,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial \theta \,\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta \,\partial z}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(\rho \,A_{\rho }\right)}{\partial z\,\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z\,\partial \theta }}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]}
»[67] ,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cyl
=
[
r
o
t
→
{
[
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
u
→
ρ
+
[
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
−
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
]
u
→
θ
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }+\left[\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)-\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\right.\right.}
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cyl
=
[
r
o
t
→
{
[
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
u
→
ρ
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\right]\,{\vec {u}}_{\rho }\right.\right.}\;}
+
1
ρ
[
(
∂
[
ρ
A
θ
]
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
−
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
]
u
→
z
}
]
cyl
{\displaystyle \left.\left.+{\dfrac {1}{\rho }}\left[\left({\dfrac {\partial \left[\rho \;A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)-\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\right]\,{\vec {u}}_{z}\right\rbrace \right]_{\text{cyl}}\;}
[27] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
{
1
ρ
∂
{
1
ρ
∂
[
ρ
A
θ
]
∂
ρ
−
1
ρ
∂
A
ρ
∂
θ
}
∂
θ
−
∂
[
∂
A
ρ
∂
z
−
∂
A
z
∂
ρ
]
∂
z
}
u
→
ρ
{
∂
[
1
ρ
∂
A
z
∂
θ
−
∂
A
θ
∂
z
]
∂
z
−
∂
[
1
ρ
∂
(
ρ
A
θ
)
∂
ρ
−
1
ρ
∂
A
ρ
∂
θ
]
∂
ρ
}
u
→
θ
{
1
ρ
∂
[
ρ
∂
A
ρ
∂
z
−
ρ
∂
A
z
∂
ρ
]
∂
ρ
−
1
ρ
∂
[
1
ρ
∂
A
z
∂
θ
−
∂
A
θ
∂
z
]
∂
θ
}
u
→
z
]
cyl
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left[\rho \,A_{\theta }\right]}{\partial \rho }}-{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]}{\partial z}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right]}{\partial z}}-{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left(\rho \,A_{\theta }\right)}{\partial \rho }}-{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \rho }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left[\rho \,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-\rho \,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right]}{\partial \rho }}-{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]_{\text{cyl}}\;}
[27] , [21] , [67] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
{
(
1
ρ
∂
2
A
θ
∂
θ
∂
ρ
+
1
ρ
2
∂
A
θ
∂
θ
+
∂
2
A
z
∂
z
∂
ρ
)
−
(
1
ρ
2
∂
2
A
ρ
∂
θ
2
+
∂
2
A
ρ
∂
z
2
)
}
u
→
ρ
{
(
1
ρ
∂
2
A
z
∂
z
∂
θ
+
1
ρ
∂
2
A
ρ
∂
ρ
∂
θ
+
1
ρ
2
A
θ
)
−
(
∂
2
A
θ
∂
z
2
+
∂
2
A
θ
∂
ρ
2
+
1
ρ
∂
A
θ
∂
ρ
+
1
ρ
2
∂
A
ρ
∂
θ
)
}
u
→
θ
{
(
∂
2
A
ρ
∂
ρ
∂
z
+
1
ρ
∂
2
A
θ
∂
θ
∂
z
+
1
ρ
∂
A
ρ
∂
z
)
−
(
∂
2
A
z
∂
ρ
2
+
1
ρ
2
∂
2
A
z
∂
θ
2
+
1
ρ
∂
A
z
∂
ρ
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\;\left\lbrace \left({\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta \,\partial \rho }}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial \rho }}\right)-\left({\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace \left({\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z\,\partial \theta }}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \rho \,\partial \theta }}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,A_{\theta }\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z^{2}}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \rho ^{2}}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\;\;\left\lbrace \left({\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \rho \,\partial z}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta \,\partial z}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \rho ^{2}}}+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\rho }}\,{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[21] , [67] ,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
d'où, en faisant la différence,
[
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
=
⋯
[
{
∂
2
A
ρ
∂
ρ
2
(
M
)
+
1
ρ
∂
A
ρ
∂
ρ
(
M
)
+
1
ρ
2
∂
2
A
ρ
∂
θ
2
(
M
)
+
∂
2
A
ρ
∂
z
2
(
M
)
−
A
ρ
(
M
)
ρ
−
2
ρ
2
∂
A
θ
∂
θ
(
M
)
}
u
→
ρ
{
∂
2
A
θ
∂
ρ
2
(
M
)
+
1
ρ
∂
A
θ
∂
ρ
(
M
)
+
1
ρ
2
∂
2
A
θ
∂
θ
2
(
M
)
+
∂
2
A
θ
∂
z
2
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
ρ
2
+
2
ρ
2
∂
A
ρ
∂
θ
(
M
)
}
u
→
θ
{
1
ρ
∂
A
z
∂
ρ
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
ρ
2
(
M
)
+
1
ρ
2
∂
2
A
z
∂
θ
2
(
M
)
+
∂
2
A
z
∂
z
2
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \rho ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\rho }}{\partial z^{2}}}(M)-{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}-{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace {\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \rho ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial z^{2}}}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho ^{2}}}+{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{\rho }}\;{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \rho ^{2}}}(M)+{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial \theta ^{2}}}(M)+{\dfrac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[68] , [67] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
d'où, en faisant la différence,
[
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
{
Δ
[
A
ρ
]
(
M
)
−
A
ρ
(
M
)
ρ
−
2
ρ
2
∂
A
θ
∂
θ
(
M
)
}
u
→
ρ
{
Δ
[
A
θ
]
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
ρ
2
+
2
ρ
2
∂
A
ρ
∂
θ
(
M
)
}
u
→
θ
Δ
[
A
z
]
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\rho }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}-{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }\\\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\theta }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho ^{2}}}+{\dfrac {2}{\rho ^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\Delta \!\left[A_{z}\right]\!(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[36] ;
en conclusion, « les représentations matricielles de
∇
→
2
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
et de
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
en repérage cylindro-polaire étant les mêmes » on peut affirmer que
en cylindro-polaire «
∇
→
2
{
A
→
}
(
M
)
=
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
».
Remarque : Contrairement à ce qu'on observe en cartésien , les composantes cylindro-polaires du laplacien vectoriel [2] de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
ne sont pas les laplaciens scalaires[2] des composantes cylindro-polaires de la fonction vectorielle !
Identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérage sphérique
modifier
La représentation matricielle de l'image de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
par l'opérateur scalaire linéaire du 2nd ordre “nabla scalaire nabla” «
∇
→
2
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\left[\,\right]\;}
» étant « la matrice colonne résultant de l'action de la “ matrice d'opérateurs de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
”[66] sur la matrice colonne représentant
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»[55] soit, en sphérique, La représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
{
1
r
2
∂
[
r
2
∂
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
∂
φ
2
}
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial }{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
»[38] la représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
[
{
1
r
2
∂
[
r
2
∂
A
r
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
r
∂
φ
2
}
u
→
r
+
2
r
2
{
−
A
r
u
→
r
+
∂
A
r
∂
θ
u
→
θ
+
1
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
u
→
φ
}
{
1
r
2
∂
[
r
2
∂
A
θ
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
θ
∂
φ
2
}
u
→
θ
+
⋯
⋯
1
r
2
{
−
2
∂
A
θ
∂
θ
u
→
r
−
2
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
A
θ
u
→
r
−
A
θ
sin
2
(
θ
)
u
→
θ
+
2
cos
(
θ
)
sin
2
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
u
→
φ
}
{
1
r
2
∂
[
r
2
∂
A
φ
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
φ
∂
φ
2
}
u
→
φ
⋯
⋯
−
1
r
2
sin
(
θ
)
{
2
∂
A
φ
∂
φ
u
→
r
+
2
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
θ
+
1
sin
(
θ
)
A
φ
u
→
φ
}
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {2}{r^{2}}}\left\lbrace -A_{r}\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+\;\cdots \;\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \;{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace -2\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{r}-2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {A_{\theta }}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\vec {u}}_{\theta }+2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\;\cdots \;\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{r}+2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,A_{\varphi }\;{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \end{array}}\right]\;}
[21] , [67] , [70]
la représentation matricielle «
[
∇
→
2
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\nabla }}^{2}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
[
{
Δ
(
A
r
)
(
M
)
−
2
A
r
(
M
)
r
2
}
u
→
r
+
2
r
2
∂
A
r
∂
θ
u
→
θ
+
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
u
→
φ
{
Δ
(
A
θ
)
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
r
2
sin
2
(
θ
)
}
u
→
θ
−
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
u
→
r
+
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
u
→
φ
{
Δ
{
A
φ
}
(
M
)
−
A
φ
(
M
)
r
2
sin
2
(
θ
)
}
u
→
φ
−
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
r
−
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
θ
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left(A_{r}\right)\!(M)-2\,{\dfrac {A_{r}(M)}{r^{2}}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {2}{r^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\left\lbrace \Delta \!\left(A_{\theta }\right)\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }\\\left\lbrace \Delta \!\left\lbrace A_{\varphi }\right\rbrace \!(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\right\rbrace \;{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\theta }\end{array}}\right]\;}
»[37] , [67] et
La représentation matri celle du champ laplacien vectoriel de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
défini de façon intrinsèque selon «
Δ
→
[
A
→
]
(
M
)
=
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
−
r
o
t
→
{
r
o
t
→
[
A
→
]
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\;}
» étant « la différence des matrices colonne “
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]\;}
” et “
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]\;}
” » soit, en sphérique
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
en utilisant, quand cela s'avère nécessaire, le théorème de Schwarz [71] c'est-à-dire consistant à permuter l'ordre des dérivations lors d'une dérivation partielle du 2nd ordre sans changement du résultat
}
{\displaystyle {\big \}}}
,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
[
A
→
]
}
(
M
)
]
sph
=
[
g
r
a
d
→
{
1
r
2
(
∂
[
r
2
A
r
]
∂
r
)
θ
,
φ
+
1
r
sin
(
θ
)
{
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
}
r
,
φ
+
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
}
]
sph
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left[{\vec {A}}\right]\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}\;}
[20] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}}
=
[
g
r
a
d
→
{
1
r
2
(
∂
[
r
2
A
r
]
∂
r
)
θ
,
φ
}
]
sph
+
[
g
r
a
d
→
{
1
r
sin
(
θ
)
{
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
}
r
,
φ
}
]
sph
+
[
g
r
a
d
→
{
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
}
]
sph
{\displaystyle =\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\left({\dfrac {\partial \left[r^{2}\,A_{r}\right]}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left\lbrace {\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace _{\!r,\,\varphi }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}+\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}\;}
[21] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}}
=
[
∂
{
1
r
2
∂
(
r
2
A
r
)
∂
r
}
∂
r
(
M
)
u
→
r
1
r
∂
{
1
r
2
∂
(
r
2
A
r
)
∂
r
}
∂
θ
(
M
)
u
→
θ
1
r
sin
(
θ
)
∂
{
1
r
2
∂
(
r
2
A
r
)
∂
r
}
∂
φ
(
M
)
u
→
φ
]
+
[
∂
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
}
∂
r
(
M
)
u
→
r
1
r
∂
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
}
∂
θ
(
M
)
u
→
θ
1
r
sin
(
θ
)
∂
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
}
∂
φ
(
M
)
u
→
φ
]
⋯
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;\cdots }
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}}
=
[
∂
{
1
r
2
∂
(
r
2
A
r
)
∂
r
}
∂
r
(
M
)
u
→
r
1
r
∂
{
1
r
2
∂
(
r
2
A
r
)
∂
r
}
∂
θ
(
M
)
u
→
θ
1
r
sin
(
θ
)
∂
{
1
r
2
∂
(
r
2
A
r
)
∂
r
}
∂
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \color {transparent}{=\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r}}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]}}
⋯
+
[
∂
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
}
∂
r
(
M
)
u
→
r
1
r
∂
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
}
∂
θ
(
M
)
u
→
θ
1
r
sin
(
θ
)
∂
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
}
∂
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \cdots \;+\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right\rbrace }{\partial r}}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right\rbrace }{\partial \theta }}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right\rbrace }{\partial \varphi }}(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
[67] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
g
r
a
d
→
{
d
i
v
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace \mathrm {div} \left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}}
=
⋯
[
{
1
r
2
[
∂
2
(
r
2
A
r
)
∂
r
2
−
4
A
r
−
2
r
∂
A
r
∂
r
]
−
1
r
2
sin
(
θ
)
[
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
+
∂
A
φ
∂
φ
−
r
∂
2
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
r
∂
θ
−
r
∂
2
A
φ
∂
r
∂
φ
]
}
u
→
r
{
1
r
3
∂
2
(
r
2
A
r
)
∂
θ
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
θ
]
∂
θ
−
1
r
2
sin
2
(
θ
)
A
θ
−
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
2
A
φ
∂
θ
∂
φ
}
u
→
θ
{
1
r
3
sin
(
θ
)
∂
2
(
r
2
A
r
)
∂
φ
∂
r
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
φ
∂
φ
2
(
M
)
}
u
→
φ
]
{\displaystyle {\overset {\cdots }{=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{2}}}\left[{\dfrac {\partial ^{2}\left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial r^{2}}}-4\;A_{r}-2\;r\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right]-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\left[{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}-r\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial r\,\partial \theta }}-r\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial r\,\partial \varphi }}\right]\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{3}}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial \theta \,\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\theta }-{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \theta \,\partial \varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r^{3}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(r^{2}\,A_{r}\right)}{\partial \varphi \,\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]}
»[21] , [67] ,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \succ \;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
=
[
r
o
t
→
{
[
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
−
∂
[
A
θ
]
∂
φ
)
]
u
→
r
+
[
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
A
r
]
∂
φ
−
1
r
∂
[
r
A
φ
]
∂
r
]
u
→
θ
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)\right]\,{\vec {u}}_{r}+\left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \varphi }}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[r\;A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]\,{\vec {u}}_{\theta }\right.\right.}
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
=
[
r
o
t
→
{
[
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
−
∂
[
A
θ
]
∂
φ
)
]
u
→
r
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {\partial \left[A_{\theta }\right]}{\partial \varphi }}\right)\right]\,{\vec {u}}_{r}\right.\right.}\;}
+
1
r
(
∂
[
r
A
θ
]
∂
r
−
∂
[
A
r
]
∂
θ
)
u
→
φ
}
]
sph
{\displaystyle \left.\left.+{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial \left[r\;A_{\theta }\right]}{\partial r}}-{\dfrac {\partial \left[A_{r}\right]}{\partial \theta }}\right)\,{\vec {u}}_{\varphi }\right\rbrace \right]_{\text{sph}}\;}
[28] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
[
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
r
∂
[
r
A
θ
]
∂
r
−
sin
(
θ
)
r
∂
A
r
∂
θ
]
∂
θ
−
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
−
1
r
∂
[
r
A
φ
]
∂
r
]
∂
φ
}
u
→
r
{
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
−
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
]
∂
φ
−
1
r
∂
[
∂
[
r
A
θ
]
∂
r
−
∂
A
r
∂
θ
]
∂
r
}
u
→
θ
{
1
r
∂
[
1
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
−
∂
[
r
A
φ
]
∂
r
]
∂
r
−
1
r
∂
[
1
r
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
−
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
]
∂
θ
}
u
→
φ
]
sph
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r}}-{\dfrac {\sin(\theta )}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]}{\partial \varphi }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r}}-{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}{\partial r}}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace {\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial r}}\right]}{\partial r}}-{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}-{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \theta }}\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]_{\text{sph}}\;}
[28] , [21] , [67] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
«
[
r
o
t
→
{
r
o
t
→
(
A
→
)
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left({\vec {A}}\right)\right\rbrace (M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
[
1
r
2
{
(
∂
2
[
r
A
θ
]
∂
θ
∂
r
+
1
sin
(
θ
)
∂
2
[
r
A
φ
]
∂
φ
∂
r
+
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
∂
[
r
A
θ
]
∂
r
)
−
(
∂
2
A
r
∂
θ
2
+
1
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
r
∂
φ
2
+
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
θ
)
}
u
→
r
1
r
2
{
(
1
sin
2
(
θ
)
∂
2
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
φ
∂
θ
+
r
∂
2
A
r
∂
r
∂
θ
)
−
(
1
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
θ
∂
φ
2
+
r
∂
2
[
r
A
θ
]
∂
r
2
)
}
u
→
θ
1
r
2
{
(
r
sin
(
θ
)
∂
2
A
r
∂
r
∂
φ
+
cos
(
θ
)
sin
2
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
+
1
sin
(
θ
)
∂
2
A
θ
∂
θ
∂
φ
)
⋯
⋯
−
(
r
∂
2
[
r
A
φ
]
∂
r
2
+
1
sin
(
θ
)
∂
2
[
sin
(
θ
)
A
φ
]
∂
θ
2
+
cos
(
θ
)
sin
2
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
)
}
u
→
φ
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace \left(\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta \,\partial r}}+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi \,\partial r}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r}}\right)-\left({\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace \left({\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \varphi \,\partial \theta }}+r\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r\,\partial \theta }}\right)-\left({\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}+r\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\theta }\right]}{\partial r^{2}}}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\,\left\lbrace \left({\dfrac {r}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r\,\partial \varphi }}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta \,\partial \varphi }}\right)\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-\left(r\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[r\,A_{\varphi }\right]}{\partial r^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left[\sin(\theta )\,A_{\varphi }\right]}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
»[21] , [67] ,
La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
d'où, en faisant la différence,
[
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
=
⋯
[
1
r
2
{
r
2
∂
2
A
r
∂
r
2
+
2
r
∂
A
r
∂
r
+
∂
2
A
r
∂
θ
2
+
1
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
r
∂
φ
2
+
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
θ
⋯
⋯
−
(
2
A
r
+
2
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
A
θ
+
2
∂
A
θ
∂
θ
+
2
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
)
}
u
→
r
1
r
2
{
2
∂
A
r
∂
θ
+
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
θ
+
∂
2
A
θ
∂
θ
2
+
1
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
θ
∂
φ
2
+
2
r
∂
A
θ
∂
r
+
r
2
∂
2
A
r
∂
r
2
⋯
⋯
−
(
1
sin
2
(
θ
)
A
θ
+
2
cos
(
θ
)
sin
2
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
)
}
u
→
θ
1
r
2
{
2
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
+
2
cos
(
θ
)
sin
2
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
+
2
r
∂
A
φ
∂
r
+
r
2
∂
2
A
φ
∂
r
2
+
cos
(
θ
)
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
θ
+
∂
2
A
φ
∂
θ
2
⋯
⋯
+
1
sin
2
(
θ
)
∂
2
A
φ
∂
φ
2
−
1
sin
2
(
θ
)
A
φ
}
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\;{\overset {\cdots }{\;=\;}}\;\left[{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace r^{2}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r^{2}}}+2\;r\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-\left(2\;A_{r}+2\,{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,A_{\theta }+2\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {2}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace 2\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}+2\,r\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}+r^{2}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial r^{2}}}\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;-\left({\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\theta }+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\{\dfrac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\dfrac {2}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}+2\,r\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}+r^{2}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial r^{2}}}+{\dfrac {\cos(\theta )}{\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}+{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \theta ^{2}}}\right.\;\cdots \\\left.\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \cdots \;+{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}-{\dfrac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\varphi }\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
[68] , [67] La représentation matricielle
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
d'où, en faisant la différence,
[
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
⋯
[
{
Δ
(
A
r
)
(
M
)
−
2
A
r
(
M
)
r
2
−
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
A
θ
]
∂
θ
(
M
)
−
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
(
M
)
}
u
→
r
{
Δ
[
A
θ
]
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
r
2
sin
2
(
θ
)
+
2
r
2
∂
A
r
∂
θ
(
M
)
−
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
(
M
)
}
u
→
θ
{
Δ
[
A
φ
]
(
M
)
−
A
φ
(
M
)
r
2
sin
2
(
θ
)
+
2
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
(
M
)
+
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
(
M
)
}
u
→
φ
]
{\displaystyle {\overset {\cdots }{=\;}}\;\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \Delta \!\left(A_{r}\right)\!(M)-2\,{\dfrac {A_{r}(M)}{r^{2}}}-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \left[\sin(\theta )\,A_{\theta }\right]}{\partial \theta }}(M)-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}\\\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\theta }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}+{\dfrac {2}{r^{2}}}\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}(M)-{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }\\\left\lbrace \Delta \!\left[A_{\varphi }\right]\!(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}+{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}(M)+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
»[37] , [67] ;
en conclusion, « les représentations matricielles de
∇
→
2
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
et de
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
en repérage sphérique étant les mêmes » on peut affirmer que
en sphérique «
∇
→
2
{
A
→
}
(
M
)
=
Δ
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}^{2}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\vec {\Delta }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
».
Remarque : Contrairement à ce qu'on observe en cartésien , les composantes sphériques du laplacien vectoriel [2] de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
ne sont pas les laplaciens scalaires[2] des composantes sphériques de la fonction vectorielle
(
{\displaystyle \;{\big (}}
comme ce ne l'est pas non plus en cylindro-polaire
)
{\displaystyle {\big )}}
!
En complément, notion de champ tensoriel de l'espace, application à un champ vectoriel de l'opérateur linéaire “nabla” et notion de champ tensoriel gradient d'un champ vectoriel
modifier
Notion de champ tensoriel de l'espace
modifier
Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariants [72] : on appelle « tenseur d'ordre deux contravariant »[42] tout élément d'un
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-espace vectoriel de dimension
3
2
=
9
{\displaystyle \;3^{2}=9}
{
{\displaystyle \;{\Bigg \{}}
par exemple toute famille de
3
{\displaystyle \;3\;}
vecteurs du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-espace vectoriel direction de l'espace affine tridimensionnel[73] , avec le choix d'une base du
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-espace vectoriel, chaque tenseur d'ordre deux contravariant est représenté par une matrice carrée
[
x
1
v
1
w
1
x
2
v
2
w
2
x
3
v
3
w
3
]
∈
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}x_{1}&v_{1}&w_{1}\\x_{2}&v_{2}&w_{2}\\x_{3}&v_{3}&w_{3}\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[74] résultant de la juxtaposition des matrices colonne associées à chaque vecteur
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou tenseur d'ordre
1
{\displaystyle \;1\;}
contravariant [42]
)
}
{\displaystyle {\big )}{\Bigg \}}}
;
Rappel, notion élémentaire de tenseurs d'ordre deux contravariant : notant
W
{\displaystyle \;W\;}
le
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
-espace vectoriel direction de l'espace affine tridimensionnel[73] , un « tenseur d'ordre deux contravariant »[42] est défini, de façon plus élaborée
(
{\displaystyle \;{\big (}}
mais qui sera inutile par la suite
)
{\displaystyle {\big )}}
, comme un « élément quelconque du carré tensoriel de
W
{\displaystyle \;W\;}
[75] noté “
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
” »
(
R
{\displaystyle \;{\big (}\mathbb {R} }
-espace vectoriel de dimension
3
2
=
9
)
{\displaystyle \;3^{2}=9{\big )}}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
d'où la représentativité d'un élément quelconque, avec choix d'une base de
W
{\displaystyle \;W\;}
, par une matrice carrée de
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
[74]
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) tensoriel(le) de l'espace
Soit un point
M
{\displaystyle \;M\;}
de l'
espace affine tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
, on définit un champ
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou une fonction
)
{\displaystyle {\big )}\;}
tensoriel(le)
F
{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\;}
de
M
{\displaystyle \;M\;}
selon :
«
M
→
F
F
(
M
)
∈
W
⊗
2
,
∀
M
∈
E
{\displaystyle \;M\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {F}}(M)\,\in \,W^{\,\otimes \,2},\;\forall \;M\in {\mathcal {E}}\;}
»[76] , avec «
W
{\displaystyle \;W\;}
direction de l'espace affine
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
»[73] et «
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
carré tensoriel de
W
{\displaystyle \;W\;}
»[75] soit «
F
(
M
)
{\displaystyle \;{\mathcal {F}}(M)\;}
» tenseur d'ordre deux contravariant [72]
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
par exemple une famille de
3
{\displaystyle \;3\;}
vecteurs de
W
{\displaystyle \;W}
, un champ
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou fonction
)
{\displaystyle {\big )}\;}
tensoriel(le) étant alors une famille de
3
{\displaystyle \;3\;}
champs
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou fonctions
)
{\displaystyle {\big )}\;}
vectoriel(le)s
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
Avec choix d'une base «
{
B
}
=
{
b
→
1
,
b
→
2
,
b
→
3
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace \;}
» de «
W
{\displaystyle \;W\;}
direction de l'espace affine
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
»[73] , tout point
M
{\displaystyle \;M\;}
est alors caractérisé par un triplet de réels correspondant à ses coordonnées
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle \;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;}
tel que,
O
{\displaystyle \;O\;}
étant un point fixe de
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
choisi comme origine du repérage, «
O
M
→
=
x
1
b
→
1
+
x
2
b
→
2
+
x
3
b
→
3
{\displaystyle \;{\overrightarrow {OM}}=x_{1}\,{\vec {b}}_{1}+x_{2}\,{\vec {b}}_{2}+x_{3}\,{\vec {b}}_{3}\;}
» et
Avec choix d'une base
{
B
}
=
{
b
→
1
,
b
→
2
,
b
→
3
}
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace }\;}
de «
W
{\displaystyle \;\color {transparent}{W}\;}
direction de l'espace affine
E
{\displaystyle \;\color {transparent}{\mathcal {E}}\;}
» , «
{
b
→
i
⊗
b
→
j
}
(
b
→
i
,
b
→
j
)
∈
{
B
}
2
,
∀
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
3
]
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;}
»[77] constituant une base de
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
»[78] , le tenseur d'ordre deux contravariant [72]
F
(
M
)
{\displaystyle \;{\mathcal {F}}(M)\;}
est alors caractérisé par un nonuplet
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou
9
{\displaystyle \;9}
-uplet
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de réels correspondant à ses
9
{\displaystyle \;9\;}
composantes contravariantes [42]
{
F
i
,
j
(
M
)
}
1
⩽
i
⩽
3
,
1
⩽
j
⩽
3
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {F}}_{i,\,j}(M)\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;}
telles que «
F
(
M
)
=
{\displaystyle \;{\mathcal {F}}(M)=}
∑
i
=
1
.
.
3
j
=
1
.
.
3
F
i
,
j
(
M
)
{
b
→
i
⊗
b
→
j
}
{\displaystyle \sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {F}}_{i,\,j}(M)\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;}
», chacune des composantes étant une fonction scalaire de
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
.
Définition d'un champ (ou d'une fonction) tensoriel(le) de l'espace à partir de ses composantes
Soit un point
M
{\displaystyle \;M\;}
de l'espace
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
de coordonnées
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle \;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})}
, on définit un champ
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou une fonction
)
{\displaystyle {\big )}\;}
tensoriel(le)
F
{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\;}
de
M
{\displaystyle \;M\;}
selon
«
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
→
F
F
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
W
⊗
2
,
∀
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
R
3
{\displaystyle \;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;{\overset {\mathcal {F}}{\rightarrow }}\;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\,\in \,W^{\,\otimes \,2},\;\;\forall \;(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\;}
»[79] avec «
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
carré tensoriel de
W
{\displaystyle \;W\;}
»[75]
[
W
{\displaystyle {\Big [}W\;}
étant la direction de l'espace affine
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[73] avec choix de la base
{
B
}
=
{
b
→
1
,
b
→
2
,
b
→
3
}
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {B}}\right\rbrace =\left\lbrace {\vec {b}}_{1},\;{\vec {b}}_{2},\;{\vec {b}}_{3}\right\rbrace {\Big ]}}
; avec «
{
b
→
i
⊗
b
→
j
}
(
b
→
i
,
b
→
j
)
∈
{
B
}
2
,
∀
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
3
]
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace _{\left({\vec {b}}_{i}\,,\,{\vec {b}}_{j}\right)\,\in \,\left\lbrace B\right\rbrace ^{2},\,\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \left[\left[1\,,\,3\right]\right]}\;}
[77] base de
W
⊗
2
{\displaystyle \;W^{\,\otimes \,2}\;}
»
[78] , on peut définir
F
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle \;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;}
par ses
9
{\displaystyle \;9\;}
composantes
contravariantes [42] selon
«
F
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
∑
i
=
1
.
.
3
j
=
1
.
.
3
F
i
,
j
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{
b
→
i
⊗
b
→
j
}
{\displaystyle \;{\mathcal {F}}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})=\sum \limits _{\begin{array}{c}i\,=\,1\,..\,3\\j\,=\,1\,..\,3\end{array}}{\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;\left\lbrace {\vec {b}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right\rbrace \;}
», la définition du champ
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou fonction
)
{\displaystyle {\big )}\;}
tensoriel(le) de l'espace étant alors équivalente à la définition des neuf champs
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou fonctions
)
{\displaystyle {\big )}\;}
scalaires de l'espace correspondant à ses composantes
«
{
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
⟶
F
i
,
j
F
i
,
j
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
R
,
∀
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
∈
R
3
}
1
⩽
i
⩽
3
,
1
⩽
j
⩽
3
{\displaystyle \;\left\lbrace (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\;\;{\overset {{\mathcal {F}}_{i,\,j}}{\longrightarrow }}\;\;{\mathcal {F}}_{i,\,j}(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ,\;\;\forall \,(x_{1},\,x_{2},\,x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;}
»[79] .
Un champ
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou une fonction
)
{\displaystyle {\big )}\;}
tensoriel(le) de l'espace s'identifie aux
9
_
{\displaystyle {\underline {9\;}}}
fonctions scalaires des
3
_
{\displaystyle {\underline {\;3\;}}}
coordonnées du point de l'espace correspondant aux
9
_
{\displaystyle {\underline {9\;}}}
composantes du champ
(
_
{\displaystyle {\underline {\;(}}}
ou fonction
)
_
{\displaystyle {\underline {)\;}}}
tensoriel(le) [80] .
Indices des composantes du tenseur des contraintes
C
(
M
)
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}(M)\;}
défini en
M
{\displaystyle \;M\;}
quelconque
(
{\displaystyle \;{\big (}}
centre du cube élémentaire
)
{\displaystyle {\big )}}
Exemple de champ tensoriel
(
{\displaystyle \;{\big (}}
en mécanique des milieux continus [81]
)
{\displaystyle {\big )}}
: « tenseur des contraintes
C
(
M
)
{\displaystyle \;{\mathcal {C}}(M)\;}
» représenté, avec choix de la base
{
e
→
1
,
e
→
2
,
e
→
3
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}\right\rbrace \;}
de
W
{\displaystyle \;W\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
direction de l'espace affine tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
[73]
)
{\displaystyle {\big )}}
, par la matrice carrée « des contraintes » de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
«
[
C
(
M
)
]
=
[
σ
1
,
1
(
M
)
σ
1
,
2
(
M
)
σ
1
,
3
(
M
)
σ
2
,
1
(
M
)
σ
2
,
2
(
M
)
σ
2
,
3
(
M
)
σ
3
,
1
(
M
)
σ
3
,
2
(
M
)
σ
3
,
3
(
M
)
]
∈
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\mathcal {C}}(M)\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\sigma _{1,\,1}(M)\!&\!\ \sigma _{1,\,2}(M)\!&\!\sigma _{1,\,3}(M)\\\sigma _{2,\,1}(M)\!&\!\sigma _{2,\,2}(M)\!&\!\sigma _{2,\,3}(M)\\\sigma _{3,\,1}(M)\!&\!\sigma _{3,\,2}(M)\!&\!\sigma _{3,\,3}(M)\end{array}}\right]\;\in \,M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
»[74] dans laquelle « le cœfficient
σ
i
,
j
(
M
)
{\displaystyle \;\sigma _{i,\,j}(M)\;}
de la ième ligne et jème colonne » est « la composante sur
e
→
i
{\displaystyle \;{\vec {e}}_{i}\;}
de la force surfacique que l'environnement exerce sur la face élémentaire
j
{\displaystyle \;_{j}\;}
d'aire
d
2
S
j
{\displaystyle \;d^{2}S_{j}\;}
» soit «
σ
i
,
j
(
M
)
=
d
2
F
→
j
←
env
(
M
j
)
⋅
e
→
i
d
2
S
j
{\displaystyle \;\sigma _{i,\,j}(M)={\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})\cdot {\vec {e}}_{i}}{d^{2}S_{j}}}\;}
»
(
M
j
{\displaystyle \;{\big (}M_{j}\;}
étant le centre de la face élémentaire
j
)
{\displaystyle \;_{j}{\big )}\;}
[82] ;
Exemple de champ tensoriel
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
en mécanique des milieux continus
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
: de la définition de la matrice « des contraintes » on vérifie que « la colonne
j
{\displaystyle \;_{j}\;}
» de cette dernière représente « le vecteur force surfacique que l'environnement exerce sur la face élémentaire
j
{\displaystyle \;_{j}\;}
d'aire
d
2
S
j
{\displaystyle \;d^{2}S_{j}\;}
» c'est-à-dire «
d
2
F
→
j
←
env
(
M
j
)
d
2
S
j
{\displaystyle \;{\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})}{d^{2}S_{j}}}\;}
» ;
Exemple de champ tensoriel
(
{\displaystyle \;\color {transparent}{\big (}}
en mécanique des milieux continus
)
{\displaystyle \color {transparent}{\big )}}
: on démontre que la matrice « des contraintes » est « symétrique » pour un milieu continu localement au repos c'est-à-dire que «
σ
i
,
j
(
M
)
=
σ
j
,
i
(
M
)
∀
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
3
]
]
2
{\displaystyle \;\sigma _{i,\,j}(M)=\sigma _{j,\,i}(M)\;\;\forall \,\left(i\,,\,j\right)\,\in \,\left[\left[1\,,\,3\right]\right]^{2}\;}
»[83] .
Application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel, notion de champ tensoriel gradient d'un champ vectoriel
modifier
Introduction :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
ayant vu la signification de l'application directe, aux fonctions scalaires de l'espace, de l'opérateur linéaire "nabla" «
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;}
» dans les exemples suivants Introduction :
≻
{\displaystyle \succ \;}
le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
de l'espace «
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}\left[U\right](M)\;}
»[44] ainsi que ses deux champs scalaires s'en déduisant Introduction :
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
le champ scalaire différentielle de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)}
«
d
[
U
]
(
M
)
=
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
U
]
(
M
)
=
d
M
→
⋅
g
r
a
d
→
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;d\left[U\right](M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[U\right](M)={\overrightarrow {dM}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right](M)\;}
»[45] Introduction :
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
le champ scalaire d'advection de la grandeur scalaire intensive
f
(
M
,
t
)
}
{\displaystyle \;f(M,\,t){\big \}}\;}
«
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
[
f
(
M
,
t
)
]
=
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
f
(
M
,
t
)
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[f(M,\,t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[f(M,\,t)\right]\;}
» où
V
→
M
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;}
est le vecteur vitesse du point
M
{\displaystyle \;M\;}
du milieu environnant où le transport est considéré[46] et Introduction :
≻
{\displaystyle \succ \;}
le champ scalaire laplacien[2] de la fonction scalaire
U
(
M
)
{\displaystyle \;U(M)\;}
de l'espace «
Δ
[
U
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
U
]
(
M
)
{\displaystyle \;\Delta \!\left[U\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[U\right](M)\;}
»[47] ,
Introduction :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
puis prolongé la signification de l'application directe, aux fonctions vectorielles de l'espace, de l'opérateur linéaire "nabla" «
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;}
» dans les exemples suivants Introduction :
≻
{\displaystyle \succ \;}
les deux champs vectoriels se déduisant de l'application de l'opérateur linéaire "vecteur scalaire nabla" «
?
→
⋅
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\text{?}}}\cdot {\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;}
» Introduction :
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
le champ vectoriel différentielle de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)}
«
d
[
A
→
]
(
M
)
=
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
A
→
]
(
M
)
=
d
M
→
⋅
g
r
a
d
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;d\left[{\vec {A}}\right](M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[{\vec {A}}\right](M)={\overrightarrow {dM}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
»[84] Introduction :
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
le champ vectoriel d'advection de la grandeur vectorielle intensive
A
→
(
M
,
t
)
}
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M,\,t){\big \}}\;}
«
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
[
A
→
(
M
,
t
)
]
=
V
→
M
(
t
)
⋅
g
r
a
d
→
[
A
→
(
M
,
t
)
]
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot \nabla \!\left[{\vec {A}}(M,\,t)\right]={\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[{\vec {A}}(M,\,t)\right]\;}
» où
V
→
M
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;}
est le vecteur vitesse du point
M
{\displaystyle \;M\;}
du milieu environnant où le transport est considéré[85] et Introduction :
≻
{\displaystyle \succ \;}
le champ vectoriel laplacien[2] de la fonction vectorielle
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
de l'espace «
Δ
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
2
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {\Delta }}\!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}^{2}\!\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
»[86] ,
Introduction :
∙
{\displaystyle \bullet \;}
nous nous proposons de donner une signification à l'application directe de l'opérateur linéaire "nabla" «
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;}
» aux fonctions vectorielles de l'espace[48] sans qu'auparavant l'opérateur vectoriel "nabla" ne soit transformé en opérateur scalaire par multiplication scalaire avec une grandeur vectorielle comme dans les deux exemples
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
[
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]\;}
et
{
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
→
}
[
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {V}}_{M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \left[\;\right]}
.
Application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel
modifier
Sachant que la représentation matricielle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
» est la matrice colonne «
[
∇
→
]
cart
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cart}}\;}
» en cartésien, «
[
∇
→
]
cyl
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;}
» en cylindro-polaire ou «
[
∇
→
]
sph
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;}
» en sphérique[87] dont nous déduisons Sachant que la représentation matri celle de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” projeté sur les trois directions du repérage «
∇
=
{
u
→
i
⋅
∇
→
}
i
=
1
.
.
3
{\displaystyle \;\nabla =\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;}
» c'est-à-dire la matrice colonne «
[
∇
]
cart
=
{\displaystyle \;\left[\nabla \right]_{\text{cart}}=}
(
u
→
i
⋅
∇
→
)
cart
i
=
1
.
.
3
=
[
(
∂
∂
x
)
y
,
z
(
∂
∂
y
)
x
,
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
{\displaystyle \left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{cart}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;}
» en cartésien, «
[
∇
]
cyl
=
(
u
→
i
⋅
∇
→
)
cyl
i
=
1
.
.
3
=
[
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[\nabla \right]_{\text{cyl}}=\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{cyl}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
» en cylindro-polaire ou «
[
∇
]
sph
=
(
u
→
i
⋅
∇
→
)
sph
i
=
1
.
.
3
=
[
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
]
{\displaystyle \;\left[\nabla \right]_{\text{sph}}=\left({\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right)_{\text{sph}}^{i\,=\,1\,..\,3}=\left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\end{array}}\right]\;}
» en sphérique et Sachant que la représentation matricielle d'un champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
est la matrice colonne d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] «
[
A
→
(
M
)
]
cart
=
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}=\left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
» en cartésien, «
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
» en cylindro-polaire ou «
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\;{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
» en sphérique,
nous nous proposons de définir l'image par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
» du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
par représentation matricielle et comme
nous nous proposons de définir l'image d'un champ vectoriel par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
» est un champ tensoriel d'ordre deux contravariant
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
en effet chaque composante vectorielle[89] du champ vectoriel pouvant varier relativement à chaque coordonnée[89] de
M
{\displaystyle \;M}
, il y a donc
3
×
3
=
9
{\displaystyle \;3\times 3=9\;}
grandeurs caractérisant la variation du champ vectoriel, ce qui correspond à un champ tensoriel d'ordre deux[90]
}
{\displaystyle {\big \}}}
c'est-à-dire représenté par une matrice carrée d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
et nous nous proposons de définir celle-ci devant résulter de l'action d'une matrice colonne d'opérateurs de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
1
)
{\displaystyle \;\left(3\times 1\right)\;}
sur une matrice d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] , cette dernière doit être nécessairement de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
3
)
{\displaystyle \;\left(1\times 3\right)\;}
[91] c'est-à-dire correspondant à la matrice ligne d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] transposée [92] de la matrice colonne des mêmes éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] représentant le champ vectoriel en question.
Conclusion : La représentation matricielle de l'image par l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
» du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
[93] est la matrice carrée réelle associée à la matrice carrée d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
[94] «
[
∇
→
{
A
→
}
(
M
)
]
W
∈
M
3
(
W
)
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{W}\,\in \,M_{3}(W)\;}
»[95] laquelle est obtenue par « l'action de la matrice colonne d'opérateurs
[
∇
]
repér. fix.
{\displaystyle \;\left[\nabla \right]_{\text{repér. fix.}}\;}
» sur « la matrice transposée[92] de la matrice colonne
[
A
→
(
M
)
]
repé. fix.
{\displaystyle \;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repé. fix.}}\;}
d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] représentant le champ vectoriel c'est-à-dire la matrice ligne
t
[
A
→
(
M
)
]
repér. fix.
{\displaystyle \;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\;}
» d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
3
)
{\displaystyle \;\left(1\times 3\right)\;}
« suivie de la transposition de la matrice obtenue »[92] , [96] et pour terminer nous associons à «
[
∇
→
{
A
→
}
(
M
)
]
W
∈
M
3
(
W
)
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{W}\,\in \,M_{3}(W)\;}
»[95] la matrice carrée réelle «
[
∇
→
{
A
→
}
(
M
)
]
R
∈
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]^{\mathbb {R} }\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;}
»[74] , [94] , [97] soit
[74] «
M
3
(
R
)
∋
[
∇
→
{
A
→
}
(
M
)
]
repér. fix.
R
←
[
∇
→
{
A
→
}
(
M
)
]
repér. fix.
W
=
t
{
[
∇
]
repér. fix.
t
[
A
→
(
M
)
]
repér. fix.
}
∈
M
3
(
W
)
{\displaystyle \;M_{3}(\mathbb {R} )\,\ni \,\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]_{\text{repér. fix.}}^{\mathbb {R} }\,\leftarrow \,\left[{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace (M)\right]_{\text{repér. fix.}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{repér. fix.}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\right\rbrace \,\in \,M_{3}(W)\;}
»[95] , [98] .
Champ tensoriel gradient d'une fonction vectorielle de l'espace
modifier
Le champ tensoriel gradient de la fonction vectorielle de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
étant l'image de cette fonction par l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla”
«
A
→
(
M
)
→
∇
→
∇
→
{
A
→
}
(
M
)
=
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;\;{\overset {\vec {\nabla }}{\rightarrow }}\;\;{\vec {\nabla }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
», on en déduit, en utilisant la représentation de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” projeté sur les trois directions du repérage «
∇
=
{
u
→
i
⋅
∇
→
}
i
=
1
.
.
3
{\displaystyle \;\nabla =\left\lbrace {\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace _{i\,=\,1\,..\,3}\;}
» en matrice colonne
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir le paragraphe « application de l'opérateur linéaire “nabla” à un champ vectoriel » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
ainsi que en utilisant la représent celle du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
en matrice colonne d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] , la représentation du champ tensoriel
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
en matrice carrée d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
puis la représent celle du champ tensoriel
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
en matrice carrée réelle selon l'association décrite dans la note « 94 » plus haut dans ce chapitre soit :
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
en cartésien «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cart
W
=
t
{
[
∇
]
cart
t
[
A
→
(
M
)
]
cart
}
=
t
{
[
(
∂
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
(
∂
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
(
∂
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
]
t
[
A
x
(
M
)
u
→
x
A
y
(
M
)
u
→
y
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{cart}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cart}}\right\rbrace =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\end{array}}\right]\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c}A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}\\A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace \;}
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cartésien «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
t
{
[
(
∂
∂
x
)
y
,
z
(
∂
∂
y
)
x
,
z
(
∂
∂
z
)
x
,
y
]
[
A
x
u
→
x
,
A
y
u
→
y
,
A
z
u
→
z
]
}
=
t
[
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
u
→
x
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
u
→
y
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
u
→
z
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
u
→
x
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
u
→
y
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
u
→
z
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
u
→
x
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
u
→
y
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
u
→
z
]
{\displaystyle =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\end{array}}\right]\;\left[A_{x}\,{\vec {u}}_{x}\,,\,A_{y}\,{\vec {u}}_{y}\,,\,A_{z}\,{\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace =\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
[21] Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cartésien «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}\;}
=
[
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
x
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
x
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
x
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
y
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
y
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
y
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
u
→
z
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
u
→
z
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{x}&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;{\vec {u}}_{x}\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{y}&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\;{\vec {u}}_{y}\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
» soit finalement, Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cartésien «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cart
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}}\;}
par association décrite dans la note « 94 » plus haut dans ce chapitre, Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cartésien [97] «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cart
R
=
[
(
∂
A
x
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
(
∂
A
x
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
(
∂
A
x
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
(
∂
A
y
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
(
∂
A
y
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
(
∂
A
y
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
(
∂
A
z
∂
x
)
y
,
z
(
M
)
(
∂
A
z
∂
y
)
x
,
z
(
M
)
(
∂
A
z
∂
z
)
x
,
y
(
M
)
]
∈
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)_{\!y,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\right)_{\!x,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!x,\,y}(M)\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;}
»[74] Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cartésien «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cart
R
=
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cart}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=}\;}
↑
{\displaystyle \quad \uparrow \quad }
représentation matricielle du tenseur d'ordre deux contravariant [72] «
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
» en cartésien ;
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
W
=
t
{
[
∇
]
cyl
t
[
A
→
(
M
)
]
cyl
}
=
t
{
[
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
t
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{cyl}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}\right\rbrace =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace \;}
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
t
{
[
(
∂
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
,
A
θ
(
M
)
u
→
θ
,
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
{\displaystyle =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\\\left({\dfrac {\partial }{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;\left[A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,,\,A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace }
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
t
[
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
θ
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
z
1
ρ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
ρ
d
u
→
ρ
d
θ
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
ρ
d
u
→
θ
d
θ
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
z
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
ρ
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
θ
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}\;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
t
[
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
θ
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
z
1
ρ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
ρ
u
→
θ
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
θ
−
A
θ
(
M
)
ρ
u
→
ρ
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
z
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
ρ
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
θ
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}\\\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[99] Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
=
[
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
1
ρ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
ρ
u
→
θ
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
ρ
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
θ
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
θ
−
A
θ
(
M
)
ρ
u
→
ρ
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
θ
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
u
→
z
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
u
→
z
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\theta }&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\rho }\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}\;{\vec {u}}_{\rho }&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;{\vec {u}}_{z}&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
» soit finalement, Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}}\;}
par association décrite dans la note « 94 » plus haut dans ce chapitre, Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cylindro-polaire [97] «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
R
=
[
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
ρ
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
A
ρ
(
M
)
ρ
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
∈
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\,\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;}
»[74] Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en cylindro-polaire «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
R
=
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=}\;}
↑
{\displaystyle \quad \uparrow \quad }
représentation matricielle du tenseur d'ordre deux contravariant [72] «
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
» en cylindro-polaire et
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
W
=
t
{
[
∇
]
sph
t
[
A
→
(
M
)
]
sph
}
=
t
{
[
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
]
t
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
}
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{W}=\;^{t}\!\left\lbrace \left[\nabla \right]_{\text{sph}}\;^{t}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}\right\rbrace =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;^{t}\!\left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace \;}
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
t
{
[
(
∂
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
]
[
A
r
(
M
)
u
→
r
,
A
θ
(
M
)
u
→
θ
,
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
}
{\displaystyle =\;^{t}\!\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial }{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial }{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\end{array}}\right]\;\left[A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\,,\,A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,,\,A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\right]\right\rbrace }
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
t
[
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
r
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
θ
⋯
1
r
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
r
+
A
r
(
M
)
r
(
∂
u
→
r
∂
θ
)
φ
1
r
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
r
(
∂
u
→
θ
∂
θ
)
φ
⋯
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
r
+
A
r
(
M
)
r
sin
(
θ
)
(
∂
u
→
r
∂
φ
)
θ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
r
sin
(
θ
)
(
∂
u
→
θ
∂
φ
)
θ
⋯
{\displaystyle =\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\cdots \\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }&\cdots \\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }&\cdots \end{array}}\right.\;}
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
⋯
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
φ
⋯
1
r
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
φ
⋯
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
φ
+
A
φ
(
M
)
r
sin
(
θ
)
d
u
→
φ
d
φ
]
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l l}\cdots &\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }+{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}\end{array}}\right]\;}
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
t
[
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
r
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
θ
⋯
1
r
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
r
+
A
r
(
M
)
r
u
→
θ
1
r
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
θ
−
A
θ
(
M
)
r
u
→
r
⋯
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
r
+
A
r
(
M
)
r
sin
(
θ
)
sin
(
θ
)
u
→
φ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
r
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
u
→
φ
⋯
{\displaystyle =\;^{t}\!\left[{\begin{array}{l l l}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }&\cdots \\{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\;{\vec {u}}_{r}&\cdots \\{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}(M)}{r\,\sin(\theta )}}\;\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\;{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\;\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }&\cdots \end{array}}\right.\;}
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
⋯
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
u
→
φ
⋯
1
r
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
u
→
φ
⋯
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
u
→
φ
−
A
φ
(
M
)
r
sin
(
θ
)
{
sin
(
θ
)
u
→
r
+
cos
(
θ
)
u
→
θ
}
]
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l l}\cdots &\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;{\vec {u}}_{\varphi }\\\cdots &{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \end{array}}\right]\;}
[100] Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
=
[
∂
A
r
∂
r
u
→
r
1
r
∂
A
r
∂
θ
u
→
r
+
A
r
r
u
→
θ
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
u
→
r
+
A
r
r
sin
(
θ
)
sin
(
θ
)
u
→
φ
∂
A
θ
∂
r
u
→
θ
1
r
∂
A
θ
∂
θ
u
→
θ
−
A
θ
r
u
→
r
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
u
→
θ
+
A
θ
r
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
u
→
φ
∂
A
φ
∂
r
u
→
φ
1
r
∂
A
φ
∂
θ
u
→
φ
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
φ
−
A
φ
r
sin
(
θ
)
{
sin
(
θ
)
u
→
r
+
cos
(
θ
)
u
→
θ
}
]
{\displaystyle =\left[{\begin{array}{l l l}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\;{\vec {u}}_{r}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {A_{r}}{r\,\sin(\theta )}}\;\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\;{\vec {u}}_{\theta }&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\;{\vec {u}}_{r}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {A_{\theta }}{r\,\sin(\theta )}}\;\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\\{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\;{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r\,\sin(\theta )}}\,\left\lbrace \sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \end{array}}\right]\;}
»[21] , [67] soit finalement,
Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}}\;}
par association décrite dans la note « 94 » plus haut dans ce chapitre et simplification évidente, Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique [97] «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
R
=
[
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
1
r
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
−
A
θ
r
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
−
A
φ
r
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
1
r
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
+
A
r
r
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
−
cot
(
θ
)
r
A
φ
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
1
r
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
+
A
r
r
+
cot
(
θ
)
r
A
θ
]
∈
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }+{\dfrac {A_{r}}{r}}&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }-{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\varphi }\\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }&{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }+{\dfrac {A_{r}}{r}}+{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\theta }\end{array}}\right]\,\in \,M_{3}(\mathbb {R} )\;}
»[74] , [21] , [67] Le champ tensoriel gradient
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
en sphérique «
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
R
=
{\displaystyle \;\color {transparent}{\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}^{\cancel {\mathbb {R} }}=}\;}
↑
{\displaystyle \quad \uparrow \quad }
représentation matricielle du tenseur d'ordre deux contravariant [72] «
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\;}
» en sphérique.
Remarque : Le champ gradient d'une fonction scalaire c'est-à-dire d'une fonction tensorielle d'ordre zéro étant un champ vectoriel c'est-à-dire un champ tensoriel d'ordre un [44] et Remarque : Le champ grad celui d'une fonction vectorielle c'est-à-dire d'une fonction tensorielle d'ordre un étant un champ tensoriel d'ordre deux , nous pourrions généraliser[101] selon Remarque : « le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre
p
∈
N
_
{\displaystyle {\underline {\;p\;\in \;\mathbb {N} }}\;}
est un champ tensoriel d'ordre
p
+
1
_
{\displaystyle {\underline {\;p+1}}\;}
» par exemple Remarque : « le champ gradient d'une fonction tensorielle d'ordre deux
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
laquelle est représentable par une matrice carrée de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
}
{\displaystyle \;3{\big \}}\;}
est un champ tensoriel d'ordre trois
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
lequel nécessiterait une représentation en tableau cubique[102] d'où la difficulté de traitement outre que cette notion n'est usuellement pas utilisée en physique
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
Retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel
modifier
Dans le chap.
13
{\displaystyle 13}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », nous avons évoqué, dans la dernière note de bas de page
[
{\displaystyle {\big [}}
plus précisément la note 15
]
{\displaystyle {\big ]}}
, une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel, mais en vérifiant cette méthode uniquement en représentation cartésienne[103]
[
{\displaystyle {\big [}}
cette introduction étant d'un niveau plus élevé que
B
A
C
+
1
{\displaystyle \;BAC+1\;}
est évoquée à titre documentaire[104]
]
{\displaystyle {\big ]}}
;
peut-on prolonger le résultat trouvé en représentation cartésienne en représentation cylindro-polaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
respectivement sphérique
)
{\displaystyle {\big )}}
?
peut-on prolonger le résultat La réponse dépend de ce qu'on entend par étude de la variation du champ vectoriel, est-ce qu'on souhaite étudier cette variation de façon
« absolue »[105]
[
{\displaystyle {\big [}}
dans ce cas il faut étudier la direction, le sens et la norme de
d
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;d{\vec {A}}(M)\;}
[106]
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
ou
« relative »[107]
[
{\displaystyle {\big [}}
dans ce cas il faut étudier le signe des différentielles des composantes cylindro-polaires
(
{\displaystyle \;{\big (}}
respectivement sphériques
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
[108]
]
{\displaystyle {\big ]}}
.
Recherche d'une façon plus compacte de traduire la variation « relative » d'un champ vectoriel de l'espace
modifier
Comme cela a été indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel (variation relative) » plus haut dans ce chapitre, il faut étudier le signe des différentielles des composantes du champ vectoriel soit
≻
{\displaystyle \;\succ \;}
en cylindro-polaire, pour un « champ vectoriel
A
→
(
M
)
=
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
(
M
)
+
A
θ
(
M
)
u
→
θ
(
M
)
+
A
z
(
M
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;}
» étudier le signe des « différentielles des composantes radiale, orthoradiale et axiale du champ vectoriel
{
d
A
ρ
(
M
)
=
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
d
ρ
+
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
d
z
d
A
θ
(
M
)
=
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
d
ρ
+
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
d
z
d
A
z
(
M
)
=
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
d
ρ
+
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
d
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}dA_{\rho }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\dA_{\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\\dA_{z}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\!\theta ,\,z}(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!\rho ,\,z}(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\!\rho ,\,\theta }(M)\,dz\end{array}}\right\rbrace \;}
» pour en déduire la variation relative du champ selon la direction
{
u
→
ρ
(
M
)
u
→
θ
(
M
)
u
→
z
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{\rho }(M)\\{\vec {u}}_{\theta }(M)\\{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right\rbrace }
, en remarquant que le signe de ces différentielles ne dépend que des dérivées partielles des composantes du champ ; on peut alors induire une façon plus compacte d'étudier cette variation par l'intermédiaire de la notion de dérivée du champ par rapport au vecteur position [109] , grandeur ne faisant intervenir que les dérivées partielles des composantes du champ[110] ;
≻
{\displaystyle \;\succ \;}
en sphérique, pour un « champ vectoriel
A
→
(
M
)
=
A
r
(
M
)
u
→
r
(
M
)
+
A
θ
(
M
)
u
→
θ
(
M
)
+
A
φ
(
M
)
u
→
φ
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}(M)+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }(M)+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }(M)\;}
», étudier le signe des « différentielles des composantes radiale, orthoradiale et longitudale du champ vectoriel
{
d
A
r
(
M
)
=
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
d
ρ
+
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
d
φ
d
A
θ
(
M
)
=
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
d
r
+
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
d
φ
d
A
φ
(
M
)
=
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
d
r
+
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
φ
(
M
)
d
φ
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}dA_{r}(M)=\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)\,d\varphi \\dA_{\theta }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\theta }(M)\,d\varphi \\dA_{\varphi }(M)=\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\!\theta ,\,\varphi }(M)\,dr+\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!\!r,\,\varphi }(M)\,d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;}
» pour en déduire la variation relative du champ selon la direction
{
u
→
r
(
M
)
u
→
θ
(
M
)
u
→
φ
(
M
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\vec {u}}_{r}(M)\\{\vec {u}}_{\theta }(M)\\{\vec {u}}_{\varphi }(M)\end{array}}\right\rbrace }
, en remarquant que le signe de ces différentielles ne dépend que des dérivées partielles des composantes du champ ; on peut alors induire une façon plus compacte d'étudier cette variation par l'intermédiaire de la notion de dérivée du champ par rapport au vecteur position [109] , grandeur ne faisant intervenir que les dérivées partielles des composantes du champ[111] .
Recherche d'une façon plus compacte de traduire la variation « absolue » d'un champ vectoriel de l'espace
modifier
Comme cela a été indiqué en introduction du paragraphe « retour sur la recherche d'une façon plus compacte de traduire l'étude de la variation d'un champ vectoriel (variation absolue) » plus haut dans ce chapitre, il faut étudier la direction, le sens et la norme de
d
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;d{\vec {A}}(M)\;}
c'est-à-dire le signe des composantes de
d
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;d{\vec {A}}(M)}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
et non le signe des différentielles des composantes comme cela est fait pour traduire la variation relative du champ vectoriel
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
et une question subsiste « peut-on remplacer l'étude de la direction, du sens et de la norme de
d
A
→
(
M
)
[
{\displaystyle \;d{\vec {A}}(M)\;{\big [}}
grandeur infiniment petite en physique
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
par l'étude d'une grandeur finie[112] ? »
une question subsiste « La réponse est « oui mais » d'une façon matricielle qui dépend du type de représentation donc nettement moins intéressante
(
{\displaystyle \;{\big (}}
voir 1er sous-paragraphe ci-dessous
)
{\displaystyle {\big )}\;}
ou
une question subsiste « La réponse est « oui mais » en utilisant la notion de « champ tensoriel gradient du champ vectoriel », présenté en complément plus haut dans ce chapitre dans le paragraphe précité
(
{\displaystyle \;{\big (}}
voir 2ème sous-paragraphe ci-dessous
)
{\displaystyle {\big )}\;}
.
une question subsiste « La réponse est « oui mais »
≻
{\displaystyle \succ \;}
Étude de la variation absolue d'un champ vectoriel par représentation matricielle : nous avons établi dans le paragraphe « identification de l'opérateur scalaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre à expliciter la différentielle du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
sous forme matricielle d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] selon «
d
[
A
→
]
repér. fix.
(
M
)
=
{
d
M
→
⋅
∇
→
}
repér. fix.
[
A
→
]
repér. fix.
(
M
)
{\displaystyle \;d\left[{\vec {A}}\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)=\left\lbrace {\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace _{\text{repér. fix.}}\left[{\vec {A}}\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)\;}
» soit
une question subsiste « La réponse est « oui mais »
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
en cylindro-polaire : «[56]
d
{
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
=
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
⋯
[
d
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
d
u
→
ρ
d
A
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
d
u
→
θ
d
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}{\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{l}dA_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,d{\vec {u}}_{\rho }\\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,d{\vec {u}}_{\theta }\\dA_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
» ou, en utilisant les résultats rappelés en note « 52 » plus haut dans ce chapitre
d
{
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
=
[
d
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
u
→
θ
d
θ
d
A
θ
(
M
)
u
→
θ
−
A
θ
(
M
)
u
→
ρ
d
θ
d
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}dA_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,d\theta \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,d\theta \\dA_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
{
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
ρ
=
d
A
ρ
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
d
θ
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
θ
=
d
A
θ
(
M
)
+
A
ρ
(
M
)
d
θ
A
→
(
M
)
⋅
u
→
z
=
d
A
z
(
M
)
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }=dA_{\rho }(M)-A_{\theta }(M)\;d\theta \\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }=dA_{\theta }(M)+A_{\rho }(M)\;d\theta \\{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}=dA_{z}(M)\end{array}}\right\rbrace }
, l'étude du signe de chacun permettant de déterminer la variation absolue radiale, orthoradiale ou axiale de
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)}
;
une question subsiste « La réponse est « oui mais »
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
en sphérique : «[56]
d
{
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
}
=
[
d
M
→
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
⋯
[
d
A
r
(
M
)
u
→
r
+
A
r
(
M
)
d
u
→
r
d
A
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
d
u
→
θ
d
A
φ
(
M
)
u
→
φ
+
A
φ
(
M
)
d
u
→
φ
]
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\overrightarrow {dM}}\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}{\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{l}dA_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\,d{\vec {u}}_{r}\\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,d{\vec {u}}_{\theta }\\dA_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }(M)\,d{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
» ou, en utilisant les résultats rappelés en note « 100 » plus haut dans ce chapitre
d
{
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
}
=
[
d
A
r
(
M
)
u
→
r
+
A
r
(
M
)
{
u
→
θ
d
θ
+
u
→
φ
sin
(
θ
)
d
φ
}
d
A
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
{
−
u
→
r
d
θ
+
u
→
φ
cos
(
θ
)
d
φ
}
d
A
φ
(
M
)
u
→
φ
−
A
φ
(
M
)
{
u
→
r
sin
(
θ
)
+
u
→
θ
cos
(
θ
)
}
d
φ
]
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}dA_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right]}
, l'étude du signe de chacune des composantes suivantes
{
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
r
=
d
A
r
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
d
θ
−
A
φ
(
M
)
sin
(
θ
)
d
φ
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
θ
=
d
A
θ
(
M
)
+
A
r
(
M
)
d
θ
−
A
φ
(
M
)
cos
(
θ
)
d
φ
A
→
(
M
)
⋅
u
→
φ
=
d
A
φ
(
M
)
+
{
A
r
(
M
)
sin
(
θ
)
+
A
θ
(
M
)
cos
(
θ
)
}
d
φ
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}=dA_{r}(M)-A_{\theta }(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\sin(\theta )\,d\varphi \\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }=dA_{\theta }(M)+A_{r}(M)\,d\theta -A_{\varphi }(M)\,\cos(\theta )\,d\varphi \\{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }=dA_{\varphi }(M)+\left\lbrace A_{r}(M)\,\sin(\theta )+A_{\theta }(M)\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right\rbrace \;}
permettant de déterminer la variation absolue radiale, orthoradiale ou longitudale de
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)}
.
une question subsiste « La réponse est « oui mais »
≻
{\displaystyle \succ \;}
Étude de la variation absolue d'un champ vectoriel par champ tensoriel gradient de ce dernier : associant à la représentation matricielle d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] de la différentielle du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
c'est-à-dire
[
d
A
→
]
repér. fix.
(
M
)
{\displaystyle \;\left[d{\vec {A}}\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)}
{
{\displaystyle \;{\Big \{}}
ou la différentielle de la matrice colonne d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
[88] représentant le champ vectoriel
d
[
A
→
(
M
)
]
repér. fix.
}
{\displaystyle \;d\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}{\Big \}}\;}
la représentation matricielle des composantes de la différentielle du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
c'est-à-dire
[
(
d
A
→
)
proj
(
M
)
]
repér. fix.
{\displaystyle \;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}\;}
mise sous la forme d'un produit de matrices réelles «
[
(
d
A
→
)
proj
(
M
)
]
repér. fix.
=
{\displaystyle \;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{repér. fix.}}=}
[
B
]
repér. fix.
(
M
)
×
[
d
M
→
proj
]
repér. fix.
{\displaystyle \left[\,B\,\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)\times \left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{repér. fix.}}\;}
» dans lequel «
[
d
M
→
proj
]
repér. fix.
{\displaystyle \;\left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{repér. fix.}}\;}
est la matrice colonne réelle des composantes radiale, orthoradiale et axiale de
d
M
→
{\displaystyle \;{\vec {dM}}\;}
» et «
[
B
]
repér. fix.
(
M
)
{\displaystyle \;\left[\,B\,\right]_{\text{repér. fix.}}\!(M)\;}
une matrice carrée réelle de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
» s'identifiant à la « représentation matricielle du champ tensoriel gradient de
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
»
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
dont l'étude permet de déterminer la variation absolue du champ vectoriel
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
soit
une question subsiste « La réponse est « oui mais »
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
en cylindro-polaire «[56]
d
{
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
=
⋯
[
d
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
u
→
θ
d
θ
d
A
θ
(
M
)
u
→
θ
−
A
θ
(
M
)
u
→
ρ
d
θ
d
A
z
(
M
)
u
→
z
]
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace {\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{l}dA_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,d\theta \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,d\theta \\dA_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»[113] ou, en explicitant les différentielles des composantes radiale, orthoradiale et axiale du champ vectoriel «[56]
d
{
[
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
z
(
M
)
u
→
z
]
}
=
[
{
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
d
ρ
+
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
d
z
}
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
u
→
θ
d
θ
{
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
d
ρ
+
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
d
z
}
u
→
θ
−
A
θ
(
M
)
u
→
ρ
d
θ
{
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
d
ρ
+
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
d
θ
+
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
d
z
}
u
→
z
]
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{l}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\right\rbrace {\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\,d\theta \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\right\rbrace {\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }\,d\theta \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)\,d\rho +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)\,d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\,dz\right\rbrace {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
» soit, en introduisant
[
d
M
→
proj
]
cyl
=
[
d
ρ
ρ
d
θ
d
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}d\rho \\\rho \,d\theta \\dz\end{array}}\right]\;}
et
[
(
d
A
→
)
proj
(
M
)
]
cyl
=
[
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
ρ
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
θ
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
[
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
ρ
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
θ
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
z
]
=
[
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
ρ
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
A
ρ
(
M
)
ρ
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
×
[
d
ρ
ρ
d
θ
d
z
]
=
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\rho }\\\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}d\rho \\\\\rho \,d\theta \\\\dz\end{array}}\right]=}
[
B
]
cyl
(
M
)
×
[
d
M
→
proj
]
cyl
{\displaystyle \left[\,B\,\right]_{\text{cyl}}(M)\times \left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{cyl}}\;}
», la matrice carrée réelle de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
dont l'étude permet la détermination de la variation absolue du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
s'identifiant effectivement au champ tensoriel gradient de ce dernier «
[
B
]
cyl
(
M
)
=
[
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
ρ
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
+
A
ρ
(
M
)
ρ
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
=
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\left[\,B\,\right]_{\text{cyl}}(M)=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)+{\dfrac {A_{\rho }(M)}{\rho }}&\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}\!(M)&{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}\!(M)&\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }\!(M)\end{array}}\right]=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{cyl}}\;}
»[114] ;
une question subsiste « La réponse est « oui mais »
≻
{\displaystyle \color {transparent}{\succ }\;}
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
en sphérique «[56]
d
{
[
A
r
(
M
)
u
→
r
A
θ
(
M
)
u
→
θ
A
φ
(
M
)
u
→
φ
]
}
=
⋯
[
d
A
r
(
M
)
u
→
r
+
A
r
(
M
)
{
u
→
θ
d
θ
+
u
→
φ
sin
(
θ
)
d
φ
}
d
A
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
{
−
u
→
r
d
θ
+
u
→
φ
cos
(
θ
)
d
φ
}
d
A
φ
(
M
)
u
→
φ
−
A
φ
(
M
)
{
u
→
r
sin
(
θ
)
+
u
→
θ
cos
(
θ
)
}
d
φ
]
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace {\overset {\cdots }{\;=\;}}\left[{\begin{array}{c}dA_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\dA_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }(M)\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right]\;}
»[115] ou, en explicitant les différentielles des composantes du champ vectoriel «[56]
d
{
[
A
r
u
→
r
A
θ
u
→
θ
A
φ
u
→
φ
]
}
=
{\displaystyle \;d\left\lbrace \left[{\begin{array}{c}A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\\A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\\A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\right\rbrace =}
[
{
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
d
r
+
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
z
d
θ
+
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
d
φ
}
u
→
r
+
A
r
{
u
→
θ
d
θ
+
u
→
φ
sin
(
θ
)
d
φ
}
{
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
d
r
+
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
d
θ
+
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
d
φ
}
u
→
θ
+
A
θ
{
−
u
→
r
d
θ
+
u
→
φ
cos
(
θ
)
d
φ
}
{
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
d
r
+
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
d
θ
+
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
d
φ
}
u
→
φ
−
A
φ
{
u
→
r
sin
(
θ
)
+
u
→
θ
cos
(
θ
)
}
d
φ
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{l}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }dr+\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,z}d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }d\varphi \right\rbrace {\vec {u}}_{r}+A_{r}\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }dr+\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }d\varphi \right\rbrace {\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\\left\lbrace \left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }dr+\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }d\theta +\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }d\varphi \right\rbrace {\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right]\;}
»[21] soit, avec
[
d
M
→
proj
]
sph
=
[
d
r
r
d
θ
r
sin
(
θ
)
d
φ
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}dr\\r\,d\theta \\r\,\sin(\theta )\,d\varphi \end{array}}\right]\;}
et
[
(
d
A
→
)
proj
(
M
)
]
sph
=
[
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
r
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
θ
d
A
→
(
M
)
⋅
u
→
φ
]
{\displaystyle \;\left[\left(d{\vec {A}}\right)_{\text{proj}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\d{\vec {A}}(M)\cdot {\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
[
d
A
→
⋅
u
→
r
d
A
→
⋅
u
→
θ
d
A
→
⋅
u
→
φ
]
=
{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}d{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{r}\\\\d{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{\theta }\\\\d{\vec {A}}\cdot {\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}\right]=}
[
∂
A
r
∂
r
1
r
∂
A
r
∂
θ
−
A
θ
r
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
−
A
φ
r
∂
A
θ
∂
r
1
r
∂
A
θ
∂
θ
+
A
r
r
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
−
A
φ
cot
(
θ
)
r
∂
A
φ
∂
r
1
r
∂
A
φ
∂
θ
1
r
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
+
A
r
r
+
A
θ
cot
(
θ
)
r
]
×
[
d
r
r
d
θ
r
sin
(
θ
)
d
φ
]
{\displaystyle \left[{\begin{array}{c c c}{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-{\dfrac {A_{\theta }}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\dfrac {A_{\varphi }}{r}}\\{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\dfrac {A_{r}}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}-{\dfrac {A_{\varphi }\,\cot(\theta )}{r}}\\{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}&{\dfrac {1}{r}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\dfrac {A_{r}}{r}}+{\dfrac {A_{\theta }\,\cot(\theta )}{r}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}dr\\\\r\,d\theta \\\\r\,\sin(\theta )\,d\varphi \end{array}}\right]\;}
[21] , [67]
=
{\displaystyle =\;}
[
B
]
sph
(
M
)
×
[
d
M
→
proj
]
sph
{\displaystyle \left[\,B\,\right]_{\text{sph}}(M)\times \left[{\vec {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{sph}}\;}
», la matrice carrée réelle de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
dont l'étude permet la détermination de la variation absolue du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
s'identifiant effectivement au champ tensoriel gradient de ce dernier «
[
B
]
sph
(
M
)
=
[
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
−
A
θ
(
M
)
r
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
−
A
φ
(
M
)
r
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
+
A
r
(
M
)
r
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
−
cot
(
θ
)
r
A
φ
(
M
)
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
+
A
r
(
M
)
r
+
cot
(
θ
)
r
A
θ
(
M
)
]
=
[
g
r
a
d
→
{
A
→
}
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\left[\,B\,\right]_{\text{sph}}(M)=\left[{\begin{array}{c c c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)-{\dfrac {A_{\theta }(M)}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)-{\dfrac {A_{\varphi }(M)}{r}}\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)-{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\varphi }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }\!(M)&{\dfrac {1}{r}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }\!(M)\!\!\!&\!\!\!{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }\!(M)+{\dfrac {A_{r}(M)}{r}}+{\dfrac {\cot(\theta )}{r}}\,A_{\theta }(M)\end{array}}\right]=\left[{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace {\vec {A}}\right\rbrace \!(M)\right]_{\text{sph}}\;}
»[116] .
On remarquera néanmoins que ces deux façons se confondent en représentation cartésienne [117] , [118] .
Notes et références
modifier
↑ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.
7
{\displaystyle 7}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 et 2,13 Nom donné pour rendre hommage à Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
dans cette dernière il utilise la transformation de Laplace
(
{\displaystyle \;{\big (}}
portant son nom pour lui rendre hommage
)
{\displaystyle {\big )}\;}
découverte par Leonhard Euler
}
{\displaystyle {\big \}}}
; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide
)
{\displaystyle {\big )}\;}
ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes , il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier en analyse mathématique , comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides , en optique et en astronomie. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal
(
{\displaystyle \;{\big (}}
partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz
)
{\displaystyle {\big )}}
; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton . Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal
(
{\displaystyle \;{\big (}}
calcul différentiel et calcul intégral
)
{\displaystyle {\big )}\;}
dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton .
↑ Voir le paragraphe « proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Pour l'instant le domaine d'application de cet opérateur scalaire est l'ensemble des fonctions scalaires différentiables de l'espace mais nous verrons ultérieurement qu'il peut aussi s'appliquer à une fonction vectorielle différentiable de l'espace.
↑ Voir le paragraphe « définition de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage cartésien » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage cylindro-polaire » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « définition (équivalente) de l'pérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” en repérage sphérique » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 8,0 et 8,1 On admet l'applicabilité de la notion de multiplication scalaire avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
7
{\displaystyle 7}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ On admet l'applicabilité de la notion de multiplication vectorielle avec au moins une des grandeurs vectorielles remplacée par un opérateur vectoriel comme l'opérateur “nabla” «
∇
→
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\;}
», la définition utilisée étant alors celle du paragraphe « définition du produit vectoriel de deux vecteurs à l'aide de leurs composantes sur une base de l'espace » du chap.
7
{\displaystyle 7}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « lien entre le champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace et l'image par l'opérateur “nabla” de cette fonction scalaire » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « composantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « composantes cylindro-polaires du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ La circulation élémentaire d'un champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
est
δ
C
(
A
→
)
=
A
→
(
M
)
⋅
d
M
→
{\displaystyle \;\delta {\mathcal {C}}({\vec {A}})={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;}
⇝
{\displaystyle \rightsquigarrow \;}
voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap.
15
{\displaystyle 15}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ou, de façon plus concise «
g
r
a
d
→
[
U
]
⋅
d
M
→
=
d
U
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[U\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}=dU\;}
»
⇝
{\displaystyle \rightsquigarrow }
définition à connaître sans hésitation.
↑ Voir le paragraphe « définition du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla scalaire...” de cette fonction vectorielle » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 18,0 et 18,1 Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 19,0 19,1 et 19,2 Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 20,0 20,1 et 20,2 Voir le paragraphe « expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 21,00 21,01 21,02 21,03 21,04 21,05 21,06 21,07 21,08 21,09 21,10 21,11 21,12 21,13 21,14 21,15 21,16 et 21,17 Pour alléger la notation, le point
M
{\displaystyle \;M\;}
dont dépendent les fonctions du 2nd membre n'a pas été indiqué
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Le flux élémentaire d'un champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
est «
δ
Φ
(
A
→
)
=
A
→
(
M
)
⋅
d
S
→
{\displaystyle \;\delta \Phi ({\vec {A}})={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}\;}
»
⇝
{\displaystyle \rightsquigarrow }
voir paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluationl (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ou, de façon plus concise «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
d
V
=
δ
Φ
(
A
→
)
=
[
∯
(
δ
S
)
A
→
(
M
)
⋅
d
2
S
→
lat.
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;d{\mathcal {V}}=\delta \Phi ({\vec {A}})=\color {transparent}{\Bigg [}\!\!\color {black}\displaystyle \oiint _{(\delta {\mathcal {S}})}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}S}}_{\text{lat.}}\;}
»
[
{\displaystyle \;{\big [}}
voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
.
↑ Voir le paragraphe « définition du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace par l'image que donne l'opérateur “nabla vectoriel...” de cette fonction vectorielle » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 26,0 26,1 26,2 et 26,3 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien (méthode de détermination des composantes cartésiennes) » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 27,0 27,1 27,2 et 27,3 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire (méthode de détermination des composantes cylindro-polaires) » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 28,0 28,1 28,2 et 28,3 Voir le paragraphe « expression du rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique (méthode de détermination des composantes sphériques) » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Le flux élémentaire du champ vectoriel
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\;}
est «
δ
Φ
(
r
o
t
→
[
A
→
]
)
=
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
⋅
d
S
→
{\displaystyle \;\delta \Phi \!\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\right)={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\!\left[{\vec {A}}\right]\!(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dS}}\;}
»
⇝
{\displaystyle \rightsquigarrow }
voir paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluationl (flux élémentaire d'un champ vectoriel) » du chap.
17
{\displaystyle 17}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La circulation élémentaire d'un champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
le long d'un contour élémentaire
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
est
δ
2
C
(
A
→
)
=
A
→
(
M
)
⋅
d
2
M
→
{\displaystyle \;\delta ^{2}{\mathcal {C}}({\vec {A}})={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M}}\;}
où
d
2
M
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}M}}\;}
est le vecteur déplacement élémentaire en
M
{\displaystyle \;M\;}
de
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
⇝
{\displaystyle \rightsquigarrow \;}
voir paragraphe « circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courne continue » du chap.
15
{\displaystyle 15}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; la circulation du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
le long du contour élémentaire
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
est définie par «
δ
C
(
A
→
)
=
∮
(
δ
Γ
)
δ
2
C
(
A
→
)
=
∮
(
δ
Γ
)
A
→
(
M
)
⋅
d
2
M
→
{\displaystyle \;\delta {\mathcal {C}}({\vec {A}})=\displaystyle \oint _{(\delta \Gamma )}\delta ^{2}{\mathcal {C}}({\vec {A}})=\displaystyle \oint _{(\delta \Gamma )}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {d^{2}M}}\;}
»
⇝
{\displaystyle \;\rightsquigarrow \;}
voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap.
15
{\displaystyle 15}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté à droite
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs » du chap.
7
{\displaystyle 7}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
avec choix d'une base orthonormée directe
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap.
7
{\displaystyle 7}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
}
{\displaystyle {\big \}}}
, on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la courbe fermée
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
limitant la surface ouverte
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta S)\;}
à partir de l'orientation de cette dernière : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point
P
{\displaystyle \;P\;}
de
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta {\mathcal {S}})\;}
et effectuant une translation dans le sens choisi sur
(
δ
S
)
{\displaystyle \;(\delta {\mathcal {S}})}
, le sens défini sur
(
δ
Γ
)
{\displaystyle \;(\delta \Gamma )\;}
correspond au sens de rotation du tire-bouchon ».
↑ 33,0 et 33,1 Plus précisément il faut que les dérivées partielles 2ndes de la fonction scalaire existent.
↑ Voir le paragraphe « définition du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace par l'image de l'opérateur “nabla scalaire nabla” sur cette fonction scalaire » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 35,0 35,1 35,2 et 35,3 Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cartésien » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 36,0 36,1 36,2 36,3 et 36,4 Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en cylindro-polaire » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 37,0 37,1 37,2 37,3 et 37,4 Voir le paragraphe « expression du laplacien d'une fonction scalaire de l'espace en sphérique » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ 38,0 38,1 et 38,2 Pour simplifier l'écriture, les paramètres figés lors de la définition d'une dérivée partielle ont été omis
(
{\displaystyle \;{\big (}}
à condition, bien sûr, qu'il n'y ait aucune ambiguïté
)
{\displaystyle {\big )}}
.
↑ Voir le paragraphe « définition intrinsèque (équivalente) du champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » pour plus de détails.
↑ Voir le paragraphe « définition et propriété d'un tenseur d'ordre zéro » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 41,0 41,1 et 41,2 Les matrices de taille
(
1
,
1
)
{\displaystyle \;\left(1\,,\,1\right)\;}
théoriquement possibles sont usuellement éliminées
[
{\displaystyle \;{\big [}}
car, dans la pratique, leurs propriétés s'identifient à celles d'un élément de
R
{\displaystyle \;\mathbb {R} }
, ici nous maintenons cette possibilité.
↑ 42,0 42,1 42,2 42,3 42,4 et 42,5 Une grandeur est dite covariante lorsqu'elle varie comme les vecteurs de base et contravariante quand elle varie de façon contraire.
↑ 43,0 43,1 et 43,2 La représentation matricielle de l'opérateur linéaire du 1er ordre “nabla vectoriel ...” en matrice carrée de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
3
)
{\displaystyle \;\left(3\times 3\right)\;}
conduit à une matrice symétrique uniquement dans le repérage cartésien, celle propriété devenant fausse dans le repérage cylindro-polaire ou sphérique ; en repérage cylindro-polaire l'élément
3
,
2
{\displaystyle \;_{3,\,2}\;}
diffère de l'élément
3
,
2
{\displaystyle \;_{3,\,2}\;}
de façon à ce que «
[
∇
→
∧
]
cyl
×
[
A
→
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{cyl}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}\;}
{
[
A
→
(
M
)
]
cyl
{\displaystyle {\Big \{}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}\;}
étant la matrice colonne représentant un champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
en repérage cylindro-polaire
}
{\displaystyle {\Big \}}\;}
représente la matrice colonne associée au champ vectoriel
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
dans ce repérage »
(
{\displaystyle \;{\big (}}
voir le paragraphe « représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre
)
{\displaystyle {\big )}}
; en repérage sphérique l'élément
1
,
3
{\displaystyle \;_{1,\,3}\;}
diffère de l'élément
3
,
1
{\displaystyle \;_{3,\,1}\;}
de façon à ce que «
[
∇
→
∧
]
sph
×
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle \;\left[{\vec {\nabla }}\wedge \right]_{\text{sph}}\times \left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}\;}
{
[
A
→
(
M
)
]
sph
{\displaystyle {\Big \{}\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}\;}
étant la matrice colonne représentant un champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
en repérage sphérique
}
{\displaystyle {\Big \}}\;}
représente la matrice colonne associée au champ vectoriel
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)\;}
dans ce repérage »
(
{\displaystyle \;{\big (}}
voir le paragraphe « représentation matricielle du champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace » plus loin dans ce chapitre
)
{\displaystyle {\big )}}
.
↑ 44,0 44,1 et 44,2 Voir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
↑ 45,0 et 45,1 Voir le paragraphe « proposition de définition intrinsèque de l'opérateur vectoriel linéaire du 1er ordre “nabla” » du chap.
19
{\displaystyle 19}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ 46,0 et 46,1 Voir le paragraphe « champ vectoriel gradient d'une fonction scalaire de l'espace (remarque) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 47,0 47,1 et 47,2 Voir le paragraphe « champ scalaire laplacien d'une fonction scalaire de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
↑ 48,0 et 48,1 Application « directe » de l'opérateur vectoriel «
∇
→
[
]
{\displaystyle \;{\vec {\nabla }}\!\left[\,\right]\;}
» à une fonction vectorielle «
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
» sans utiliser les opérateurs intermédiaires « multiplication scalaire
⋅
{\displaystyle \;\cdot \;}
» comme dans le champ scalaire divergence «
d
i
v
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
⋅
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;\mathrm {div} \!\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}(M)\;}
» ou « multiplication vectoriel
∧
{\displaystyle \;\wedge \;}
» comme dans le champ vectoriel rotationnel «
r
o
t
→
[
A
→
]
(
M
)
=
∇
→
∧
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left[{\vec {A}}\right](M)={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A}}(M)\;}
».
↑ On aurait pu choisir
−
{\displaystyle \;-\;}
pour les mêmes raisons
−
{\displaystyle \;-\;}
le repérage sphérique.
↑ Dans l'expression du champ vectoriel, les trois composantes et les deux 1ers vecteurs de base dépendent des coordonnées de
M
{\displaystyle \;M}
, dépendance entraînant une action non nulle des dérivées partielles de l'opérateur “nabla”.
↑ On pourrait encore écrire «
δ
A
1
→
=
{
g
r
a
d
→
[
A
ρ
]
⋅
d
M
→
}
u
→
ρ
+
{
g
r
a
d
→
[
A
θ
]
⋅
d
M
→
}
u
→
θ
+
{
g
r
a
d
→
[
A
z
]
⋅
d
M
→
}
u
→
z
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\delta A_{1}}}=\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[A_{\rho }\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace {\vec {u}}_{\rho }+\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[A_{\theta }\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace {\vec {u}}_{\theta }+\left\lbrace {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left[A_{z}\right]\cdot {\overrightarrow {dM}}\right\rbrace {\vec {u}}_{z}\;}
».
↑ En effet «
d
u
→
ρ
=
d
u
→
ρ
d
θ
d
θ
{\displaystyle \;d{\vec {u}}_{\rho }={\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}\,d\theta \;}
» et «
d
u
→
θ
=
d
u
→
θ
d
θ
d
θ
{\displaystyle \;d{\vec {u}}_{\theta }={\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}\,d\theta \;}
» les dérivées partielles étant en fait des dérivées droites dans la mesure où les vecteurs de base ne dépendent que d'une variable
θ
{\displaystyle \;\theta \;}
; compte-tenu du résultat des dérivées de vecteurs de base par rapport à
θ
{\displaystyle \;\theta }
[
{\displaystyle \;{\big [}}
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
, on pourrait encore écrire «
δ
A
3
→
=
d
θ
A
ρ
u
→
θ
−
d
θ
A
θ
u
→
ρ
{\displaystyle \;{\overrightarrow {\delta A_{3}}}=d\theta \,A_{\rho }\,{\vec {u}}_{\theta }-d\theta \,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\rho }\;}
».
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ 54,0 et 54,1 Cette matrice résultant du produit d'une matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
3
)
{\displaystyle \;\left(1\times 3\right)\;}
par une matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
1
)
{\displaystyle \;\left(3\times 1\right)}
.
↑ 55,0 55,1 55,2 55,3 et 55,4 L'action d'un opérateur scalaire sur une matrice colonne transforme cette dernière en une nouvelle matrice colonne dont chaque élément est le résultat de l'action de cet opérateur sur chaque élément de la matrice colonne d'origine. Attention il ne s'agit nullement d'un produit de matrices lequel ne serait pas défini entre une matrice de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
1
×
1
)
{\displaystyle \;\left(1\times 1\right)\;}
et une autre de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
1
)
{\displaystyle \;\left(3\times 1\right)}
.
↑ 56,0 56,1 56,2 56,3 56,4 56,5 56,6 56,7 et 56,8 Avec «
d
{
}
{\displaystyle \;d\left\lbrace \,\right\rbrace \;}
» opérateur de différenciation.
↑ Ou encore, en utilisant les résultats rappelés en note « 52 » plus haut dans ce chapitre «
[
d
A
→
]
cyl
=
[
d
A
ρ
u
→
ρ
+
A
ρ
u
→
θ
d
θ
d
A
θ
u
→
θ
−
A
θ
u
→
ρ
d
θ
d
A
z
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[d{\vec {A}}\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{l}dA_{\rho }\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }\,{\vec {u}}_{\theta }\,d\theta \\dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\rho }\,d\theta \\dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»
{
{\displaystyle {\big \{}}
voir la note « 21 » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
↑ Ou encore, en utilisant les résultats des paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », «
[
d
A
→
]
sph
=
[
d
A
r
u
→
r
+
A
r
{
u
→
θ
d
θ
+
u
→
φ
sin
(
θ
)
d
φ
}
d
A
θ
u
→
θ
+
A
θ
{
−
u
→
r
d
θ
+
u
→
φ
cos
(
θ
)
d
φ
}
d
A
φ
u
→
φ
−
A
φ
{
u
→
r
sin
(
θ
)
+
u
→
θ
cos
(
θ
)
}
d
φ
]
{\displaystyle \;\left[d{\vec {A}}\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{l}dA_{r}\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\\\dA_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,d\theta +{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,d\varphi \right\rbrace \\\\dA_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace d\varphi \end{array}}\right]\;}
»
{
{\displaystyle {\big \{}}
voir la note « 21 » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
↑ 59,00 59,01 59,02 59,03 59,04 59,05 59,06 59,07 59,08 59,09 59,10 59,11 59,12 59,13 59,14 59,15 59,16 59,17 59,18 59,19 59,20 59,21 et 59,22 Pour alléger la notation, l'instant
t
{\displaystyle \;t\;}
des grandeurs dépendant explicitement du temps n'a pas été indiqué
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Ou encore, en utilisant les résultats rappelés en note « 52 » plus haut dans ce chapitre «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
cyl
[
A
→
(
M
)
]
cyl
=
[
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
ρ
(
M
)
}
u
→
ρ
+
A
ρ
(
M
)
θ
˙
u
→
θ
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
θ
(
M
)
}
u
→
θ
−
A
θ
(
M
)
θ
˙
u
→
ρ
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
z
(
M
)
}
u
→
z
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{cyl}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{cyl}}=\left[{\begin{array}{l}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\rho }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\rho }(M)\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }-A_{\theta }(M)\,{\dot {\theta }}\,{\vec {u}}_{\rho }\\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{z}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{z}\end{array}}\right]\;}
»
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir la note « 59 » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
↑ Ou encore, en utilisant les résultats des paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », «
[
V
→
M
⋅
∇
→
]
sph
[
A
→
(
M
)
]
sph
=
[
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
r
(
M
)
}
u
→
r
+
A
r
(
M
)
{
u
→
θ
θ
˙
+
u
→
φ
sin
(
θ
)
φ
˙
}
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
θ
(
M
)
}
u
→
θ
+
A
θ
(
M
)
{
−
u
→
r
θ
˙
+
u
→
φ
cos
(
θ
)
φ
˙
}
V
→
M
⋅
g
r
a
d
→
{
A
φ
(
M
)
}
u
→
φ
−
A
φ
(
M
)
{
u
→
r
sin
(
θ
)
+
u
→
θ
cos
(
θ
)
}
φ
˙
]
{\displaystyle \;\left[{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\vec {\nabla }}\right]_{\text{sph}}\;\left[{\vec {A}}(M)\right]_{\text{sph}}=\left[{\begin{array}{l}{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{r}(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{r}+A_{r}(M)\,\left\lbrace {\vec {u}}_{\theta }\,{\dot {\theta }}+{\vec {u}}_{\varphi }\,\sin(\theta )\,{\dot {\varphi }}\right\rbrace \\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\theta }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }(M)\,\left\lbrace -{\vec {u}}_{r}\,{\dot {\theta }}+{\vec {u}}_{\varphi }\,\cos(\theta )\,{\dot {\varphi }}\right\rbrace \\{\vec {V}}_{\!M}\,\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\!\left\lbrace A_{\varphi }(M)\right\rbrace \,{\vec {u}}_{\varphi }-A_{\varphi }(M)\,\left\lbrace {\vec {u}}_{r}\,\sin(\theta )+{\vec {u}}_{\theta }\,\cos(\theta )\right\rbrace {\dot {\varphi }}\end{array}}\right]\;}
»
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir la note « 59 » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
.
↑ Ce champ intervient lors du calcul de la dérivée particulaire du champ de vecteurs vitesse d'un milieu fluide «
D
V
→
M
D
t
(
t
)
=
(
∂
V
→
M
∂
t
)
M
(
t
)
+
{
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
→
}
[
V
→
M
(
t
)
]
{\displaystyle \;{\dfrac {D{\vec {V}}_{\!M}}{Dt}}(t)=\left({\dfrac {\partial {\vec {V}}_{\!M}}{\partial t}}\right)_{\!\!M}(t)+\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]\;}
», cette dérivée particulaire de
V
→
M
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;}
jouant le rôle du vecteur accélération du point
M
{\displaystyle \;M\;}
lors de l'étude de la dynamique des fluides ,
le 1er terme
(
∂
V
→
M
∂
t
)
M
(
t
)
{\displaystyle \;\left({\dfrac {\partial {\vec {V}}_{\!M}}{\partial t}}\right)_{\!\!M}(t)\;}
traduisant la variation locale de
V
→
M
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;}
en
M
{\displaystyle \;M\;}
figé et
le 2ème
{
V
→
M
(
t
)
⋅
∇
→
}
[
V
→
M
(
t
)
]
{\displaystyle \;\left\lbrace {\vec {V}}_{\!M}(t)\cdot {\vec {\nabla }}\right\rbrace \!\left[{\vec {V}}_{\!M}(t)\right]\;}
la variation advective
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou encore convective
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de
V
→
M
(
t
)
{\displaystyle \;{\vec {V}}_{\!M}(t)\;}
liée au déplacement du point
M
{\displaystyle \;M}
.
↑ Voir la note « 60 » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir la note « 60 » plus haut dans ce chapitre.
↑ Plus précisément il faut que les dérivées partielles 2ndes de la fonction vectorielle existent.
↑ 66,0 66,1 et 66,2 Voir l'introduction du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien (4ème sous-paragraphe de l'introduction) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 67,00 67,01 67,02 67,03 67,04 67,05 67,06 67,07 67,08 67,09 67,10 67,11 67,12 67,13 67,14 67,15 67,16 67,17 67,18 67,19 67,20 et 67,21 Pour alléger la notation, les variables maintenues figées lors de dérivations partielles n'ont pas été indiquées
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ 68,0 68,1 et 68,2 En admettant que, lors d'une dérivation partielle du 2nd ordre on peut permuter l'ordre des dérivations sans changer le résultat
(
{\displaystyle \;{\big (}}
théorème de Schwarz
)
{\displaystyle {\big )}}
. Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921) mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'analyse réelle et complexe à la géométrie différentielle , en passant par le calcul des variations ; il contribua à propager en Italie et en France les idées du mathématicien Karl Weierstrass dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en
1861
{\displaystyle \;1861}
; Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques
[
{\displaystyle \;{\big [}}
on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass ayant la propriété d'être partout continue mais dérivable nulle part
]
{\displaystyle {\big ]}}
.
↑ En effet «
d
u
→
ρ
d
θ
=
u
→
θ
{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;}
et
d
u
→
θ
d
θ
=
−
u
→
ρ
{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;}
»
(
{\displaystyle \;{\big (}}
les dérivées initialement partielles étant devenues droites dans la mesure où les vecteurs de base ne dépendent que d'une variable
θ
)
{\displaystyle \;\theta {\big )}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
dont on déduit «
d
2
u
→
ρ
d
θ
2
=
−
u
→
ρ
{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta ^{2}}}=-{\vec {u}}_{\rho }\;}
et
d
2
u
→
θ
d
θ
2
=
−
u
→
θ
{\displaystyle \;{\dfrac {d^{2}{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta ^{2}}}=-{\vec {u}}_{\theta }\;}
».
↑ On utilisera les informations établies dans les paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
Les termes supplémentaires de la 1ère ligne correspondent à ce qui n'a pas été utilisé à partir de «
1
r
2
∂
[
r
2
∂
(
A
r
u
→
r
)
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
(
A
r
u
→
r
)
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
(
A
r
u
→
r
)
∂
φ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial \left(A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\right)}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial \left(A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi ^{2}}}\;}
» c'est-à-dire les termes faisant intervenir au moins une fois les dérivées partielles des vecteurs de base d'où
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 1er terme se réécrivant
∂
[
r
2
(
∂
A
r
∂
r
u
→
r
+
A
r
∂
u
→
r
∂
r
)
]
∂
r
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}\,\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial r}}\right)\right]}{\partial r}}\;}
et
∂
u
→
r
∂
r
=
0
→
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial r}}={\vec {0}}\;}
tout a été utilisé,
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 2ème terme se réécrivant
∂
[
sin
(
θ
)
(
∂
A
r
∂
θ
u
→
r
+
A
r
∂
u
→
r
∂
θ
)
]
∂
θ
=
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
θ
]
∂
θ
u
→
r
+
2
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
θ
∂
u
→
r
∂
θ
+
cos
(
θ
)
A
r
∂
u
→
r
∂
θ
+
sin
(
θ
)
A
r
∂
2
u
→
r
∂
θ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)\right]}{\partial \theta }}={\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{r}+2\,\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}+\cos(\theta )\,A_{r}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}+\sin(\theta )\,A_{r}\,{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{r}}{\partial \theta ^{2}}}\;}
dans lequel seul le 1er terme a été utilisé d'où, avec
∂
u
→
r
∂
θ
=
u
→
θ
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;}
et
∂
2
u
→
r
∂
θ
2
=
−
u
→
r
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{r}}{\partial \theta ^{2}}}=-{\vec {u}}_{r}}
, et compte-tenu du facteur de la dérivée partielle
1
r
2
sin
(
θ
)
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}}
, il convient d'ajouter dans la 1ère ligne de la matrice colonne «
2
r
2
∂
A
r
∂
θ
u
→
θ
+
cos
(
θ
)
r
2
sin
(
θ
)
A
r
u
→
θ
−
1
r
2
A
r
u
→
r
{\displaystyle \;{\dfrac {2}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,A_{r}\,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {1}{r^{2}}}\,A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\;}
»,
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 3ème terme se réécrivant
∂
[
∂
(
A
r
u
→
r
)
∂
φ
]
∂
φ
=
∂
[
∂
A
r
∂
φ
u
→
r
+
A
r
∂
u
→
r
∂
φ
]
∂
φ
=
∂
2
A
r
∂
φ
2
u
→
r
+
2
∂
A
r
∂
φ
∂
u
→
r
∂
φ
+
A
r
∂
2
u
→
r
∂
φ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial \left(A_{r}\,{\vec {u}}_{r}\right)}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}={\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{r}+A_{r}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}={\dfrac {\partial ^{2}A_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}\,{\vec {u}}_{r}+2\;{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}+A_{r}\,{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}\;}
dans lequel seul le 1er terme a été utilisé d'où, avec
∂
u
→
r
∂
φ
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}}
=
sin
(
θ
)
u
→
φ
{\displaystyle =\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
et
∂
2
u
→
r
∂
φ
2
=
sin
(
θ
)
d
u
→
φ
d
φ
=
sin
(
θ
)
[
−
sin
(
θ
)
u
→
r
−
cos
(
θ
)
u
→
θ
]
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi ^{2}}}=\sin(\theta )\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}=\sin(\theta )\,\left[-\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right]}
, et compte-tenu du facteur de la dérivée partielle
1
r
2
sin
2
(
θ
)
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}
,
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
ajouter dans la 1ère ligne de la matrice colonne «
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
u
→
φ
−
1
r
2
A
r
u
→
r
−
cos
(
θ
)
r
2
sin
(
θ
)
A
r
u
→
θ
{\displaystyle \;{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {1}{r^{2}}}\,A_{r}\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,A_{r}\,{\vec {u}}_{\theta }\;}
»,
d'où les termes supplémentaires de la 1ère ligne de la matrice colonne «
2
r
2
∂
A
r
∂
θ
u
→
θ
−
2
r
2
A
r
u
→
r
+
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
A
r
∂
φ
u
→
φ
{\displaystyle \;{\dfrac {2}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {2}{r^{2}}}\,A_{r}\,{\vec {u}}_{r}+{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
» ;
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
les termes supplémentaires de la 2ème ligne correspondent à ce qui n'a pas été utilisé à partir de «
1
r
2
∂
[
r
2
∂
(
A
θ
u
→
θ
)
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
(
A
θ
u
→
θ
)
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
(
A
θ
u
→
θ
)
∂
φ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial \left(A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial \left(A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi ^{2}}}\;}
» c'est-à-dire les termes faisant intervenir au moins une fois les dérivées partielles des vecteurs de base d'où
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 1er terme se réécrivant
∂
[
r
2
(
∂
A
θ
∂
r
u
→
θ
+
A
θ
∂
u
→
θ
∂
r
)
]
∂
r
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}\,\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial r}}\right)\right]}{\partial r}}\;}
et
∂
u
→
θ
∂
r
=
0
→
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial r}}={\vec {0}}\;}
tout a été utilisé,
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 2ème terme se réécrivant
∂
[
sin
(
θ
)
(
∂
A
θ
∂
θ
u
→
θ
+
A
θ
∂
u
→
θ
∂
θ
)
]
∂
θ
=
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
θ
]
∂
θ
u
→
θ
+
2
sin
(
θ
)
∂
A
θ
∂
θ
∂
u
→
θ
∂
θ
+
cos
(
θ
)
A
θ
∂
u
→
θ
∂
θ
+
sin
(
θ
)
A
θ
∂
2
u
→
θ
∂
θ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)\right]}{\partial \theta }}={\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\theta }+2\,\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}+\cos(\theta )\,A_{\theta }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}+\sin(\theta )\,A_{\theta }\,{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}\;}
dans lequel seul le 1er terme a été utilisé d'où, avec
∂
u
→
θ
∂
θ
=
−
u
→
r
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}=-{\vec {u}}_{r}\;}
et
∂
2
u
→
θ
∂
θ
2
=
−
u
→
θ
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta ^{2}}}=-{\vec {u}}_{\theta }}
, et compte-tenu du facteur de la dérivée partielle
1
r
2
sin
(
θ
)
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}}
, il convient d'ajouter dans la 2ème ligne de la matrice colonne «
−
2
r
2
∂
A
θ
∂
θ
u
→
r
−
cos
(
θ
)
r
2
sin
(
θ
)
A
θ
u
→
r
−
1
r
2
A
θ
u
→
θ
{\displaystyle \;-{\dfrac {2}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {1}{r^{2}}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\;}
»,
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 3ème terme se réécrivant
∂
[
∂
(
A
θ
u
→
θ
)
∂
φ
]
∂
φ
=
∂
[
∂
A
θ
∂
φ
u
→
θ
+
A
θ
∂
u
→
θ
∂
φ
]
∂
φ
=
∂
2
A
θ
∂
φ
2
u
→
θ
+
2
∂
A
θ
∂
φ
∂
u
→
θ
∂
φ
+
A
θ
∂
2
u
→
θ
∂
φ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial \left(A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\right)}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}={\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\theta }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}={\dfrac {\partial ^{2}A_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}\,{\vec {u}}_{\theta }+2\;{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}+A_{\theta }\,{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}\;}
dans lequel seul le 1er terme a été utilisé d'où, avec
∂
u
→
θ
∂
φ
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}}
=
cos
(
θ
)
u
→
φ
{\displaystyle =\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
et
∂
2
u
→
θ
∂
φ
2
=
cos
(
θ
)
d
u
→
φ
d
φ
=
cos
(
θ
)
[
−
sin
(
θ
)
u
→
r
−
cos
(
θ
)
u
→
θ
]
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi ^{2}}}=\cos(\theta )\,{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{d\varphi }}=\cos(\theta )\,\left[-\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\right]}
, et compte-tenu du facteur de la dérivée partielle
1
r
2
sin
2
(
θ
)
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}
,
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
ajouter dans la 2ère ligne de la matrice colonne «
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
u
→
φ
−
cos
(
θ
)
r
2
sin
(
θ
)
A
θ
u
→
r
−
cos
2
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
A
θ
u
→
θ
{\displaystyle \;{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }-{\dfrac {\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {\cos ^{2}(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }\;}
»,
d'où les termes supplémentaires de la 2ème ligne de la matrice colonne «
−
2
r
2
∂
A
θ
∂
θ
u
→
r
−
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
(
θ
)
A
θ
u
→
r
−
1
r
2
sin
2
(
θ
)
A
θ
u
→
θ
+
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
θ
∂
φ
u
→
φ
{\displaystyle \;-{\dfrac {2}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {2\;\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\theta }\,{\vec {u}}_{\theta }+{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
» ;
▸
{\displaystyle \blacktriangleright \;}
les termes supplémentaires de la 3ème ligne correspondent à ce qui n'a pas été utilisé à partir de «
1
r
2
∂
[
r
2
∂
(
A
φ
u
→
φ
)
∂
r
]
∂
r
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
[
sin
(
θ
)
∂
(
A
φ
u
→
φ
)
∂
θ
]
∂
θ
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
(
A
φ
u
→
φ
)
∂
φ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}}}\,{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}{\dfrac {\partial \left(A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)}{\partial r}}\right]}{\partial r}}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta ){\dfrac {\partial \left(A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}+{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial ^{2}\left(A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)}{\partial \varphi ^{2}}}\;}
» c'est-à-dire les termes faisant intervenir au moins une fois les dérivées partielles des vecteurs de base d'où
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 1er terme se réécrivant
∂
[
r
2
(
∂
A
φ
∂
r
u
→
φ
+
A
φ
∂
u
→
φ
∂
r
)
]
∂
r
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \!\left[r^{2}\,\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial r}}\right)\right]}{\partial r}}\;}
et
∂
u
→
φ
∂
r
=
0
→
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial r}}={\vec {0}}\;}
tout a été utilisé,
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 2ème terme se réécrivant
∂
[
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
u
→
φ
+
A
φ
∂
u
→
φ
∂
θ
)
]
∂
θ
=
∂
[
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
θ
]
∂
θ
u
→
φ
+
2
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
θ
∂
u
→
φ
∂
θ
+
cos
(
θ
)
A
φ
∂
u
→
φ
∂
θ
+
sin
(
θ
)
A
φ
∂
2
u
→
φ
∂
θ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)\right]}{\partial \theta }}={\dfrac {\partial \!\left[\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right]}{\partial \theta }}\;{\vec {u}}_{\varphi }+2\,\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \theta }}+\cos(\theta )\,A_{\varphi }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \theta }}+\sin(\theta )\,A_{\varphi }\,{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \theta ^{2}}}\;}
et
∂
u
→
φ
∂
θ
=
0
→
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \theta }}={\vec {0}}\;}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
∂
2
u
→
φ
∂
θ
2
=
0
→
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \theta ^{2}}}={\vec {0}}}
, tout a été utilisé,
▸
{\displaystyle \color {transparent}{\blacktriangleright }\;}
∙
{\displaystyle \bullet \;}
la dérivée partielle du 3ème terme se réécrivant
∂
[
∂
(
A
φ
u
→
φ
)
∂
φ
]
∂
φ
=
∂
[
∂
A
φ
∂
φ
u
→
φ
+
A
φ
∂
u
→
φ
∂
φ
]
∂
φ
=
∂
2
A
φ
∂
φ
2
u
→
φ
+
2
∂
A
φ
∂
φ
∂
u
→
φ
∂
φ
+
A
φ
∂
2
u
→
φ
∂
φ
2
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial \left(A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\right)}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}={\dfrac {\partial \left[{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\varphi }+A_{\varphi }\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right]}{\partial \varphi }}={\dfrac {\partial ^{2}A_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}\,{\vec {u}}_{\varphi }+2\;{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \varphi }}+A_{\varphi }\,{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}\;}
dans lequel seul le 1er terme a été utilisé d'où, avec
∂
u
→
φ
∂
φ
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \varphi }}}
=
−
sin
(
θ
)
u
→
r
−
cos
(
θ
)
u
→
θ
{\displaystyle =-\sin(\theta )\,{\vec {u}}_{r}-\cos(\theta )\,{\vec {u}}_{\theta }\;}
et
∂
2
u
→
φ
∂
φ
2
=
−
sin
(
θ
)
∂
u
→
r
∂
φ
−
cos
(
θ
)
∂
u
→
θ
∂
φ
=
−
sin
2
(
θ
)
u
→
φ
−
cos
2
(
θ
)
u
→
φ
=
−
u
→
φ
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial ^{2}{\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \varphi ^{2}}}=-\sin(\theta )\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}-\cos(\theta )\,{\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}=-\sin ^{2}(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }-\cos ^{2}(\theta )\,{\vec {u}}_{\varphi }=-{\vec {u}}_{\varphi }}
, et compte-tenu du facteur de la dérivée partielle
1
r
2
sin
2
(
θ
)
{\displaystyle \;{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}}
,
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
ajouter dans la 2ère ligne de la matrice colonne «
−
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
r
−
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
θ
−
1
r
2
sin
2
(
θ
)
A
φ
u
→
φ
{\displaystyle \;-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
»,
d'où les termes supplémentaires de la 3ème ligne de la matrice colonne «
−
2
r
2
sin
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
r
−
2
cos
(
θ
)
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
A
φ
∂
φ
u
→
θ
−
1
r
2
sin
2
(
θ
)
A
φ
u
→
φ
{\displaystyle \;-{\dfrac {2}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{r}-{\dfrac {2\,\cos(\theta )}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,{\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\,{\vec {u}}_{\theta }-{\dfrac {1}{r^{2}\,\sin ^{2}(\theta )}}\,A_{\varphi }\,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
».
↑ Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921) mathématicien allemand, dont les travaux portèrent sur des sujets allant de l'analyse réelle et complexe à la géométrie différentielle , en passant par le calcul des variations ; il contribua à propager en Italie et en France les idées du mathématicien Karl Weierstrass dont il fut l'élève par les notes de cours qu'il prit en
1861
{\displaystyle \;1861}
; Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) mathématicien allemand considéré comme le père de l'analyse moderne, ses travaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques
[
{\displaystyle \;{\big [}}
on lui doit aussi la création d'une fonction connue de nos jours sous le nom de fonction de Weierstrass ayant la propriété d'être partout continue mais dérivable nulle part
]
{\displaystyle {\big ]}}
.
↑ 72,0 72,1 72,2 72,3 72,4 et 72,5 Voir le paragraphe « définition et propriété d'un 1er tenseur d'ordre deux » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ 73,0 73,1 73,2 73,3 73,4 et 73,5 C.-à-d. l'espace vectoriel associé à l'espace affine.
↑ 74,0 74,1 74,2 74,3 74,4 74,5 74,6 et 74,7 L'ensemble des matrices carrées réelles de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
correspondant à une matrice réelle de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
3
)
{\displaystyle \;\left(3\times 3\right)\;}
est noté «
M
3
(
R
)
{\displaystyle \;M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;}
».
↑ 75,0 75,1 et 75,2 Voir le paragraphe « puissance tensorielle d'un espace vectoriel tridimensionnel » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Ou à un sous-ensemble de
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}}
, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
↑ 77,0 et 77,1 Voir le paragraphe « définition du produit tensoriel de deux espaces vectoriels tridimensionnels (produit tensoriel de deux vecteurs) » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ 78,0 et 78,1 Voir le paragraphe « bases pour les espaces vectoriels dont les éléments sont des tenseurs d'ordre deux (ensemble des tenseurs d'ordre 2 contravariants) » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ 79,0 et 79,1 Ou à un sous-ensemble de
R
3
{\displaystyle \;\mathbb {R} ^{3}}
, le sous-ensemble correspondant au domaine de définition.
↑ Usuellement on n'introduit pas les coordonnées du point en définissant les composantes mais on écrit «
{
M
⟶
F
i
,
j
F
i
,
j
(
M
)
∈
R
,
∀
M
∈
E
}
1
⩽
i
⩽
3
,
1
⩽
j
⩽
3
{\displaystyle \;\left\lbrace M\;\;{\overset {{\mathcal {F}}_{i,\,j}}{\longrightarrow }}\;\;{\mathcal {F}}_{i,\,j}(M)\in \mathbb {R} ,\;\;\forall \,M\in {\mathcal {E}}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant \,3\,,\,1\,\leqslant \,j\,\leqslant \,3}\;}
».
↑ C.-à-d. en mécanique des solides déformables
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
ici « solide » doit être pris au sens de la physique et non de la mécanique, un solide au sens de la mécanique étant un système indéformable
}
{\displaystyle {\big \}}\;}
ou C.-à-d. en mécanique des fluides .
↑ « Le cœfficient
σ
i
,
j
(
M
)
{\displaystyle \;\sigma _{i,\,j}(M)\;}
de la ième ligne et jème colonne » est aussi « la composante sur
−
e
→
i
{\displaystyle \;-{\vec {e}}_{i}\;}
de la force surfacique que l'environnement exerce sur la face opposée de la face élémentaire
j
{\displaystyle \;_{j}\;}
d'aire
d
2
S
j
{\displaystyle \;d^{2}S_{j}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
face opposée notée
−
j
)
{\displaystyle \;_{-j}{\big )}\;}
»
{
{\displaystyle \;{\bigg \{}}
laquelle est l'opposée de la force surfacique que l'environnement exerce sur la face élémentaire
j
{\displaystyle \;_{j}\;}
dans la mesure où le milieu continu est localement au repos
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
d
2
F
→
−
j
←
env
(
M
−
j
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{-j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{-j})}
=
−
d
2
F
→
j
←
env
(
M
j
)
{\displaystyle =-{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})\;}
»
}
{\displaystyle {\bigg \}}\;}
soit «
d
2
F
→
−
j
←
env
(
M
−
j
)
⋅
(
−
e
→
i
)
d
2
S
j
=
−
d
2
F
→
−
j
←
env
(
M
j
)
⋅
e
→
i
d
2
S
j
=
d
2
F
→
j
←
env
(
M
j
)
⋅
e
→
i
d
2
S
j
=
σ
i
,
j
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{-j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{-j})\cdot \left(-{\vec {e}}_{i}\right)}{d^{2}S_{j}}}={\dfrac {-{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{-j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})\cdot {\vec {e}}_{i}}{d^{2}S_{j}}}={\dfrac {{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})\cdot {\vec {e}}_{i}}{d^{2}S_{j}}}=\sigma _{i,\,j}(M)\;}
».
↑ En effet, dans la mesure où le milieu continu est localement au repos, la somme des moments vectoriels des forces surfaciques que l'environnement exerce sur les
6
{\displaystyle \;6\;}
faces du cube élémentaire
[
{\displaystyle \;{\big [}}
voir le paragraphe « définition (vecteur moment d'une force appliquée en M par rapport à un point A) » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}\;}
est nulle
[
{\displaystyle \;{\big [}}
voir le paragraphe « théorème du moment cinétique vectoriel appliqué à un sysème discret de points matériels dans le référentiel d'étude galiléen » du chap.
5
{\displaystyle 5}
de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » dans le cas de repos, le cube élémentaire de milieu continu étant considéré comme système discret de points dans la mesure où le système des forces appliquées s'est réduit à
6
]
{\displaystyle \;6{\big ]}\;}
soit, en évaluant ces moments relativement à
M
{\displaystyle \;M\;}
centre du cube, «
∑
j
=
1
.
.
3
M
M
j
→
∧
d
2
F
→
j
←
env
(
M
j
)
+
∑
j
=
1
.
.
3
M
M
−
j
→
∧
d
2
F
→
−
j
←
env
(
M
−
j
)
=
0
→
(
a
)
{\displaystyle \;\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,3}{\overrightarrow {MM_{j}}}\wedge {\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})+\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,3}{\overrightarrow {MM_{-j}}}\wedge {\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{-j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{-j})={\vec {0}}\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}
»
(
{\displaystyle \;{\big (}}
la face opposée de la face élémentaire
j
{\displaystyle \;_{j}\;}
étant notée
−
j
)
{\displaystyle \;_{-j}{\big )}\;}
ou, sachant que
M
M
−
j
→
=
−
M
M
j
→
{\displaystyle \;{\overrightarrow {MM_{-j}}}=-{\overrightarrow {MM_{j}}}\;}
et
d
2
F
→
−
j
←
env
(
M
−
j
)
=
−
d
2
F
→
j
←
env
(
M
j
)
{\displaystyle \;{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{-j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{-j})=-{\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir note « 82 » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
,
(
a
)
{\displaystyle \;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}
se réécrit «
2
[
∑
j
=
1
.
.
3
M
M
j
→
∧
d
2
F
→
j
←
env
(
M
j
)
]
=
0
→
{\displaystyle \;2\left[\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,3}{\overrightarrow {MM_{j}}}\wedge {\overrightarrow {d^{2}F}}_{_{j}\,\leftarrow \,{\text{env}}}(M_{j})\right]={\vec {0}}\;}
» soit encore, en considérant un cube élémentaire de
a
{\displaystyle \;a\;}
de côté, «
2
{
a
2
e
→
1
∧
[
σ
1
,
1
(
M
)
e
→
1
+
σ
2
,
1
(
M
)
e
→
2
+
σ
3
,
1
(
M
)
e
→
3
]
a
2
+
⋯
a
2
e
→
2
∧
[
σ
1
,
2
(
M
)
e
→
1
+
σ
2
,
2
(
M
)
e
→
2
+
σ
3
,
2
(
M
)
e
→
3
]
a
2
+
⋯
a
2
e
→
3
∧
[
σ
1
,
3
(
M
)
e
→
1
+
σ
2
,
3
(
M
)
e
→
2
+
σ
3
,
3
(
M
)
e
→
3
]
a
2
}
=
0
→
{\displaystyle \;2\,\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {a}{2}}\,{\vec {e}}_{1}\wedge \left[\sigma _{1,\,1}(M)\,{\vec {e}}_{1}+\sigma _{2,\,1}(M)\,{\vec {e}}_{2}+\sigma _{3,\,1}(M)\,{\vec {e}}_{3}\right]\,a^{2}+\,\cdots \\{\dfrac {a}{2}}\,{\vec {e}}_{2}\wedge \left[\sigma _{1,\,2}(M)\,{\vec {e}}_{1}+\sigma _{2,\,2}(M)\,{\vec {e}}_{2}+\sigma _{3,\,2}(M)\,{\vec {e}}_{3}\right]\,a^{2}+\,\cdots \\{\dfrac {a}{2}}\,{\vec {e}}_{3}\wedge \left[\sigma _{1,\,3}(M)\,{\vec {e}}_{1}+\sigma _{2,\,3}(M)\,{\vec {e}}_{2}+\sigma _{3,\,3}(M)\,{\vec {e}}_{3}\right]\,a^{2}\end{array}}\right\rbrace ={\vec {0}}\;}
»
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
«
a
3
{
σ
1
,
1
(
M
)
[
e
→
1
∧
e
→
1
]
+
σ
2
,
1
(
M
)
[
e
→
1
∧
e
→
2
]
+
σ
3
,
1
(
M
)
[
e
→
1
∧
e
→
3
]
+
⋯
σ
1
,
2
(
M
)
[
e
→
2
∧
e
→
1
]
+
σ
2
,
2
(
M
)
[
e
→
2
∧
e
→
2
]
+
σ
3
,
2
(
M
)
[
e
→
2
∧
e
→
3
]
+
⋯
σ
1
,
3
(
M
)
[
e
→
3
∧
e
→
1
]
+
σ
2
,
3
(
M
)
[
e
→
3
∧
e
→
2
]
+
σ
3
,
3
(
M
)
[
e
→
3
∧
e
→
3
]
}
{\displaystyle \;a^{3}\left\lbrace {\begin{array}{l}\sigma _{1,\,1}(M)\left[{\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{1}\right]+\sigma _{2,\,1}(M)\left[{\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{2}\right]+\sigma _{3,\,1}(M)\left[{\vec {e}}_{1}\wedge {\vec {e}}_{3}\right]+\,\cdots \\\sigma _{1,\,2}(M)\left[{\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{1}\right]+\sigma _{2,\,2}(M)\left[{\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{2}\right]+\sigma _{3,\,2}(M)\left[{\vec {e}}_{2}\wedge {\vec {e}}_{3}\right]+\,\cdots \\\sigma _{1,\,3}(M)\left[{\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{1}\right]+\sigma _{2,\,3}(M)\left[{\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{2}\right]+\sigma _{3,\,3}(M)\left[{\vec {e}}_{3}\wedge {\vec {e}}_{3}\right]\end{array}}\right\rbrace }
=
0
→
{\displaystyle ={\vec {0}}\;}
» soit «
a
3
{
[
σ
2
,
1
(
M
)
e
→
3
−
σ
3
,
1
(
M
)
e
→
2
]
+
⋯
[
−
σ
1
,
2
(
M
)
e
→
3
+
σ
3
,
2
(
M
)
e
→
1
]
+
⋯
[
σ
1
,
3
(
M
)
e
→
2
−
σ
2
,
3
(
M
)
e
→
1
]
}
=
0
→
{\displaystyle \;a^{3}\left\lbrace {\begin{array}{l}\left[\sigma _{2,\,1}(M)\,{\vec {e}}_{3}-\sigma _{3,\,1}(M)\,{\vec {e}}_{2}\right]+\,\cdots \\\left[-\sigma _{1,\,2}(M)\,{\vec {e}}_{3}+\sigma _{3,\,2}(M)\,{\vec {e}}_{1}\right]+\,\cdots \\\left[\sigma _{1,\,3}(M)\,{\vec {e}}_{2}-\sigma _{2,\,3}(M)\,{\vec {e}}_{1}\right]\end{array}}\right\rbrace ={\vec {0}}\;}
»
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
«
a
3
{
[
σ
3
,
2
(
M
)
−
σ
2
,
3
(
M
)
]
e
→
1
+
⋯
[
σ
1
,
3
(
M
)
−
σ
3
,
1
(
M
)
]
e
→
2
+
⋯
[
σ
2
,
1
(
M
)
−
σ
1
,
2
(
M
)
]
e
→
3
}
=
0
→
{\displaystyle \;a^{3}\left\lbrace {\begin{array}{l}\left[\sigma _{3,\,2}(M)-\sigma _{2,\,3}(M)\right]\,{\vec {e}}_{1}+\,\cdots \\\left[\sigma _{1,\,3}(M)-\sigma _{3,\,1}(M)\right]\,{\vec {e}}_{2}+\,\cdots \\\left[\sigma _{2,\,1}(M)-\sigma _{1,\,2}(M)\right]\,{\vec {e}}_{3}\end{array}}\right\rbrace ={\vec {0}}\;}
»
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
«
{
σ
3
,
2
(
M
)
−
σ
2
,
3
(
M
)
=
0
σ
1
,
3
(
M
)
−
σ
3
,
1
(
M
)
=
0
σ
2
,
1
(
M
)
−
σ
1
,
2
(
M
)
=
0
}
{\displaystyle \;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sigma _{3,\,2}(M)-\sigma _{2,\,3}(M)=0\\\sigma _{1,\,3}(M)-\sigma _{3,\,1}(M)=0\\\sigma _{2,\,1}(M)-\sigma _{1,\,2}(M)=0\end{array}}\right\rbrace \;}
» c'est-à-dire le caractère symétrique de la matrice « des contraintes ».
↑ Voir le paragraphe « identification de l'opérateur scalaire linéaire du 1er ordre “dM scalaire nabla” avec l'opérateur “différenciation” lorsqu'ils agissent sur une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « champ d'advection d'une fonction vectorielle de l'espace » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir les paragraphes « identification de l'image par l'opérateur nabla scalaire nabla d'une fonction vectorielle et du champ laplacien vectoriel de cette fonction vectorielle en repérages cartésien , cylindro-polaire et sphérique » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir l'introduction du paragraphe « représentation matricielle des champs vectoriels gradient et rotationnel, des champs scalaires divergence et laplacien (1er sous-paragraphe de l'introduction) » plus haut dans ce chapitre.
↑ 88,00 88,01 88,02 88,03 88,04 88,05 88,06 88,07 88,08 88,09 88,10 88,11 et 88,12
W
{\displaystyle \;W\;}
étant la direction de l'espace affine tridimensionnel
E
{\displaystyle \;{\mathcal {E}}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
c'est-à-dire l'espace vectoriel associé à l'espace affine
)
{\displaystyle {\big )}}
.
↑ 89,0 et 89,1 Au nombre de
3
{\displaystyle \;3}
.
↑ On vérifierait qu'il est bien contravariant .
↑ En effet l'action d'une matrice d'opérateurs de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
1
)
{\displaystyle \;\left(3\times 1\right)\;}
sur une matrice d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
p
×
q
{\displaystyle \;p\times q\;}
ne donne une matrice d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
3
)
{\displaystyle \;\left(3\times 3\right)\;}
que si
p
=
1
{\displaystyle \;p=1\;}
et
q
=
3
{\displaystyle \;q=3}
.
↑ 92,0 92,1 et 92,2 Voir le paragraphe « transposition de matrices » du chap.
2
{\displaystyle 2}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ Ce qui est aussi un champ tensoriel d'ordre un contravariant .
↑ 94,0 et 94,1 L'association entre matrice carrée d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
et matrice carrée réelle consistant
à permuter
(
{\displaystyle \;{\big (}}
si besoin et en pratique partiellement
)
{\displaystyle {\big )}\;}
les éléments de chaque colonne de la matrice carrée d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
de façon à ce que l'élément de la 1ère ligne de la colonne considérée soit
∝
{\displaystyle \;\propto \;}
au 1er vecteur de base, celui de la 2ème ligne
∝
{\displaystyle \;\propto \;}
au 2ème vecteur de base et celui de la 3ème ligne
∝
{\displaystyle \;\propto \;}
au 3ème vecteur de base, puis
à conserver uniquement les composantes scalaires des éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
sur les vecteurs de base
(
{\displaystyle \;{\big (}}
sans modifier leur position dans la matrice
)
{\displaystyle {\big )}}
.
↑ 95,0 95,1 et 95,2 L'ensemble des matrices carrées d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3}
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
correspondant à une matrice d'éléments de
W
{\displaystyle \;W\;}
de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
(
3
×
3
)
{\displaystyle \;\left(3\times 3\right)\;}
est noté «
M
3
(
W
)
{\displaystyle \;M_{3}\!\left(W\right)\;}
».
↑ La raison de cette dernière transposition de matrice carrée de dimension
(
{\displaystyle \;{\big (}}
ou taille
)
{\displaystyle {\big )}}
3
{\displaystyle \;3\;}
est de permuter lignes et colonnes ce qui permet d'obtenir la représentation matricielle du champ tensoriel d'ordre deux pour que ce dernier soit contravariant
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ 97,0 97,1 97,2 et 97,3 Nous avons ajouté en haut et à droite du symbole
[
]
{\displaystyle \;\left[\;\right]\;}
représentant une matrice
W
{\displaystyle \;^{W}\;}
ou
R
{\displaystyle \;^{\mathbb {R} }\;}
pour les distinguer mais, quand il n'y a plus d'ambiguïté, ces indices extérieurs n'ont plus de raison d'être.
↑ Le symbole
←
{\displaystyle \;\leftarrow \;}
signifiant qu'à la matrice située à droite on associe celle située à gauche selon la règle donnée dans la note « 94 » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet «
d
u
→
ρ
d
θ
=
u
→
θ
{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\rho }}{d\theta }}={\vec {u}}_{\theta }\;}
et
d
u
→
θ
d
θ
=
−
u
→
ρ
{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}=-{\vec {u}}_{\rho }\;}
»
(
{\displaystyle \;{\big (}}
les dérivées initialement partielles étant devenues droites dans la mesure où les vecteurs de base ne dépendent que d'une variable
θ
)
{\displaystyle \;\theta {\big )}}
[
{\displaystyle \;{\big [}}
voir le paragraphe « différentielle des vecteurs de base cylindro-polaire » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
]
{\displaystyle {\big ]}}
.
↑ On a utilisé les informations établies dans les paragraphes « détermination des dérivées partielles du 1er vecteur de base sphérique », « détermination des dérivées partielles du 2nd vecteur de base sphérique » et « détermination de la dérivée du 3ème vecteur de base sphérique » du chap.
16
{\displaystyle 16}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », à savoir «
(
∂
u
→
r
∂
θ
)
φ
=
u
→
θ
{\displaystyle \;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }={\vec {u}}_{\theta }\;}
», «
(
∂
u
→
r
∂
φ
)
θ
=
sin
(
θ
)
u
→
φ
{\displaystyle \;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }=\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}
», «
(
∂
u
→
θ
∂
θ
)
φ
=
−
u
→
r
{\displaystyle \;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\varphi }=-{\vec {u}}_{r}\;}
», «
(
∂
u
→
θ
∂
φ
)
θ
=
cos
(
θ
)
u
→
φ
{\displaystyle \;\left({\dfrac {\partial {\vec {u}}_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\theta }=\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\varphi }\;}
» et
d
u
→
φ
∂
φ
=
−
{
sin
(
θ
)
u
→
r
+
cos
(
θ
)
u
→
θ
}
{\displaystyle \;{\dfrac {d{\vec {u}}_{\varphi }}{\partial \varphi }}=-\left\lbrace \sin(\theta )\;{\vec {u}}_{r}+\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{\theta }\right\rbrace \;}
».
↑ Mais nous ne le ferons pas, la notion n'étant pas usuellement utilisée en physique
…
{\displaystyle \;\ldots }
↑ Voir le paragraphe « introduction des tenseurs en mathématiques (figure) » du chap.
4
{\displaystyle 4}
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
↑ La méthode
(
{\displaystyle \;{\big (}}
de niveau plus élevé que
B
A
C
+
1
)
{\displaystyle \;BAC+1{\big )}\;}
consiste à introduire la dérivée du champ vectoriel relativement au vecteur position, plus précisément pour un champ vectoriel de l'espace
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)}
=
A
x
(
M
)
u
→
x
+
A
y
(
M
)
u
→
y
+
A
z
(
M
)
u
→
z
{\displaystyle =A_{x}(M)\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}(M)\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;}
et le vecteur position de son point d'application
r
→
(
M
)
=
O
M
→
=
{\displaystyle \;{\vec {r}}(M)={\overrightarrow {OM}}=}
x
u
→
x
+
y
u
→
y
+
z
u
→
z
{\displaystyle x\,{\vec {u}}_{x}+y\,{\vec {u}}_{y}+z\,{\vec {u}}_{z}}
, on définit la dérivée de
A
→
{\displaystyle \;{\vec {A}}\;}
par rapport à
r
→
{\displaystyle \;{\vec {r}}\;}
de représentation matricielle
[
∂
A
→
∂
r
→
]
=
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]=}
[
∂
A
x
∂
x
∂
A
x
∂
y
∂
A
x
∂
z
∂
A
y
∂
x
∂
A
y
∂
y
∂
A
y
∂
z
∂
A
z
∂
x
∂
A
z
∂
y
∂
A
z
∂
z
]
{\displaystyle \left[\!\!\!{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\;\;\;{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\;\;\;{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{array}}\!\!\!\right]}
,
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;}
est donc un champ tensoriel d'ordre deux
{
{\displaystyle \;{\big \{}}
voir le paragraphe « notion de champ tensoriel de l'espace » plus haut dans ce chapitre
}
{\displaystyle {\big \}}}
; le calcul du produit de
[
∂
A
→
∂
r
→
]
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\;}
avec la matrice colonne
(
{\displaystyle {\big (}}
ou matrice
3
×
1
)
{\displaystyle \;3\times 1{\big )}\;}
[
d
M
→
]
=
[
d
x
d
y
d
z
]
{\displaystyle \;\left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}dx\\dy\\dz\end{array}}\!\right]\;}
[
{\displaystyle {\Big [}}
représentation matricielle du vecteur déplacement élémentaire
d
M
→
]
{\displaystyle \;{\overrightarrow {dM}}{\Big ]}\;}
conduit à
[
∂
A
→
∂
r
→
]
×
[
d
M
→
]
=
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=}
[
∂
A
x
∂
x
d
x
+
∂
A
x
∂
y
d
y
+
∂
A
x
∂
z
d
z
∂
A
y
∂
x
d
x
+
∂
A
y
∂
y
d
y
+
∂
A
y
∂
z
d
z
∂
A
z
∂
x
d
x
+
∂
A
z
∂
y
d
y
+
∂
A
z
∂
z
d
z
]
=
[
d
A
x
d
A
y
d
A
z
]
{\displaystyle \left[\!{\begin{array}{c}{\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial A_{x}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial A_{x}}{\partial z}}\,dz\\{\dfrac {\partial A_{y}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial A_{y}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial A_{y}}{\partial z}}\,dz\\{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial y}}\,dy+{\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\,dz\end{array}}\!\right]=\left[\!{\begin{array}{c}dA_{x}\\\\dA_{y}\\\\dA_{z}\end{array}}\!\right]}
; les vecteurs de base cartésienne étant indépendants du point
M
{\displaystyle \;M}
, le produit
[
∂
A
→
∂
r
→
]
×
[
d
M
→
]
=
[
d
A
x
d
A
y
d
A
z
]
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[\!{\begin{array}{c}dA_{x}\\dA_{y}\\dA_{z}\end{array}}\!\right]\;}
est aussi la représentation matricielle de la différentielle du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)}
,
d
A
→
=
d
A
x
u
→
x
+
d
A
y
u
→
y
+
d
A
z
u
→
z
{\displaystyle \;d{\vec {A}}=dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}+dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}}
, ce qu'on peut traduire par
[
∂
A
→
∂
r
→
]
×
[
d
M
→
]
=
[
d
A
→
]
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]=\left[d{\vec {A}}\right]}
; l'étude de la variation du champ vectoriel
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
se faisant par l'étude du signe des composantes de
d
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;d{\vec {A}}(M)\;}
[
{\displaystyle {\bigg [}}
par exemple, le signe de
d
A
x
(
M
)
{\displaystyle \;dA_{x}(M)\;}
pour une variation selon
x
′
x
{\displaystyle \;x'x}
, dépend du signe de
∂
A
x
∂
x
(
M
)
]
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial A_{x}}{\partial x}}(M){\bigg ]}\;}
est aussi déterminée par le signe des composantes de
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;}
[
{\displaystyle {\bigg [}}
puisque les composantes de
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;}
sont simplement les dérivées partielles des composantes de
A
→
(
M
)
]
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M){\bigg ]}}
, ceci n'étant, pour l'instant, vérifié qu'en représentation cartésienne.
↑ Et c'est également la raison pour laquelle elle n'est donnée qu'en note de bas de page.
↑ C.-à-d. sa variation en direction et en norme relativement au référentiel de définition pour lequel les vecteurs de base cartésienne sont fixes.
↑ C.-à-d. encore le signe des composantes cylindro-polaires
(
{\displaystyle \;{\big (}}
respectivement sphériques
)
{\displaystyle {\big )}\;}
de
d
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;d{\vec {A}}(M)}
.
↑ C.-à-d. sa variation relativement à la base locale cylindro-polaire
(
{\displaystyle \;{\big (}}
respectivement sphérique
)
{\displaystyle {\big )}\;}
liée au point
M
{\displaystyle \;M}
, cette base étant supposée figée, plus précisément, par exemple pour une représentation cylindro-polaire, suivant la direction locale
u
→
ρ
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{\rho }(M)\;}
la composante
A
ρ
{\displaystyle \;A_{\rho }\;}
est-elle une fonction croissante, décroissante ou stationnaire de
ρ
,
[
{\displaystyle \;\rho ,\;{\Big [}}
de
θ
{\displaystyle \;\theta }
ou de
z
]
{\displaystyle \;z{\Big ]}}
.
↑ C.-à-d. encore, dans le cadre d'une représentation cylindro-polaire
[
{\displaystyle {\big [}}
respectivement sphérique
]
{\displaystyle {\big ]}}
, le signe de
d
A
ρ
(
M
)
{\displaystyle \;dA_{\rho }(M)}
,
d
A
θ
(
M
)
{\displaystyle \;dA_{\theta }(M)\;}
et
d
A
z
(
M
)
{\displaystyle \;dA_{z}(M)\;}
[
{\displaystyle {\big [}}
respectivement
d
A
r
(
M
)
{\displaystyle \;dA_{r}(M)}
,
d
A
θ
(
M
)
{\displaystyle \;dA_{\theta }(M)\;}
et
d
A
φ
(
M
)
]
{\displaystyle \;dA_{\varphi }(M){\big ]}}
.
↑ 109,0 et 109,1 On rappelle que cette notion de niveau plus élevé que
B
A
C
+
1
{\displaystyle \;BAC+1\;}
est donnée à titre documentaire.
↑ Avec
A
→
(
M
)
=
A
ρ
(
M
)
u
→
ρ
+
A
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
z
(
M
)
u
→
z
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)=A_{\rho }(M)\,{\vec {u}}_{\rho }+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{z}(M)\,{\vec {u}}_{z}\;}
et
d
r
→
(
M
)
=
d
M
→
=
d
ρ
u
→
ρ
+
ρ
d
θ
u
→
θ
+
d
z
u
→
z
{\displaystyle \;d{\vec {r}}(M)={\overrightarrow {dM}}=d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\rho d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+dz\,{\vec {u}}_{z}\;}
en représentation cylindro-polaire, on définit
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;}
à partir de
[
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
]
×
[
d
M
→
]
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]}
=
[
d
A
ρ
(
M
)
d
A
θ
(
M
)
d
A
z
(
M
)
]
{\displaystyle =\left[\!{\begin{array}{c}dA_{\rho }(M)\\dA_{\theta }(M)\\dA_{z}(M)\end{array}}\!\right]\;}
ce qui donne
[
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
]
=
[
(
∂
A
ρ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
ρ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
A
ρ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
θ
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
θ
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
A
θ
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
(
∂
A
z
∂
ρ
)
θ
,
z
(
M
)
1
ρ
(
∂
A
z
∂
θ
)
ρ
,
z
(
M
)
(
∂
A
z
∂
z
)
ρ
,
θ
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\right]=\left[\!{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;\;\;{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;\;\;\left({\dfrac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;\;\;{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;\;\;\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right)_{\!\theta ,\,z}(M)\;\;\;{\dfrac {1}{\rho }}\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}\right)_{\!\rho ,\,z}(M)\;\;\;\left({\dfrac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right)_{\!\rho ,\,\theta }(M)\end{array}}\!\right]}
, ce qui établit que la variation des composantes cylindro-polaires du champ
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
dépendent effectivement des composantes de
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)}
.
↑ Avec
A
→
(
M
)
=
A
r
(
M
)
u
→
r
+
A
θ
(
M
)
u
→
θ
+
A
φ
(
M
)
u
→
φ
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)=A_{r}(M)\,{\vec {u}}_{r}+A_{\theta }(M)\,{\vec {u}}_{\theta }+A_{\varphi }(M)\,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
et
d
r
→
(
M
)
=
d
M
→
=
d
r
u
→
r
+
r
d
θ
u
→
θ
+
r
sin
(
θ
)
d
φ
u
→
φ
{\displaystyle \;d{\vec {r}}(M)={\overrightarrow {dM}}=dr\,{\vec {u}}_{r}+r\,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }+r\,\sin(\theta )\,d\varphi \,{\vec {u}}_{\varphi }\;}
en représentation sphérique, on définit
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\;}
à partir du produit matriciel
[
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
]
×
[
d
M
→
]
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\right]\times \left[{\overrightarrow {dM}}\right]}
=
[
d
A
r
(
M
)
d
A
θ
(
M
)
d
A
φ
(
M
)
]
{\displaystyle =\left[\!{\begin{array}{c}dA_{r}(M)\\dA_{\theta }(M)\\dA_{\varphi }(M)\end{array}}\!\right]\;}
ce qui donne
[
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
]
=
[
(
∂
A
r
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
A
r
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
r
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
(
∂
A
θ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
A
θ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
θ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
(
∂
A
φ
∂
r
)
θ
,
φ
(
M
)
1
r
(
∂
A
φ
∂
θ
)
r
,
φ
(
M
)
1
r
sin
(
θ
)
(
∂
A
φ
∂
φ
)
r
,
θ
(
M
)
]
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)\right]=\left[\!{\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;\;\;{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;\;\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;\;\;{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;\;\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\\\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial r}}\right)_{\!\theta ,\,\varphi }(M)\;\;\;{\dfrac {1}{r}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \theta }}\right)_{\!r,\,\varphi }(M)\;\;\;{\dfrac {1}{r\,\sin(\theta )}}\left({\dfrac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)_{\!r,\,\theta }(M)\end{array}}\!\right]}
, ce qui établit que la variation des composantes sphériques du champ
A
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\vec {A}}(M)\;}
dépendent effectivement des composantes de
∂
A
→
∂
r
→
(
M
)
{\displaystyle \;{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}(M)}
.
↑ Comme le gradient d'un champ scalaire permet d'étudier la variation de ce dernier ou Comme la dérivée d'un champ vectoriel par rapport au vecteur position permet d'étudier la variation relative de ce dernier par rapport à une base locale liée à
M
{\displaystyle \;M}
.
↑ Voir ci-dessus le sous-paragraphe « étude de la variation absolue d'un champ vectoriel par représentation matricielle
(
{\displaystyle \;{\big (}}
en cylindro-polaire
)
{\displaystyle {\big )}\;}
» de ce paragraphe.
↑ Voir le paragraphe « champ tensoriel gradient d'une fonction vectorielle de l'espace (en cylindro-polaire) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir ci-dessus le sous-paragraphe « étude de la variation absolue d'un champ vectoriel par représentation matricielle
(
{\displaystyle \;{\big (}}
en sphérique
)
{\displaystyle {\big )}\;}
» de ce paragraphe.
↑ Voir le paragraphe « champ tensoriel gradient d'une fonction vectorielle de l'espace (en sphérique) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Puisque les vecteurs de base cartésienne sont fixes
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
d
[
A
x
u
→
x
+
A
y
u
→
y
+
A
z
u
→
z
]
=
d
A
x
u
→
x
+
d
A
y
u
→
y
+
d
A
z
u
→
z
{\displaystyle \;d\left[A_{x}\,{\vec {u}}_{x}+A_{y}\,{\vec {u}}_{y}+A_{z}\,{\vec {u}}_{z}\right]=dA_{x}\,{\vec {u}}_{x}+dA_{y}\,{\vec {u}}_{y}+dA_{z}\,{\vec {u}}_{z}\;}
dont on déduit que la composante de
d
A
→
{\displaystyle \;d{\vec {A}}\;}
sur
u
→
x
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{x}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
respectivement
u
→
y
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{y}\;}
ou
u
→
z
)
{\displaystyle \;{\vec {u}}_{z}{\big )}\;}
est
d
A
x
{\displaystyle \;dA_{x}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
respectivement
d
A
y
{\displaystyle \;dA_{y}\;}
ou
d
A
z
)
{\displaystyle \;dA_{z}{\big )}}
.
↑ En accord avec
[
∂
A
→
∂
r
→
]
cart
×
[
d
M
→
proj
]
cart
=
[
d
A
→
]
cart
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]_{\text{cart}}\times \left[{\overrightarrow {dM}}_{\text{proj}}\right]_{\text{cart}}=\left[d{\vec {A}}\right]_{\text{cart}}\;}
(
{\displaystyle {\big (}}
valable uniquement en cartésien
)
{\displaystyle {\big )}}
, l'étude de la variation absolue nécessitant la détermination du signe des composantes de
[
d
A
→
]
cart
{\displaystyle \;\left[d{\vec {A}}\right]_{\text{cart}}\;}
et celle de la variation relative, la détermination du signe des composantes de
[
∂
A
→
∂
r
→
]
cart
{\displaystyle \;\left[{\dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial {\vec {r}}}}\right]_{\text{cart}}\;}
d'où un résultat effectivement identique
…
{\displaystyle \ldots }