Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel

**Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 8
Chap. préc. :	Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte
Chap. suiv. :	Fonctions trigonométriques inverses

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant associés à une fonction sinusoïdale du temps modifier

Soit une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation $\;\omega$ , « $\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$ », sur laquelle on souhaite faire une « opération linéaire » ^[1] comme

la dériver temporellement $\;{\big (}$ respectivement prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle ${\big )}\;$ ou
l'ajouter $\;{\big (}$ respectivement la soustraire ${\big )}\;$ à une autre fonction sinusoïdale du temps, de même pulsation $\;\omega$ .

But poursuivi

Bien sûr ces opérations linéaires peuvent se faire directement sur la ou les fonction(s) sinusoïdale(s) du temps mais on souhaite définir une méthode rendant ces opérations encore plus simples $\ldots$

Grandeur instantanée complexe modifier

On utilise le fait que « $\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$ » est respectivement « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Re \\{\text{ou}}\\\Im \end{array}}\right\rbrace \;$ ^[2] de $\;A_{0}\,\exp \!\left[i\left(\omega \,t+\varphi _{0}\right)\right]\;$ » ^[3].

Grandeur instantanée complexe

« La grandeur instantanée complexe

\;{\underline {s}}(t)\;

associée à la fonction

\;s(t)=

\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;

»
« La grandeur instantanée complexe

\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;

est « la fonction temporelle à valeurs complexes dont

\;s(t)\;

est la partie réelle si
« La grandeur instantanée complexe

\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;

est « la fonction sinusoïdale

\;s(t)\;

est sous forme d'un cosinus ou
« La grandeur instantanée complexe

\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;

est « la fonction temporelle à valeurs complexes dont

\;s(t)\;

est la partie imaginaire si
« La grandeur instantanée complexe

\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)}\;

est « la fonction sinusoïdale

\;s(t)\;

est sous forme d'un sinus ;

ainsi «

\;{\underline {s}}(t)=A_{0}\,\exp \!\left[i\left(\omega \,t+\varphi _{0}\right)\right]\;

» est telle que «

\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})=\Re \!\left[{\underline {s}}(t)\right]\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})=\Im \!\left[{\underline {s}}(t)\right]\end{array}}\right.\;

».

Vecteur de Fresnel tournant modifier

Préliminaire de cinématique du point

Le projeté d'un mouvement circulaire uniforme, de centre $\;O$ , de vitesse angulaire $\;\omega >0\;$ et de rayon $\;A_{0}$ , sur un diamètre du cercle, est un mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude $\;A_{0}$ , de pulsation $\;\omega \;$ et de phase initiale dépendant du diamètre choisi ^[4] $\ldots$

Vecteur de Fresnel tournant

« Le vecteur de Fresnel ^[5] tournant

\;{\vec {S}}(t)\;

associé à la fonction

\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;

»
« Le vecteur de Fresnel tournant

\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;

est « le vecteur construit à partir d'un même point

\;O\;

« Le vecteur de Fresnel tournant

\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;

est « le vecteur de norme égale à l'amplitude de la fonction soit

\;\Vert {\vec {S}}(t)\Vert =A_{0}\;

et
« Le vecteur de Fresnel tournant

\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;

est « le vecteur faisant, avec un axe de référence que nous nommerons

\;{\overrightarrow {Ox}}

,
« Le vecteur de Fresnel tournant

\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;

est « le vecteur faisant, un angle égal à la phase à l'instant

\;t\;

de la fonction soit
« Le vecteur de Fresnel tournant

\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}\;

est « le vecteur faisant, un angle égal à

{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(t)\right\rbrace }}=\varphi (t)=\omega \,t+\varphi _{0}\;

» ;
en nommant

\;{\overrightarrow {Oy}}\;

l'axe « directement

\;\perp \;

» ^[6] à

\;{\overrightarrow {Ox}}

, le lien entre le vecteur de Fresnel ^[5] tournant et la fonction est alors «

\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})=\mathrm {proj.\,sur\,Ox} \left[{\vec {S}}(t)\right]\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})=\mathrm {proj.\,sur\,Oy} \left[{\vec {S}}(t)\right]\end{array}}\right.\;

».

Lien entre grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant modifier

Remarque

     « Le vecteur de Fresnel ^[5] tournant ^[7] s'identifie à la représentation de la grandeur instantanée complexe ^[8] dans le plan complexe » $\;{\Big [}$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant l'axe des réels et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ celui des imaginaires ${\Big ]}\;$ ou, en d'autre terme,
     « l'affixe du vecteur de Fresnel ^[5] tournant ^[9] dans le plan complexe est la grandeur instantanée complexe » ^[8] ou encore
     « l'image de la grandeur instantanée complexe ^[8] dans le plan complexe est le vecteur de Fresnel ^[5] tournant » ^[7].

Amplitude complexe et vecteur de Fresnel associés à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée modifier

Amplitude complexe modifier

Compte-tenu de la forme de la grandeur instantanée complexe ^[8], il est possible de réécrire cette dernière comme le produit de la fonction complexe « $\;\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ » et
Compte-tenu de la forme de la grandeur instantanée complexe, il est possible de réécrire cette dernière comme le produit d'une grandeur complexe indépendante du temps « $\;A_{0}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{0}\right)\;$ ».

Amplitude complexe de la grandeur instantanée complexe

     L'« amplitude complexe » est définie comme la « grandeur complexe $\;{\underline {A_{0}}}\;$ » telle que la grandeur instantanée complexe ^[8] $\;{\underline {s}}(t)\;$
     L'« amplitude complexe » est définie comme la « grandeur complexe $\;\color {transparent}{\underline {A_{0}}}\;$ » telle que associée s'écrive « $\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ » ;
     « l'amplitude complexe est donc égale à $\;{\underline {A_{0}}}=A_{0}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{0}\right)\;$ »,
     « son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale $\;\vert {\underline {A_{0}}}\vert =A_{0}\;$ » et
     « son argument étant égal à la phase initiale de la fonction sinusoïdale $\;\mathrm {arg} \!\left({\underline {A_{0}}}\right)=\varphi _{0}\;$ » ;
     la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe ^[8] et par suite
     la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale du temps dans la mesure où on connaît
     la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou « sinusoïdale ».

Vecteur de Fresnel modifier

Le vecteur de Fresnel ^[5] tournant ^[7] le faisant tourner à vitesse angulaire constante $\;\omega$ , son angle avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ est la somme $\bullet \;$ d'un terme $\;\propto \;$ au temps $\;t\;$ « $\;\omega \,t\;$ » et
Le vecteur de Fresnel tournant le faisant tourner à vitesse angulaire constante $\;\color {transparent}{\omega }$ , son angle avec l'axe de référence $\;\color {transparent}{\overrightarrow {Ox}}\;$ est la somme $\bullet \;$ d'un terme indépendant du temps $\;t\;$ « $\;\varphi _{0}\;$ » ;

quand on travaille sur deux fonctions sinusoïdales de même pulsation ^[10], les vecteurs de Fresnel ^[5] tournants ^[7] associés tournant à la même vitesse angulaire sont fixes l'un par rapport à l'autre $\Rightarrow$
quand on travaille sur deux fonctions sinusoïdales de même pulsation, il est alors possible de ne pas tenir compte de la rotation ^[11].

Vecteur de Fresnel

     « Le vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[12] $\;{\vec {S}}(0)\;$ associé à la fonction $\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$ »
                « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel ^[5] tournant ^[7] construit à l'instant $\;0\;$ »
                    « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel de « norme égale à l'amplitude de la fonction $\;\Vert {\vec {S}}(0)\Vert =A_{0}\;$ » et
                    « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel « faisant, avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$ , un angle égal à la phase
                    « Le vecteur de Fresnel $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(0)}\;$ est « le vecteur de Fresnel « faisant, initiale de la fonction soit $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(0)\right\rbrace }}=\varphi _{0}\;$ » ;
     on obtient « le vecteur de Fresnel ^[5] tournant » ^[7] en « mettant en rotation, à la vitesse angulaire $\;\omega$ , et à partir de l'instant $\;0$ ,
                on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, le vecteur de Fresnel » ^[5] d'où
                on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, « $\;{\vec {S}}(t)=\left\lbrace \mathrm {rot.\,de} \,\omega \,t\right\rbrace \left[{\vec {S}}(0)\right]\;$ »
                on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, « $\;\color {transparent}{{\vec {S}}(t)}$ $\Updownarrow$
      on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rot « $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(t)\right\rbrace }}=\omega \,t+\varphi _{0}\;$ » et
                   on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rot « $\;\Vert {\vec {S}}(t)\Vert =A_{0}\;$ ».

Lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel modifier

Remarque

     « Le vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] s'identifie à la représentation de l'amplitude complexe ^[14] dans le plan complexe » $\;{\Big [}$ l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant l'axe des réels et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ celui des imaginaires ${\Big ]}\;$ ou, en d'autre terme,
     « l'affixe du vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13]^, ^[9] est l'amplitude complexe » ^[14] ou encore
     « l'image de l'amplitude complexe ^[14] est le vecteur de Fresnel » ^[5]^, ^[13].

Traduction de la dérivation temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée modifier

     La dérivation temporelle étant une « opération linéaire » ^[1], on en déduit que « la dérivée temporelle de la représentation complexe d'une fonction sinusoïdale du temps ^[8] »
          La dérivation temporelle étant une « opération linéaire », on en déduit que « est « la représentation complexe de la dérivée temporelle de la fonction sinusoïdale du temps » et par suite
          La dérivation temporelle étant une « opération linéaire », on en déduit que « pour déterminer la dérivée temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps »
          La dérivation temporelle étant une « opération linéaire », on en déduit que « pour déterminer il suffit de former la dérivée temporelle de sa représentation complexe ^[8] ;
     or « la dérivée temporelle de $\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ étant $\;{\dot {\underline {s}}}(t)={\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)\;$ » ^[15] on en déduit les propriétés ci-dessous concernant l'amplitude complexe ^[14] ou
            or « la dérivée temporelle de $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)}\;$ étant $\;\color {transparent}{{\dot {\underline {s}}}(t)=d{\underline {s}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)}\;$ » on en déduit les propriétés ci-dessous concernant le vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] :

Dérivation temporelle en terme d'amplitude complexe modifier

De « $\;{\dot {\underline {s}}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)\;$ » ^[15] avec « $\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ où $\;{\underline {A_{0}}}\;$ est l'amplitude complexe ^[14] de cette dernière » $\Rightarrow$ « l'amplitude complexe ^[14] de la dérivée temporelle de $\;{\underline {s}}(t)\;$ est $\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;$ » ^[16].

Amplitude complexe de dérivée temporelle

« On obtient l'amplitude complexe ^[14] de la dérivée temporelle d'une grandeur instantanée complexe ^[8]

\;{\underline {s}}(t)\;

d'amplitude complexe ^[14] associée

\;{\underline {A_{0}}}\;

en multipliant cette dernière par

\;i\,\omega \;

» soit

« l'amplitude complexe ^[14] de

\;{\dot {\underline {s}}}(t)\;

est

\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;

».

Conséquences : On peut itérer cette propriété $\Rightarrow$ « l'amplitude complexe ^[14] de la dérivée temporelle 2^nde $\;{\ddot {\underline {s}}}(t)\;$ est $\;\left(i\,\omega \right)^{2}{\underline {A_{0}}}=-\omega ^{2}\,{\underline {A_{0}}}\;$ ».

Conséquences : On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle $\;{\big (}$ de valeur moyenne nulle ${\big )}\;$ d'une grandeur instantanée complexe » ^[8]^, ^[17]
Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\Rightarrow$ « l'amplitude complexe ^[14] de la primitive de valeur moyenne nulle $\;\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\underline {s}}(t')\,dt'\right]_{\text{val. moy. nulle}}\;$ est $\;{\dfrac {\underline {A_{0}}}{i\,\omega }}\;$ ».

Dérivation temporelle en termes de vecteur de Fresnel modifier

Compte-tenu du lien entre amplitude complexe ^[14] et vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] on en déduit la propriété ci-dessous :

Vecteur de Fresnel de dérivée temporelle

     « Le vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] de la dérivée temporelle d'une fonction sinusoïdale $\;s(t)\;$ de vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] associé $\;{\vec {S}}(0)\;$
                « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle s'obtient en multipliant la norme de $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega \;$ ^[18] et
                « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle s'obtient en lui faisant subir une rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » soit encore
                « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle « la norme du vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] de $\;{\dot {s}}(t)\;$ égale à $\;\omega \times \Vert {\vec {S}}(0)\Vert \;$ » et
                « Le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle « l'angle qu'il fait avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ égal à $\;\varphi _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ».

Conséquences : On peut itérer cette propriété $\Rightarrow$ « le vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] de la dérivée temporelle 2^nde $\;{\ddot {s}}(t)\;$ s'obtient en multipliant la norme du vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega ^{2}\;$ et
Conséquences : On peut itérer cette propriété $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle 2^nde $\;\color {transparent}{{\ddot {s}}(t)}\;$ s'obtient en lui faisant subir une rotation de $\;+\pi \;$ » ^[19].

     Conséquences : On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle $\;{\big (}$ de valeur moyenne nulle ${\big )}\;$ d'une fonction sinusoïdale » ^[20]
     Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\Rightarrow$ « le vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] de la primitive de valeur moyenne nulle $\;\left[\displaystyle \int _{0}^{t}s(t')\,dt'\right]_{\text{val. moy. nulle}}\;$
                Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « le vecteur de Fresnel de la primitive s'obtient en divisant la norme du vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega \;$ et
                Conséquences : On peut aussi inverser la propriété $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « le vecteur de Fresnel de la primitive s'obtient en lui faisant subir une rotation de $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ».

Traduction du déphasage entre deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation modifier

     « L'avance de phase $\;{\big (}$ mathématique ${\big )}\;$ de la fonction sinusoïdale $\;s_{2}(t)=A_{2}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{2})\;$ sur la fonction sinusoïdale de même pulsation $\;s_{1}(t)=A_{1}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{1})\;$
     « L'avance de phase $\;\color {transparent}{\big (}$ mathématique $\color {transparent}{\big )}\;$ est définie par $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ » ^[21] : $\succ \;$ si $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ est $\;>0$ , $\;s_{2}(t)\;$ est « mathématiquement en avance » sur $\;s_{1}(t)$ ;
          « L'avance de phase $\;\color {transparent}{\big (}$ mathématique $\color {transparent}{\big )}\;$ est définie par $\;\color {transparent}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}\;$ » : $\succ \;$ si $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ est $\;<0$ , $\;s_{2}(t)\;$ est « mathématiquement en retard » sur $\;s_{1}(t)$ .

     Remarque : toutefois, ce qui compte physiquement, ce n'est pas l'avance ou le retard « mathématique » mais l'avance ou le retard « physique » ^[21], pour cela
     Remarque : on définit le déphasage physique $\;{\big [}$ c._à_d. la détermination principale du déphasage $\;{\big (}$ mathématique ${\big )}$ $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ noté « $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$ » ^[21] ${\big ]}\;$ et
     Remarque : on définit le déphasage physique $\succ$ $\;s_{2}(t)\;$ est « physiquement en avance » sur $\;s_{1}(t)\;$ si $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$ est $\;>0$ ,
     Remarque : on définit le déphasage physique $\succ$ $\;s_{2}(t)\;$ est « physiquement en retard » sur $\;s_{1}(t)\;$ si $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$ est $\;<0$ .

En termes de grandeurs instantanées complexes ^[8], l'avance de phase $\;{\big (}$ mathématique ${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)\;$ sur $\;s_{1}(t)\;$ se calcule par « $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {{\underline {s_{2}}}(t)}{{\underline {s_{1}}}(t)}}\right]\;$ ».

Déphasage en terme d'amplitude complexe modifier

Compte-tenu du lien entre grandeur instantanée complexe ^[8] et amplitude complexe ^[14], on a la propriété suivante :

Déphasage entre deux fonctions sinusoïdales par amplitudes complexes

« L'avance de phase $\;{\big (}$ mathématique ${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\;$ sur $\;s_{1}(t)=$ $A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$ » se calcule, en terme d'amplitudes complexes ^[14], par « $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {\underline {A_{2}}}{\underline {A_{1}}}}\right]\;$ » ^[22].

Déphasage en termes de vecteur de Fresnel modifier

Compte-tenu du lien entre amplitude complexe ^[14] et vecteur de Fresnel ^[5]^, ^[13] on a la propriété suivante :

Déphasage entre deux fonctions sinusoïdales par vecteurs de Fresnel

« L'avance de phase $\;{\big (}$ mathématique ${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\;$ sur $\;s_{1}(t)=$ $A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$ » se calcule, en termes de vecteurs de Fresnel ^[5], par « $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {S_{1}}}(0)\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{2}}}(0)\right\rbrace }}\;$ » ^[23].

Traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation modifier

     Soit à déterminer la somme $\;s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[24], nous l'exposons d'abord en utilisant les vecteurs de Fresnel ^[5]^, ^[13] associés aux deux fonctions sinusoïdales,
              Soit à déterminer la somme $\;\color {transparent}{s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\right\rbrace }\;$ , nous l'exposons d'abord en utilisant construits à partir d'une même origine $\;O$ , le diagramme obtenu étant appelé
              Soit à déterminer la somme $\;\color {transparent}{s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\right\rbrace }\;$ , nous l'exposons d'abord en utilisant construits à partir d'une même origine $\;\color {transparent}{O}$ , « diagramme de Fresnel » ^[25].

Amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel modifier

Détermination de la somme de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation par diagramme de Fresnel ^[5]

On trace d'abord les deux vecteurs de Fresnel ^[5] $\;{\vec {S_{1}}}(0)\;$ et $\;{\vec {S_{2}}}(0)\;$ ^[13] à partir d'une même origine $\;O\;$ puis
on construit la somme de ces deux vecteurs $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)={\vec {S_{1}}}(0)+{\vec {S_{2}}}(0)\;$ en utilisant la règle du parallélogramme ;

nous cherchons donc à évaluer la norme de $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\;$ et l'angle que fait ce vecteur avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$ , nous aurons donc respectivement l'amplitude de la fonction résultante et sa phase initiale :

$\;{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }^{2}=\left[{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(0)+{\vec {S_{2}}}(0)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(0)\right]^{2}+\left[{\vec {S_{2}}}(0)\right]^{2}+2\,{\vec {S_{1}}}(0)\!\cdot \!{\vec {S_{1}}}(0)\;$ ^[26] d'où, en notant $\;A_{\text{tot}}\;$ l'amplitude de la « somme des fonctions sinusoïdales de même pulsation $\;\omega \;$ » ^[27] et, en utilisant les définitions des vecteurs de Fresnel ^[5]^, ^[13] associés à chaque fonction sinusoïdale « $\;A_{\text{tot}}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\;$ » ;
nous pouvons obtenir la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de la fonction résultante en projetant le diagramme de Fresnel ^[5] ci-contre sur les axes $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}$ : « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{\text{tot}})={\bigg \Vert }{\vec {S_{1}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{1})+{\bigg \Vert }{\vec {S_{2}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{2})\\{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{\text{tot}})={\bigg \Vert }{\vec {S_{1}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{1})+{\bigg \Vert }{\vec {S_{2}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{2})\end{array}}\right.\;$ » dont on tire le cosinus et le sinus de $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}{A_{\text{tot}}}}\\\sin(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{\text{tot}}}}\end{array}}\right.\;$ ».

À savoir retrouver

     Par diagramme de Fresnel ^[5] on détermine l'amplitude $\;A_{\text{tot}}\;$ et la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de la somme des deux fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega$ , respectivement d'amplitudes et de phase initiales $\;(A_{1}\,{\text{,}}\,\varphi _{1})\;$ et $\;(A_{2}\,{\text{,}}\,\varphi _{2})$ ; on trouve ainsi :
           Par diagramme de Fresnel « $\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$ » pour l'amplitude et
           Par diagramme de Fresnel la phase initiale est solution de « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}\\\sin(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}\end{array}}\right.\;$ ».

Amplitude et phase initiale résultantes en terme d'amplitude complexe modifier

Aux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\\s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[24], on associe respectivement les amplitudes complexes ^[14] $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {A_{1}}}=A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})\\{\underline {A_{2}}}=A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace$ ;

     la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega \;$ c.-à-d. $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega \;$ ^[28],
     la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant une fonction que l'on notera $\;s_{\text{tot}}(t)=A_{\text{tot}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})$ , on lui associe
     la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant une « amplitude complexe ^[14] $\;{\underline {A_{\text{tot}}}}=A_{\text{tot}}\,\exp(i\,\varphi _{\text{tot}})\;$ égale à la somme
     la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant des amplitudes complexes ^[14] soit $\;{\underline {A_{\text{tot}}}}={\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\;$ » ^[29] soit finalement
     la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\color {transparent}{\omega }\;$ c.-à-d. $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)}\;$ étant « $\;A_{\text{tot}}\,\exp(i\,\varphi _{\text{tot}})=A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\;$ » ; on en déduit :

     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\succ \;$ l'amplitude $\;A_{\text{tot}}\;$ de $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ en prenant le module de l'amplitude complexe ^[14] soit « $\;A_{\text{tot}}=\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ={\sqrt {\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}}}\;$ » avec
     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=\left({\underline {A_{\text{tot}}}}\right)\times \left({\underline {A_{\text{tot}}}}\right)^{*}\;$ » ^[30] ou « $\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=$ $\left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)\times \left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)^{*}=\left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)\times \left({\underline {A_{1}}}^{*}+{\underline {A_{2}}}^{*}\right)\;$ » ^[31] soit
     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]\times \left[A_{1}\,\exp(-i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(-i\,\varphi _{2})\right]\;$ » ou, en développant
     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{1}\,A_{2}\left\lbrace \exp \!\left[i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]+\exp \!\left[-i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\right\rbrace =A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\cos \!\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)\;$ »
     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ après utilisation de la formule d'Euler ^[32] relative au cosinus ^[33], $\;\cos(x)={\dfrac {exp(i\,x)+\exp(-i\,x)}{2}}\;$ et

     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\succ \;$ la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ en prenant l'argument de l'amplitude complexe ^[14] soit « $\;\varphi _{\text{tot}}=$ $\mathrm {arg} ({\underline {A_{\text{tot}}}})\;$ » ou encore
     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]\;$ » ou, en prenant la forme algébrique ^[34] de chaque amplitude complexe ^[14] pour obtenir
     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]}\;$ » ou, en prenant la forme algébrique ^[34] de l'amplitude complexe ^[14] résultante
     la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left\lbrace \left[A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})\right]+i\left[A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})\right]\right\rbrace \;$ » ^[35], on obtient, suivant la valeur de la partie réelle
          la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ « $\;\color {transparent}{\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left\lbrace \left[A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})\right]+i\left[A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})\right]\right\rbrace }\;$ », on obtient, suivant de l'amplitude complexe ^[14] résultante :

la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$ « pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})=0\;$ », « $\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})<0\end{array}}\right.\;$ »,

la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$ « pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})>0\;$ », « $\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\;$ » ^[36],

la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$ « pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0\;$ », la forme de $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ dépend de la valeur de la partie imaginaire ^[37] soit :

la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « pour $\;\color {transparent}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0}\;$ », $\bullet \;$ avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})=0$ , « $\;\varphi _{\text{tot}}=+\pi \;$ » ^[37] ou,

la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « pour $\;\color {transparent}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0}\;$ », $\bullet \;$ avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})>0$ , « $\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]+\pi \;$ » ^[37] ou,

la somme des deux fonctions sinusoïdales $\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « pour $\;\color {transparent}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0}\;$ », $\bullet \;$ avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})<0$ , « $\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]-\pi \;$ » ^[37].

À savoir retrouver

Par utilisation de l'amplitude complexe ^[14] on détermine l'amplitude

\;A_{\text{tot}}\;

et la phase initiale

\;\varphi _{\text{tot}}\;

de la somme des deux fonctions sinusoïdales de pulsation

\;\omega

, respectivement d'amplitudes et de phase initiales

\;(A_{1}\,{\text{,}}\,\varphi _{1})\;

et

\;(A_{2}\,{\text{,}}\,\varphi _{2})

; on trouve ainsi :

«

\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;

» pour l'amplitude et
«

\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\qquad \;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})>0\\\pm {\dfrac {\pi }{2}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})=0\\\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\pm \pi \;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0\end{array}}\right.\;

» ^[38] pour la phase initiale.

Notes et références modifier

↑ ^1,0 et ^1,1 Une opération agissant sur l'ensemble des fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega \;$ est dite linéaire si l'image par cette opération est une fonction de l'ensemble d'une part et d'autre part si l'image d'une somme de fonctions de l'ensemble est égale à la somme des images par la même opération de chaque fonction de la somme.
↑ $\;\Re \;$ signifiant « partie réelle » et $\;\Im \;$ « partie imaginaire ».
↑ Quand la fonction sinusoïdale du temps est une grandeur électrique, le nombre imaginaire pur de « module unité » et d'« argument $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » est noté $\;j\;$ $\;{\big (}i\;$ étant réservé pour représenter l'intensité d'un courant ${\big )}$ .
↑ Cette propriété est établie au paragraphe « cas particulier d'un mouvement circulaire uniforme » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 ^5,09 ^5,10 ^5,11 ^5,12 ^5,13 ^5,14 ^5,15 ^5,16 ^5,17 ^5,18 ^5,19 ^5,20 ^5,21 ^5,22 ^5,23 ^5,24 ^5,25 ^5,26 ^5,27 ^5,28 ^5,29 et ^5,30 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
↑ Signifiant que $\;{\overrightarrow {Oy}}\perp {\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {u_{y}}}\right\rbrace }}=+{\dfrac {\pi }{2}}$ .
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 et ^7,5 Voir le paragraphe « vecteur de Fresnel tournant » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^8,00 ^8,01 ^8,02 ^8,03 ^8,04 ^8,05 ^8,06 ^8,07 ^8,08 ^8,09 ^8,10 et ^8,11 Voir le paragraphe « grandeur instantanée complexe » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^9,0 et ^9,1 L'affixe d'un point du plan complexe est le nombre complexe associé à ce point, par abus on généralise cette notion à un vecteur représenté à partir de l'origine du plan complexe.
↑ Par exemple quand on cherche leur déphasage ou quand on souhaite en faire la somme ou la différence $\;\ldots$
↑ C.-à-d. de ne pas tenir compte du terme $\;\propto \;$ au temps $\;t\;$ « $\;\omega \,t\;$ » dans l'angle que font les vecteurs de Fresnel tournants avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\ldots$
↑ On distingue le vecteur de Fresnel à l'instant $\;0\;$ du vecteur de Fresnel à l'instant $\;t\;$ en réservant au 1^er le nom « vecteur de Fresnel » $\;{\big (}$ car c'est celui-là qui est quasi systématiquement utilisé ${\big )}$ , le 2^nd étant nommé « vecteur de Fresnel tournant ».
↑ ^13,00 ^13,01 ^13,02 ^13,03 ^13,04 ^13,05 ^13,06 ^13,07 ^13,08 ^13,09 ^13,10 ^13,11 ^13,12 ^13,13 ^13,14 et ^13,15 Voir le paragraphe « vecteur de Fresnel » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^14,00 ^14,01 ^14,02 ^14,03 ^14,04 ^14,05 ^14,06 ^14,07 ^14,08 ^14,09 ^14,10 ^14,11 ^14,12 ^14,13 ^14,14 ^14,15 ^14,16 ^14,17 ^14,18 ^14,19 ^14,20 ^14,21 ^14,22 et ^14,23 Voir le paragraphe « amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^15,0 et ^15,1 En termes de grandeur instantanée complexe on a donc « $\;{\dot {\underline {s}}}(t)={\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)=i\,\omega \,{\underline {s}}(t)\;$ » c.-à-d. qu'« il suffit de multiplier la grandeur instantanée complexe par $\;i\,\omega \;$ pour obtenir sa dérivée temporelle ».
↑ L'amplitude complexe d'une grandeur instantanée complexe étant le cœfficient de $\;\exp \!\left(\omega \,t\right)\;$ et $\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;$ étant celui de $\;{\dot {\underline {s}}}(t)$ .
↑ Une primitive étant définie à une constante additive près, il faut préciser « de valeur moyenne nulle » pour que la primitive de la fonction sinusoïdale du temps soit de la forme admettant une grandeur instantanée complexe associée.
↑ Bien entendu $\;s(t)\;$ et $\;{\dot {s}}(t)\;$ ne s'exprimant pas dans la même unité, il convient de choisir une échelle de représentation du vecteur de Fresnel associé à $\;{\dot {s}}(t)\;$ relativement à celle du vecteur de Fresnel associé à $\;s(t)$ .
↑ C.-à-d. encore une symétrie centrale.
↑ Une primitive étant définie à une constante additive près, il faut préciser « de valeur moyenne nulle » pour que la primitive de la fonction sinusoïdale du temps soit de la forme admettant un vecteur de Fresnel tournant associé.
↑ ^21,0 ^21,1 et ^21,2 Ce déphasage est qualifié de mathématique pour le distinguer du déphasage physique lequel est le seul permettant de savoir si telle fonction est maximale avant telle autre ; les phases à l'instant $\;t\;$ ayant une signification physique à $\;2\,\pi$ près, il en est de même de leur différence $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ et il convient de prendre la détermination principale de cette différence $\;{\big \{}$ c.-à-d. la valeur $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\in \left]-\pi {\text{;}}+\pi \right]\;$ telle que $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\equiv (\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\!\!{\pmod {2\,\pi }}{\big \}}$ pour définir le déphasage physique.
↑ S'obtient à partir de $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {{\underline {s_{2}}}(t)}{{\underline {s_{1}}}(t)}}\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {{\underline {A_{2}}}\,\exp(i\,\omega \,t)}{{\underline {A_{1}}}\,\exp(i\,\omega \,t)}}\right]\;$ après simplification par $\;\exp(i\,\omega \,t)$ .
↑ En effet $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{2}}}(0)\right\rbrace }}-{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{1}}}(0)\right\rbrace }}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{2}}}(0)\right\rbrace }}+{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {S_{1}}}(0)\;{\text{ , }}{\overrightarrow {u_{x}}}\right\rbrace }}\;$ d'où le résultat énoncé, les angles étant dans un même plan.
↑ ^24,0 et ^24,1 Nous nous limitons à des formes cosinusoïdales pour les fonctions $\;s_{1}(t)\;$ et $\;s_{2}(t)\;$ mais nous pourrions aisément refaire le même traitement avec des formes sinusoïdales, traitement laissé aux bons soins du lecteur.
↑ Dans le cas d'une addition de fonctions sinusoïdales, l'utilisation des vecteurs de Fresnel peut être considérée comme plus concrète que l'utilisation des amplitudes complexes pour ceux qui ont quelques notions de géométrie.
↑ Le produit scalaire est introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Au passage soulignons que la somme de deux fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega \;$ est une fonction sinusoïdale de même pulsation $\;\omega \;$ puisqu'elle est représentée par un vecteur de Fresnel.
↑ Pour le justifier on peut invoquer le diagramme de Fresnel du paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ou
   Pour le justifier on peut le vérifier directement en développant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})=A_{1}\;\cos(\varphi _{1})\;\cos(\omega \,t)-A_{1}\;\sin(\varphi _{1})\;\sin(\omega \,t)\\s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})=A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\;\cos(\omega \,t)-A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\;\sin(\omega \,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on déduit en regroupant les termes en $\;\cos(\omega \,t)\;$ et en $\;\sin(\omega \,t)\;$ dans $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)$ , « $\;s_{\text{tot}}(t)=\left[A_{1}\;\cos(\varphi _{1})+A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\right]\,\cos(\omega \,t)-\left[A_{1}\;\sin(\varphi _{1})+A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\right]\,\sin(\omega \,t)\;$ » et finalement, en définissant $\;A_{\text{tot}}={\sqrt {\left[A_{1}\;\cos(\varphi _{1})+A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\right]^{2}+\left[A_{1}\;\sin(\varphi _{1})+A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\right]^{2}}}\;$ et $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{\text{tot}}\;\cos(\varphi _{\text{tot}})=A_{1}\;\cos(\varphi _{1})+A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\\A_{\text{tot}}\;\sin(\varphi _{\text{tot}})=A_{1}\;\sin(\varphi _{1})+A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, après report dans $\;s_{\text{tot}}(t)\;$ on obtient « $\;s_{\text{tot}}(t)$ $=A_{\text{tot}}\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\;\cos(\omega \,t)-A_{\text{tot}}\;\sin(\varphi _{\text{tot}})\;\sin(\omega \,t)=A_{\text{tot}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})\;$ » $\;{\big \{}$ exposé établissant que $\;s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ est une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega \;$ mais fournissant également l'amplitude et la phase initiale de cette dernière ${\big \}}$ $\;\ldots \;$
   Par la suite nous admettrons ce résultat à savoir « la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega \;$ est une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega \;$ » et
   Par la suite nous déterminerons l'amplitude et la phase initiale de cette dernière par diagramme de Fresnel $\;{\big [}$ voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ ou par amplitude complexe, objet de ce paragraphe.
↑ Traduisant le caractère linéaire de l'opérateur associant une amplitude complexe à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation $\;\omega$ .
↑ Le complexe conjugué de $\;{\underline {z}}\;$ est noté, en physique, $\;{\underline {z}}^{*}$ , voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, la relation de conjugaison étant linéaire.
↑ Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ La formule d'Euler étant $\;\exp(i\,x)=\cos(x)+i\,\sin(x)\;$ on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement $\;\cos(x)={\dfrac {\exp(i\,x)+\exp(-i\,x)}{2}}\;$ et $\;\sin(x)=$ ${\dfrac {\exp(i\,x)-\exp(-i\,x)}{2\,i}}$ .
↑ ^34,0 et ^34,1 Voir le paragraphe « forme algébrique d'un complexe, partie réelle et partie imaginaire » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet $\;A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})=A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+i\,A_{1}\,\sin(\varphi _{1})\;$ et $\;A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})=A_{2}\,\cos(\varphi _{2})+i\,A_{2}\,\sin(\varphi _{2})$ .
↑ En effet si la partie réelle d'un complexe est positive, son argument $\;\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ peut se mettre sous forme d'un $\;\arctan()\;$ voir les paragraphes « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ et « détermination de l'argument (d'un complexe connu sous sa forme algébrique, partie réelle positive) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^37,0 ^37,1 ^37,2 et ^37,3 En effet si la partie réelle d'un complexe est négative, son argument $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;{\text{si la partie imaginaire est positive,}}\\\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;{\text{si elle est négative et}}\\{\text{vaut }}+\pi \quad \quad \;\;{\text{si elle est nulle}}\end{array}}\right\rbrace$ , elle ne peut pas se mettre sous forme d'un $\;\arctan()\;$ voir paragraphe « détermination de l'argument (d'un complexe connu sous sa forme algébrique, partie réelle négative) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Le choix entre « $\;+\;$ » et « $\;-\;$ » dépendant de la valeur de la partie imaginaire $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}+\;{\text{si elle est }}>0\\-\;{\text{si elle est }}<0\end{array}}\right\rbrace$ .

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte

Fonctions trigonométriques inverses

[Opération_linéaire-1] 1,0 et ^1,1 Une opération agissant sur l'ensemble des fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega \;$ est dite linéaire si l'image par cette opération est une fonction de l'ensemble d'une part et d'autre part si l'image d'une somme de fonctions de l'ensemble est égale à la somme des images par la même opération de chaque fonction de la somme.

[2] $\;\Re \;$ signifiant « partie réelle » et $\;\Im \;$ « partie imaginaire ».

[3] Quand la fonction sinusoïdale du temps est une grandeur électrique, le nombre imaginaire pur de « module unité » et d'« argument $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » est noté $\;j\;$ $\;{\big (}i\;$ étant réservé pour représenter l'intensité d'un courant ${\big )}$ .

[4] Cette propriété est établie au paragraphe « cas particulier d'un mouvement circulaire uniforme » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

[Fresnel-5] 5,00 ^5,01 ^5,02 ^5,03 ^5,04 ^5,05 ^5,06 ^5,07 ^5,08 ^5,09 ^5,10 ^5,11 ^5,12 ^5,13 ^5,14 ^5,15 ^5,16 ^5,17 ^5,18 ^5,19 ^5,20 ^5,21 ^5,22 ^5,23 ^5,24 ^5,25 ^5,26 ^5,27 ^5,28 ^5,29 et ^5,30 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.

[6] Signifiant que $\;{\overrightarrow {Oy}}\perp {\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {u_{y}}}\right\rbrace }}=+{\dfrac {\pi }{2}}$ .

[vecteur_de_Fresnel_tournant-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 ^7,3 ^7,4 et ^7,5 Voir le paragraphe « vecteur de Fresnel tournant » plus haut dans ce chapitre.

[grandeur_instantanée_complexe-8] 8,00 ^8,01 ^8,02 ^8,03 ^8,04 ^8,05 ^8,06 ^8,07 ^8,08 ^8,09 ^8,10 et ^8,11 Voir le paragraphe « grandeur instantanée complexe » plus haut dans ce chapitre.

[affixe-9] 9,0 et ^9,1 L'affixe d'un point du plan complexe est le nombre complexe associé à ce point, par abus on généralise cette notion à un vecteur représenté à partir de l'origine du plan complexe.

[10] Par exemple quand on cherche leur déphasage ou quand on souhaite en faire la somme ou la différence $\;\ldots$

[11] C.-à-d. de ne pas tenir compte du terme $\;\propto \;$ au temps $\;t\;$ « $\;\omega \,t\;$ » dans l'angle que font les vecteurs de Fresnel tournants avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$ $\;\ldots$

[12] On distingue le vecteur de Fresnel à l'instant $\;0\;$ du vecteur de Fresnel à l'instant $\;t\;$ en réservant au 1^er le nom « vecteur de Fresnel » $\;{\big (}$ car c'est celui-là qui est quasi systématiquement utilisé ${\big )}$ , le 2^nd étant nommé « vecteur de Fresnel tournant ».

[vecteur_de_Fresnel-13] 13,00 ^13,01 ^13,02 ^13,03 ^13,04 ^13,05 ^13,06 ^13,07 ^13,08 ^13,09 ^13,10 ^13,11 ^13,12 ^13,13 ^13,14 et ^13,15 Voir le paragraphe « vecteur de Fresnel » plus haut dans ce chapitre.

[amplitude_complexe-14] 14,00 ^14,01 ^14,02 ^14,03 ^14,04 ^14,05 ^14,06 ^14,07 ^14,08 ^14,09 ^14,10 ^14,11 ^14,12 ^14,13 ^14,14 ^14,15 ^14,16 ^14,17 ^14,18 ^14,19 ^14,20 ^14,21 ^14,22 et ^14,23 Voir le paragraphe « amplitude complexe » plus haut dans ce chapitre.

[dérivation_sur_grandeur_instantanée_complexe-15] 15,0 et ^15,1 En termes de grandeur instantanée complexe on a donc « $\;{\dot {\underline {s}}}(t)={\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)=i\,\omega \,{\underline {s}}(t)\;$ » c.-à-d. qu'« il suffit de multiplier la grandeur instantanée complexe par $\;i\,\omega \;$ pour obtenir sa dérivée temporelle ».

[16] L'amplitude complexe d'une grandeur instantanée complexe étant le cœfficient de $\;\exp \!\left(\omega \,t\right)\;$ et $\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;$ étant celui de $\;{\dot {\underline {s}}}(t)$ .

[17] Une primitive étant définie à une constante additive près, il faut préciser « de valeur moyenne nulle » pour que la primitive de la fonction sinusoïdale du temps soit de la forme admettant une grandeur instantanée complexe associée.

[18] Bien entendu $\;s(t)\;$ et $\;{\dot {s}}(t)\;$ ne s'exprimant pas dans la même unité, il convient de choisir une échelle de représentation du vecteur de Fresnel associé à $\;{\dot {s}}(t)\;$ relativement à celle du vecteur de Fresnel associé à $\;s(t)$ .

[19] C.-à-d. encore une symétrie centrale.

[20] Une primitive étant définie à une constante additive près, il faut préciser « de valeur moyenne nulle » pour que la primitive de la fonction sinusoïdale du temps soit de la forme admettant un vecteur de Fresnel tournant associé.

[déphasage-21] 21,0 ^21,1 et ^21,2 Ce déphasage est qualifié de mathématique pour le distinguer du déphasage physique lequel est le seul permettant de savoir si telle fonction est maximale avant telle autre ; les phases à l'instant $\;t\;$ ayant une signification physique à $\;2\,\pi$ près, il en est de même de leur différence $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ et il convient de prendre la détermination principale de cette différence $\;{\big \{}$ c.-à-d. la valeur $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\in \left]-\pi {\text{;}}+\pi \right]\;$ telle que $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\equiv (\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\!\!{\pmod {2\,\pi }}{\big \}}$ pour définir le déphasage physique.

[22] S'obtient à partir de $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {{\underline {s_{2}}}(t)}{{\underline {s_{1}}}(t)}}\right]=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {{\underline {A_{2}}}\,\exp(i\,\omega \,t)}{{\underline {A_{1}}}\,\exp(i\,\omega \,t)}}\right]\;$ après simplification par $\;\exp(i\,\omega \,t)$ .

[23] En effet $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{2}}}(0)\right\rbrace }}-{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{1}}}(0)\right\rbrace }}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{2}}}(0)\right\rbrace }}+{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {S_{1}}}(0)\;{\text{ , }}{\overrightarrow {u_{x}}}\right\rbrace }}\;$ d'où le résultat énoncé, les angles étant dans un même plan.

[limitation_aux_fonctions_cosinusoïdales-24] 24,0 et ^24,1 Nous nous limitons à des formes cosinusoïdales pour les fonctions $\;s_{1}(t)\;$ et $\;s_{2}(t)\;$ mais nous pourrions aisément refaire le même traitement avec des formes sinusoïdales, traitement laissé aux bons soins du lecteur.

[25] Dans le cas d'une addition de fonctions sinusoïdales, l'utilisation des vecteurs de Fresnel peut être considérée comme plus concrète que l'utilisation des amplitudes complexes pour ceux qui ont quelques notions de géométrie.

[26] Le produit scalaire est introduit dans le paragraphe « définition intrinsèque du produit scalaire » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[27] Au passage soulignons que la somme de deux fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega \;$ est une fonction sinusoïdale de même pulsation $\;\omega \;$ puisqu'elle est représentée par un vecteur de Fresnel.

[28] Pour le justifier on peut invoquer le diagramme de Fresnel du paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ou
Pour le justifier on peut le vérifier directement en développant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})=A_{1}\;\cos(\varphi _{1})\;\cos(\omega \,t)-A_{1}\;\sin(\varphi _{1})\;\sin(\omega \,t)\\s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})=A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\;\cos(\omega \,t)-A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\;\sin(\omega \,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ dont on déduit en regroupant les termes en $\;\cos(\omega \,t)\;$ et en $\;\sin(\omega \,t)\;$ dans $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)$ , « $\;s_{\text{tot}}(t)=\left[A_{1}\;\cos(\varphi _{1})+A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\right]\,\cos(\omega \,t)-\left[A_{1}\;\sin(\varphi _{1})+A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\right]\,\sin(\omega \,t)\;$ » et finalement, en définissant $\;A_{\text{tot}}={\sqrt {\left[A_{1}\;\cos(\varphi _{1})+A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\right]^{2}+\left[A_{1}\;\sin(\varphi _{1})+A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\right]^{2}}}\;$ et $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{\text{tot}}\;\cos(\varphi _{\text{tot}})=A_{1}\;\cos(\varphi _{1})+A_{2}\;\cos(\varphi _{2})\\A_{\text{tot}}\;\sin(\varphi _{\text{tot}})=A_{1}\;\sin(\varphi _{1})+A_{2}\;\sin(\varphi _{2})\end{array}}\right\rbrace \;$ soit, après report dans $\;s_{\text{tot}}(t)\;$ on obtient « $\;s_{\text{tot}}(t)$ $=A_{\text{tot}}\;\cos(\varphi _{\text{tot}})\;\cos(\omega \,t)-A_{\text{tot}}\;\sin(\varphi _{\text{tot}})\;\sin(\omega \,t)=A_{\text{tot}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})\;$ » $\;{\big \{}$ exposé établissant que $\;s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ est une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega \;$ mais fournissant également l'amplitude et la phase initiale de cette dernière ${\big \}}$ $\;\ldots \;$
Par la suite nous admettrons ce résultat à savoir « la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega \;$ est une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega \;$ » et
Par la suite nous déterminerons l'amplitude et la phase initiale de cette dernière par diagramme de Fresnel $\;{\big [}$ voir le paragraphe « amplitude et phase initiale résultantes en termes de vecteur de Fresnel » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ ou par amplitude complexe, objet de ce paragraphe.

[29] Traduisant le caractère linéaire de l'opérateur associant une amplitude complexe à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation $\;\omega$ .

[complexe_conjugué-30] Le complexe conjugué de $\;{\underline {z}}\;$ est noté, en physique, $\;{\underline {z}}^{*}$ , voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[conjugué_d'une_somme-31] En effet le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, la relation de conjugaison étant linéaire.

[Euler-32] Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.

[Formules_d'Euler-33] La formule d'Euler étant $\;\exp(i\,x)=\cos(x)+i\,\sin(x)\;$ on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement $\;\cos(x)={\dfrac {\exp(i\,x)+\exp(-i\,x)}{2}}\;$ et $\;\sin(x)=$ ${\dfrac {\exp(i\,x)-\exp(-i\,x)}{2\,i}}$ .

[forme_algébrique_d'un_complexe-34] 34,0 et ^34,1 Voir le paragraphe « forme algébrique d'un complexe, partie réelle et partie imaginaire » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[35] En effet $\;A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})=A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+i\,A_{1}\,\sin(\varphi _{1})\;$ et $\;A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})=A_{2}\,\cos(\varphi _{2})+i\,A_{2}\,\sin(\varphi _{2})$ .

[36] En effet si la partie réelle d'un complexe est positive, son argument $\;\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ peut se mettre sous forme d'un $\;\arctan()\;$ voir les paragraphes « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente » du chap. $9$ et « détermination de l'argument (d'un complexe connu sous sa forme algébrique, partie réelle positive) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[argument_si_partie_réelle_négative-37] 37,0 ^37,1 ^37,2 et ^37,3 En effet si la partie réelle d'un complexe est négative, son argument $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\in \left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,{\text{,}}\,+\pi \right[\;{\text{si la partie imaginaire est positive,}}\\\in \left]-\pi \,{\text{,}}\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;{\text{si elle est négative et}}\\{\text{vaut }}+\pi \quad \quad \;\;{\text{si elle est nulle}}\end{array}}\right\rbrace$ , elle ne peut pas se mettre sous forme d'un $\;\arctan()\;$ voir paragraphe « détermination de l'argument (d'un complexe connu sous sa forme algébrique, partie réelle négative) » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[38] Le choix entre « $\;+\;$ » et « $\;-\;$ » dépendant de la valeur de la partie imaginaire $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})$ , $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}+\;{\text{si elle est }}>0\\-\;{\text{si elle est }}<0\end{array}}\right\rbrace$ .

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