Particule élémentaire/Exercices/Électron

L'électron est une particule régie par la dualité onde/corpuscule, onde pour les orbitales atomiques en mécanique quantique par exemple et corpuscule doté d'une masse, qui peut interagir comme dans l'effet Compton. L'objectif de cet exercice est de calculer pas à pas des grandeurs électriques/magnétiques relatives à l'électron. Une hypothèse de structure de l'électron est alors mise en évidence pour calculer le magnéton de Bohr.

L'objectif de l'exercice est de calculer les grandeurs d'un anneau de charge qui tourne à la vitesse de la lumière c, hypothèse de calcul pour retrouver le magnéton de Bohr.

Préambule

Calculer le rayon r de l'anneau de charge ainsi que sa fréquence de rotation $\nu$, en prenant l'équivalence de l’énergie de masse de l'électron avec l’énergie de l'un des deux photons qui se collisionnent pour donner la paire e+ et e-. Le photon aura la même fréquence $\nu$.

Solution

L'équivalence de l'énergie entre le photon et l'électron donne : $h\nu =mc^{2}$ La fréquence de rotation de l'anneau de charge est donc $\nu ={\frac {mc^{2}}{h}}$ Le rayon r de l'anneau est tel que $2{\pi }r{\nu }=c$

$r={\frac {h}{2{\pi }mc}}$

 

Question 1

Calculer l'intensité du courant I le long de l'anneau de rayon r , on utilisera pour cela la charge q de l'électron

Solution

Sur un point donné de l'anneau de charge répartie, la quantité d'électricité q a tourné un tour complet à la fréquence ν. La quantité de charge par unité de temps est donc : I=qν. On peut aussi calculer la densité linéique de charge le long de la circonférence de l'anneau et dire que cette charge se déplace à la vitesse c.

$I={\frac {qmc^{2}}{h}}$

 

Question 2

Calculer le moment magnétique de cet anneau de charge

Solution

Le moment magnétique est ${\vec {\mu }}=I\,{\vec {S}}$, soit $\mu ={\pi }r^{2}I={\pi }{\left({\frac {h}{2{\pi }mc}}\right)^{2}\left({\frac {qmc^{2}}{h}}\right)}$

Soit $\mu _{\mathrm {B} }={\frac {q\cdot \hbar }{2m_{\mathrm {e} }}}$ avec $\hbar ={\frac {h}{2{\pi }}}$ Donc nous retrouvons la formule du magnéton de Bohr...