Probabilités conditionnelles/Arbres probabilistes

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Ce chapitre étudie en détail les arbres probabilistes.

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Description des arbres probabilistes

Un arbre est une représentation visuelle d'une suite d'événements qui s'enchaînent. Si nous représentons simplement les événements qui peuvent se présenter à chaque étape, nous dirons que nous avons affaire à un arbre des possibles. Si, de plus, sur chaque branche de l'arbre, nous rajoutons la probabilité que l'on a de parcourir cette branche à partir du nœud d'où part la branche, nous dirons que l'on a affaire à un arbre pondéré. La probabilité de réalisation d'un événement dépend de la réalisation des événements qui le précèdent. Nous voyons que l'on a donc bien affaire à des probabilités conditionnelles.

Par exemple, si l'on considère l'arbre pondéré suivant :

Étudions l'événement $C$

Nous voyons que l'événement $C$ a une probabilité ${\frac {4}{7}}$ de se produire à la première étape. S'il ne se produit pas à la première étape, il pourra éventuellement se produire à la deuxième étape dans deux situations différentes. Si à la première étape l'événement $A$ se produit, alors l'événement $C$ se produira de façon certaine. Si à la première étape l'événement $B$ se produit, alors l'événement $C$ se produira alors avec une probabilité de ${\frac {3}{5}}$.

Étudions l'événement $B$

Nous voyons que l'événement $B$ a une probabilité ${\frac {1}{7}}$ de se produire à la première étape. Il n'a aucune chance de se produire à la seconde étape. Il pourra toutefois se produire à la troisième étape avec une probabilité de ${\frac {1}{2}}$, mais seulement si l'événement $C$ s'est produit à la première étape et si l'événement $G$ s'est produit à la seconde étape.

Étudions l'événement $G$

Il est impossible de voir l'événement $G$ se produire à la première étape. On pourra éventuellement le voir se produire à la seconde étape avec une probabilité de ${\frac {1}{3}}$ mais seulement si l'événement $C$ s'est produit à la première étape. Par contre, il apparaîtra de façon certaine à la troisième étape si les événements $B$ et $E$ se sont respectivement produit à la première et à la seconde étape.

Probabilité d'une issue

Pour facilité le raisonnement, dans un premier temps, nous envisagerons un arbre dans lequel chaque événement n'est représenté qu'une seule fois :

Supposons que l'on veuille exprimer la probabilité de l'issue $(C;\,G;\,M)$.

Cette issue ne peut se produire que si l'événement $C$ s'est produit à la première étape, si l'événement $G$ s'est produit à la deuxième étape, si l'événement $M$ s'est produit à la troisième étape. La réalisation successive de ces trois événements constitue un parcours dans l'arbre que l'on désignera sous le nom de chemin.

Comme l'événement $C$ ne peut se produire qu'à la première étape, nous n'avons pas besoin de préciser qu'il s'est produit à la première étape. Il en est de même des événements $G$ et $M$. Nous pouvons donc dire simplement que l’issue $(C;\,G;\,M)$ s'est réalisée si les événements $C$, $G$ et $M$ se sont réalisés.

On aura donc :

$p\left((C;\,G;\,M)\right)=p(C\cap G\cap M)$

Remarque importante. La formule que l'on vient de voir va nous permettre d'établir par la suite d'autres formules plus générales mais cette formule peut être fausse si l’on envisage des arbres comme : où les événements peuvent apparaître dans des circonstances différentes à des étapes différentes. Par exemple, il serait faux d'écrire : $p\left((C;\,G;\,M)\right)=p(C\cap G\cap M)$ vu que les événements $C$, $G$ et $M$ se produisent aussi lors de la réalisation de l'issue $(G;\,M;\,C)$ qui est différente de l'issues $(C;\,G;\,M)$.

Arbres à deux étapes

Dans ce paragraphe, nous allons étudier plus en détail les arbres à deux étapes.

Supposons donc une expérience aléatoire se produisant en deux étapes. À la première étape, deux événements $A$ et $B$ peuvent se produire. À la seconde étape, trois événements $C$, $D$, $E$ peuvent se produire dont les probabilités dépendent éventuellement des événements $A$ et $B$.

Nous savons aussi, d'après le paragraphe précédent que :

$p\left((A;\,C)\right)=p(A\cap C)$

Mais nous avons vu, au premier chapitre, que (formule des probabilités composées) :

$p(A\cap C)=p(A)\times p_{A}(C)$

Nous en déduisons :

$p\left((A;\,C)\right)=p(A)\times p_{A}(C)$

Nous retiendrons que la probabilité de réalisation d'une issue, dans un arbre en deux étapes, est égale au produit des probabilités associées aux branches constituant le chemin qu'il a fallu parcourir pour réaliser cette issue.

Nous allons voir que ce résultat se généralise aux arbres quelconques.

Arbres à plus de deux étapes

Soit l'arbre à trois étapes suivants :

Par exemple, la probabilité de l'issue $(B;F;L)$ est donné par :

$p((B;F;L))=p(B\cap F\cap L)$

Si, dans la formule $p(A\cap C)=p(A)\times p_{A}(C)$ (vu au paragraphe précédent), on pose $A=B\cap F$ et $C=L$, on obtient :

$p(B\cap F\cap L)=p(B\cap F)\times p_{B\cap F}(L)$

Mais nous avons $p(B\cap F)=p(B)\times p_{B}(F)$

Nous obtenons donc :

$p(B\cap F\cap L)=p(B)\times p_{B}(F)\times p_{B\cap F}(L)$

Qui est la formule des probabilités composées pour trois ensembles, qui nous montre que dans un arbre à trois étapes la probabilité d'une issue est égale au produit des probabilités associées à toutes les branches du chemin qu'il a fallu parcourir pour atteindre cette issue.

Plus généralement, nous aurons le théorème suivant :

Début d’un théorème

Formule des probabilités composées

Soit $A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\cdots ,\,A_{n}$ n événements. Nous avons alors :

$p(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})=p(A_{1})\times p_{A_{1}}(A_{2})\times p_{A_{1}\cap A_{2}}(A_{3})\times \cdots \times p_{A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_{n})$

Fin du théorème

Démonstration

Nous ferons une démonstration par récurrence :

Initialisation

La formule est vraie pour n = 2. On obtient en effet :

$p(A_{1}\cap A_{2})=p(A_{1})\times p_{A_{1}}(A_{2})$

que l'on déduit directement de la formule des probabilités conditionnelles :

$p_{A_{1}}(A_{2})={\frac {p(A_{1}\cap A_{2})}{p(A_{1})}}$

Hérédité

Supposons la formule vraie au rang n :

$p(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})=p(A_{1})\times p_{A_{1}}(A_{2})\times p_{A_{1}\cap A_{2}}(A_{3})\times \cdots \times p_{A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_{n})$

et démontrons que cela entraîne qu'elle est vraie au rang n + 1.

De la formule des probabilité conditionnelle, on déduit :

$p(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}\cap A_{n+1})=p(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n})\times p_{A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}}(A_{n+1})$

d'où l'on déduit en appliquant l'hypothèse de récurrence :

$p(A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}\cap A_{n+1})=p(A_{1})\times p_{A_{1}}(A_{2})\times p_{A_{1}\cap A_{2}}(A_{3})\times \cdots \times p_{A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n-1}}(A_{n})\times p_{A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots \cap A_{n}}(A_{n+1})$

qui nous montre que la formule est vraie au rang n + 1.

 

Remarque importante. Dans ce qui précède, nous ne devons pas perdre de vue que nous nous sommes placés dans le cas particulier des arbres dans lesquels chaque événement n'est représenté qu'une seule fois, et nous avons démontré la formule des probabilités composées dans ce cas particulier. Nous admettrons que cette formule reste vraie dans le cas général mais sa démonstration dépasse le cadre de cette leçon et sera abordée dans des leçons de niveau supérieur.

De ce qui précède, nous pouvons déduire que dans un arbre où chaque événement n’apparaît qu'une fois, la probabilité de réalisation d'une issue est égale au produit des probabilités associées à toutes les branches du chemin qu'il a fallu parcourir pour réaliser l'issue considérée.

Pour généraliser cette affirmation aux arbres quelconques, nous pouvons pour chaque arbre inclure dans chaque événement une précision indiquant à quelle étape se produit l'événement.

Si, par exemple, nous avons affaire à une expérience consistant en la production de trois événements $A$, $B$, $C$ pouvant être représentée par un arbre en n étapes, nous poserons :

• $A_{n}$, L'événement $A$ s'est produit à la n^ième étape.
• $B_{n}$, L'événement $B$ s'est produit à la n^ième étape.
• $C_{n}$, L'événement $C$ s'est produit à la n^ième étape.

Nous voyons alors que même si, à priori, un événement pouvait apparaître à des étapes différentes, nous nous ramenons à un arbre où les raisonnements faits précédemment sont valables.