Propositions et opération élémentaire/Conjonctions et disjonctions

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Soient $p$ et $q$ deux propositions.

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Conjonction

Conjonction de deux propositions

Définition :

Conjonction

La conjonction des propositions p et q est la proposition notée « p et q » (ou $p\land q$), qui est vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies. Tous les autres résultats sont faux.

La table de vérité de la proposition $p\land q$ est la suivante :

Valeur de vérité de la proposition $p$	Valeur de vérité de la proposition $q$	Valeur de vérité de la proposition $p\land q$
VRAIE	VRAIE	VRAIE
VRAIE	FAUSSE	FAUSSE
FAUSSE	VRAIE	FAUSSE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE

Disjonction

Disjonction de deux propositions

Définition :

Disjonction

La disjonction des propositions p et q est la proposition notée « p ou q » (ou $p\lor q$), qui est vraie si et seulement si p et q sont simultanément vraies, et fausse si et seulement si p et q sont simultanément fausses. Tous les autres résultats sont vrais.

La table de vérité de la proposition $p\lor q$ est la suivante :

Valeur de vérité de la proposition $p$	Valeur de vérité de la proposition $q$	Valeur de vérité de la proposition $p\lor q$
VRAIE	VRAIE	VRAIE
VRAIE	FAUSSE	VRAIE
FAUSSE	VRAIE	VRAIE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE

L'opérateur « ou » est inclusif, c'est-à-dire : si $p\land q$ est vraie, alors $p\lor q$ est vraie.

On peut résumer tout cela dans la table de vérité suivante :

Valeur de vérité de la proposition $p$	Valeur de vérité de la proposition $q$	Valeur de vérité de la proposition $p\lor q$	Valeur de vérité de la proposition $p\land q$
VRAIE	VRAIE	VRAIE	VRAIE
VRAIE	FAUSSE	VRAIE	FAUSSE
FAUSSE	VRAIE	VRAIE	FAUSSE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE

Maintenant étudions cette table de vérité :

Valeur de la proposition $p$	Valeur de la proposition $q$	Valeur de la proposition $p\land q$	Valeur de la proposition ${\bar {p}}\lor {\bar {q}}$
VRAIE	VRAIE	VRAIE	FAUSSE
VRAIE	FAUSSE	FAUSSE	VRAIE
FAUSSE	VRAIE	FAUSSE	VRAIE
FAUSSE	FAUSSE	FAUSSE	VRAIE

On remarque que ${\overline {p\land q}}$ est équivalente à ${\bar {p}}\lor {\bar {q}}$. De même, on obtiendrait ${\overline {p\lor q}}$ est équivalente à ${\bar {p}}\land {\bar {q}}$.
On peut résumer ces propriétés en disant que la négation d'un « ou » est un « et » et la négation d'un « et » est un « ou ».

Dans des exemples :

($2>10$) ou ($x^{2}=4$ a au moins une solution.)	Vraie
(4 est pair) et (Les mammouths ont disparu)	Vraie
($x+1=x+2-1$) et (${\frac {16}{4}}=3$)	Faux
$\scriptstyle {\overline {4^{2}=16}}$	Faux
$\scriptstyle {\overline {(x>2)\land (x<2)}}$	Vraie

Négation des conjonctions et disjonctions (règles de De Morgan)

Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).

Soient $P_{1}$ et $P_{2}$ deux propositions.

Début d’un théorème

Négation d'une conjonction

$\lnot (P_{1}\land P_{2})\leftrightarrow (\lnot P_{1})\lor (\lnot P_{2})$

Fin du théorème

La négation d'une conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations de ces deux propositions.

Début d’un théorème

Négation d'une disjonction

$\lnot (P_{1}\lor P_{2})\leftrightarrow (\lnot P_{1})\land (\lnot P_{2})$

Fin du théorème

La négation d'une disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations de ces deux propositions.