puissances .
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Annexe : ApprofondissementsPuissances/Annexe/Approfondissements », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ils ne sont pas strictement au programme de quatrième et sont réservés à ceux qui veulent aller plus loin, soit par curiosité, soit dans le but de se préparer à des études plus difficiles.
Certaines parties de cette page sont seulement suggérées, pour laisser au lecteur le plaisir de trouver les réponses par lui-même.
Puissances et multiplications
modifier
Nous voulons montrer que :
a
m
×
a
n
=
a
m
+
n
{\displaystyle a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}}
Supposons que m et n sont positifs, alors :
a
n
=
n
f
o
i
s
a
×
⋯
×
a
⏞
{\displaystyle {\begin{matrix}\\a^{n}=\end{matrix}}{\begin{matrix}nfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}}
et
a
m
=
m
f
o
i
s
a
×
⋯
×
a
⏞
{\displaystyle {\begin{matrix}\\a^{m}=\end{matrix}}{\begin{matrix}mfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}}
donc
a
n
×
a
m
=
n
f
o
i
s
a
×
⋯
×
a
⏞
×
m
f
o
i
s
a
×
⋯
×
a
⏞
=
n
+
m
f
o
i
s
a
×
⋯
×
a
⏞
=
a
n
+
m
{\displaystyle {\begin{matrix}\\a^{n}\times a^{m}=\end{matrix}}{\begin{matrix}nfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}{\begin{matrix}\\\times \end{matrix}}{\begin{matrix}mfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}{\begin{matrix}\\=\end{matrix}}{\begin{matrix}n+mfois\\\overbrace {a\times \cdots \times a} \end{matrix}}{\begin{matrix}\\=\end{matrix}}{\begin{matrix}\\a^{n+m}\end{matrix}}}
Il suffit d'écrire la définition et de réordonner les facteurs
Puissances et divisions
modifier
En supposant que m est supérieur à n, il faut simplifier m-n fois par a.
Sinon, il faut simplifier n-m fois par a.
Il faut se rappeler de la règle de multiplication des fractions.
« Fausses règles »
modifier
La plus célèbre est :
a
m
×
b
n
=
(
a
×
b
)
m
+
n
{\displaystyle {\mathfrak {a^{m}\times b^{n}=(a\times b)^{m+n}}}}
Pour se rendre compte qu'elle est fausse, prendre un exemple avec
a
≠
b
{\displaystyle a\neq b}
Pourquoi
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
modifier
Calculons
a
n
×
a
−
n
=
a
n
+
(
−
n
)
=
a
0
{\displaystyle a^{n}\times a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{0}}
Mais
a
n
×
a
−
n
=
a
n
×
1
a
n
=
a
n
a
n
=
1
{\displaystyle a^{n}\times a^{-n}=a^{n}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=1}
donc
a
n
×
a
−
n
=
1
{\displaystyle a^{n}\times a^{-n}=1}
Remarque : Cette démonstration n'est valable que si a est non nul.
L'égalité 00 = 1 est reliée à la limite en (0;0) de la fonction
(
x
;
y
)
⟼
x
y
{\displaystyle (x;y)\longmapsto x^{y}}
