Résolution numérique d'équations différentielles/Schémas numériques

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Schémas numériques
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Chapitre no 2
Leçon : Résolution numérique d'équations différentielles
Chap. préc. :Équations différentielles ordinaires
Chap. suiv. :Différences finies
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IntroductionModifier

Afin de résoudre numériquement une équation différentielle ordinaire par une méthode de calcul numérique, il faut trouver une relation qui permet d'obtenir pas à pas les termes suivant lorsqu'une solution est donnée. Dans ce cours nous verrons des schémas numériques pour toute équation du premier degré. La méthode est équivalente pour les équations d'ordre supérieur, à vous de développer un modèle satisfaisant suivant le cas à traiter.

Il n’est pas possible d'extraire un schéma numérique à partir de la formulation implicite de la l'équation différentielle:

  (dans notre cas:  )

Il faut en extraire le terme dérivé d'ordre 1; on a alors:

 

ainsi que les conditions initiales nécessaires:    

Développement de TaylorModifier

Soit   un pas de discrétisation. Par développement de Taylor d'une fonction  , on a pour tout réel  :  ,

 


Alors, on a ainsi aisément accès à une approximation de la dérivation de  :

  • à l’ordre 1:

  D'où :  

  • à l’ordre 2, en combinant les développements de Taylor:

   

  qui est une fonction de   ne déroge pas à cette règle.


Schémas d'ordre 1, les schémas d'EulerModifier

 , qui est une fonction de   ne déroge pas à cette règle.

Soit   un pas de discrétisation, alors on a  . On aura donc par le développement de Taylor d'ordre 1:

 

D'où dans le cas de notre équation différentielle:   Donc  


Schémas d'ordre supérieurModifier

Stabilité et convergenceModifier