Rapport gyromagnétique
On montre que, pour un atome, le moment magnétique
m
→
{\displaystyle {\vec {\mathfrak {m}}}}
est relié avec une assez bonne approximation au moment cinétique
L
→
{\displaystyle {\vec {L}}}
par la relation linéaire
m
→
=
γ
L
→
{\displaystyle {\vec {\mathfrak {m}}}=\gamma {\vec {L}}}
.
γ est appelé
rapport gyromagnétique .
Précession d'un dipôle magnétique
modifier
On sait qu'un dipôle magnétique de moment
m
→
{\displaystyle {\vec {\mathfrak {m}}}}
plongé dans un champ magnétique
B
→
=
B
u
→
z
{\displaystyle {\vec {B}}=B{\vec {u}}_{z}}
est soumis :
à la force
F
→
=
∇
→
(
m
→
⋅
B
→
)
{\displaystyle {\vec {F}}={\vec {\nabla }}({\vec {\mathfrak {m}}}\cdot {\vec {B}})}
au moment
Γ
→
=
m
→
∧
B
→
{\displaystyle {\vec {\Gamma }}={\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}}}
On applique le théorème du moment cinétique au dipôle :
d
L
→
d
t
=
Γ
→
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\vec {L}}}{{\rm {d}}t}}={\vec {\Gamma }}}
, soit
d
m
→
d
t
=
γ
m
→
∧
B
→
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\vec {\mathfrak {m}}}}{{\rm {d}}t}}=\gamma {\vec {\mathfrak {m}}}\wedge {\vec {B}}}
Pulsation de Larmor
γ
|
|
B
→
|
|
{\displaystyle \gamma \,||{\vec {B}}||}
a la dimension d'une pulsation. On pose la
pulsation de Larmor la norme du vecteur
Ω
→
L
=
−
γ
B
→
{\displaystyle {\vec {\Omega }}_{L}=-\gamma {\vec {B}}}
.
Précession du moment magnétique
L'équation du moment cinétique devient
d
m
→
d
t
=
Ω
→
L
∧
m
→
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\vec {\mathfrak {m}}}}{{\rm {d}}t}}={\vec {\Omega }}_{L}\wedge {\vec {\mathfrak {m}}}}
.
Cette équation est caractéristique d'un
mouvement de précession .
On peut relier l'aimantation d'un milieu magnétique en un point à la densité du moment magnétique moyen dans un volume mésoscopique ΔV autour du point :
M
→
=
n
v
⟨
m
→
⟩
{\displaystyle {\vec {M}}=n_{v}\langle {\vec {\mathfrak {m}}}\rangle }
nv est la densité volumique de dipôles magnétiques dans ΔV
⟨
m
→
⟩
{\displaystyle \langle {\vec {\mathfrak {m}}}\rangle }
est le moment magnétique moyen des dipôles de ΔV
On peut donc écrire que
M
→
{\displaystyle {\vec {M}}}
suit la même loi d'évolution que
m
→
{\displaystyle {\vec {\mathfrak {m}}}}
:
d
M
→
d
t
=
γ
M
→
∧
B
→
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\vec {M}}}{{\rm {d}}t}}=\gamma {\vec {M}}\wedge {\vec {B}}}
Dans le cas où il y a dissipation d'énergie, un terme de relaxation apparaît
d
M
→
d
t
=
γ
(
M
→
∧
B
→
)
+
R
→
{\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\vec {M}}}{{\rm {d}}t}}=\gamma ({\vec {M}}\wedge {\vec {B}})+{\vec {R}}}
avec
R
→
=
δ
|
|
M
→
|
|
(
M
→
∧
∂
M
→
∂
t
)
{\displaystyle {\vec {R}}={\frac {\delta }{||{\vec {M}}||}}\left({\vec {M}}\wedge {\frac {\partial {\vec {M}}}{\partial t}}\right)}
Définition
ω
H
=
γ
m
H
0
{\displaystyle \omega _{H}=\gamma _{m}H_{0}}
est appelée
pulsation de résonance magnétique .
Pour étudier la résonance, on va s'intéresser aux composantes circulaires de
M
→
{\displaystyle {\vec {M}}}
et
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
dans la base
(
u
→
x
,
u
→
y
)
{\displaystyle ({\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y})}
.
On introduit ainsi les composantes polarisées à droite (indice +) et à gauche (indice -) de ces deux champs :
{
M
+
=
M
x
+
j
M
y
H
+
=
H
x
+
j
H
y
e
t
{
M
−
=
M
x
−
j
M
y
H
−
=
H
x
−
j
H
y
{\displaystyle {\begin{cases}M_{+}=M_{x}+jM_{y}\\H_{+}=H_{x}+jH_{y}\\\end{cases}}~{\rm {et}}~{\begin{cases}M_{-}=M_{x}-jM_{y}\\H_{-}=H_{x}-jH_{y}\\\end{cases}}}
On introduit de même les susceptibilités magnétiques à droite et à gauche par les relations suivantes :
{
M
+
=
χ
+
H
+
M
−
=
χ
−
H
−
{\displaystyle {\begin{cases}M_{+}=\chi _{+}H_{+}\\M_{-}=\chi _{-}H_{-}\\\end{cases}}}
La relation matricielle
[
M
x
M
y
]
=
[
χ
j
χ
a
−
j
χ
a
χ
]
[
H
x
H
y
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}M_{x}\\M_{y}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\chi &j\chi _{a}\\-j\chi _{a}&\chi \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}H_{x}\\H_{y}\end{matrix}}\right]}
donne après développement les expressions de ces susceptibilités :
{
χ
+
=
χ
+
χ
a
=
ω
M
(
ω
_
H
+
ω
)
ω
_
H
2
−
ω
2
=
ω
M
ω
_
H
−
ω
χ
−
=
χ
−
χ
a
=
ω
M
(
ω
_
H
−
ω
)
ω
_
H
2
−
ω
2
=
ω
M
ω
_
H
+
ω
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\chi _{+}=\chi +\chi _{a}={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}+\omega )}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}={\frac {\omega _{M}}{{\underline {\omega }}_{H}-\omega }}}\\\displaystyle {\chi _{-}=\chi -\chi _{a}={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}-\omega )}{{\underline {\omega }}_{H}^{2}-\omega ^{2}}}={\frac {\omega _{M}}{{\underline {\omega }}_{H}+\omega }}}\end{cases}}}
Propriété
La résonance n'existe que pour la composante polarisée à droite .
Séparons partie réelle et partie imaginaire. On pose
χ
+
=
χ
+
′
−
j
χ
+
″
{\displaystyle \chi _{+}=\chi _{+}'-j\chi _{+}''}
La partie réelle influe sur la réfraction du milieu
La partie imaginaire représente l'atténuation due aux pertes dans le milieu.
χ
+
=
ω
M
ω
_
H
−
ω
=
ω
M
(
ω
_
H
∗
−
ω
)
(
ω
_
H
−
ω
)
(
ω
_
H
∗
−
ω
)
=
ω
M
(
ω
_
H
∗
−
ω
)
ω
_
H
ω
_
H
∗
−
ω
(
ω
_
H
∗
+
ω
_
H
)
+
ω
2
=
ω
M
(
ω
_
H
∗
−
ω
)
ω
H
2
+
(
δ
ω
)
2
−
2
ω
ω
H
+
ω
2
=
ω
M
(
ω
H
−
ω
)
(
ω
H
−
ω
)
2
+
(
δ
ω
)
2
−
j
δ
ω
M
ω
(
ω
H
−
ω
)
2
+
(
δ
ω
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{+}&={\frac {\omega _{M}}{{\underline {\omega }}_{H}-\omega }}\\&={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}{({\underline {\omega }}_{H}-\omega )({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}}\\&={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}{{\underline {\omega }}_{H}{\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega ({\underline {\omega }}_{H}^{*}+{\underline {\omega }}_{H})+\omega ^{2}}}\\&={\frac {\omega _{M}({\underline {\omega }}_{H}^{*}-\omega )}{\omega _{H}^{2}+(\delta \omega )^{2}-2\omega \omega _{H}+\omega ^{2}}}\\&={\frac {\omega _{M}(\omega _{H}-\omega )}{(\omega _{H}-\omega )^{2}+(\delta \omega )^{2}}}-j{\frac {\delta \omega _{M}\omega }{(\omega _{H}-\omega )^{2}+(\delta \omega )^{2}}}\\\end{aligned}}}
χ
+
′
=
ω
M
(
ω
H
−
ω
)
(
ω
H
−
ω
)
2
+
(
δ
ω
)
2
{\displaystyle \chi _{+}'={\frac {\omega _{M}(\omega _{H}-\omega )}{(\omega _{H}-\omega )^{2}+(\delta \omega )^{2}}}}
et
χ
+
″
=
δ
ω
M
ω
(
ω
H
−
ω
)
2
+
(
δ
ω
)
2
{\displaystyle \chi _{+}''={\frac {\delta \omega _{M}\omega }{(\omega _{H}-\omega )^{2}+(\delta \omega )^{2}}}}
La partie réelle de la susceptibilité magnétique change brusquement de signe au voisinage de la fréquence de résonance. C'est également (et surtout) l'endroit où l'atténuation est la plus forte. En pratique, on repère la résonance ferromagnétique par le fait que l'intensité reçue par les détecteurs chute brusquement.