Rappels de mécanique analytique/Équations du mouvement

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Introduction

La mécanique lagrangienne s'applique fort bien aux milieux continus. On l'utilise ici pour décrire le champ électromagnétique, la plus simple des interactions quantiques. Quoique cela puisse sembler surprenant, pour cette approche, par analogie avec la mécanique usuelle, les équations établies pour le champ électromagnétique sont appelées « équations du mouvement ». Nous étudierons ici le cas des champs classiques.

Notations

Introduisons tout d’abord les notations principales à l'étude lagrangienne :

• $q_{i}\left(\mathbf {r} ,t\right)$ représente la valeur du champ u selon la direction i au point r et à l'instant t ;
• la quantité ${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial }{\partial t}}q_{i}$ est appelée « vitesse du champ » ;
• on notera ${\mathcal {L}}$ le lagrangien, $L$ la densité de lagrangien ;
• on notera $\mathbf {\nabla } q_{i}$ le gradient de q_i.

Rappelons également les notations usuelles de l'électromagnétisme :

• $\{\mathbf {E} ;\mathbf {B} \}$ représente le champ électromagnétique ;
• $U$ représente le potentiel scalaire ;
• $\mathbf {A}$ représente le potentiel vecteur.

Lagrangien et action

On suppose qu'en plus des coordonnées et vitesses, le lagrangien peut dépendre des dérivées spatiales. On a ainsi : ${\mathcal {L}}=\int L\left(q_{i},{\dot {q}}_{i},\nabla q_{i}\right)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

L'action est naturellement donnée par :

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int L\left(q_{i},{\dot {q}}_{i},\nabla q_{i}\right)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \,\mathrm {d} t$

On peut admettre que, de même que pour le cas mécanique, le champ électromagnétique obéit au principe de moindre action. Ainsi, le mouvement effectivement suivi par le champ rend l'action extrémale, donc annule sa dérivée. À tout instant, en toute position, pour tout i, on a donc :

${\frac {\delta S}{\delta q_{i}}}=0$

Cela peut encore s'écrire sous forme variationnelle :

${\frac {\delta S}{\delta q_{i}}}={\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta q_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-\mathbf {\nabla } \cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {\nabla } q_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0$

Charges et champs

D'après les équations de Maxwell, l'évolution des champs se déduit entièrement des potentiels, lesquels dépendent uniquement des charges. On a notamment : $\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$ $\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\mathbf {\nabla } U$

On indice les charges par la lettre α. Pour chacune d'entre elles, on note :

• $m_{\alpha }$ sa masse ;
• $e_{\alpha }$ sa charge électrique ;
• $\mathbf {r} _{\alpha }$ sa position et $\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }$ sa vitesse.

La densité de charge est alors :

$\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)=\sum _{\alpha }e_{\alpha }\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }\left(t\right)\right)$

On peut également donner une expression de la densité de courant :

$\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\sum _{\alpha }e_{\alpha }\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }\left(t\right)\right)$

Lagrangien du champ électromagnétique

Énoncé

Nous allons montrer que toutes les équations des champs et charges se déduisent du lagrangien suivant :

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }^{2}+\sum _{\alpha }\left[e_{\alpha }\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }\cdot \mathbf {A} -e_{\alpha }U\right]+{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \left[\mathbf {E} ^{2}-c^{2}\mathbf {B} ^{2}\right]\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

On peut encore l'écrire :

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }^{2}+\int L\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

avec :

$L=\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} -\rho U+{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\left[\left(-\nabla U-\mathbf {\dot {A}} \right)^{2}-c^{2}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)^{2}\right]$

Vérification

La description lagrangienne étant tout à fait équivalente à toute description classique, on peut évidemment retrouver les quantités et relations de départ en le dérivant :

Charges

Pour tout i, on a : $j_{i}={\frac {\partial L}{\partial A_{i}}}$ et $\rho ={\frac {\partial L}{\partial U}}$

Champs

En dérivant cette quantité, on peut retrouver la valeur des différents champs :

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {A}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial \left(\partial _{i}U\right)}}=-\varepsilon _{0}E_{i}$ ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {U}}}}=0$ ${\frac {\partial L}{\partial \left(\partial _{j}A_{k}\right)}}=-\varepsilon _{0}c^{2}\epsilon _{i,j,k}B_{i}$

Équations de Maxwell

L'utilisation des équations d'Euler-Lagrange pour U et A redonnent, respectivement, les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère.

Équations du mouvement pour les charges

On traite ici le cas des charges en interaction avec le champ. Le membre de gauche de l'équation d'Euler-Lagrange pour chaque particule est :

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} _{\alpha }}}=-e_{\alpha }\mathbf {\nabla } U+e_{\alpha }\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }\cdot \mathbf {A} \right)$

Par ailleurs, on a :

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {r}} _{\alpha }}}=m_{\alpha }\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }+e_{\alpha }\mathbf {A}$

Le membre de droite de l'équation d'Euler-Lagrange est donc :

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {r}} _{\alpha }}}=m_{\alpha }\mathbf {\ddot {r}} _{\alpha }+e_{\alpha }{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+e_{\alpha }\left(\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }\cdot \nabla \right)\mathbf {A}$

Égaliser les deux membres de l'équation donne alors :

$m_{\alpha }\mathbf {\ddot {r}} _{\alpha }=e_{\alpha }\left[\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} _{\alpha }\times \mathbf {B} \right]$

On reconnait la très simple force de Lorentz, qui apparaît comme simple conséquence des équations de Maxwell.

Invariances

On peut remarquer que cette formulation se généralise facilement au cas relativiste, si L est un scalaire d'espace-temps, l'action étant alors un invariant relativiste.

La formulation lagrangienne fait que tout changement de coordonnées ne modifie pas l'action. De même pour une translation ou une rotation.

En revanche, il existe une invariance de jauge dans la valeur des champs. Il ne faut pas s'inquiéter de cela, dans la mesure où les éléments « fondamentaux » ne sont pas les champs, mais les potentiels. La description hamiltonienne propose naturellement la jauge de Coulomb-Lorenz, mais ce choix apparaît ici encore arbitraire.