Rayonnement électromagnétique/Approximation dipolaire magnétique

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Dans ce cours on va, cette fois-ci, s'intéresser au rayonnement d'un dipôle magnétique.

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Notion de dipôle magnétique

On considère une boucle de courant $I$ et de surface $S$.

Moment magnétique

On appelle moment magnétique, noté ${\vec {m}}$ défini par ${\vec {m}}=I{\vec {S}}$.

${\vec {S}}$ est le vecteur surface, de norme $S$ et de direction compatible avec le sens de $I$ d'après la règle de la main droite.

Avec une densité volumique de courant

Cette partie est pour la culture mais ne sert pas directement au calcul.

Le moment magnétique infinitésimal est défini par $\mathrm {d} {\vec {m}}={\frac {1}{1}}{\vec {r}}'\wedge {\vec {j}}({\vec {r}}')\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$.

Moment magnétique

On appelle moment magnétique, noté ${\vec {m}}$ défini par :

${\vec {m}}=\int {\frac {1}{2}}{\vec {r}}'\wedge {\vec {j}}({\vec {r}}')\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Approximation dipôle magnétique

Il s'agit des mêmes hypothèses que l'approximation champ lointain, avec cette fois-ci ${\vec {p}}={\vec {0}}$.

Ainsi dans le DL de $e^{-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}$ on ne peut prendre que le second ordre (sinon ${\vec {A}}={\vec {0}}$) de la forme $-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'$

Ainsi :

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int {\vec {j}}({\vec {r}}')(-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}')\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

On considère ici une boucle de courant $I$, ainsi $\int {\vec {j}}({\vec {r}}')(-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}')\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'=\int I(-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}')\mathrm {d} {\vec {r}}'$

Il faut ensuite utiliser la formule d'analyse vectorielle suivante : $\int f({\vec {r}}')\mathrm {d} {\vec {r}}'=-\int {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f\wedge \mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}'$

Ainsi on obtient :

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}Iik\int {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}({\vec {u}}\cdot {\vec {r}}')\wedge \mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}'={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}Ii{\vec {k}}\wedge \int \mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}'$

Finalement : ${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}i{\vec {k}}\wedge (I{\vec {S}})$

Début d’un théorème

Expression du potentiel vecteur dans l'approximation dipolaire magnétique

Finalement :

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}(i{\vec {k}}\wedge {\vec {m}})$

Fin du théorème