Rayonnement du corps noir/Angles solides

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Les angles solides constituent une généralisation des angles plan aux situations dans l'espace. Cette notion est particulièrement utile dans l'étude du rayonnement, ce chapitre est consacré à la définition et aux exemples en rapport. Il peut être considéré optionnel si la notion est déjà connue.

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Définition

L'angle plan

Pour définir un angle solide, nous allons devoir définir ce qu'est un angle usuel dans le plan. Soit un cercle de rayon R et un arc de ce cercle délimité par un angle θ (mesuré en radians). Alors la longueur de l'arc est :

$L=R\theta$

On retrouve d'ailleurs le résultat célèbre donnant le périmètre d'un cercle pour un angle de 2π. La formule ci-dessus peut encore être écrite :

$\theta ={\frac {L}{R}}$

Ainsi, étant donné une mesure :

• de la longueur de l'arc ;
• du rayon du cercle ;

on peut en déduire une mesure de l'angle.

Angle plan

On définit l'angle plan θ formé entre deux points d'un cercle de rayon R par : $\theta ={\frac {L}{R}}$

où L est la longueur de l'arc entre les deux points.

Angle solide

Un petit angle solide : d²Ω = sin θ dθ dφ.

Nous allons définir l'angle en trois dimensions — appelé angle « solide » — de manière analogue. On voudrait disposer d'une formule de la forme

$<\!\!\!<L=R\theta \,>\!\!\!>$

sauf que, dans notre cas précis :

• L serait une surface, et non plus une longueur ;
• θ serait un angle solide, et non plus un angle plan ;
• il faudrait prendre le carré de R, pour des raisons d'homogénéité.

Pour plus de clarté, on note S la surface et Ω l'angle solide. On cherche ainsi :

$S=R^{2}\Omega$

Ainsi, par analogie avec la définition de l'angle plan :

Angle solide

On définit l'angle solide Ω sur une sphère de rayon R par : $\Omega ={\frac {S}{R^{2}}}$

où S est la surface formée sur la sphère. Un angle solide se mesure en unités SI en stéradians (sr).

Angle solide infinitésimal

De même, pour un angle infinitésimal, on a : $\mathrm {d} ^{2}\Omega ={\frac {\mathrm {d} ^{2}S}{R^{2}}}$

C'est-à-dire, puisque d²S = R² sin θ dθ dφ :

$\mathrm {d} ^{2}\Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$

avec dθ et dφ les angles balayés par la surface (voir schéma). Cette expression est parfois intéressante.

Remarques :

• Le plus grand angle solide mesurable, qui correspond à un objet couvrant toute la sphère, est de 4π stéradians.
• Chaque face d'un cube est vue depuis le centre du cube avec un angle solide 2π/3 stéradians.
• Dans le cas général, un polyèdre régulier pouvant être inscrit dans une sphère, chacune de ses faces est vue avec un angle solide 4π/n.

Cas particuliers

Surface plane

Soit une surface élémentaire plane dS, soit n un vecteur normal à dS. On note R la distance d'un point O à cette surface.

Alors l'angle sous lequel est vu dS depuis O est :

$\mathrm {d} \Omega ={\frac {1}{R^{2}}}\mathrm {d} S\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{r}\right)$

avec e_r le vecteur unitaire des coordonnées sphériques.

Objet sphérique

Un objet sphérique de rayon R est vu sous le même angle solide qu'un cercle de rayon R à la même distance.

Exemple

On dispose des informations suivantes :

• Rayon de la Lune : 1 740 km ;
• Distance Terre-Lune : 384 500 km ;
• Rayon du Soleil : 7.10⁵ km ;
• Distance Terre-Soleil : 150.10⁶ km.

Comparer l'angle solide sous lequel le Soleil et la Lune sont vus et commenter.

La surface occupée par la Lune est : $S_{L}=\pi R_{L}^{2}$ L'angle solide sous lequel la Lune est vue est donc : $\Omega _{L}={\frac {S_{L}}{D_{T-L}^{2}}}={\frac {\pi R_{L}^{2}}{D_{T-L}^{2}}}=6,434.10^{-5}\;\mathrm {sr}$

La surface occupée par le Soleil est : $S_{S}=\pi R_{S}^{2}$ L'angle solide sous lequel le Soleil est vu est donc : $\Omega _{S}={\frac {S_{S}}{D_{T-S}^{2}}}={\frac {\pi R_{S}^{2}}{D_{T-S}^{2}}}=6,842.10^{-5}\;\mathrm {sr}$

On remarque que ces deux valeurs sont proches — en fait, les données fournies étant approximatives, elles sont plus ou moins proches — ce qui explique notamment les éclipses « annulaires » lors desquelles la Lune occulte tout juste le Soleil.