Recherche:Combinatoire & pratique instrumentale/Résultats sur le rythme

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Généralités

Le rythme se prête particulièrement bien à la variation combinatoire.

Équivalences dans la notation

Dans cette recherche, nous nous sommes plus particulièrement attaché à l'endroit de la mesure où les notes débutent plutôt qu’à la durée des notes elles-mêmes. Ainsi, sauf indication particulière, nous considérons comme équivalents, par exemple, les rythmes suivants :

Correspondance avec la numérotation en binaire

Par exemple, supposons que l’on veuille étudier tous les motifs contenant des croches sur un temps d'une noire. Comme une noire vaut deux croches, nous avons donc $2^{2}=4$ motifs différents :

Faisons tout de suite deux remarques :

1. Le motif 2 peut être indifféremment noté

ou

.

2. Nous numérotons les motifs à partir de 0 car – comme le lecteur familier de l'informatique l'aura probablement déjà compris – les croches de la mesure correspondent aux chiffres, en binaire, d'un nombre qui, noté en décimal, correspond, lui, au numéro du motif. Cela est résumé dans le tableau suivant.

Nombre en décimal	Nombre en binaire	Motif rythmique correspondant
0	00
1	01
2	10
3	11

Motifs rythmiques sur 4 croches

Si l’on veut toutes les combinaisons impliquant des croches dans une mesure à 2/4, qui dure 2 noires donc 4 croches, nous obtenons $2^{4}=16$ motifs différents :

Application des motifs rythmiques

Tous ces motifs peuvent servir à construire une séquence rythmique.

Exemples

1. Une séquence incluant une et une seule fois chacun de ces 16 motifs. Un simple calcul montre que l’on peut obtenir $n=16!={\text{20.922.789.888.000}}$ séquences différentes. Il va de soit que l’on ne pourra jamais jouer toutes ces séquences au cours d'une vie. Fort heureusement, il suffit de choisir les motifs rythmiques que l’on désire plus particulièrement travailler (ou faire travailler) afin de construire les exercices adéquats.

2. Une séquence (gamme ou arpège) construite sur l'un de ces motifs. Sur le motif n°7, on peut avoir :

Avec toutes les permutations d'un ensemble donné

On peut choisir deux motifs et les alterner. Par exemple, avec le motif n°7,

que l’on peut aussi considérer comme

, alterné avec le motif n°15,

, l’on peut obtenir l'exercice suivant :

Si nous prenons 3 motifs, nous aurons $3!=6$ permutations différentes, et comme chaque permutation comporte 3 motifs, la durée de la séquence sera de $3*6=18$ motifs.

Si nous prenons 4 motifs, nous aurons $4!=24$ permutations différentes, et comme chaque permutation comporte 4 motifs, la durée de la séquence sera de $4*24=96$ motifs.

Si nous prenons 5 motifs, nous aurons $5!=120$ permutations différentes, et comme chaque permutation comporte 5 motifs, la durée de la séquence sera de $5*120=720$ motifs.

Pour n motifs différents, nous obtiendrons une séquence de $n*n!$ motifs. Nous constatons donc que la durée des séquences obtenues croît très vite – encore plus vite que la factorielle de n.

Variation sur le nombre de notes par motif

Exemple sur une mesure de 8 croches

Nous pouvons aussi varier un motif "continu" en croches :

en enlevant une des croches de la mesure :

Dénombrement des variations

En considérant l'exemple précédent, nous voyons qu’il y a 8 façons d'enlever une croche dans une mesure de 8 croches. Autrement dit, il y a 8 façons différentes de répartir 7 notes sur 8 dans une mesure, ce qui correspond à $C_{7}^{8}=8$.

Suivant le nombres de croches "marquées" dans une mesure à 4/4, nous obtenons le tableau suivant :

$n=$ Nombre de croches marquées	$C_{n}^{8}=$ Nombre de motifs
0	1
1	8
2	28
3	56
4	70
5	70
6	56
7	28
8	1

Nous pouvons vérifier que le total des motifs est égal à 256 soit 2⁸.

Motifs rythmiques sur 8 croches

Nous avons vu plus haut qu’il existe 256 motifs différents impliquant des croches dans une mesure à 4/4 (comptant 8 croches). Ces 256 motifs sont exposés dans la séquence rythmique suivante ; les croches marquées correspondent aux chiffres du nombre de la mesure codé en binaire, suivant la même logique que dans le tableau de la partie Résultats sur le rythme : Correspondance avec la numérotation en binaire ; le numéro de chaque mesure correspond, lui, au nombre codé en décimal :

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Avec séquence variée

Prenons par exemple une séquence variée à 5 éléments :

12345 13524 14253 15432 (1)

Choisissons 5 motifs rythmiques :

L'application de cette séquence variée à ces 5 motifs donnera la séquence rythmique suivante :

Cette séquence rythmique pourrait s'appliquer par exemple à une gamme de do majeur :

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