Recherche:Décomposition en poids × niveau + saut


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Décomposition en poids × niveau + saut

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  • arXiv:0711.0865 [math.NT]: Decomposition into weight * level + jump and application to a new classification of primes, 2007 - 2010, Rémi Eismann.


PrincipesModifier

Principe de décomposition : on choisit le plus petit poids tel que dans la division euclidienne d'un nombre par son poids, le reste est le saut (première différence, écart). Le quotient sera le niveau.

Principes de classification: si le nombre n'est pas décomposable, il n'est pas classé. Si le poids est plus grand que le niveau alors le nombre est classé par niveau, sinon il est classé par poids.

DéfinitionsModifier

Soit  , une suite strictement croissante d'entiers positifs.

SautModifier

Le saut (première différence, écart) de   est défini par

 

l(n)Modifier

l(n) est défini par

 

Définition alternative avec la fonction modModifier

 

PoidsModifier

Le poids de   est défini par

 

Définition alternative avec la fonction modModifier

 

NiveauModifier

Le niveau de   est défini par

 

Critère de décompositionModifier

Un nombre   d'une suite strictement croissante d'entiers positifs,   peut être décomposé en poids × niveau + saut quand   est différent de 0 ce qui peut être réécrit en :

 

ou

 

ou

 

Une décomposition uniqueModifier

Le poids   est le plus petit tel que dans la division euclidienne de   par son poids  , le quotient est le niveau  , et le reste est le saut  . Nous avons donc la décomposition unique

 

Principes de classificationModifier

  • Si pour  ,
 

alors   n'est pas classé.

  • Si pour  ,
 

alors   est classé par niveau, sinon il est classé par poids.

AlgorithmesModifier

Algorithme naïf (PARI/GP):

decompnaive(n,n1)={
	/*strictly increasing*/
	if(n>=n1,print("n1 must be greater than n");return);
	/*jump*/
	d=n1-n;
	/*l=n-d if n>2*d else the number is not decomposable*/
	if(n>2*d,l=n-d,print(d, ", 0, 0");return);
	/*we look for the weight to jump+1 until l*/
	for(k=d+1,l,if(n%k==d,print(n," = ",k," * ",l/k," + ",d);return));
}

Algorithme "newSieve":

decompsieve(n,n1)={
	/*strictly increasing*/
	if(n>=n1,print("n1 must be greater than n");return);
	/*jump*/
	d=n1-n;
	/*l=n-d if n>2*d else the number is not decomposable*/
	if(n>2*d,l=n-d,print(d, ", 0, 0");return);
	/*we look for the weight to jump+1 until sqrt(l)*/
	for(k=d+1,sqrt(l),if(n%k==d,print(n," = ",k," * ",l/k," + ",d);return));
	/*we look for the level to jump until 1 (--)*/
	forstep(le=d,1,-1,if(n%floor(l/le)==d,print(n," = ",l/le," * ",le," + ",d);return));
}

L'algorithmes "newSieve" est le plus rapide pour les nombres classés par niveaux.

Remarques généralesModifier

La suite avec la plus grande croissance qui peut être décomposée est A003312.

A travers cette page, le saut est la première différence mais on peut prendre la seconde, la troisième... Voir A133346 et A133347 pour les nombres premiers.

Décomposition des entiers naturel et le théorème fondamental de l'arithmétiqueModifier

Si la décomposition est possible (si  ), on a :

Le poids est le plus petit facteur premier de   et le niveau est le plus grand diviseur propre de  . Les entiers naturel classé par poids sont les composés + 1 et les entiers naturels classés par niveau sont les premiers +1. Comme le saut est constant la décomposition des entiers naturels peut se résumer à la décomposition de   en poids × niveau. Et en décomposant successivement les niveaux on retombe sur la décomposition unique en facteurs premiers du théorème fondamental de l'arithmétique.

Graphe de log(A020639) vs log(A032742) pour n ≤ 10^4, (graphe sur OEIS):

 

Décomposition des nombres premiersModifier

 ,   et   sont les seuls nombres premiers non décomposables[1]. Execpté pour  ,   et  , la décomposition en poids × niveau + saut des nombres premiers est :

Graphe de log(A117078) vs log(A117563) pour n ≤ 10^4 (graphe sur OEIS):

 

Une classification des nombres premiers connectée à l'OEISModifier

 

Nombres premiers de niveau (1;i)Modifier

Principe de classification pour les nombres premiers de niveau 1:

Si pour  ,   est un premier dit   alors   est de niveau (1;i).
  • Les nombres premiers de niveau (1;1) sont les balanced primes: (A006562);
  • Les nombres premiers de niveau (1;2): A117876;
  • Les nombres premiers de niveau (1;3): A118467;
  • ...

Relations directesModifier

Pour   différent de 2, 3 and 7, on a:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Nombres premiers classés par poidsModifier

Pour les nombres premiers classés par poids (Cf. A162175) (premiers pour lesquels  ), on a:

  •  

82,89 % des nombres premiers   sont classés par poids pour  .

On peut voir que par définition les nombres premiers classés par poids suivent la conjecture de Legendre et la conjecture d'Andrica.

Nombres premiers classés par niveauModifier

Pour les nombres premiers classés par niveau (Cf. A162174) (premiers pour lesquels  ), on a:

  •  
  •  

17,11 % des nombres premiers   sont classés par niveau pour  .

Sachant que les nombres premiers se raréfient parmi les entiers naturels et d'après les données numériques, nous faisons la conjecture suivante:

  • Conjecture 9: Les premiers classés par niveau se raréfient parmi les nombres premiers.

Plus petit des nombres premiers jumeauxModifier

Si   est un plus petit nombre premier jumeau plus grand que   alors   a un poids de  . Si   a un poids de   alors   est un plus petit nombre premier jumeau  [1]. (voir A001359)

ConjecturesModifier

La célèbre conjecture sur l’existence d'une infinité de nombres premiers jumeaux peut être reformulée en :

  • Conjecture 1: Le nombre de premiers avec un poids de 3 est infini.

Pour étendre cette conjecture, nous faisons les deux conjectures suivantes :

  • Conjecture 2: Le nombre de premiers avec un poids de   est infini pour tout   impair;
  • Conjecture 3: Le nombre de premiers avec un niveau de   est infini pour tout   impair.
  • Conjecture 4: Excepté pour p(6) = 13, p(11) = 31, p(30) = 113, p(32) = 131 et p(154) = 887, les premiers classés par niveau on un poids qui est lui-même premier.


La conjecture sur l’existence d'une infinité de "balanced primes" peut être reformulée en :

  • Conjecture 5: Le nombres de premiers de niveau(1,1) est infini.

Qui peut être facilement généralisée en :

  • Conjecture 6: Le nombres de premiers de niveau(1,i) est infini pour tout  .


Sachant que les nombres premiers se raréfient parmi les entiers naturels et suivant les données numériques, nous faisons la conjecture suivante:

  • Conjecture 9: Les premiers classés par niveau se raréfient parmi les nombres premiers.

Décomposition des nombres impairsModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A090368) vs log(A184726) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des nombres pairsModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A090369) vs log(A184727) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des nombres composésModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A130882) vs log(A179621) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des semi-premiersModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A130533) vs log(A184729) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des 3-presque premiersModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A130650) vs log(A184753) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des nombres chanceuxModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A130889) vs log(A184828) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des nombres primairesModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A184829) vs log(A184831) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des nombres sans facteur carréModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A184832) vs log(A184834) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des nombres triangulairesModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A130703) vs log(A184219) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

Décomposition des nombres carrésModifier

Si la décomposition est possible, on a :

Graphes de log(A133150) vs log(A184221) for n ≤ 10^4 (graphe sur l'OEIS):

 

NotesModifier

  1. 1,0 et 1,1 Rémi Eismann, arXiv:0711.0865 [math.NT]: Decomposition into weight * level + jump and application to a new classification of primes (pdf) arXiv:0711.0865(pdf)

Liens externesModifier

  • arXiv:0711.0865 [math.NT]: Decomposition into weight * level + jump and application to a new classification of primes, 2007 - 2010, Rémi Eismann.
  • decompwlj.com : 1000 suites décomposées avec les graphes en 3D (three.js WebGL), 2D, les 500 premiers termes et des exports csv.