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Formule explicite des nombres de Bernoulli

Travaux de recherche en mathématiques

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Introduction

Les nombres de Bernoulli sont parmi les objets le plus fascinants des mathématiques. On les retrouve en arithmétique, en théorie des nombres, en analyse et même en topologie.

De telles expressions sont toujours des polynômes en m, de degré $n+1$ et sont appelées polynômes de Bernoulli. Les coefficients des polynômes de Bernoulli sont liés aux nombres de Bernoulli de la façon suivante :

$\sum _{k=0}^{m-1}k^{n}={1 \over {n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose {k}}B_{k}m^{n+1-k}$

Par exemple, en donnant à n la valeur 1, on obtient :

$0+1+2+\ldots +(m-1)={\frac {1}{2}}(B_{0}m^{2}+2B_{1}m^{1})={\frac {1}{2}}(m^{2}-m)$

Les nombres de Bernoulli ont d’abord été étudiés par Jacques Bernoulli, ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui.

Il est possible de calculer les nombres de Bernoulli en utilisant la formule de récurrence suivante :

$\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose {k}}B_{k}=0$

avec la condition initiale : $B_{0}=1\,.$

Rectification

La démonstration suivante a pour but d'expliciter les nombres de Bernoulli et de voir une application utile a travers la série de Taylor de quelques formules trigonométriques.

À la suite d'un malentendu et de recherches plus approfondies, il s'est avéré que la démonstration existe à cette page. La démonstration a été établie bien avant par Maurice D'Ocagne : ici

Bonne lecture !

Définitions

Les coefficients $K_{n}^{p}$ désignent les nombres de Sterling de seconde espece.

Soit le polynôme $x_{[k]}\,=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)...\left(x-k+1\right)$ avec k≥1, appelé k^ieme puissance descendante de x.

On définit aussi la k-ième puissance montante ou factorielle de x en posant: $x^{[k]}\,=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)...\left(x+k-1\right).$

Les puissances montantes et descendantes sont liées par l'identité: $(-x)^{[k]}\,=\left(-1\right)^{k}x_{[k]}.$

1^er lemme

Pour toute fonction f sur $\mathbb {R}$, on pose: $\Delta f\left(x\right)=f\left(x+1\right)-f\left(x\right)$. On a: $\Delta \,x_{[k]}=k.x_{[k-1]}.$

En effet: $(x+1)_{[k]}-x_{[k]}=\left(x+1\right)x_{[k-1]}-\left(x-k+1\right)x_{[k-1]}=k.x_{[k-1]}.$

On a donc, pour k fixé: $\sum _{x=0}^{n+1}{(x+1)}^{[k]}=\sum _{x=0}^{n+1}{\frac {{\Delta x}^{[k+1]}}{k+1}}.$ On en déduit par somme télescopique:

$1^{[k]}+2^{[k]}+...+n^{[k]}={\frac {{n}^{[k+1]}}{k+1}}.$

Exemple:

Pour k=2: $1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}$

2^e lemme

À partir de là, on arrive à exprimer les puissances ordinaires en fonction des puissances montantes. Exemples:

$x^{1}=x^{[1]}$

$x^{2}=x^{[2]}-x^{[1]}$

$x^{3}=x^{[3]}-3x^{[2]}+x^{[1]}$

$x^{4}=x^{[4]}-6x^{[3]}+7x^{[2]}-x^{[1]}$

On obtient alors un triangle arithmétique. Il existe donc des coefficients uniques notés $K_{n}^{p}$ tel que: $x^{n}=\sum _{p=0}^{n}(-1)^{n-p}.K_{n}^{p}.x^{[p]}$ et $(-x)^{n}=\sum _{p=0}^{n}K_{n}^{p}.x_{[p]}$

3^e lemme

Soient $B_{n}$ les nombres de Bernoulli: $B_{n}=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}.K_{n}^{i-1}.{\frac {(i-1)!}{i}}$

Demonstration:

$x^{p}=\sum _{i=1}^{p+1}K_{p}^{i-1}.x_{[i-1]}$ signifie: $\sum _{x=0}^{n-1}x^{p}=\sum _{x=0}^{n-1}\left(\sum _{i=1}^{p+1}K_{p}^{i-1}.x_{[i-1]}\right)=\sum _{i=1}^{p+1}K_{p}^{i-1}.\sum _{x=0}^{n-1}x_{[i-1]}$

La relation $\Delta \,x_{[i]}=i*x_{[i-1]}$ entraine par somme telescopique: $\sum _{x=0}^{n-1}x_{[i-1]}={\frac {n_{[i]}-0_{[i]}}{i}}$,car i>0. Par suite $\sum _{x=0}^{n-1}x^{p}=\sum _{i=1}^{p+1}K_{p}^{i-1}.{\frac {n_{[i]}}{i}}$

Revenons maintenant aux polynômes de Bernoulli: Il a été déjà établi que: ${\frac {x.e^{tx}}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(t)}{n!}}.x^{n}$ Calculons maintenant: $B_{n}\left(t+1\right)-B_{n}\left(t\right)$:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(t+1)-B_{n}(t)}{n!}}.x^{n}={\frac {x.e^{(t+1)x}}{e^{x}-1}}-{\frac {x.e^{tx}}{e^{x}-1}}=x.e^{tx}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n.t^{n-1}}{n!}}.x^{n}$

Par identification: $B_{n}\left(t+1\right)-B_{n}\left(t\right)=n.t^{n-1},\forall n\geq 0$ Donc:

$\sum _{k=0}^{n-1}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}\left(n\right)-B_{p+1}\left(0\right)\right)$

Une identité connue de ces polynômes est: $B_{p+1}^{'}=(p+1).B_{p}(x)$ Donc:

$\int _{0}^{n}B_{p+1}^{'}(x)dx=(p+1).\int _{0}^{n}B_{p}(x)dx\Rightarrow \sum _{k=0}^{n-1}k^{p}={\frac {1}{p+1}}\left(B_{p+1}\left(n\right)-B_{p+1}\left(0\right)\right)=\int _{0}^{n}B_{p}(x)dx$

$\Rightarrow \int _{0}^{n}B_{p}(x)dx=\sum _{i=1}^{p+1}K_{p}^{i-1}.{\frac {n_{[i]}}{i}}$

En dérivant par rapport a x on obtient: $B_{p}(x)=\sum _{i=1}^{p+1}K_{p}^{i-1}.{\frac {d}{dx}}{\frac {x_{[i]}}{i}}$ Donc: $B_{n}(0)=\sum _{i=1}^{n+1}K_{n}^{i-1}.{\frac {d}{dx}}{\frac {x_{[i]}}{i}}{\Bigg |}_{x=0}$

Le polynôme $x_{[i]}$ s'annule en x=0, puisque i>0. La valeur de sa dérivée en x=0 est donnée parProxy-Connection: keep-alive Cache-Control: max-age=0

${\frac {x_{[i]}}{i}}{\Bigg |}_{x=0}=(-1).(-2)...(-i+1)=(-1)^{(i-1)}.(i-1)!$ Finalement:

$B_{n}=\sum _{i=1}^{n+1}(-1)^{i-1}.K_{n}^{i-1}.{\frac {(i-1)!}{i}}$

4^e lemme:

Soit l'opérateur de dérivation: ${\frac {d}{dx}}.x(f)={\frac {d}{dx}}(xf)$ pour f de $C^{\infty }(\mathbb {R} )$, alors $\forall n:$ $\left({\frac {d}{dx}}.x\right)^{(n)}(f)=\sum _{p=0}^{n}K_{n}^{p}.x^{p}.f^{(p)}$

Exemples:

$\left({\frac {d}{dx}}.x\right)^{(2)}(f)=\left({\frac {d}{dx}}.x\right)\left({\frac {d}{dx}}.x\right)(f)=\left({\frac {d}{dx}}.x\right){\left(xf^{'}\right)}=\ xf^{'}+x^{2}f^{''}$

En continuant, on obtient:

$\left({\frac {d}{dx}}.x\right)^{(1)}(f)=xf^{(1)}$

$\left({\frac {d}{dx}}.x\right)^{(2)}(f)=xf^{(1)}+x^{2}f^{(2)}$

$\left({\frac {d}{dx}}.x\right)^{(3)}(f)=xf^{(1)}+3x^{2}f^{(2)}+x^{3}f^{(3)}$

$\left({\frac {d}{dx}}.x\right)^{(4)}(f)=xf^{(1)}+7x^{2}f^{(2)}+6x^{3}f^{(3)}+x^{4}f^{(4)}$

On remarque que l’on obtient les mêmes coefficients du triangle arithmétique précédent, d'où:

$\left({\frac {d}{dx}}.x\right)^{(n)}(f)=\sum _{p=0}^{n}K_{n}^{p}.x^{p}.f^{(p)}$

Théorème:

Soient les coefficients $K_{n}^{p}$ définis pour $n\in \mathbb {N}$ et $p\leq n:$

$K_{n+1}^{p}=pK_{n}^{p}+K_{n}^{p-1}$ avec: $K_{n}^{n}=1$ et $K_{n}^{0}=0,\forall n\in \mathbb {N}$

Alors: $K_{n}^{p}={\frac {1}{p!}}.\sum _{i=0}^{p}(-1)^{p-1}.C_{p}^{i}.{i}^{n}$

En effet, si l’on applique le 4^ème lemme à la fonction $f(x)=e^{x}$, on obtient: $\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {{p}^{n}.{x}^{p}}{p!}}=e^{x}.\sum _{p=0}^{n}K_{n}^{p}.x^{p}$

Donc, pour n fixé, on pose $a_{p}=p!.K_{n}^{p}$, pour tout $k\geq 0$. Avec cette notation l'égalité devient:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}{x}^{k}}{k!}}={e^{-x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{k}^{n}{x}^{k}}{k!}}\Rightarrow a_{p}=\sum _{i=0}^{p}{C_{p}}^{i}\left(-1\right)^{p-i}{i}^{n}\Rightarrow K_{n}^{p}={\frac {1}{p!}}.\sum _{i=0}^{p}(-1)^{p-1}.C_{p}^{i}.{i}^{n}$

Corollaire

$\forall n,B_{n}=\sum _{i=0}^{n}\left({\frac {1}{i+1}}.\sum _{p=0}^{i}\left((-1)^{p}.C_{i}^{p}.p^{n}\right)\right)$

Pour l'obtenir, il suffit d'injecter la formule explicite des nombres de Sterling dans celle des nombres de Bernoulli (lemme3).

Applications

Les nombres de Bernoulli sont présents dans le développement limité de la fonction tangente et tangente hyperbolique en série de Taylor(c'est-à-dire sous sa forme générale).

On pose: $B(x)={\frac {x}{e^{x}-1}}$ (génératrice exponentielle). On a : $B(x)+{\frac {x}{2}}={\frac {x}{2}}{\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}.$

Commençons par : $\tanh(x)={\frac {{e^{x}}-{e^{-x}}}{{e^{x}}+{e^{-x}}}}={\frac {{e^{2\,x}}-1}{{e^{2\,x}}+1}}=2{\frac {{e}^{4\,x}+1}{{e}^{4\,x}-1}}-{\frac {{e}^{2\,x}+1}{{e}^{2\,x}-1}}=\left(B(4x)+2x\right)-\left(B(2x)+x\right)=B(4x)-B(2x)+x$

Or, on sait que : $B(x)={\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}.{\frac {x^{n}}{n!}}$

En remplaçant on obtient : $\tanh(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {B_{2\,n}.{4}^{n}\left({4}^{n}-1\right)}{\left(2\,n\right)!}}{x}^{2\,n-1}}$

La tangente s'obtient en remplaçant x par ix dans la nouvelle expression de tanh(x), avec: i²=(-1). On obtient :

$\tan(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {|B_{2\,n}|.{4}^{n}\left({4}^{n}-1\right)}{\left(2\,n\right)!}}{x}^{2\,n-1}}$