Recherche:L'énigme de Fermat/Annexe

Recherche:L’énigme de Fermat passée au crible/Annexe

Travaux de recherche en mathématiques

---

Toute réaction ou commentaire par rapport à ce travail de recherche sont les bienvenus sur cette page de discussion.

---

Cette page fait partie de l’espace recherche de Wikiversité et dépend de la faculté Mathématiques. Pour plus d'informations, consultez le portail de l'espace recherche ou rendez-vous sur l'index des travaux de recherche par faculté.

Lettre bilan de Fermat à Pierre de Carcavi en août 1659

RELATION DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES.

... 1. Et pour ce que les méthodes ordinaires, qui sont dans les Livres, étoient insuffisantes à démontrer des propositions si difficiles, je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir. J'appelai cette manière de démontrer la descente infinie ou indéfinie, etc. ; je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les propositions négatives, comme, par exemple :

Qu’il n’y a aucun nombre, moindre de l’unité qu’un multiple de 3, qui soit composé d’un carré et du triple d’un autre carré ;

Qu’il n'y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soit un nombre quarré.

La preuve se fait par απαγωγην εις αδυνατον en cette manière :

S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son aire égale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que celui-là qui auroit la même propriété. S'il y en avoit un second, moindre que le premier, qui eût la même propriété, il y en auroit, par un pareil raisonnement, un troisième, moindre que ce second, qui auroit la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc. à l'infini en descendant. Or est-il qu'étant donné un nombre, il n'y en a point infinis en descendant moindres que celui-là (j'entends parler toujours des nombres entiers). D'où on conclut qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarrée.
On infère de là qu'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarrée; car, s'il y en avoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas être, comme il peut se prouver par la descente.
Je n'ajoute pas la raison d'où j'infère que, s'il y avoit un triangle rectangle de cette nature, il y en aurait un autre de même nature, moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et que c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les Pascal et les Roberval et tant d'autres savans la cherchent sur mon indication.

 2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé, que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier qui surpasse de l'unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés, je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. Le progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives est tel : si un nombre Premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4, n'est point composé de deux quarrés, il y a là un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés.

 3. Il y a infinies questions de cette espèce, mais il y en a quelques autres qui demandent des nouveaux principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est quelques fois si malaisée qu'on peut n'y peut y venir qu'avec une peine extrême. Telle est la question suivante que Bachet sur Diophante avoue n'avoir jamais pu démontrer, sur le sujet de laquelle M. Descartes fait dans une de ses lettres la même déclaration, jusque-là qu'il confesse qu'il la juge si difficile qu'il ne voit point de voie pour la résoudre.

Tout nombre est carré ou composé de deux carrés, de trois ou quatre carrés.

Je l'ai enfin rangée sous ma méthode et je démontre que si un nombre n’étoit point de cette nature, il y en aurait un moindre qui le serait pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc., à l'infini d’où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature.

 4. Celle que j’avois proposée à M. Frenicle et autres est d’aussi grande ou même plus grande difficulté : Tout nombre non q narré est de telle nature qu’il y a infinis quarrés qui, multipliant ledit nombre, font un quarré moins 1. Je la démontre par la descente appliquée d’une manière toute particulière.
J’avoue que M. Frenicle a donné diverses solutions particulières et M. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouvera par la descente dûment et proprement appliquée : ce que je leur indique, afin qu’ils ajoutent la démonstration et construction générale du théorème et du problème aux solutions singulières qu’ils ont données.

 5. J’ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d’éprouver. Telles sont les suivantes :

Il n’y a aucun cube divisible en deux cubes.
Il n’y a qu’un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.
Il n’y a que deux quarrés en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Les dits quarrés sont 4 et 121.
Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers.

Cette dernière question est d’une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu’elle soit conçue affirmativement, elle est négative, puisque dire qu’un nombre est premier, c’est dire qu’il ne peut être divisé par aucun nombre.
Je mets en cet endroit la question suivante dont j’ai envoyé la démonstration à M. Frenicle, après qu’il m’a avoué et qu’il a même témoigné dans son Écrit imprimé qu’il n’a pu la trouver :

Il n’y a que les deux nombres 1 et 7 qui, étant moindres de l’unité qu’un double quarré, fassent un carré de même nature, c'est-à-dire qui soit moindre de l’unité qu’un double quarré.

 6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse nature et de différente façon de démontrer, j’ai passé à l’invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du Diophante.
On propose, par exemple,

2Q + 7967 égaux à un quarré.

J’ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est possible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarrés que des unités.
On propose cette équation double :
   2N + 3       et       2N + 5 égaux chacun à un quarré.
Bachet se glorifie, en ses Commentaires sur Diophante, d’avoir trouvé une règle en deux cas particuliers ; je la donne générale en toute sorte de cas et détermine par règle si elle est possible ou non.
J’ai ensuite rétabli la plupart des propositions défectueuses de Diophante et j’ai fait celles que Bachet avoue ne savoir pas et la plupart de celles auxquelles il paraît que Diophante même a hésité, dont je donnerai des preuves et des exemples à mon premier loisir.

 7. J’avoue que mon invention pour découvrir si un nombre donné est premier ou non n’est pas parfaite, mais j’ai beaucoup de voies et de méthodes pour réduire le nombre des divisions et pour les diminuer beaucoup en abrégeant le travail ordinaire. Si M. Frénicle baille ce qu’il a médité là dessus, j’estime que ce sera un secours très considérable pour les savants.

 8. La question qui m’a occupé sans que j’aie encore pu trouver aucune solution est la suivante, qui est la dernière du Livre de Diophante De multangulis numeris.

Dato numero, invenire quot modis multangulus esse possit.

Le texte de Diophante étant corrompu, nous ne pouvons pas deviner sa méthode ; celle de Bachet ne m’agrée pas et elle est trop difficile aux grands nombres. J’en ai bien trouvé une meilleure, mais elle ne me satisfait pas encore.
 9. Il faut chercher en suite de celle proposition la solution du problème suivant :
Trouver un nombre qui soit polygone autant de fois et non plus qu’on voudra, et trouver le plus petit de ceux qui satisfont à la question.
 10. Voilà sommairement le compte de mes rêveries sur le sujet des nombres. Je ne l’ai écrit que parce que j’appréhende que le loisir d’étendre et de mettre au long toutes ces démonstrations et ces méthodes me manquera; en tout cas, cette indication servira aux savants pour trouver d’eux-mêmes ce que je n’étends point, principalement si MM. de Carcavi et Frénicle leur font part de quelques démonstrations par la descente que je leur ai envoyées sur le sujet de quelques propositions négatives. Et peut-être la postérité me saura gré de lui avoir fait connaître que les Anciens n’ont pas tout su, et cette relation pourra passer dans l’esprit de ceux qui viendront après moi pour traditio lampadis ad filios, comme parle le grand Chancelier d’Angleterre, suivant le sentiment et la devise duquel j’ajouterai :

Multi pertransibunt et augebitur scientia.

Éloge de Monsieur de Fermat, Conseiller au Parlement de Toulouse.

(Nous avons quelque peu révisé l'orthographe ancienne).

Du Journal des Sçavans, du Lundy 9 février 1665.

On a appris ici avec beaucoup de douleur la mort de M. de Fermat Conseiller au Parlement de Toulouse. C'était un des plus beaux esprits de ce siècle, et un génie si universel et d'une étendue si vaste, que si tous les savants n'avaient rendu témoignage de son mérite extraordinaire, on aurait de la peine a croire toutes les choses qu'on en doit dire, pour ne rien retrancher de ses louanges. II avait toujours entretenu une correspondance très particulière avec Messieurs Descartes, Toricelli, Pascal, Frenicle, Roberval, Huygens, etc., et avec la plupart des grands Géomètres d'Angleterre et d’ltalie. Mais il avait lié une amitié si étroite avec M. de Carcavi, pendant qu'ils étaient confrères dans le Parlement de Toulouse, que comme il a este le confident de ses études, il est encore aujourd'hui le dépositaire de tous ses beaux écrits. Mais parce que ce Journal est principalement pour faire connaître par leurs ouvrages les personnes qui se sont rendues célèbres dans la république des lettres; on se contentera de donner ici le catalogue des écrits de ce grand homme; laissant aux autres le soin de lui faire un éloge plus ample et plus pompeux. Il excellait dans toutes les parties de la Mathématique ; mais principalement dans la science des nombres et dans la belle Géométrie.

On a de lui une méthode pour la quadrature des paraboles de tous les degrés. Une autre de maximis et minimis, qui sert non seulement à la détermination des problèmes plans et solides ; mais encore à l'invention des touchantes et des lignes courbes, des centres de gravité des solides, et aux questions numériques. Une introduction aux lieux, plans et solides ; qui est un traite analytique concernant la solution des problèmes plans et solides ; qui avait été vue devant que M. Descartes eut rien publie sur ce sujet.
Un traité de contactibus sphaericis, où il a démontré dans les solides ce que M. Viet Maître des Requêtes, n'avait démontré que dans les plans.
Un autre traité dans lequel il rétablit et démontré les deux livres d'Apollonius Pergæus, des lieux plans.
Et une méthode générale pour la dimension des lignes courbes, etc.

De plus, comme il avait une connaissance très-parfaite de l'antiquité, et qu'il était consulté de toutes parts sur les difficultés qui se présentaient ; il a éclairci une infinité de lieux obscurs qui se rencontrent dans les anciens. On a imprimé depuis peu quelques-unes de ses observations sur Athénée ; et celui qui a traduit le Benedetto Castelli de la mesure des eaux courantes, en a inséré dans son ouvrage une très-belle sur une Epistre de Synesius, qui était si difficile, que le Père Petau qui a commenté cet auteur, a avoué qu'il ne l'avait peu entendre. Il a encore fait beaucoup d'observations sur le Theon de Smyrne et sur d'autres Auteurs anciens. Mais la plupart ne se trouveront qu'éparses dans ses Epitres ; parce qu'il n'écrivait guère sur ces sortes de sujets, que pour satisfaire à la curiosité de ses amis. Tous ces ouvrages de Mathématique, et toutes ces recherches curieuses de l'antiquité, n'empêchaient pas que M. de Fermat ne fit sa charge avec beaucoup d'assiduité, et avec tant de suffisance, qu'il a passé pour un des plus grands Jurisconsultes de son temps.

Mais ce qui est de plus surprenant, c'est qu'avec toute la force d'esprit qui était nécessaire pour soutenir les rares qualités dont nous venons de parler, il avait encore une si grande délicatesse d'esprit, qu'il faisait des vers Latins, Français et Espagnols avec la même élégance, que s'il eût vécu du temps d'Auguste, et qu'il eût passé la plus grande partie de sa vie à la Cour de France et à celle de Madrid. On parlera plus particulièrement des ouvrages de ce grand homme, lorsqu'on aura recouvert ce qui en a été publié, et qu'on aura obtenu de M. son fils la liberté de publier ce qui ne l'a pas encore été.

Extraits des MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES INSCRIPTIONS ET BELLES-LETTRES DE TOULOUSE

• INAUGURATION DE LA STATUE DE FERMAT A BEAUMONT-DE-LOMAGNE, Dimanche 20 août 1882. Extrait du journal le Progrès Libéral, numéro du 22 août 1882.
  La veille, la ville était en joie. Une foule énorme se pressait dans les rues enguirlandées de verdure et de fleurs. Pas une fenêtre sans drapeau, pas un mur sans décor. L'effet était merveilleux. Jusqu'à une heure du matin là foule stationna sur les places et carrefours, vivante, animée. Parfois on entendait des chants patriotiques se perdant dans le vague de la nuit. C'était le prélude de la fête. Dimanche matin, dès l'aube, le mouvement prit de grandes proportions. Des voitures, des jardinières chargées de voyageurs arrivaient en grand nombre. Les curieux attendaient, autour de la statue et de l'estrade d'honneur, l'heure de la cérémonie. A huit heures et demie, les délégués qui devaient officiellement assister à l'inauguration de la statue se rendirent chez M. Eugène Soubies pour former le cortège. Ils reçurent là un accueil dès plus amicaux. A leur arrivée, des dames leur firent les honneurs de la maison et leur offrirent des rafraîchissements avec une grâce exquise.

• De Monsieur Adolphe-Félix Gatien-Arnoult (1800-1886) : « Et moi, je veux dire aussi, quoique sur un ton plus modeste :

La mort n'obscurcit pas un immortel éclat,
Deux cents ans ont foulé la tombe de Fermat,
Et depuis deux cents ans Fermat vit dans l'histoire,
Et brille, jeune encor, de son antique gloire.

Cette ville s'honore donc justement d'avoir été son berceau. Et j'aime à prévoir en imagination le jour où le mot de Lomagne étant définitivement rayé de notre dictionnaire géographique, où il n'a plus aucune raison d'être inscrit, elle s'appellera Beaumont-Fermat. [...]  »