Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Quelques résolutions

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À VENIR

Quelques résolutions

Fonctions harmoniques

Résolution au mieux 3 équations

A CONTINUER

En sinus

Soit le système :

${\begin{cases}y_{1}=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y_{2}=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y_{3}=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}$

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :

${\begin{cases}{\frac {y_{2}}{y_{1}}}=(2C)^{2n+1}\\{\frac {y_{3}}{y_{1}}}=(-1+4C^{2})^{2n+1}\\C=cos(w)\end{cases}}$

Puis à le résoudre au mieux.

Système simplifié avec n=0

À MODIFIER AVEC DIFFERENTES METHODES

${\begin{cases}y_{1}=k\times \sin(w)\\y_{2}=k\times \sin(2w)\\y_{3}=k\times \sin(3w)\end{cases}}$

La résolution au mieux consiste à amener le système sous la forme :

${\begin{cases}{\frac {y_{2}}{y_{1}}}=2C\\{\frac {y_{3}}{y_{1}}}=-1+4C^{2}\\C=cos(w)\end{cases}}$

Puis à le résoudre au mieux :

$4C^{2}+2C-{\frac {y_{1}+y_{3}+y_{2}}{y_{1}}}=0$

D'où $C$:

$C={\frac {-1\pm {\sqrt {1+4{\frac {y_{1}+y_{3}+y_{2}}{y_{1}}}}}}{4}}$

Discussion et validation du résultat :

a / $-1<C<+1$ : Il existe une solution au mieux, voire exacte.

b / $C>+1$ ou $C<-1$ alors poursuivre la résolution au mieux à un degré de confiance à vérifier en résolvant séparément chaque équation puis :

* b1/ en $C^{2}$ pur : $C^{2}={\frac {({\frac {y_{2}}{y_{1}}})^{2}+{\frac {y_{3}}{y_{1}}}+1}{16}}$ en exprimant les deux équations en $C^{2}$ par l'élévation de la première au carré puis en faisant la moyenne par demi-sommation.

* b2/ en $C$ pur : $C={\frac {{\frac {y_{2}}{y_{1}}}+{\sqrt {{\frac {y_{3}}{y_{1}}}+1}}}{8}}$ en extrayant $2C$ de la deuxième par une racine de $4C^{2}$ puis en faisant la moyenne par demi-sommation.

Système simplifié avec n=-1

À COMPLETER

${\begin{cases}y_{1}=k\times {\frac {1}{\sin(w)}}\\y_{2}=k\times {\frac {1}{\sin(2w)}}\\y_{3}=k\times {\frac {1}{\sin(3w)}}\end{cases}}$

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :

${\begin{cases}{\frac {1}{\frac {y_{2}}{y_{1}}}}=2C\\{\frac {1}{\frac {y_{3}}{y_{1}}}}=-1+4C^{2}\\C=cos(w)\end{cases}}$

Puis à le résoudre au mieux en se référant à la méthode du système simplifié avec $n=0$.

Résolution au mieux 2

A COMPLETER ET CONTINUER

Système simplifié

:${\begin{cases}y1=k\times \sin(1w)\\y2=k\times \sin(2w)\\y3=k\times \sin(3w)\\y4=k\times \sin(4w)\\\end{cases}}$

a / Elimination de $k$ :

${\begin{cases}{\frac {y2}{y1}}=2C\\{\frac {y3}{y1}}=-1+4C^{2}\\{\frac {y4}{y1}}=4C(2C^{2}-1)\\\end{cases}}$

Puis de résoudre au mieux le système selon la méthode de sommation primaire :

$8C^{3}+4C^{2}-2C-1={\frac {y2}{y1}}+{\frac {y3}{y1}}+{\frac {y4}{y1}}$

b / S'il n'y a pas de solution valable :

La résolution au mieux peut consister à amener le systéme sous la forme :

${\begin{cases}z_{1}=C\\z_{2}=C^{2}\\z_{3}=C^{3}\\C=cos(w)\\z_{1}={\frac {y2}{2y1}}\\z_{2}={\frac {{\frac {y3}{y1}}+1}{4}}\\z_{3}={\frac {{\frac {y4}{y1}}+2{\frac {y2}{2y1}}}{4}}\end{cases}}$

Puis à le résoudre au mieux, soit de la façon suivante soit en prenant les Logarithmes, soit en faisant la moyenne géométrique , arithmétique ou harmonique (A DEVELOPPER Voir cette page ) .

$C=\left({\frac {z_{1}z_{2}+z_{3}}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}$

$k=\left({\frac {y1\times y2\times y3\times y4}{\sin(w)\times \sin(2w)\times \sin(3w)\times \sin(4w)}}\right)^{\frac {1}{4}}$

GENERALISATION :