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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions : Systèmes à fonctions Harmoniques Cosinus Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Systèmes à fonctions Harmoniques Cosinus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Fonction (cosinus-1)
modifier
Système à 3 équations au moins en (cosinus-1) : Recherche d'un cosinus au mieux
modifier
Soit le système à résoudre au mieux :
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
1
w
c
1
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
y
3
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(1wc1)-1)\\y2c=ac1\times (\cos(2wc1)-1)\\y3c=ac1\times (\cos(3wc1)-1)\end{cases}}}
{
y
2
c
=
2
y
1
c
(
cos
(
w
c
1
)
+
1
)
y
3
c
=
y
1
c
(
4
cos
2
(
w
c
1
)
+
4
cos
(
w
c
1
)
+
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y2c=2y1c(\cos(wc1)+1)\\y3c=y1c(4\cos ^{2}(wc1)+4\cos(wc1)+1)\end{cases}}}
{
y
2
c
2
y
1
c
=
cos
(
w
c
1
)
y
3
c
−
4
y
2
c
−
y
1
c
4
y
1
c
=
cos
2
(
w
c
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2c}{2y1c}}=\cos(wc1)\\{\frac {y3c-4y2c-y1c}{4y1c}}=\cos ^{2}(wc1)\end{cases}}}
D'où, en résolvant au mieux selon 1.2.1 de Modification de Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions
Résolution au mieux en
cos
(
w
c
1
)
{\displaystyle \cos(wc1)}
ou
cos
(
w
c
1
)
=
(
y
2
c
(
y
3
c
−
4
y
2
c
−
y
1
c
)
8
y
1
c
2
)
1
3
{\displaystyle \cos(wc1)=\left({\frac {y2c(y3c-4y2c-y1c)}{8y1c^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}
ou
cos
2
(
w
c
1
)
+
cos
(
w
c
1
)
=
y
2
c
2
y
1
c
+
y
3
c
−
4
y
2
c
−
y
1
c
4
y
1
c
{\displaystyle \cos ^{2}(wc1)+\cos(wc1)={\frac {y2c}{2y1c}}+{\frac {y3c-4y2c-y1c}{4y1c}}}
ou
cos
(
w
c
1
)
=
y
2
c
2
y
1
c
+
y
3
c
−
4
y
2
c
−
y
1
c
4
y
1
c
2
{\displaystyle \cos(wc1)={\frac {{\frac {y2c}{2y1c}}+{\sqrt {\frac {y3c-4y2c-y1c}{4y1c}}}}{2}}}
Résolution au mieux en
w
c
1
{\displaystyle wc1}
{
arccos
y
2
c
2
y
1
c
=
w
c
1
arccos
y
3
c
−
4
y
2
c
−
y
1
c
4
y
1
c
=
w
c
1
{\displaystyle {\begin{cases}\arccos {\frac {y2c}{2y1c}}=wc1\\\arccos {\frac {y3c-4y2c-y1c}{4y1c}}=wc1\end{cases}}}
w
c
1
=
arccos
y
2
c
2
y
1
c
+
arccos
y
3
c
−
4
y
2
c
−
y
1
c
4
y
1
c
2
{\displaystyle wc1={\frac {\arccos {\frac {y2c}{2y1c}}+\arccos {\frac {y3c-4y2c-y1c}{4y1c}}}{2}}}
Il est possible d’utiliser la moyenne géométrique ou harmonique des
cos
(
w
c
1
)
{\displaystyle \cos(wc1)}
w
c
1
{\displaystyle wc1}
Dans tous les cas, déterminer
a
c
1
{\displaystyle ac1}
w
c
1
{\displaystyle wc1}
a
c
1
=
y
1
c
cos
(
1
w
c
1
)
+
y
2
c
cos
(
2
w
c
1
)
+
y
3
c
cos
(
3
w
c
1
)
3
{\displaystyle ac1={\frac {{\frac {y1c}{\cos(1wc1)}}+{\frac {y2c}{\cos(2wc1)}}+{\frac {y3c}{\cos(3wc1)}}}{3}}}
Là aussi il peut être envisagé le cas de la moyenne géométrique ou harmonique des
a
c
1
{\displaystyle ac1}
a
c
1
{\displaystyle ac1}
cos
(
w
c
1
)
{\displaystyle \cos(wc1)}
w
c
1
{\displaystyle wc1}
Système à 3 équations au moins en (cosinus-1) avec un trou T : Recherche d'un cosinus au mieux et du trou
modifier
Exemple 1 : soit le système à résoudre au mieux :
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
1
w
c
1
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
−
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
4
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(1wc1)-1)\\y2c=ac1\times (\cos(3wc1)-1)\\y4c=ac1\times (\cos(4wc1)-1)\\\end{cases}}}
Avec un trou
T
=
a
s
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle T=as1\times (\cos(2wc1)-1)}
Exemple 2 : soit le système à résoudre au mieux :
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
1
w
c
1
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
4
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(1wc1)-1)\\y2c=ac1\times (\cos(2wc1)-1)\\y4c=ac1\times (\cos(4wc1)-1)\\\end{cases}}}
Avec un trou
T
=
a
s
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle T=as1\times (\cos(3wc1)-1)}
Ces deux systèmes peuvent se résoudre normalement sans faire appel à l'équation du trou s'il existe une relation particulière entre les y :
Système 1 :
{
y
3
s
y
1
s
=
4
cos
2
(
w
s
1
)
+
4
cos
(
w
s
1
)
+
1
y
4
s
y
1
s
=
8
cos
3
(
w
s
1
)
−
8
c
o
s
2
(
w
s
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y3s}{y1s}}=4\cos ^{2}(ws1)+4\cos(ws1)+1\\{\frac {y4s}{y1s}}=8\cos ^{3}(ws1)-8cos^{2}(ws1)\end{cases}}}
Système 2 :
{
y
2
s
y
1
s
=
2
+
2
cos
(
w
s
1
)
y
4
s
y
1
s
=
8
cos
3
(
w
s
1
)
−
8
c
o
s
2
(
w
s
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2s}{y1s}}=2+2\cos(ws1)\\{\frac {y4s}{y1s}}=8\cos ^{3}(ws1)-8cos^{2}(ws1)\end{cases}}}
Si non, introduire l'équation du trou T : Exemple 1 :
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
1
w
c
1
)
−
1
)
T
=
a
c
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
−
1
)
y
3
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
4
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(1wc1)-1)\\T=ac1\times (\cos(2wc1)-1)\\y2c=ac1\times (\cos(3wc1)-1)\\y3c=ac1\times (\cos(4wc1)-1)\\\end{cases}}}
Avec un trou
T
=
a
s
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle T=as1\times (\cos(2wc1)-1)}
{
T
y
1
s
=
2
+
2
cos
(
w
s
1
)
y
3
s
y
1
s
=
4
cos
2
(
w
s
1
)
+
4
cos
(
w
s
1
)
+
1
y
4
s
y
1
s
=
8
cos
(
w
s
1
)
(
cos
2
(
w
s
1
)
−
1
)
=
8
c
o
s
(
w
s
1
)
(
y
3
s
4
y
1
s
−
cos
(
w
s
1
)
−
1.25
)
=
8
y
3
s
4
y
1
s
cos
(
w
s
1
)
−
8
c
o
s
2
(
w
s
1
)
−
10
c
o
s
(
w
s
1
)
=
8
y
3
s
4
y
1
s
cos
(
w
s
1
)
−
8
(
y
3
s
4
y
1
s
−
cos
(
w
s
1
)
−
1.25
)
−
10
c
o
s
(
w
s
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {T}{y1s}}=2+2\cos(ws1)\\{\frac {y3s}{y1s}}=4\cos ^{2}(ws1)+4\cos(ws1)+1\\{\frac {y4s}{y1s}}=8\cos(ws1)(\cos ^{2}(ws1)-1)=8cos(ws1)\left({\frac {y3s}{4y1s}}-\cos(ws1)-1.25\right)=8{\frac {y3s}{4y1s}}\cos(ws1)-8cos^{2}(ws1)-10cos(ws1)=8{\frac {y3s}{4y1s}}\cos(ws1)-8\left({\frac {y3s}{4y1s}}-\cos(ws1)-1.25\right)-10cos(ws1)\end{cases}}}
{
T
y
1
s
=
2
+
2
cos
(
w
s
1
)
y
3
s
y
1
s
=
4
cos
2
(
w
s
1
)
+
4
cos
(
w
s
1
)
+
1
y
4
s
y
1
s
=
(
8
y
3
s
4
y
1
s
−
2
)
cos
(
w
s
1
)
−
8
y
3
s
4
y
1
s
+
10
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {T}{y1s}}=2+2\cos(ws1)\\{\frac {y3s}{y1s}}=4\cos ^{2}(ws1)+4\cos(ws1)+1\\{\frac {y4s}{y1s}}=\left(8{\frac {y3s}{4y1s}}-2\right)\cos(ws1)-8{\frac {y3s}{4y1s}}+10\end{cases}}}
D'où :
2
cos
(
w
s
1
)
=
T
y
1
s
−
2
=
y
4
s
y
1
s
+
8
y
3
s
4
y
1
s
−
10
(
4
y
3
s
4
y
1
s
−
1
)
{\displaystyle 2\cos(ws1)={\frac {T}{y1s}}-2={\frac {{\frac {y4s}{y1s}}+8{\frac {y3s}{4y1s}}-10}{\left(4{\frac {y3s}{4y1s}}-1\right)}}}
T
{\displaystyle T}
cos
(
w
s
1
)
{\displaystyle \cos(ws1)}
a
s
1
{\displaystyle as1}
a
c
1
=
y
1
c
(
c
o
s
(
w
c
1
)
−
1
)
+
T
(
c
o
s
(
2
w
c
1
)
−
1
)
+
y
3
s
(
c
o
s
(
3
w
c
1
)
−
1
)
+
y
4
s
(
c
o
s
(
4
w
c
1
)
−
1
)
4
{\displaystyle ac1={\frac {{\frac {y1c}{(cos(wc1)-1)}}+{\frac {T}{(cos(2wc1)-1)}}+{\frac {y3s}{(cos(3wc1)-1)}}+{\frac {y4s}{(cos(4wc1)-1)}}}{4}}}
Exemple 2 :
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
1
w
c
1
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
T
=
a
c
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
−
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
4
w
c
1
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(1wc1)-1)\\y2c=ac1\times (\cos(2wc1)-1)\\T=ac1\times (\cos(3wc1)-1)\\y4c=ac1\times (\cos(4wc1)-1)\\\end{cases}}}
{
y
2
c
y
1
c
=
2
+
2
cos
(
w
c
1
)
T
y
1
c
=
4
cos
2
(
w
s
1
)
+
4
cos
(
w
s
1
)
+
1
y
4
c
y
1
c
=
8
cos
(
w
s
1
)
(
cos
2
(
w
s
1
)
−
1
)
=
4
(
y
2
c
y
1
c
−
2
)
(
cos
2
(
w
s
1
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2c}{y1c}}=2+2\cos(wc1)\\{\frac {T}{y1c}}=4\cos ^{2}(ws1)+4\cos(ws1)+1\\{\frac {y4c}{y1c}}=8\cos(ws1)(\cos ^{2}(ws1)-1)=4({\frac {y2c}{y1c}}-2)(\cos ^{2}(ws1)-1)\end{cases}}}
D'où
T
y
1
c
=
4
(
y
4
c
y
1
c
4
(
y
2
c
y
1
c
−
2
)
+
1
)
+
2
(
y
2
c
y
1
c
−
2
)
+
1
{\displaystyle {\frac {T}{y1c}}=4\left({\frac {\frac {y4c}{y1c}}{4\left({\frac {y2c}{y1c}}-2\right)}}+1\right)+2\left({\frac {y2c}{y1c}}-2\right)+1}
et en conséquence
T
{\displaystyle T}
cos
(
w
c
1
)
{\displaystyle \cos(wc1)}
a
c
1
{\displaystyle ac1}
a
c
1
=
y
1
c
(
c
o
s
(
w
c
1
)
−
1
)
+
y
2
c
(
c
o
s
(
2
w
c
1
)
−
1
)
+
T
(
c
o
s
(
3
w
c
1
)
−
1
)
+
y
4
s
(
c
o
s
(
4
w
c
1
)
−
1
)
4
{\displaystyle ac1={\frac {{\frac {y1c}{(cos(wc1)-1)}}+{\frac {y2c}{(cos(2wc1)-1)}}+{\frac {T}{(cos(3wc1)-1)}}+{\frac {y4s}{(cos(4wc1)-1)}}}{4}}}
Système à 5 équations au moins en (cosinus-1) : Recherche de 2 cosinus au mieux
modifier
Soit le système à résoudre au mieux :
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
1
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
1
w
c
2
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
2
w
c
2
)
−
1
)
y
3
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
3
w
c
2
)
−
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
4
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
4
w
c
2
)
−
1
)
y
5
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
5
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
5
w
c
2
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(1wc1)-1)+ac2\times (\cos(1wc2)-1)\\y2c=ac1\times (\cos(2wc1)-1)+ac2\times (\cos(2wc2)-1)\\y3c=ac1\times (\cos(3wc1)-1)+ac2\times (\cos(3wc2)-1)\\y4c=ac1\times (\cos(4wc1)-1)+ac2\times (\cos(4wc2)-1)\\y5c=ac1\times (\cos(5wc1)-1)+ac2\times (\cos(5wc2)-1)\\\end{cases}}}
En le considérant comme un sytème linéaire en
a
c
1
{\displaystyle ac1}
a
c
2
{\displaystyle ac2}
Cela donne, avec
C
1
=
c
o
s
(
w
1
c
)
−
1
{\displaystyle C1=cos(w1c)-1}
C
2
=
c
o
s
(
w
2
c
)
−
1
{\displaystyle C2=cos(w2c)-1}
c
o
s
(
w
1
c
)
−
1
{\displaystyle cos(w1c)-1}
c
o
s
(
w
2
c
)
−
1
{\displaystyle cos(w2c)-1}
D
c
1
{\displaystyle Dc1}
D
c
2
{\displaystyle Dc2}
D
c
3
{\displaystyle Dc3}
REVOIR
16
C
1
4
+
16
C
1
3
+
4
C
1
2
−
4
C
1
+
1
,
16
C
2
4
+
16
C
2
3
+
4
C
2
2
−
4
C
2
+
1
{\displaystyle 16C1^{4}+16C1^{3}+4C1^{2}-4C1+1,16C2^{4}+16C2^{3}+4C2^{2}-4C2+1}
|
y
1
c
1
1
y
2
c
2
C
1
+
2
2
C
2
+
2
y
3
c
4
C
1
2
+
4
C
1
+
1
4
C
2
2
+
4
C
2
+
1
|
=
D
c
1
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}y1c&1&1\\y2c&2C1+2&2C2+2\\y3c&4C1^{2}+4C1+1&4C2^{2}+4C2+1\\\end{vmatrix}}=Dc1=0}
|
y
2
c
2
C
1
+
2
2
C
2
+
2
y
3
c
4
C
1
2
+
4
C
1
+
1
4
C
2
2
+
4
C
2
+
1
y
4
c
8
C
1
3
−
8
C
1
2
8
C
2
3
−
8
C
2
2
|
=
D
c
2
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}y2c&2C1+2&2C2+2\\y3c&4C1^{2}+4C1+1&4C2^{2}+4C2+1\\y4c&8C1^{3}-8C1^{2}&8C2^{3}-8C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Dc2=0}
|
y
3
c
4
C
1
2
+
4
C
1
+
1
4
C
2
2
+
4
C
2
+
1
y
4
c
8
C
1
3
−
8
C
1
2
8
C
2
3
−
8
C
2
2
y
5
c
16
C
1
4
+
16
C
1
3
+
4
C
1
2
−
4
C
1
+
1
16
C
2
4
+
16
C
2
3
+
4
C
2
2
−
4
C
2
+
1
|
=
D
c
3
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}y3c&4C1^{2}+4C1+1&4C2^{2}+4C2+1\\y4c&8C1^{3}-8C1^{2}&8C2^{3}-8C2^{2}\\y5c&16C1^{4}+16C1^{3}+4C1^{2}-4C1+1&16C2^{4}+16C2^{3}+4C2^{2}-4C2+1\\\end{vmatrix}}=Dc3=0}
Et enfin , après combinaison des lignes et simplification :
|
y
1
c
1
1
y
2
c
−
2
y
1
c
2
C
1
C
2
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
C
1
2
C
2
2
|
=
D
c
1
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}y1c&1&1\\{\frac {y2c-2y1c}{2}}&C1&C2\\{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Dc1=0}
|
y
2
c
−
2
y
1
c
2
1
1
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
C
1
C
2
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
C
1
2
C
2
2
|
=
D
c
2
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {y2c-2y1c}{2}}&1&1\\{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}&C1&C2\\{\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Dc2=0}
|
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
1
1
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
C
1
C
2
y
5
c
−
16
y
4
c
−
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
−
4
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
+
4
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
y
1
c
16
C
1
2
C
2
2
|
=
D
c
3
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}&1&1\\{\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}&C1&C2\\{\frac {y5c-16{\frac {y4c-8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}-4{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}+4{\frac {y2c-2y1c}{2}}-y1c}{16}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Dc3=0}
On se trouve ramené à la Recherche:Méthode de résolution de systèmes d'équations non-linéaires à plusieurs inconnues en faisant apparaître la somme S et le produit P de C1 et C2.
{
B
1
∗
P
−
B
2
∗
S
+
B
3
=
0
B
2
∗
P
−
B
3
∗
S
+
B
4
=
0
B
3
∗
P
−
B
4
∗
S
+
B
5
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}B1*P-B2*S+B3=0\\B2*P-B3*S+B4=0\\B3*P-B4*S+B5=0\\\end{cases}}}
avec
B
1
=
y
1
c
,
B
2
=
y
2
c
−
2
y
1
c
2
{\displaystyle B1=y1c,B2={\frac {y2c-2y1c}{2}}}
B
3
=
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
{\displaystyle B3={\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}
B
4
=
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
{\displaystyle B4={\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}}
B
5
=
y
5
c
−
16
y
4
c
−
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
−
4
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
+
4
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
y
1
c
16
{\displaystyle B5={\frac {y5c-16{\frac {y4c-8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}-4{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}+4{\frac {y2c-2y1c}{2}}-y1c}{16}}}
Système à 5 équations au moins en (cosinus-1) avec un trou : Recherche de 2 cosinus au mieux et du trou
modifier
Soit les systèmes de 5 équations à résoudre au mieux construits à partir des 6 suivantes mais avec une des équations :
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
1
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
1
w
c
2
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
2
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
2
w
c
2
)
−
1
)
y
3
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
3
w
c
2
)
−
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
4
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
4
w
c
2
)
−
1
)
y
5
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
5
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
5
w
c
2
)
−
1
)
y
6
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
6
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
6
w
c
2
)
−
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(1wc1)-1)+ac2\times (\cos(1wc2)-1)\\y2c=ac1\times (\cos(2wc1)-1)+ac2\times (\cos(2wc2)-1)\\y3c=ac1\times (\cos(3wc1)-1)+ac2\times (\cos(3wc2)-1)\\y4c=ac1\times (\cos(4wc1)-1)+ac2\times (\cos(4wc2)-1)\\y5c=ac1\times (\cos(5wc1)-1)+ac2\times (\cos(5wc2)-1)\\y6c=ac1\times (\cos(6wc1)-1)+ac2\times (\cos(6wc2)-1)\end{cases}}}
En posant
S
1
=
sin
(
w
1
s
)
{\displaystyle S1=\sin(w1s)}
S
2
=
sin
(
w
2
s
)
{\displaystyle S2=\sin(w2s)}
C
1
=
cos
(
w
1
s
)
{\displaystyle C1=\cos(w1s)}
C
2
=
cos
(
w
2
s
)
{\displaystyle C2=\cos(w2s)}
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
(
2
cos
2
(
w
c
1
)
−
2
)
+
a
c
2
×
(
2
cos
2
(
w
c
2
)
−
2
)
y
3
c
=
a
c
1
×
(
4
cos
3
(
w
c
1
)
−
3
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
4
cos
3
(
w
c
2
)
−
3
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
(
2
cos
2
(
2
w
c
1
)
−
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
(
2
cos
2
(
2
w
c
2
)
−
1
)
−
1
)
y
5
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
3
w
c
1
)
cos
(
2
w
c
1
)
−
sin
(
3
w
c
1
)
sin
(
2
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
3
w
c
2
)
cos
(
2
w
c
2
)
−
sin
(
3
w
c
2
)
sin
(
2
w
c
2
)
−
1
)
y
6
c
=
a
c
1
×
(
2
cos
2
(
3
w
c
1
)
−
2
)
+
a
c
2
×
(
2
cos
2
(
3
w
c
2
)
−
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(wc1)-1)+ac2\times (\cos(wc2)-1)\\y2c=ac1\times (2\cos ^{2}(wc1)-2)+ac2\times (2\cos ^{2}(wc2)-2)\\y3c=ac1\times (4\cos ^{3}(wc1)-3\cos(wc1)-1)+ac2\times (4\cos ^{3}(wc2)-3\cos(wc2)-1)\\y4c=ac1\times \left(\left(2\cos ^{2}(2wc1)-1\right)-1\right)+ac2\times \left(\left(2\cos ^{2}(2wc2)-1\right)-1\right)\\y5c=ac1\times (\cos(3wc1)\cos(2wc1)-\sin(3wc1)\sin(2wc1)-1)+ac2\times (\cos(3wc2)\cos(2wc2)-\sin(3wc2)\sin(2wc2)-1)\\y6c=ac1\times (2\cos ^{2}(3wc1)-2)+ac2\times (2\cos ^{2}(3wc2)-2)\end{cases}}}
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
2
(
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
(
cos
(
w
c
1
)
+
1
)
+
a
c
2
×
2
(
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
(
cos
(
w
c
2
)
+
1
)
y
3
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
(
4
cos
2
(
w
c
1
)
2
+
4
cos
(
w
c
1
)
+
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
(
4
cos
2
(
w
c
2
)
+
4
cos
(
w
c
2
)
+
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
(
8
cos
3
(
w
c
1
)
−
8
cos
2
(
w
c
1
)
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
(
8
cos
3
(
w
c
2
)
−
8
cos
2
(
w
c
2
)
)
y
5
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
(
16
cos
4
(
w
c
1
)
+
16
cos
3
(
w
c
1
)
−
4
cos
2
(
w
c
1
)
−
4
cos
(
w
c
1
)
+
1
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
(
16
cos
4
(
w
c
2
)
+
16
cos
3
(
w
c
2
)
−
4
cos
2
(
w
c
2
)
−
4
cos
(
w
c
2
)
+
1
)
y
6
c
=
a
c
1
×
(
cos
(
w
c
1
)
−
1
)
(
32
cos
5
(
w
c
1
)
+
32
cos
4
(
w
c
1
)
−
16
cos
3
(
w
c
1
)
−
16
cos
2
(
w
c
1
)
+
2
cos
(
w
c
1
)
+
2
)
+
a
c
2
×
(
cos
(
w
c
2
)
−
1
)
(
32
cos
5
(
w
c
2
)
+
32
cos
4
(
w
c
2
)
−
16
cos
3
(
w
c
2
)
−
16
cos
2
(
w
c
2
)
+
2
cos
(
w
c
2
)
+
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (\cos(wc1)-1)+ac2\times (\cos(wc2)-1)\\y2c=ac1\times 2(\cos(wc1)-1)(\cos(wc1)+1)+ac2\times 2(\cos(wc2)-1)(\cos(wc2)+1)\\y3c=ac1\times (\cos(wc1)-1)(4\cos ^{2}(wc1)^{2}+4\cos(wc1)+1)+ac2\times (\cos(wc2)-1)(4\cos ^{2}(wc2)+4\cos(wc2)+1)\\y4c=ac1\times (\cos(wc1)-1)(8\cos ^{3}(wc1)-8\cos ^{2}(wc1))+ac2\times (\cos(wc2)-1)(8\cos ^{3}(wc2)-8\cos ^{2}(wc2))\\y5c=ac1\times (\cos(wc1)-1)(16\cos ^{4}(wc1)+16\cos ^{3}(wc1)-4\cos ^{2}(wc1)-4\cos(wc1)+1)+ac2\times (\cos(wc2)-1)(16\cos ^{4}(wc2)+16\cos ^{3}(wc2)-4\cos ^{2}(wc2)-4\cos(wc2)+1)\\y6c=ac1\times (\cos(wc1)-1)(32\cos ^{5}(wc1)+32\cos ^{4}(wc1)-16\cos ^{3}(wc1)-16\cos ^{2}(wc1)+2\cos(wc1)+2)+ac2\times (\cos(wc2)-1)(32\cos ^{5}(wc2)+32\cos ^{4}(wc2)-16\cos ^{3}(wc2)-16\cos ^{2}(wc2)+2\cos(wc2)+2)\end{cases}}}
{
y
1
c
=
a
c
1
×
(
C
1
−
1
)
+
a
c
2
×
(
C
2
−
1
)
y
2
c
=
a
c
1
×
2
(
C
1
−
1
)
(
C
1
+
1
)
+
a
c
2
×
2
(
C
2
−
1
)
(
C
2
+
1
)
y
3
c
=
a
c
1
×
(
C
1
−
1
)
(
4
C
1
2
+
4
C
1
+
1
)
+
a
c
2
×
(
C
2
−
1
)
(
4
C
2
2
+
4
C
2
+
1
)
y
4
c
=
a
c
1
×
(
C
1
−
1
)
(
8
C
1
3
−
8
C
1
2
)
+
a
c
2
×
(
C
2
−
1
)
(
8
C
2
3
−
8
C
2
2
)
y
5
c
=
a
c
1
×
(
C
1
−
1
)
(
16
C
1
4
+
16
C
1
3
−
4
C
1
2
−
4
C
1
+
1
)
+
a
c
2
×
(
C
2
−
1
)
(
16
C
2
4
+
16
C
2
3
−
4
C
2
2
−
4
C
2
+
1
)
y
6
c
=
a
c
1
×
(
C
1
−
1
)
(
32
C
1
5
+
32
C
1
4
−
16
C
1
3
−
16
C
1
2
+
2
C
1
+
2
)
+
a
c
2
×
(
C
2
−
1
)
(
32
C
2
5
+
32
C
2
4
−
16
C
2
3
−
16
C
2
2
+
2
C
2
+
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1c=ac1\times (C_{1}-1)+ac2\times (C_{2}-1)\\y2c=ac1\times 2(C_{1}-1)(C_{1}+1)+ac2\times 2(C_{2}-1)(C_{2}+1)\\y3c=ac1\times (C_{1}-1)(4C_{1}^{2}+4C_{1}+1)+ac2\times (C_{2}-1)(4C_{2}^{2}+4C_{2}+1)\\y4c=ac1\times (C_{1}-1)(8C_{1}^{3}-8C_{1}^{2})+ac2\times (C_{2}-1)(8C_{2}^{3}-8C_{2}^{2})\\y5c=ac1\times (C_{1}-1)(16C_{1}^{4}+16C_{1}^{3}-4C_{1}^{2}-4C_{1}+1)+ac2\times (C_{2}-1)(16C_{2}^{4}+16C_{2}^{3}-4C_{2}^{2}-4C_{2}+1)\\y6c=ac1\times (C_{1}-1)(32C_{1}^{5}+32C_{1}^{4}-16C_{1}^{3}-16C_{1}^{2}+2C_{1}+2)+ac2\times (C_{2}-1)(32C_{2}^{5}+32C_{2}^{4}-16C_{2}^{3}-16C_{2}^{2}+2C_{2}+2)\end{cases}}}
En le considérant comme un système linéaire en
a
c
1
{\displaystyle ac1}
a
c
2
{\displaystyle ac2}
D
c
1
{\displaystyle Dc1}
D
c
2
{\displaystyle Dc2}
D
c
3
{\displaystyle Dc3}
D
c
4
{\displaystyle Dc4}
|
y
1
c
1
1
y
2
c
−
2
y
1
c
2
C
1
C
2
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
C
1
2
C
2
2
|
=
D
c
1
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}y1c&1&1\\{\frac {y2c-2y1c}{2}}&C1&C2\\{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Dc1=0}
|
y
2
c
−
2
y
1
c
2
1
1
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
C
1
C
2
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
C
1
2
C
2
2
|
=
D
c
2
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {y2c-2y1c}{2}}&1&1\\{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}&C1&C2\\{\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Dc2=0}
|
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
1
1
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
C
1
C
2
y
5
c
−
16
y
4
c
−
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
+
4
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
+
4
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
y
1
c
16
C
1
2
C
2
2
|
=
D
c
3
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}&1&1\\{\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}&C1&C2\\{\frac {y5c-16{\frac {y4c-8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}+4{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}+4{\frac {y2c-2y1c}{2}}-y1c}{16}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Dc3=0}
|
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
1
1
y
5
c
−
16
y
4
c
−
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
+
4
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
+
4
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
y
1
c
16
C
1
C
2
C
1
2
C
2
2
y
6
c
−
32
∗
y
5
c
−
16
y
4
c
−
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
+
4
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
+
4
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
y
1
c
16
+
16
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
+
16
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
−
2
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
2
y
1
c
32
C
1
3
C
2
3
C
3
3
|
=
D
c
4
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}&1&1\\{\frac {y5c-16{\frac {y4c-8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}+4{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}+4{\frac {y2c-2y1c}{2}}-y1c}{16}}&C1&C2\\&C1^{2}&C2^{2}{\frac {y6c-32*{\frac {y5c-16{\frac {y4c-8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}+4{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}+4{\frac {y2c-2y1c}{2}}-y1c}{16}}+16{\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}+16{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}-2{\frac {y2c-2y1c}{2}}-2y1c}{32}}&C1^{3}&C2^{3}&C3^{3}\end{vmatrix}}=Dc4=0}
D'où, en posant
S
=
cos
(
w
s
1
)
+
cos
(
w
s
2
)
{\displaystyle S=\cos(ws1)+\cos(ws2)}
P
=
cos
(
w
s
1
)
×
cos
(
w
s
2
)
{\displaystyle P=\cos(ws1)\times \cos(ws2)}
{
A
1
∗
P
−
A
2
∗
S
+
A
3
=
0
A
2
∗
P
−
A
3
∗
S
+
A
4
=
0
A
3
∗
P
−
A
4
∗
S
+
A
5
=
0
A
4
∗
P
−
A
5
∗
S
+
A
6
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}A1*P-A2*S+A3=0\\A2*P-A3*S+A4=0\\A3*P-A4*S+A5=0\\A4*P-A5*S+A6=0\end{cases}}}
On a posé pour une lecture plus commode :
{
A
1
=
y
1
c
A
2
=
y
2
c
−
2
y
1
c
2
A
3
=
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
A
4
=
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
A
5
=
y
5
c
−
16
y
4
c
−
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
+
4
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
+
4
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
y
1
c
16
A
6
=
y
6
c
−
32
∗
y
5
c
−
16
y
4
c
−
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
+
4
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
+
4
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
y
1
c
16
+
16
y
4
c
+
8
∗
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
8
+
16
y
3
c
−
y
1
c
−
4
∗
y
2
c
−
2
y
1
c
2
4
−
2
y
2
c
−
2
y
1
c
2
−
2
y
1
c
32
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}=y1c\\A_{2}={\frac {y2c-2y1c}{2}}\\A_{3}={\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}\\A_{4}={\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}\\A_{5}={\frac {y5c-16{\frac {y4c-8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}+4{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}+4{\frac {y2c-2y1c}{2}}-y1c}{16}}\\A_{6}={\frac {y6c-32*{\frac {y5c-16{\frac {y4c-8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}+4{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}+4{\frac {y2c-2y1c}{2}}-y1c}{16}}+16{\frac {y4c+8*{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}}{8}}+16{\frac {y3c-y1c-4*{\frac {y2c-2y1c}{2}}}{4}}-2{\frac {y2c-2y1c}{2}}-2y1c}{32}}\\\end{cases}}}
Pour les systèmes considérés de cinq équations, une équation sur les 6 des systèmes ci-dessus est manquante. On adjoint au système l'équation manquante afin d'obtenir le système et les déterminants ci-dessus.
Le
y
∗
{\displaystyle y_{*}}
T
{\displaystyle T}
On substitue dans les
A
∗
{\displaystyle A_{*}}
T
{\displaystyle T}
y
c
1
,
y
c
2
,
y
c
3
,
y
c
4
,
y
c
5
{\displaystyle yc1,yc2,yc3,yc4,yc5}
y
c
6
{\displaystyle yc6}
Démarche de résolution :
Trouver T par la méthode de résolution au mieux :
En sélectionnant les équations contenant T parmi les 4 en S et P.
En les réécrivant en isolant T dans un membre.
En résolvant au mieuxle système ( dans le cas d'une inconnue au premier degré, cela revient à prendre la moyenne arithmétique des T )
Puis remplacer T par la valeur trouvée dans les 6(ou 5?) équations.
Puis résoudre au mieux en S et P le système obtenu.
De là, poser l'équation du second degré en C. La résoudre.
Puis remplacer wc1 et wc2 trouvés dans les 6 ( ou 5? ) équations.
Enfin résoudre au mieux le système en ac1 et ac2 Cette méthode est extensible à un nombre supérieur d'équations à un trou.
Une méthode similaire est employée pour cinq équations lors de la présence de deux trous T1 et T2 ou plus. Il sera adjoint autant d'équations que de trous. la méthode est extensible et similaire aussi pour plus de cinq équations de base sans ou avec trou(s).
