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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions : Systèmes à fonctions Polynômes Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Systèmes à fonctions Polynômes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ce qui suit est une extension de la méthode exposée et employée dans cette page
Pour avoir un système à résoudre au mieux, il faut plus de variables que d'équations. Chaque terme avec puissance de chaque variable inconnue sera considérée comme variable indépendante.
Ce sont des systèmes d'équations de la forme :
{
P
1
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
1
P
2
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
2
⋮
P
i
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
i
⋮
P
n
+
m
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
n
+
m
m
>=
0
{\displaystyle {\begin{cases}P_{1}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{1}\\P_{2}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{2}\\\vdots \\P_{i}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{i}\\\vdots \\P_{n+m}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{n+m}\\\end{cases}}m>=0}
Une variable inconnue à déterminer au mieux
modifier
Le système le plus réduit consiste en 2 équations de monômes en x . Les autres systèmes comportent plus de 2 équations.
Par exemple,en appliquant la méthode ci-dessus :
Première méthode :par la somme des équations
{
x
=
−
1
x
2
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}x=-1\\x^{2}=1\end{cases}}}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
x
2
+
x
=
0
{\displaystyle x^{2}+x=0}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
{
x
=
−
1
s
o
l
u
t
i
o
n
e
x
a
c
t
e
m
i
e
u
x
d
u
m
i
e
u
x
x
=
0
s
o
l
u
t
i
o
n
a
u
m
i
e
u
x
x
a
m
{\displaystyle {\begin{cases}x=-1&solution&exacte&mieuxdumieux\\x=0&solution&aumieux&x_{am}\\\end{cases}}}
ou
{
x
=
4
x
2
=
9
{\displaystyle {\begin{cases}x=4\\x^{2}=9\\\end{cases}}}
ou
{
x
i
=
A
1
x
j
=
A
2
{\displaystyle {\begin{cases}x^{i}=A_{1}\\x^{j}=A_{2}\\\end{cases}}}
Ou mieux encore, pour être assuré d’avoir une solution et être dans le prolongement de 2 et 3 inconnues, les systèmes de 3 équations à 1 inconnue :
{
P
1
(
x
)
=
A
1
P
2
(
x
)
=
A
2
P
3
(
x
)
=
A
3
{\displaystyle {\begin{cases}P_{1}(x)=A_{1}\\P_{2}(x)=A_{2}\\P_{3}(x)=A_{3}\\\end{cases}}}
dont exemple :
{
x
=
A
1
x
2
=
A
2
x
3
=
A
3
{\displaystyle {\begin{cases}x=A_{1}\\x^{2}=A_{2}\\x^{3}=A_{3}\\\end{cases}}}
ici, pour trouver la solution au mieux :
x
3
+
x
2
+
x
=
A
1
+
A
2
+
A
3
{\displaystyle x^{3}+x^{2}+x=A_{1}+A_{2}+A_{3}}
Deuxième méthode : moyenne géométrique par le produit des équations
{
x
=
A
1
x
2
=
A
2
x
3
=
A
3
{\displaystyle {\begin{cases}x=A_{1}\\x^{2}=A_{2}\\x^{3}=A_{3}\\\end{cases}}}
x
=
(
A
1
A
2
A
3
)
1
6
{\displaystyle x=(A_{1}A_{2}A_{3})^{\frac {1}{6}}}
Appliquer les deux méthodes qui peut donner selon les cas 0 , 1 ou 2 solutions possibles.
Deux variables inconnues à déterminer au mieux
modifier
Deux variables inconnues et un trou à déterminer au mieux
modifier
Exemple :
{
A
1
=
a
1
∗
x
1
1
+
a
2
∗
x
2
1
A
2
=
a
1
∗
x
1
2
+
a
2
∗
x
2
2
A
4
=
a
1
∗
x
1
4
+
a
2
∗
x
2
4
A
5
=
a
1
∗
x
1
5
+
a
2
∗
x
2
5
A
6
=
a
1
∗
x
1
6
+
a
2
∗
x
2
6
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}\\\end{cases}}}
Introduire l'équation manquante la plus probable au mieux qui permettra de simplifier les calculs :
T
=
a
1
∗
x
1
3
+
a
2
∗
x
2
3
{\displaystyle T=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}}
{
A
1
=
a
1
∗
x
1
1
+
a
2
∗
x
2
1
A
2
=
a
1
∗
x
1
2
+
a
2
∗
x
2
2
T
=
a
1
∗
x
1
3
+
a
2
∗
x
2
3
A
4
=
a
1
∗
x
1
4
+
a
2
∗
x
2
4
A
5
=
a
1
∗
x
1
5
+
a
2
∗
x
2
5
A
6
=
a
1
∗
x
1
6
+
a
2
∗
x
2
6
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}\\T=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}\\\end{cases}}}
Selon la ligne considérée ( T en A2 et A5 ou A3 et A4 ) la technique de résolution sera légèrement différente :
* T en A3 et A4 :
{
−
A
1
P
+
A
2
S
=
A
3
−
A
2
P
+
A
3
S
=
A
4
−
A
3
P
+
A
4
S
=
A
5
−
A
4
P
+
A
5
S
=
A
6
{\displaystyle {\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}}
devient
{
−
A
1
P
+
A
2
S
=
T
−
A
2
P
+
T
S
=
A
4
−
T
P
+
A
4
S
=
A
5
−
A
4
P
+
A
5
S
=
A
6
{\displaystyle {\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=T\\-A_{2}P+TS=A_{4}\\-TP+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}}
ou
{
−
A
1
P
+
A
2
S
=
A
3
−
A
2
P
+
A
3
S
=
T
−
A
3
P
+
T
S
=
A
5
−
T
P
+
A
5
S
=
A
6
{\displaystyle {\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=T\\-A_{3}P+TS=A_{5}\\-TP+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}}
Démarche : Écrire le déterminant des coefficients des 3 équations comportant des T. L'égaler à 0. Obtenir l'équation en PS du premier degré. Résoudre en PS. Extraire P fonction de S. Reporter P dans l'équation en P et S sans T. Obtenir une équation du second degré en S. Résoudre en S. Extraire S fonction de P. Reporter S dans l'équation en P et S sans T. Obtenir une équation du second degré en P. Résoudre en P. Résoudre au mieux le système le système P, S , PS. Puis résoudre au mieux le système des trois équations en T.
* T en A2 et A5 :
{
−
A
1
P
+
A
2
S
=
A
3
−
A
2
P
+
A
3
S
=
A
4
−
A
3
P
+
A
4
S
=
A
5
−
A
4
P
+
A
5
S
=
A
6
{\displaystyle {\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}}
devient
{
−
A
1
P
+
T
S
=
A
3
−
T
P
+
A
3
S
=
A
4
−
A
3
P
+
A
4
S
=
A
5
−
A
4
P
+
A
5
S
=
A
6
{\displaystyle {\begin{cases}-A_{1}P+TS=A_{3}\\-TP+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}}
ou
{
−
A
1
P
+
A
2
S
=
A
3
−
A
2
P
+
A
3
S
=
A
4
−
A
3
P
+
A
4
S
=
T
−
A
4
P
+
T
S
=
A
6
{\displaystyle {\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=T\\-A_{4}P+TS=A_{6}\\\end{cases}}}
Démarche : Résoudre en P et S les deux équations sans T. Eliminer T entre les deux équations en T. Obtenir une équation en P^2, S^2, P, S. Remplacer P et S par les valeurs précédemment trouvées dans P^2 et S^2. Obtenir une équation en P et S. Résoudre au mieux le système des trois équations en P et S ( les 2 sans T plus celle construite à partir des deux sans T ). Résoudre au mieux en T le système des deux équations en T.
Trois variables inconnues à déterminer au mieux
modifier
Le sytème le plus simple consiste en 7 équations en
x
1
{\displaystyle x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}}
et
x
3
{\displaystyle x_{3}}
. Les autres systèmes comportent plus de 7 équations.
Ne seront étudiés que les systèmes de la forme :
{
A
1
=
a
1
∗
x
1
1
+
a
2
∗
x
2
1
+
a
3
∗
x
3
1
A
2
=
a
1
∗
x
1
2
+
a
2
∗
x
2
2
+
a
3
∗
x
3
2
A
3
=
a
1
∗
x
1
3
+
a
2
∗
x
2
3
+
a
3
∗
x
3
3
A
4
=
a
1
∗
x
1
4
+
a
2
∗
x
2
4
+
a
3
∗
x
3
4
A
5
=
a
1
∗
x
1
5
+
a
2
∗
x
2
5
+
a
3
∗
x
3
5
A
6
=
a
1
∗
x
1
6
+
a
2
∗
x
2
6
+
a
3
∗
x
3
6
A
7
=
a
1
∗
x
1
7
+
a
2
∗
x
2
7
+
a
3
∗
x
3
7
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}+a_{3}*x_{3}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}+a_{3}*x_{3}^{2}\\A_{3}=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}+a_{3}*x_{3}^{3}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}+a_{3}*x_{3}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}+a_{3}*x_{3}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}+a_{3}*x_{3}^{6}\\A_{7}=a_{1}*x_{1}^{7}+a_{2}*x_{2}^{7}+a_{3}*x_{3}^{7}\\\end{cases}}}
Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle Système 1 }
{
A
1
=
a
1
∗
x
1
1
+
a
2
∗
x
2
1
+
a
3
∗
x
3
1
A
2
=
a
1
∗
x
1
2
+
a
2
∗
x
2
2
+
a
3
∗
x
3
2
A
3
=
a
1
∗
x
1
3
+
a
2
∗
x
2
3
+
a
3
∗
x
3
3
A
4
=
a
1
∗
x
1
4
+
a
2
∗
x
2
4
+
a
3
∗
x
3
4
A
5
=
a
1
∗
x
1
5
+
a
2
∗
x
2
5
+
a
3
∗
x
3
5
A
6
=
a
1
∗
x
1
6
+
a
2
∗
x
2
6
+
a
3
∗
x
3
6
A
7
=
a
1
∗
x
1
7
+
a
2
∗
x
2
7
+
a
3
∗
x
3
7
⋯
A
i
=
a
1
∗
x
1
i
+
a
2
∗
x
2
i
+
a
3
∗
x
3
i
⋯
A
n
=
a
1
∗
x
1
n
+
a
2
∗
x
2
n
+
a
3
∗
x
3
n
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}+a_{3}*x_{3}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}+a_{3}*x_{3}^{2}\\A_{3}=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}+a_{3}*x_{3}^{3}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}+a_{3}*x_{3}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}+a_{3}*x_{3}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}+a_{3}*x_{3}^{6}\\A_{7}=a_{1}*x_{1}^{7}+a_{2}*x_{2}^{7}+a_{3}*x_{3}^{7}\\\cdots \\A_{i}=a_{1}*x_{1}^{i}+a_{2}*x_{2}^{i}+a_{3}*x_{3}^{i}\\\cdots \\A_{n}=a_{1}*x_{1}^{n}+a_{2}*x_{2}^{n}+a_{3}*x_{3}^{n}\\\end{cases}}}
Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle Système 2 }
Par la même démarche, x,y,z sont les
r
1
,
r
2
,
r
3
{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}
racines de l'équation :
r
3
−
S
r
2
+
D
1
r
1
−
P
=
0
{\displaystyle r^{3}-Sr^{2}+D_{1}r^{1}-P=0}
Avec les relations servant de changement de variable, vu l'interchangeabilité de
x
1
{\displaystyle x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}}
et
x
3
{\displaystyle x_{3}}
ainsi que de
r
1
,
r
2
,
r
3
{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}
:
S
=
r
1
+
r
2
+
r
3
,
D
1
=
r
1
r
2
+
r
2
r
3
+
r
3
r
1
,
P
=
r
1
r
2
r
3
{\displaystyle S=r_{1}+r_{2}+r_{3},D_{1}=r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{1},P=r_{1}r_{2}r_{3}}
Pour le Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle Système 1 }
, S,D_1,P sont solutions du système devenu linéaire :
{
A
1
P
−
A
2
D
1
+
A
3
S
=
A
4
A
2
P
−
A
3
D
1
+
A
4
S
=
A
5
A
3
P
−
A
4
D
1
+
A
5
S
=
A
6
A
4
P
−
A
5
D
1
+
A
6
S
=
A
7
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}P-A_{2}D_{1}+A_{3}S=A_{4}\\A_{2}P-A_{3}D_{1}+A_{4}S=A_{5}\\A_{3}P-A_{4}D_{1}+A_{5}S=A_{6}\\A_{4}P-A_{5}D_{1}+A_{6}S=A_{7}\\\end{cases}}}
Pour le Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle Système 2 }
, S,D_1,P sont solutions du système devenu linéaire :
{
A
1
P
−
A
2
D
1
+
A
3
S
=
A
4
A
2
P
−
A
3
D
1
+
A
4
S
=
A
5
A
3
P
−
A
4
D
1
+
A
5
S
=
A
6
A
4
P
−
A
5
D
1
+
A
6
S
=
A
7
⋯
A
i
−
3
P
−
A
i
−
2
D
1
+
A
i
−
1
S
=
A
i
⋯
A
n
−
4
P
−
A
n
−
3
D
1
+
A
n
−
2
S
=
A
n
−
1
A
n
−
3
P
−
A
n
−
2
D
1
+
A
n
−
1
S
=
A
n
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}P-A_{2}D_{1}+A_{3}S=A_{4}\\A_{2}P-A_{3}D_{1}+A_{4}S=A_{5}\\A_{3}P-A_{4}D_{1}+A_{5}S=A_{6}\\A_{4}P-A_{5}D_{1}+A_{6}S=A_{7}\\\cdots \\A_{i-3}P-A_{i-2}D_{1}+A_{i-1}S=A_{i}\\\cdots \\A_{n-4}P-A_{n-3}D_{1}+A_{n-2}S=A_{n-1}\\A_{n-3}P-A_{n-2}D_{1}+A_{n-1}S=A_{n}\\\end{cases}}}
À SUIVRE
N variables inconnues à déterminer au mieux
modifier
À ACTUALISER AVEC LA METHODE AU MIEUX
Le sytème le plus simple consiste en
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
équations en
x
1
{\displaystyle x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}}
et
x
3
{\displaystyle x_{3}}
. Les autres systèmes comportent plus de
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
équations.
{
A
1
=
a
1
∗
r
1
1
+
a
2
∗
r
2
1
+
a
3
∗
r
3
1
+
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
1
A
2
=
a
1
∗
r
1
2
+
a
2
∗
r
2
2
+
a
3
∗
r
3
2
+
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
2
A
3
=
a
1
∗
r
1
3
+
a
2
∗
r
2
3
+
a
3
∗
r
3
3
+
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
3
A
4
=
a
1
∗
r
1
4
+
a
2
∗
r
2
4
+
a
3
∗
r
3
4
+
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
4
A
5
=
a
1
∗
r
1
5
+
a
2
∗
r
2
5
+
a
3
∗
r
3
5
+
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
5
A
6
=
a
1
∗
r
1
6
+
a
2
∗
r
2
6
+
a
3
∗
r
3
6
+
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
6
.
.
.
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.
A
2
n
=
a
1
∗
r
1
2
n
+
a
2
∗
r
2
2
n
+
a
3
∗
r
3
2
n
+
.
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
2
n
A
2
n
+
1
=
a
1
∗
r
1
2
n
+
1
+
a
2
∗
r
2
2
n
+
1
+
a
3
∗
r
3
2
n
+
1
+
.
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
2
n
+
1
.
.
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A
2
n
+
k
=
a
1
∗
r
1
2
n
+
k
+
a
2
∗
r
2
2
n
+
k
+
a
3
∗
r
3
2
n
+
k
+
.
.
.
.
.
.
+
a
n
∗
r
n
2
n
+
k
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}=a_{1}*r_{1}^{1}+a_{2}*r_{2}^{1}+a_{3}*r_{3}^{1}+.....+a_{n}*r_{n}^{1}\\A_{2}=a_{1}*r_{1}^{2}+a_{2}*r_{2}^{2}+a_{3}*r_{3}^{2}+.....+a_{n}*r_{n}^{2}\\A_{3}=a_{1}*r_{1}^{3}+a_{2}*r_{2}^{3}+a_{3}*r_{3}^{3}+.....+a_{n}*r_{n}^{3}\\A_{4}=a_{1}*r_{1}^{4}+a_{2}*r_{2}^{4}+a_{3}*r_{3}^{4}+.....+a_{n}*r_{n}^{4}\\A_{5}=a_{1}*r_{1}^{5}+a_{2}*r_{2}^{5}+a_{3}*r_{3}^{5}+.....+a_{n}*r_{n}^{5}\\A_{6}=a_{1}*r_{1}^{6}+a_{2}*r_{2}^{6}+a_{3}*r_{3}^{6}+.....+a_{n}*r_{n}^{6}\\...............................................................\\A_{2n}=a_{1}*r_{1}^{2n}+a_{2}*r_{2}^{2n}+a_{3}*r_{3}^{2n}+......+a_{n}*r_{n}^{2n}\\A_{2n+1}=a_{1}*r_{1}^{2n+1}+a_{2}*r_{2}^{2n+1}+a_{3}*r_{3}^{2n+1}+......+a_{n}*r_{n}^{2n+1}\\................................................................\\A_{2n+k}=a_{1}*r_{1}^{2n+k}+a_{2}*r_{2}^{2n+k}+a_{3}*r_{3}^{2n+k}+......+a_{n}*r_{n}^{2n+k}\\\end{cases}}}
Par la même démarche
r
1
,
r
2
,
r
3
,
.
.
.
.
,
r
n
{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},....,r_{n}}
sont racines de l'équation :
r
n
−
S
r
n
−
1
+
D
2
r
n
−
2
−
D
2
r
n
−
3
−
.
.
.
.
+
(
−
1
)
j
∗
D
j
r
n
−
j
+
.
.
.
.
.
+
(
−
1
)
n
∗
P
=
0
{\displaystyle r^{n}-Sr^{n-1}+D_{2}r^{n-2}-D_{2}r^{n-3}-....+(-1)^{j}*D_{j}r^{n-j}+.....+(-1)^{n}*P=0}
En posant :
S
=
D
1
=
∑
j
=
1
j
=
n
r
j
,
D
2
=
∑
∏
1
<=
i
<
j
<=
n
r
i
r
j
,
D
3
=
∑
∏
1
<=
i
<
j
<
k
<=
n
r
i
r
j
r
k
/
.
.
.
.
/
D
p
=
∑
∏
1
<=
i
<
j
<
k
<
.
.
.
p
<=
n
r
i
r
j
r
k
.
.
.
r
p
/
.
.
.
.
/
P
=
D
n
=
∏
j
=
1
j
=
n
r
j
{\displaystyle S=D_{1}=\sum _{j=1}^{j=n}r_{j},D_{2}=\sum \prod _{1<=i<j<=n}r_{i}r_{j},D_{3}=\sum \prod _{1<=i<j<k<=n}r_{i}r_{j}r_{k}/..../D_{p}=\sum \prod _{1<=i<j<k<...p<=n}r_{i}r_{j}r_{k}...r_{p}/..../P=D_{n}=\prod _{j=1}^{j=n}r_{j}}
AVEC
S
,
D
1
,
D
k
,
D
i
+
1
,
P
{\displaystyle S,D_{1},D_{k},D_{i+1},P}
solutions du système devenu linéaire :
{
A
1
P
−
A
2
D
n
−
1
+
A
3
D
n
−
2
−
.
.
.
+
(
−
1
)
n
−
j
−
1
A
n
−
j
+
1
D
j
+
.
.
.
.
+
(
−
1
)
n
−
2
A
n
−
1
D
2
+
(
−
1
)
n
−
1
A
n
S
+
(
−
1
)
n
A
n
+
1
=
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
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.
.
A
n
P
−
A
n
+
1
D
n
−
1
+
A
n
+
2
D
n
−
2
−
.
.
.
+
(
−
1
)
2
n
−
j
−
1
A
2
n
−
j
+
1
D
n
+
j
+
.
.
.
.
+
(
−
1
)
2
n
−
1
A
2
n
S
+
(
−
1
)
2
n
A
2
n
+
1
=
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
A
n
+
k
P
−
A
n
+
1
+
k
D
n
−
1
+
k
+
A
n
+
2
+
k
D
n
−
2
+
k
−
.
.
.
+
(
−
1
)
2
n
−
j
−
1
+
k
A
n
+
j
+
1
+
k
D
n
+
j
+
.
.
.
.
+
(
−
1
)
2
n
+
k
−
1
A
2
n
+
k
S
+
(
−
1
)
2
n
+
k
A
2
n
+
1
+
k
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}P-A_{2}D_{n-1}+A_{3}D_{n-2}-...+(-1)^{n-j-1}A_{n-j+1}D_{j}+....+(-1)^{n-2}A_{n-1}D_{2}+(-1)^{n-1}A_{n}S+(-1)^{n}A_{n+1}=0\\...................................................................................\\A_{n}P-A_{n+1}D_{n-1}+A_{n+2}D_{n-2}-...+(-1)^{2n-j-1}A_{2n-j+1}D_{n+j}+....+(-1)^{2n-1}A_{2n}S+(-1)^{2n}A_{2n+1}=0\\....................................................................................\\A_{n+k}P-A_{n+1+k}D_{n-1+k}+A_{n+2+k}D_{n-2+k}-...+(-1)^{2n-j-1+k}A_{n+j+1+k}D_{n+j}+....+(-1)^{2n+k-1}A_{2n+k}S+(-1)^{2n+k}A_{2n+1+k}=0\\\end{cases}}}